Características topológicas de los campos vectoriales 3D 60

2 Análisis visual del transporte de contaminantes 46

2.3 Características topológicas de los campos vectoriales 3D 60

El análisis visual de fluidos es sin dudas un área de investigación activa dentro de la visualización científica. Los campos vectoriales 3D suelen aparecer en proble- mas del mundo real con mayor frecuencia que los campos bidimensionales, espe- cialmente en áreas vinculadas a la mecánica de fluidos. Estos campos vectoriales son generados por dispositivos de medición o mediante simulaciones, tanto en la industria automovilística, la aviación o en la medicina (procesos de circulación de sangre en arterias y venas). Debido a la alta complejidad de análisis que poseen los campos vectoriales 3D, la mayoría de los métodos se enfocan en tratar, o bien solo partes específicas del fluido, o propiedades especiales de los mismos (Stolk & van Wijk, 1992) (de Leeuw & van Wijk, 1993) (Zockler, Stalling, & Hege, 1996).

Figura 2.6. Principales curvas tangentes de un campo vectorial 2D no estacionario.

En (Weinkauf T. , 2008) se resumen los diferentes enfoques y sus respectivas áreas de aplicación dentro del análisis visual de fluidos. Por otra parte, existe una familia de métodos que se basan en el estudio de la topología del fluido en general y son recolectados en (Weinkauf T. , 2008). La visualización de las curvas tangentes de un fluido nos permite analizar cómo se mueven las partículas dentro del mismo. En (Weinkauf T. , 2008) se describen las diferentes curvas tangentes que se encuentran en un fluido (Ver Figura 2.6).

Para estudiar topológicamente esta familia de curvas es necesario conocer su cur- vatura y torsión, propiedades esenciales que definen una curva en , para nues- tro caso en .

La topología es una rama de la matemática bien estudiada. En (Ward, 2001) (Cooper, 2010) (Farin, 1992) se describe matemáticamente la geometría computa- cional de curvas.

Aproximaciones clásicas al estudio de los fluidos. Descripciones de Euler y Lagrange

A la hora de abordar el estudio de los fluidos, surgen dos aproximaciones clásicas, la de Euler y la de Lagrange.

Método de Lagrange: El método de Lagrange constituye una generalización dire- cta de la mecánica del punto material. Se estudia un volumen pequeño del fluido y se sigue el movimiento de cada una de las partículas (de coordenadas , , ), en función del tiempo , a través de la ecuación que describe la trayectoria de cada una de las partículas. El principal inconveniente de este sistema es que hacen fal-

ta una gran cantidad de ecuaciones para describir el movimiento del sistema por lo que en la práctica no es útil (Martín Domingo, 2011).

Método de Euler: En la aproximación de Euler se desiste de describir el movimiento del fluido mediante la historia de cada una de las partículas individuales. En su lugar se especifica el movimiento del fluido por la densidad , , y la velocidad ( , ) de las partículas del mismo en ese punto, como una función del tiempo y del espacio. En otras palabras, en este método se estudia un punto del espacio y como es el movimiento del fluido en ese punto en función del tiempo. Las herramientas de trabajo serán las típicas de la Teoría de Campos, con un campo de presiones, uncampo de velocidades y un campo de densidades (Martín Domingo, 2011).

La materia llamada cinemática se interesa en el estudio del movimiento. La ci- nemática del fluido es el estudio que explica cómo fluyen los fluidos y cómo describir su movimiento. Existen dos maneras de describir el movimiento. El primer método y más conocido es seguir las trayectorias de los objetos por separados; se usan las leyes de Newton para describir el movimiento de objetos de este tipo y se puede predecir con exactitud a dónde van y cómo se intercambia la cantidad de movimiento y la energía cinética de un objeto a otro. La cinemática de esos experimento incluye seguir el rastro del vector posición de cada objeto, , ,…, y del vector de velocidad de cada uno de ellos , ,..., como funciones de tiempo (Gengel & Gimbla, 2008).

Cuando se aplica este método a un fluido fluyente, se le llama descripción lagrangiana del movimiento de fluido. El análisis lagrangiano es análogo al análisis de sistemas que se estudia en termodinámica; es decir, se sigue una masa fija (Gengel & Gimbla, 2008).

Un método más común de descripción del flujo de fluidos es la descripción euleriana del movimiento de fluidos. En esta descripción del flujo de fluidos, se define un volumen finito, llamado dominio de flujo o volumen de control, a través del cual un flujo fluye hacia dentro y hacia fuera. No es necesario seguir el rastro de la po-

sición y la velocidad de una masa fija de partículas del espacio y el tiempo, dentro del volumen de control. Por ejemplo, el campo de presión es un campo de variable escalar; en caso general para un flujo tridimensional no-estacionario, en coordenadas cartesianas:

Campo de presión: , , ,

De manera semejante se define el campo de velocidad como un campo de variable vectorial:

Campo de velocidad: , , ,

Del mismo modo, el campo de aceleración también es un campo de variable vectorial:

Campo de aceleración: , , ,

De manera colectiva, estas variables de campo (y otras) definen el campo de flujo. El campo de velocidad se puede desarrollar en las coordenadas cartesianas

, , , , , como:

, ,

, , ,

En descripción euleriana, todas esas variables de campo se definen en cualquier ubicación

, ,

en el volumen de control y en cualquier instante . En la des- cripción euleriana en realidad no importa lo que sucede a las partículas de fluido por separado; en lugar de ello, se centra la atención en la presión, la velocidad, la aceleración, etc., de cualquiera que sea la partícula de flujo que llegue a estar en el lugar de interés en el momento de interés (Gengel & Gimbla, 2008).

Aun cuando existen muchas ocasiones en las que la descripción lagrangiana re- sulta útil, con frecuencia la euleriana es más conveniente para las aplicaciones de la mecánica de fluidos (Gengel & Gimbla, 2008).

Campo de aceleraciones

En el estudio de la termodinámica, las leyes fundamentales de conservación (como la conservación de la masa y la primera ley de la termodinámica) se expresan para un sistema de masa fija (también llamado sistema cerrado). En los casos en donde el análisis de un volumen de control (también conocido como sistema abier- to) es más conveniente que el análisis de sistemas, es necesario volver a escribir estas leyes fundamentales en formas aplicables al volumen de control (Gengel & Gimbla, 2008).

La ecuación de movimiento para el flujo de fluidos (como la segunda ley de New- ton) se escriben para una masa fija, tomando aquí como pequeña parcela de fluido, a la cual se le da el nombre de partícula de fluido o partícula material. Si fuera a seguirse una partícula de fluido conforme se desplaza en todas direcciones en el flujo, se estaría empleando la descripción lagrangiana y las ecuaciones del movimiento serían directamente aplicables. Por ejemplo, se definiría la ubicación de la partícula en el espacio en término de un vector de posición material (x partículas ( ), y partículas ( ), z partículas ( )). Sin embargo, se necesita algo de manipula- ción matemático para convertir las ecuaciones del movimiento en forma aplicables para la descripción euleriana (Gengel & Gimbla, 2008). Por ejemplo, considérese la segunda ley de Newton aplicada a la partícula mencionada:

Segunda ley de Newton: Fpartícula = mpartícula * apartícula

donde:

Fpartícula es la fuerza neta que actúa sobre la partícula de fluido,

mpartícula es su masa,

apartícula es su aceleración.

Por definición, la aceleración de la partícula de fluido es la derivada respecto al tiempo de la velocidad de la misma:

Sin embargo, en cualquier instante , la velocidad de la partícula es igual al valor local del campo de velocidad en la ubicación ( partículas ( ), partículas ( ), partículas ( )) de la misma, ya que, por definición, la partícula de fluido se desplaza con el propio fluido (Gengel & Gimbla, 2008).

Derivada Material

Al operador se le da un nombre especial, el de derivada material para hacer resaltar que se forma cuando sigue una partícula de fluido a medida que se mueve por el campo de flujo (Gengel & Gimbla, 2008).

Tipos de flujos

Atendiendo a las características del flujo, este puede clasificarse de acuerdo con distintos criterios (Martín Domingo, 2011).

Flujo estacionario/no estacionario. Se dice que el flujo es estacionario si la velocidad ( ) y la densidad ( ) del flujo en un punto no dependen del tiempo y no estacionario en caso contrario. Esto no quiere decir que la velocidad y la densidad deban ser las mismas en dos puntos distintos, sino sólo que en un mismo punto no deben variar con el tiempo (Martín Domingo, 2011).

Flujo irrotacional/rotacional. Se dice que el flujo es irrotacional cuando el elemento del fluido en un punto dado no tiene una velocidad angular neta alrededor de dicho punto y que es rotacional en caso contrario. Un fluido que circula a través de una tubería recta de sección uniforme sería un ejemplo simple de flujo irrotacional, mientras que un remolino de un río sería un ejemplo de flujo rotacional (Martín Domingo, 2011).

Flujo compresible/incompresible. Se dice que el flujo es compresible si la densidad en el mismo varía, como por ejemplo ocurre en los gases en el caso más general, mientras que se dice que el flujo es incompresible cuando la densidad apenas varía como es el caso de los líquidos. Nótese que es posible tener un flujo aproximadamente incompresible aunque el fluido en movimiento en sí sea un flui-

do compresible siempre que a lo largo del flujo en la región considerada la densidad sea prácticamente la misma en todos los puntos (Martín Domingo, 2011). Flujo viscoso/no viscoso. Se dice que el flujo es viscoso cuando aparecen en él importantes fuerzas de rozamiento que no se pueden despreciar. Como conse- cuencia de estas fuerzas de rozamiento aparecen unas fuerzas tangenciales entre las capas del fluido en movimiento relativo y hay una disipación de energía mecá- nica. Por el contrario se dice que el flujo es no viscoso cuando estas fuerzas de rozamiento son muy pequeñas o bien no se tienen en cuenta (Martín Domingo, 2011).

Movimiento de un fluido perfecto

La Figura 2.7 muestra un campo de velocidades y algunas líneas de flujo junto con varias sendas y una línea de traza. El campo de velocidades representado es el campo , , 0 en el instante = 1s. La senda representada en trazo más grueso corresponde a la seguida por un elemento del fluido, que en = 1s pasa por el punto (2,7, 2,7) y la traza al lugar geométrico de los elementos del fluido que en instantes sucesivos pasan por dicho punto. Junto a la senda anterior se mues- tran las sendas de las partículas que pasarán por el citado punto en los instantes = 1s = 2s, y = 3s, representadas con líneas finas de trazos.

Figura 2.7. Representación espacial de un campo de velocidades y de algunas líneas de flujo junto con varias sendas y una línea de traza.

Fundamentos de visualización del flujo

El estudio cuantitativo de la dinámica de fluidos se puede aprender mucho con la visualización del flujo: el examen visual de las características del campo de flujo. Senda, línea de corriente y de traza. Tubo de flujo

Vamos a definir ahora una serie de líneas que nos permitirán describir el movimiento de un fluido. Estas son la senda, la traza o línea de traza y la línea de corriente o línea de flujo. En general, cada una de estas líneas es distinta de las otras, pero en el caso de un flujo estacionario las tres coinciden (Martín Domingo, 2011).

Senda

Se denomina al camino seguido realmente por una partícula de fluido. La senda se define para una partícula a lo largo del tiempo. Su carácter es fundamentalmente experimental y se obtendría experimentalmente soltando una partícula marcador y haciendo una fotografía a obturador abierto durante el tiempo de estudio (Martín Domingo, 2011).

Para obtener analíticamente la senda integraríamos el campo de velocidades para obtener las ecuaciones paramétricas , , de la senda para un elemento genérico del flujo que en un cierto instante de referencia pasa por un punto de referencia dado (lo que nos permite obtener las constantes de integración). Si elimi- namos el tiempo entre las distintas ecuaciones obtenemos la ecuación de la senda (Martín Domingo, 2011).

Línea de traza

Se denomina línea de trazaal lugar geométrico de las partículas que en instantes sucesivos pasaron por un punto dado. Su carácter es también fundamentalmente experimental y en la práctica se obtendría por ejemplo inyectando de forma continua en un punto fijo del flujo una serie de partículas marcadas y tomando una fo- tografía (Martín Domingo, 2011).

Una línea de traza es el lugar geométrico de las partículas de fluido que han pasado de manera secuencial por un punto prescrito en el fluido. Las líneas de traza constituyen el patrón de flujo más común generado en un experimento físico. Si se inserta un tubo pequeño en un flujo y se introduce una corriente continua de flujo trazador (tinte en un flujo de agua o humo en flujo de aire), el patrón que se obser- va es una línea de traza. En los experimentos físicos en un túnel de viento o de agua, el humo o el tinte se inyectan en forma continua, no como partículas sepa- radas y, por definición, el patrón resultante de flujo es una línea de traza (Gengel & Gimbla, 2008).

Para obtener analíticamente la ecuación de la traza debemos previamente obtener la familia de constantes de integración correspondientes a las sendas de las partí- culas que en instantes anterior al instante genérico considerada pasaron por el punto _, _, _, de referencia. Sustituyendo estos valores en las ecuaciones pa- ramétricas de la senda tendríamos las sendas de cada una de estas partículas y eliminando t tendríamos la ecuación de la traza, en el instante , de las partículas que en instantes previos pasaron por _, _, _, (Martín Domingo, 2011).

Línea de corriente o línea de flujo (streamline)

Se define la línea de corrientecomo una línea que en un instante dado es tangente al vector velocidad en cada punto. Es importante recalcar que la línea de corriente está definida para un instante dado, mientras que la senda y la línea de traza contienen información de otros instantes (Martín Domingo, 2011).

Las líneas de corriente son útiles como indicadores de la dirección instantánea del movimiento del flujo en todo el campo de flujo. Las líneas de corriente no se pueden observar directamente de manera experimental, excepto en los campos de flujo estacionario, en los cuales coinciden con las líneas de trayectoria y las líneas de traza (Gengel & Gimbla, 2008).

Al contrario de las dos anteriores, de carácter básicamente experimental, la línea de corriente tiene un profundo sustrato matemático. Para su obtención experimental se extenderían en el flujo un conjunto de partículas marcadoras y se tomaría una fotografía del conjunto “casi” instantánea (obturador abierto durante un breve período de tiempo), de modo que en ésta se aprecian para cada partícula líneas pequeñas que marcan la dirección (ángulo de la línea) y el módulo de la velocidad (relacionado con la longitud de la línea) (Martín Domingo, 2011).

Como la velocidad debe ser tangente en cada punto a la línea de flujo, debe cum- plirse · d = 0 con · = , , . Así estás deben cumplir:

que, si , , son conocidas en función de la posición y el tiempo, pueden in- tegrarse para dar la ecuación de la línea de corriente que en un determinado instante pasa por un punto dado. Nótese que esta integración puede ser muy compleja.

Figura 2.8. Tubo de corriente utilizado para la obtención de la ecuación de continuidad en forma integral.

Tubo de flujo

Un tubo de flujo o de corriente está formado por un haz de líneas de flujo. Como las líneas de flujo son tangentes al vector velocidad en cada punto, las líneas de flujo no atraviesan las paredes del tubo de flujo. Esto es así porque las paredes están a su vez formadas por líneas de flujo y si las atravesaran dos líneas de flujo se cortarían, estando la velocidad indeterminada en el punto de corte. Por tanto, a pesar de estar limitado por la superficie ficticia que envuelve el haz de líneas de flujo, este se comporta a todos los efectos como una superficie impermeable (Martín Domingo, 2011).

Un tubo de corriente consta de haz de líneas de corriente de forma muy semejante en la que un cable de comunicaciones consta de un haz de cables de fibras ópti- cas. Dado que las líneas de corriente son en todo punto paralelas a la velocidad local, por definición un fluido no puede cruzar una línea de corriente. Por exten- sión, el fluido que se encuentra dentro de un tubo de corriente debe permanecer allí y no puede cruzar la frontera de éste. Se debe tener presente que tanto las líneas de corriente como los tubos de corriente son cantidades instantáneas, defi- nidas en un instante en particular según el campo de velocidad en ese instante (Gengel & Gimbla, 2008).

Líneas de trayectoria (pathline)

Una línea de trayectoria es la trayectoria real recorrida por una partícula de fluido durante algún período. Una línea de trayectoria es un concepto lagrangiano en el que sencillamente se sigue de una partícula de fluido conforme se desplaza en el campo de flujo (Gengel & Gimbla, 2008).

Líneas fluidas

Una línea fluida (líneas de tiempo) es un conjunto de partículas adyacentes de fluido que se marcaron en el mismo instante (anterior). Las líneas fluidas son par- ticularmente útiles para situaciones en donde se va a examinar la uniformidad de un flujo (o la falta de ello) (Gengel & Gimbla, 2008).

Trayectorias de partículas, líneas de corriente instantánea, y streaklines

Las presentes consideraciones son cinemáticas, lo que significa que estamos asumiendo conocimiento sobre el movimiento del fluido, a través de un campo de velocidad euleriano u , o bien de Lagrange las coordenadas , , inde- pendientemente de la causa del movimiento. Una útil caracterización cinemática de un flujo de fluido es el patrón de líneas de corriente, como se ha mencionado en los ejemplos anteriores. En un flujo constante de líneas de corriente y trayectorias las partículas coinciden. En un flujo inestable este no es el caso y el único re- curso útil es considerar las líneas de corriente instantánea en un tiempo particular (Childress, 2008).

En tres dimensiones las líneas de corriente instantáneos son las órbitas de la

u , = , , , , , , , , , , , en el tiempo t.

Con el tiempo estas líneas de corriente van a cambiar en un flujo inestable, y la conexión con trayectorias de las partículas no es evidente en los flujos de cualquier complejidad. La visualización de los flujos en el agua a veces se lleva a cabo mediante la introducción de tinte en un punto en el espacio. El colorante puede ser pensado como el etiquetado por el color del fluido encontrado en partículas en el punto, en un momento dado (Childress, 2008).

Así, streakline resultante consta de todas las partículas que en algún momento en el pasado se localizaron en el punto de inyección del colorante. Para describir una

streakline matemáticamente tenemos que generalizar el tiempo de inicio de una trayectoria de la partícula. De este modo se introduce la función de Lagrange ge-

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