CARACTERIZACI ´ ON DE GRUPOS ABELIANOS FINITOS

Demostraci´on 4.13. Sea P  un p-subgrupo de Sylow de G, sea S  =



xP x−1

|

x

_∈

 G



. Entonces

 _|

S 

_|

 es el n´umero de conjuntos de p-subgrupos de Sylow de G.

Consideramos la acci´on P 

 _×

 S 

_−→

S   con (y,xPx−1)

_→

  yxPx−1y−1, sean S 1, S 

 −

 2, . . . , S  n las distintas ´orbitas de la acci´on. Entonces

 |

S 

|

=



n_i=1

|

S i

|

.

Sea S 1 = OrbP (P ) =



yP y−1

|

y

 ∈

 P 



=

 {

P 

}

, entonces

 |

S 

|

= 1 +



n_i=2

|

S i

|

.

Recordemos que

_|

OrbP (S )

|

 = [G : EstP (S )]. Sean pues P i

 ∈

 S i, 2

≤

 i

≤

 n, luego

EstP (P i) =



y

 ∈

 P 

|

yP iy−1 = P i



= P 

 ∩

N G(P i)

 ⇒ |

S i

|

 = [P  : P 

 ∩

N G(P i)] =

[P  : P 

 _∩

P i]. Como P 

 

= P i

 ⇒

 P 

 ∩

P i

 

= P , por lo tanto [P  : P 

 ∩

P i] es m´ulti-

plo de p. Entonces

 _|

S 

_|

= 1 +

_

n_i=2

_|

S i

|

= 1 +



n_i=2 pki, ki

 ≥

 1, por lo tanto

|

S 

_{| ≡}

 1 (mod p)

Ejemplo: Demostrar que un grupo de orden 28 tiene un subgrupo normal de orden 7.

Soluci´on: 28 = 22

_·

7. Por el Teorema 3 de Sylow, puedo tener 1 , 8, 15, 22, . . . p- subgrupos de Sylow. Tomamos S  =

_{

A

_|

A

 _⊆

 G

_}

 y definimos la acci´on G

_×

S 

 _−→

S  con (x, S )

 _→

xSx−1

⇒

 OrbG(P ) =



xP x−1

|

x

 ∈

 G



, entonces

 |

OrbG(P )

|

=

[G : EstG(P )] que es un divisor de 28, y de nuestra lista, solo 1 divide a 28,

entonces solo existe un 7-grupo de Sylow, por el corolario, es normal.

4.1. Caracterizaci´on de grupos Abelianos Fini-

tos

Sean (G1,

·

1) y (G2,

·

2) grupos, entonces el conjunto  G1

×

G2 tiene estructura

de grupo con la operaci´on binaria (G1

 ×

G2)

×

(G1

 ×

G2)

 −→

 G1

 ×

G2 donde

(x1, x2)

·

(y1, y2)

 →

 (x1

·

1 y1, x2

·

2 y2).

La identidad en G1

×

G2 es (11, 12) y (x1, x2)−1 = (x

−1

1 , x−12 )

 ∀

(x1, x2)

∈

 G1

×

G2.

G1

×

G2 con esta operaci´on se llama el producto directo de  G1 y G2.

En general, si G1, G2, . . . , Gn son grupos, podemos construir e producto directo

G1

×

G2

 × · · · ×

Gn. Cuando G1, G2, . . . , Gn son abelianos, el producto directo

se denota por G1

⊕

G2

 ⊕ · · · ⊕

Gn.

G1G2 =

 {

x1x2

|

x1

 ∈

 G1, x2

 ∈

 G2

}

 = G, entonces  G



 G1

×

G2

Teorema 4.15. Sea G  un grupo abeliano finito, entonces  G es isomorfo a la  suma directa de sus subgrupos de Sylow.

Ejercicio: Demostrar el teorema anterior.

Teorema 4.16  (Frobenius). Si G  es un grupo abeliano finito, entonces es la  suma directa de sus subgrupos c´ıclicos. Cada uno de estos subgrupos tiene orden 

 pk para alg´ un  p primo y  k

 _∈Z

≥0

Demostraci´on 4.17. Sea G  abeliano finito. Denotamos la operaci´on por +, y el neutro por 0. G  es suma directa de sus subgrupos de Sylow, entonces, podemos suponer que G es un p-grupo abeliano. Vamos a probar que todo p- grupo abeliano finito es suma directa de c´ıclicos. Usamos inducci´on en

 _|

G

_|

 = pn_.

Sea a

_∈

 G de orden pk _{maximal (i.e. si  b}

∈

 G tiene orden  pk1 entonces  k

 ≥

 k1).

Sea H   es subgrupo maximal de G   tal que H 

 _{∩ }

a

_

=

_{

0

_}

. Sea G1 = H 

 ⊕



a

_

 =

 _{

(h,na)

_|

h

_∈

 H, n

 _∈Z_}

 Notemos que: i) ,

_

a

_{ ≤}

 G; ii) H 

 _{∩ }

a

_

 =

 _{

0

_}

; iii) H  +

_

a

_{ ≤}

 G. Entonces G1

 

 H  +



a



. Si G  = G1 terminamos, pues aplicamos

la hip´otesis de inducci´on en H . Supongamos que G1



G. Sea x + G1

 ∈

G/G1

con x + G1

 

= G1 (i.e. x /

∈

 G1) de orden p, entonces px

 ∈

 G1 = H  +



a



. As´ı que

existen h

 _∈

H, m

 _∈

Z

 tal que px =  h + ma. Como pk es el orden maximal en G, entonces 0 = pkx = pk−1( px) = pk−1(h + ma) = pk−1h + pk−1ma. Como

|

a

_|

 = pk

_⇒

 pk

_

 pk−1m

_⇒

 p

_

m. Sea m = pr. Entonces h = px

₋

ma = px

₋

 pra =  p(x

₋

ra)

 _∈

 H . Como x /

_∈

 G1 = H, H  +



a

 ⇒

 x

−

ra /

∈

 H . Por la maximalidad

de H , tenemos que H  +

 _

x

₋

ra

_{ ∩ }

a

_{ }

= 0. Sea h1

 ∈

H ; t, s

 ∈

Z

  tales que

sa = h1 + t(x

−

ra)



= 0, entonces  tx = sa

−

h1 + tra =

−

h1 + (s + rt)a

∈

 H 1.

Vamos a probar que p

 

t. Supongamos que t = up, entonces t(x

 ₋

 ra) = up(x

₋

ra) = uh, entonces sa = h1 + uh

 ∈

H !!, pues H 

 ∩ 

a



=

 {

0

}

. As´ı que

 p

 _|

t, por lo tanto son primos relativos, entonces existen enteros  s1, s2 tales que

Cap´ıtulo 5

Anillos

5.1. Introducci´on

Definici´on 5.1. Un anillo es un grupo abeliano ( R, +, 0) con una operaci´on binaria asociativa

 _·

 : R

_×

R

 _−→

 R tal que (a, b)

 _→

 ab, que llamaremos multipli- caci´on. Las operaciones + y

 _·

 se relacionan mediante las siguientes propiedades distributivas:

(a + b)x = ax + bx x(a + b) =  xa + xb).

Si ab = ba

 _∀

a, b

 _∈

 R, entonces el anillo se llama conmutativo.

Si existe 1

 _∈

R, 1

 _

= 0 tal que a1 = 1a = a

 _∀

a

 _∈

R, entonces R   se llama anillo con 1 (uno).

Observaci´on 5.2.  Para todo a

_∈

 R, se cumple que 0a = a0 = 0.

Demostraci´on 5.3. a0 = a(0 + 0) = a0 + a0

 _⇒

a0 = 0. 0a  = (0 + 0)a = 0a + 0a

_⇒

 0a = 0.

Definici´on 5.4. Un anillo R conmutativo con 1 se llama campo si

_∀

x

_∈

 R

_−{

0

_}

existe y

_∈

R   tal que xy = yx   = 1, es decir, R

 _{− {}

0

_}

  es un grupo con la multiplicaci´on.

Ejemplos de anillos: (

Z

, +,

_·

), (

R

, +,

_·

).

Definici´on 5.5.  Un subconjunto S  de un anillo  R  es un subanillo de  R  si, con las operaciones de R  restringidas a S , S  es un anillo.

Ejemplo:

 Z

 es un subanillo de

 Q

,

 R

 y

 C

.

 Z

_⊂Q_⊂

R_⊂

C

. En este caso, el 1 de

 Z

 es el 1 de

 Q

,

R

,

C

. Aunque esto no siempre se cumple.

Proposici´on 5.6.  Un subconjunto no vac´ıo S  de un anillo R es un subanillo si, y s´ olo si  x

₋

y,xy

 _∈

 S  para todos  x, y

 _∈

 S .

Demostraci´on 5.7.

 _⇒

) Si S  es un subanillo de R, entonces x

₋

y,xy

 _∈

 S 

_∀

x, y

 _∈

S .

⇐

) i) si x

₋

 y

 _∈

S   para todos x, y

 _∈

S , entonces S   es subgrupo de R. ii) Si

∀

x, y

 _∈

S   se cumple que xy

 _∈

S , entonces

 _·

: S 

 _×

 S  es binaria asociativa (lo hereda de R).

Definici´on 5.8.  Sean R y S   anillos. Una funci´on f  : R

_−→

S   se llama homomorfismo de anillos si f (x + y) = f (x) + f (y) y f (xy) = f (x)f (y) para todo x, y

 _∈

 R. Un homomorfismo se llama monomorfismo si es inyectivo. Se es sobre se llama epimorfismo, y se llama isomorfismo si es inyectivo.

Dos anillos se llaman isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos.

El kernel de un homomorfismo de anillos  f  se define como Ker(f ) =

 _{

x

 _∈

 R

_|

f (x) = 0

_}

. La imagen de un homomorfismo  f  se define como I m(f ) =

_{

f (x)

_|

x

_∈

 R

_}

.

Notemos que si x, y

 _∈

Ker(f )

 _⇒

f (x

₋

 y) = f (x)

 ₋

 f (y) = 0

₋

 0 = 0 y f (xy) =  f (x)f (y) = 0

_·

0 = 0 por lo tanto  K er(f ) es un subanillo de  R.

Si f (x), f (y)

 _∈

Im(f )

 _⇒

f (x)

₋

 f (y) = f (x

₋

 y) y f (x)f (y) = f (xy) por lo tanto I m(f ) es un subanillo de  S .

Observaci´on 5.9. El kernel de un homomorfismo de anillos f  : R

_−→

S  satisface la siguiente propiedad: Si x

 _∈

Ker(f ) y y

_∈

R   entonces   xy,yx

 _∈

Ker(f ).

Definici´on 5.10.  Un subanillo I  de un anillo  R  se llama ideal derecho si para todos x

 _∈

 I , y

 _∈

 R  se tiene que xy

 _∈

 I . Se llama ideal izquierdo si para todos

5.1. INTRODUCCI ´ON  35 x

 _∈

 I , y

 _∈

 R se cumple que  yx

 _∈

 I . Se llama ideal si para todos  x

 _∈

 I , y

 _∈

 R se cumple que xy,yx

 _∈

 I .

Ejemplo: El kernel de un homomorfismo es ideal.

Definici´on 5.11 (Ver tarea 6). Sea R  un anillo. Un elemento a

 _∈

 R  se llama nilpotente si an = 0 para alg´un entero positivo n.

Si R  es un anillo conmutativo, entonces el conjunto

 _{

a

 _∈

 R

_|

a es nilpotente

_}

es un ideal de R.

Definici´on 5.12 (Ver tarea 6). Si R1 y R2 son anillos, entonces las operaciones

binarias

(R1

×

R2)

×

(R1

×

R2)

 −→

 R1

×

R2

+ : ((a1, b1), (a2, b2))

→

 (a1 + a2, b1 + b2)

·

 : ((a1, b1), (a2, b2))

→

 (a1a2, b1b2)

definen un anillo en R1

×

R2. Llamaremos a este anillo suma directa de  R1 y R2

y lo denotamos R1

⊕

R2.

Definici´on 5.13. Sea R un anillo con 1. Entonces x

 _∈

R   se llama unidad si existe y

 _∈

 R  tal que xy  =  yx = 1. El conjunto de unidades en  R  se denota por U (R) y se llama el grupo de unidades.

Notaci´on 5.14. R∗_= R

− {

0

_}

Definici´on 5.15. Sea R un anillo y sean x, y

 _∈

 R∗ _{tales que xy = 0, entonces x}

se llama divisor de cero izquierdo de  y y y se llama divisor de cero derecho de  x. Si R   es conmutativo, no hay distinci´on entre divisores de cero izquierdos y derechos y se llaman divisores de cero.

Ejemplos: Sea R = M 2(

R

), entonces





1 1 1 1









1

₋

1

−

1 1





=





0 0 0 0





.

Si R  =

Z

mn y m, n son primos relativos, entonces ¯n

·

m = ¯0.¯

Definici´on 5.16.  Un anillo conmutativo R

 _

=

 _{

0

_}

 se llama dominio entero si no tiene divisores de cero.

Definici´on 5.17. Un anillo R con 1 tal que todo elemento  x

_∈

 R∗ _{tiene inverso}

multiplicativo se llama anillo con divisi´on.

Observaci´on 5.18. Un anillo con divisi´on conmutativo es un campo.

Observaci´on 5.19. Un campo es un dominio entero.

Demostraci´on 5.20.  Sean x, y

_∈

R∗ _{con xy   = 0, entonces x = xyy}−1 ₌

0y−1 _{= 0 y esto es una contradicci´on.}

Proposici´on 5.21. Un subconjunto no vac´ıo I  de un anillo R es un ideal si, y  s´ olo si para todo x, y

 _∈

 I , r

 _∈

 R tenemos que x

₋

y,rx,xr

 _∈

 I .

Demostraci´on 5.22. Si I  cumple que para todo  x, y

 _∈

 I 

 _⇒

 x

₋

y

 _∈

 I   entonces es subgrupo si adem´as cumple que para todo r

 _∈

R

 _→

  xr,rx

 _∈

I , tomamos r = y

 _∈

I 

_⊆

R

 _⇒

xy

 _∈

I   entonces I   es un subanillo de R   y adem´as, como rx,xr

 _∈

 I 

 _∀

r

 _∈

 R, I  es ideal.

Definici´on 5.23. Si

 _{∅ }

= X 

 _⊂

 R con  R  anillo, el ideal



X 

_

 =



I ⊃X I   ideal

I 

se llama el ideal generado por  X  y tiene la propiedad de maximalidad: si J  es un ideal de R  tal que X 

 _⊂

 J , entonces

 _

X 

_{ ⊂}

 J .

Un ideal generado por un elemento a

 _∈

 R  se llama ideal principal y se denota por

 _

a

_

.

Observaci´on 5.24. Si R es conmutativo y a

 _∈

 R, entonces

_

a

_

 =

_{

ra

_|

r

 _∈

 R

_}

 = Ra

Si I   es un ideal de un anillo R, entonces, en particular, es un subgrupo normal, as´ı que R_/

I =

{

r + I 

|

r

 ∈

 R

}

 es un grupo abeliano con la suma

+ : R_/

I 

 ×

R/I 

 −→

R/I 

(x + I, y + I )

 _→

 (x + y) + I 

Lo que queremos ahora, es darle a este grupo cociente estructura de anillo con el producto:

5.1. INTRODUCCI ´ON  37

R_/

I 

 ×

R/I 

 −→

 R/I 

(x + I, y + I )

_→

 (xy) + I 

Hay que ver que esta funci´on esta bien definida. Sean  x + I  = r + I, y + I  = s+I 

 _∈

 R/I .P.D.(x+I )(y +I ) = (r +I )(s+I ) y esto pasa si, y s´olo si xy

−

rs

∈

 I .

Consideremos x(y

₋

s), (x

₋

r)s

_∈

 I 

 _⇒

 x(r

₋

s) + (x

₋

r)s = xy

₋

xs + xs

₋

rs = xy

₋

rs

_∈

 I  por lo tanto  xy + I  =  rs + I .

Entonces ahora tenemos la aplicaci´on cociente π : R

 _→

R/I   donde x

 →

x + I 

y es un epimorfismo con Ker(π) = I , entonces, todo ideal es el kernel de un homomorfismo de anillos.

Teorema 5.25 (Teorema Fundamental de Homomorfismos de Anillos (TFHA)).

Sean  R, S  anillos y  f  : R

 _−→

 S  un homomorfismo. Entonces R/Ker(f )

 

 I m(f ).

Demostraci´on 5.26. Sea g : R/Ker(f )

 −→

Im(f ) tal que x + I 

 →

f (x). Ya

sabemos que g es un isomorfismo de grupos, as´ı que solo basta demostrar que g[(x + I )(y + I )] =  g(x + I )g(y + I ) para todos x + I, y + I 

 _∈

 R_/

Ker(f ), entonces

vemos que g[(x + I )(y + I )] =  g(xy + I ) =  f (xy) =  f (x)f (y) = g(x + I )g(y + I ), por lo tanto  g  es un isomorfismo de anillos.

Proposici´on 5.27.  Sean R, S   anillos y f  : f 

 _−→

 S  un epimorfismo, entonces  existe una correspondencia biyectiva entre los ideales de S   y los ideales de R

que contienen a  I  = Ker(f ):

{

J 

_|

J  es ideal de S 

_{} ←→ {}

K 

_|

K   es idel de  R, R

 _⊃

 I 

_}

J 

 _−→

 f −1_(J ).

En particular, todo ideal del anillo cociente  R/I  es de la forma K /I   donde K es 

un ideal de  R y K 

 _⊃

 I .

Demostraci´on 5.28. Sea J 

 _⊂

 S  un ideal, entonces  f −1_(J )

 ⊂

 R. P.D. f −1_(J )

es ideal. Sean x, y

 _∈

 f −1_{(J ), z}

 ∈

 R. f −1 _{es subgrupo, as´ı que x}

−

y

 _∈

 f −1_(J ).

Luego f (xz) = f (x)f (z)

 _∈

J  y f (zx) = f (z)f (x)

 _∈

J   pues f (x)

 _∈

J   por lo tanto f −1_{(J ) es ideal.}

Definici´on 5.29. Un anillo R se llama simple si sus ´unicos ideales son

 _{

0

_}

y R.

Ejemplo: M 2(R) con R  un campo.

Proposici´on 5.30. Sea R  un anil lo conmutativo, entonces R  es simple si, y  s´ olo si  R es campo.

Demostraci´on 5.31. Sea I 

 _

=

 _{

0

_}

 un ideal en  R. Sea a

_∈

 I ∗_{, entonces, si R  es}

campo, existe b

 _∈

 R∗ _{tal que ab = 1, entonces 1}

 ∈

 I  por lo tanto r

 _∈

 I ,

_∀

r

 _∈

R

 _⇒

 I  =  R. Ahora supongamos que  R  es simple: sea  a

_∈

 R∗_{, entonces}

 

a

_

 = R as´ı que 1

 _{∈ }

a

_

 =

 _{

ra

_|

r

 _∈

 R

_{} ⇒}

 existe b

 _∈

 R  tal que  ba  = 1, por lo tanto  R es campo.

Definici´on 5.32. Sea R   un anillo conmutativo con 1 y sea I  un ideal de R. Definimos el radical de  I  como:

√ 

_I  =

_

_x

∈

 R

_|

xk

∈

 I  para alg´un entero k

 _≥

 0



El ideal I  se llama radical si  I  =

√ 

I .

En la tarea 7 se demuestran algunas propiedades del radical de un ideal I  de un anillo R.

Definici´on 5.33. Sea R  un anillo. Un ideal M  de R   se llama maximal si se satisface que si J   es un ideal de R   tal que M 

_⊂

J 

_⊂

R, entonces J  = M  o J  = R.

Definici´on 5.34.  Un orden parcial en un conjunto

 _S 

  es una relaci´on

 _≤

que satisface:

Reflexi´on: A

_≤

 A  para todo A

_{∈ S} 

. Antisimetr´ıa:  A

 _≤

 B, B

 _≤

 A

_⇒

 A = B. Transitividad:  A

_≤

 B, B

 _≤

 C 

 _⇒

 A

 _≤

 C .

Un conjunto con un orden parcial se llama conjunto parcialmente ordenado, Copo o  poset . Si el orden parcial, cumple adem´as con:

5.1. INTRODUCCI ´ON  39 Totalidad:

 _∀

A, B

 _{∈ S} 

A

 _≤

 B o B

 _≤

 A  o  A = B.

entonces se llama orden lineal u orden total y un conjunto con un orden lineal se llama conjunto linealmente ordenado o loset .

Definici´on 5.35. Sea

 _S 

 un poset. Una cadena

 _C

en

 _S 

 es un subconjunto no- vac´ıo de

 _S 

 tal que el orden parcial de

 _S 

 es un orden lineal en

 _C

.

Una cota superior de

 _C

 es un elemento  B

 _{∈ S} 

 tal que A

 _≤

 B

 _∀

A

_{∈ C}

.

Un maximal es un elemento  M 

 _{∈ S} 

 que cumple que si A

 _{∈ S} 

 tal que M 

 _≤

 A, entonces  A = M .

Lema 5.36 (Lema de Zorn). Si 

 _S 

 es un   poset no-vac´ıo y toda cadena 

 _C

en 

 _S 

tiene una cota superior, entonces 

 _S 

  tiene un elemento maximal.

Proposici´on 5.37. Sea  R un anillo con  1 y sea  I 

 _⊂

 R un ideal propio. Entonces  existe un ideal maximal  M  de  R tal que I 

 _⊂

 M .

Demostraci´on 5.38. Sea

 _S 

=

 _{

J 

_|

J 



R es ideal, I 

 _⊂

 J 

_}

, entonces

 _S 

  es un

poset con

 _⊆

. Sea

 _{C ⊂ S} 

 una cadena. Sea

 _L

 =

_

_J α∈C

_J 

α. P.D.

 L

 es cota superior

de

 _C

:

1.

_{L ∈ S} 

: Sean x, y

_{∈ L ⇒}

x

_{∈ J} 

α, y

∈ J 

β, s.p.d.g. supongamos que

J 

α

 ⊆ J 

β

 ⇒

x, y

 ∈ J 

β, por lo tanto x

 −

 y, xz,zx

 ∈ J 

β

∀

z

 ∈

R. Luego

I 

 _{⊂ J} 

α

 ∀

α

 ⇒

 I 

 ⊂



J 

α =

 L

. Despu´es, tenemos que

 L



R

 ⇔

1 /

∈ L

y

como 1 /

_{∈ J} 

α

 ∀

α

⇒

 1 /

∈ J 

∴

 L ⊂

 R

 ⇒ L ∈ S 

2. Por construcci´on,

 _L

 es cota superior de

 _C

.

Luego, por el lema de Zorn,

 _S 

 tiene un elemento maximal.

Definici´on 5.39. Sea R   un anillo. Un ideal P  de R   se llama ideal primo si siempre que ab

_∈

 P  se tiene que  a

 _∈

 P  o b

_∈

 P .

Definici´on 5.40.  Un anillo R es dominio de ideales principales (DIP) si todo ideal I 

 _⊂

 R es principal.

Lema 5.41 (Ver tarea 7). Todo ideal maximal en un anillo conmutativo con  1

es primo.

Lema 5.42. Si  R es un DIP, dominio entero, conmutativo con  1, entonces todo ideal primo es maximal 

Demostraci´on 5.43. Sea P 

 _⊂

 R  un ideal primo. Sea J 



 R  tal que P 

 _⊆

 J . Luego P  =

 _

a

_{ ⊆}

J  =

 _

b

_{ ⇒}

a = bc

 _∈

P . Si b

 _∈

P , entonces P  = J  y ya terminamos. Supongamos  b /

_∈

 P 

 _⇒

 c

 _∈

 P , entonces c  = c1a

 ⇒

 a = bc1a

 ⇒

 a =

abc1

 ⇒

 bc1 = 1

⇒

 J  = R y esto es una contradicci´on, por lo tanto P  = J .

Ahora, queremos construir, a partir de un dominio entero  R, un campo que lo contenga y que sea el m´ınimo campo que contiene a los inversos multiplicativos de lo elementos de  R.

Definici´on 5.44. Un campo de fracciones para un dominio entero R

 _

=

 _{

0

_}

, es un campo F R  con un monomorfismo ϕ : R

−→

F R  tal que si K   es un

campo y θ : R

 _−→

 K  es monomorfismo, entonces existe un ´unico monomorfismo f  : F R

 −→

 K  tal que f 

 ◦

ϕ = θ. Es decir:

R ϕ         _ θ       F R f                  K  conmuta.

Proposici´on 5.45. El campo de fracciones de un dominio entero R

 _

=

 _{

0

_}

es  ´ 

unico, salvo isomorfismo.

Demostraci´on 5.46.  Supongamos que F R y F R  son campos fraccionarios de

R. Entonces ϕ : R

 _−→

F R y ϕ : R

 −→

F R   son monomorfismos, y por lo

tanto, existen ´unicos monomorfismos f  : F R

−→

F R y f  : F R

−→

F R con

f 

 _◦

f  = id = f 

_◦

f , y entonces  f  es un isomorfismo.

Teorema 5.47. Sea R

 _

=

 _{

0

_}

 un dominio entero. Entonces R tiene un campo de fracciones  F R.

5.1. INTRODUCCI ´ON  41

Demostraci´on 5.48. Sea X  =

_{

(a, b)

_|

a

_∈

 R, b

 _∈

 R∗

}

. Definimos en X  la sigu- iente relaci´on: (a, b)

 _∼

 (c, d)

_⇔

 ad = bc. Esta es una relaci´on de equivalencia:

Reflexi´on: (a, b)

_∼

 (a, b)

_⇔

 ab = ba y como R es dominio entero, conmuta. Simetr´ıa: (a, b)

_∼

 (c, d)

_⇔

 ad = bc

_⇔

 bc = ad

 _⇔

 (c, d)

 _∼

 (a, b).

Transitividad: Sea (a, b)

 _∼

 (c, d) y (c, d)

 _∼

 (e, f )

 _⇔

 ad =  bc  y  cf  = de

 _⇒

adf  = bcf 

 _⇒

 adf  = bde

 _⇒

(af 

 ₋

be)d = 0 y como d

 _

= 0

 _⇒

 af  = be

 _⇒

(a, b)

_∼

 (e, f ).

Denotamos la clase de equivalencia de ( a, b) por a_b. Sea F R = X/∼ =



a_b

|

a

∈

 R, b

∈

 R∗



.

Definimos ahora + : F R

×

F R

 −→

 F R con (a_b,c_d)

→

ad+bc_bd y

 ·

 : F R

×

F R

 −→

 F R

tal que (a_b, c_d)

 _→

ac_bd

Ahora, es sencillo notar que F R es en realidad un campo, sin embargo es

tedioso y un atentado contra la ecolog´ıa, as´ı que si el lector lo quiere verificar, lo puede hacer por su cuenta.

Cap´ıtulo 6

Polinomios

Sea R un anillo. Consideremos P (R) =

 _{

(a0, a1, . . . , an)

|

ai

 ∈

 R  y  ai

 

= 0 para un n´umero finito

}

.

Definimos (ai) = (a1, a2, . . . , an)

 ∈

 P (R) Le damos a  P (R) estructura de anillo

con (ai) + (bi) = (ai + bi) y con (ai)(bi) = (



i_j=0aibi−j).

Proposici´on 6.1. Si  R es anillo, entonces  P (R) es anillo. P (R) es conmutativo si, y s´ olo si  R es conmutativo. P (R) es anillo con  1P (R) si, y s´ olo si  R es un 

anillo con 1R.

Sea R   un anillo con 1 y sea x = (0, 1, 0, . . . )

 _∈

P (R). Notemos que x2 = (0, 0, 1, 0, . . . ), x3 = (0, 0, 0, 1, . . . ), en general, xn tiene n ceros antes del primer, y ´unico 1, y ceros despu´es. Luego, podemos escribir un elemento (ai)

 ∈

P (R)

como f (x) = a0 + a1x + a2x2+

· · ·

+ anxn +

· · ·

  y tenemos un monomorfismo

de anillos R

 _−→

 P (R) con a

_→

 (a, 0, . . . ), as´ı que R  es un subanillo de  P (R).

Definici´on 6.2. Si an

 

= 0 y am = 0 para toda m > n   entonces diremos que

(ai) tiene grado  n  y escribimos deg(ai) = n. Una convenci´on es decir que (0)

tiene grado

 _−∞

.

Si f (x)

 _∈

R[x] tiene grado n y f (x) = a0 + a1x +

· · ·

 + anxn entonces an se

llama coeficiente principal de  f (x).

Dado (ai)

 ∈

P (R), podemos definir una funci´on P (R)

 −→ {

R

 −→

 R

}

con

(ai) =  f (x)

 → {

r

 →

 f (r) =  a0 + a1r +

· · ·

+ anrn+

· · · }

.

Notaci´on 6.3. P (R) =  R[x].

Proposici´on 6.4. Sea R un anillo con 1 y sean f (x), g(x)

_∈

 R[x]. Entonces  1. deg f (x) + g(x)

_≤

 m´ax

_{

deg f (x), deg g(x)

_}

.

2. deg f (x)g(x)

_≤

 deg f (x) + deg g(x).

En el segundo inciso, si R  no tiene divisores de cero, entonces se cumple la  igualdad.

Demostraci´on 6.5.  Supongamos deg f (x) =  m y deg g(x) =  n  entonces:

1. f (x) = (a0, a1, . . . , am, 0, . . . ), g(x) = (b0, b1, . . . , bn, 0, . . . ) si j > m´ax

{

m, n

} ⇒

aj + bj = 0 ∴ deg f (x) + g(x)

≤

 m´ax

{

m, n

}

.

2. Sea (ci) =  f (x)g(x) = (



i_j=0ajbi−j) entonces cn+m+k =



n+m+k_j=0 ajbn+m+k−j.

Si j > m   entonces aj  = 0 y si n + m + k

 −

 j > n

 →

m + k > j en-

tonces bj  = 0 y como siempre sucede uno de estos dos caso, entonces

cn+m+k  = 0 para todo k

 ≥

 1 por lo tanto deg f (x)g(x)

 ≤

m + n. Aho-

ra, si R no tiene divisores de cero, entonces cn+m =



n+m_j=0 ajbn+m−j =



mj=0ajbn+m−j = ambn como am, bn

 

= 0 entonces  ambn

 

= 0 por lo tanto

deg f (x)g(x) = m + n

Proposici´on 6.6. Supongamos que  R es un anillo con 1 sin divisores de cero, entonces f (x)

_∈

 U (R[x])

_⇔

 f (x)

_∈

 U (R).

Demostraci´on 6.7. Si f (x)

 _∈

 U (R) entonces existe r

 _∈

 U (R) tal que f (x)r = 1, como R

 _⊂

R[x] entonces r

 _∈

R[x] por lo tanto f (x)

 _∈

U (R[x]). Luego, si f (x)

 _∈

U (R[x]) entonces existe g(x)

 _∈

R[x] tal que f (x)g(x) = 1, luego, por la proposici´on anterior, 0 = deg f (x)g(x) = deg f (x) + deg g(x)

 _⇒

deg f (x) = deg g(x) = 0

 _⇒

 f (x), g(x)

_∈

 R

 _⇒

 f (x)

_∈

 U (R).

Proposici´on 6.8. R  no tiene divisores de cero si, y s´ olo si  P (R)  no tiene  divisores de cero.

Demostraci´on 6.9. Si R tiene divisores de cero, entonces  P (R) tiene divisores de cero, pues R

 _⊂

P (R). Supongamos que R no tiene divisores de cero. Sean

45

(ai), (bi)

 ∈

P (R) tales que (ai)(bi) = (0) entonces a0b0 = 0, como R  no tiene

divisores de cero, suponemos a0

 

== 0

→

 b0 = 0. Sea i = m´ın

{

 j

|

bj

 

= 0

}

entonces

la entrada i es 0 = a0bi + a1bi−1 + cdots + aib0 = a0bi

 ⇒

 bi = 0 y esto es una

contradicci´on, as´ı que (bi) = (0), por lo tanto  P (R) no tiene divisores de cero.

Definici´on 6.10. Si R, S  son conmutativos, con  R

 _⊆

 S  y 1r = 1s, entonces un

elemento  a

 _∈

 S  se llama algebraico sobre  R  si existe f (x)

 _∈

 R[x] con f (x)

 _

= 0 tal que f (a) = 0. Si no es algebraico sobre  R  entonces se llama trascendente.

Teorema 6.11  (Algoritmo de la divisi´on para polinomios). Sea R  un anillo conmutativo con 1 y sean  f (x), g(x)

_

= 0

 _∈

 R[x]. Entonces, si b es el coeficiente  principal de  g(x), existen  k

 _∈Z

, q (x), r(x)

_∈

 R[x] tales que  bkf (x) =  q (x)g(x)+ r(x) y  deg r(x) < deg g(x). Si  b no es divisor de cero, entonces  q (x) y  r(x) son  ´ 

unicos. Si b

 _∈

 U (R) entonces podemos tomar  k  = 0.

Demostraci´on 6.12. Si deg f (x) < deg g(x) escribimos f (x) = 0.g(x)+f (x)

 _⇒

k = 0, q (x) = 0, r(x) =  f (x) y terminamos. Supongamos entonces que deg f (x) = m

 _≥

 n  = deg g(x). Lo probaremos por inducci´on sobre m. Sea a el coeficiente principal de f (x). Sea f 1(x) = bf (x)

 −

 axm−ng(x). Entonces deg f 1(x) < m,

por hip´otesis de inducci´on existen k

 _∈Z

 y q (x), r(x)

_∈

 R[x] tales que bk_f  1(x) =

q (x)g(x) + r(x), entonces bk+1_{f (x) = b}k_{(bf (x)) = b}k_(f 

1(x) + axm−ng(x)) =

q (x)g(x) + r(x) + bk_axm−n_g(x)

⇒

 bk+1_{f (x) = (q (x) + b}k_axm−n_{)g(x) + r(x).}

Supongamos que b   no es divisor de cero y que bk_{f (x) = q (x)g(x) + r(x) =}

q 1(x)g(x) + r1(x), entonces (q (x)

−

q 1(x))g(x) =  r1(x)

−

r(x).

Como deg r(x), deg r1(x) < deg g(x)

 ⇒

 deg g(x) > deg r1(x)+r(x) = deg(q (x)

−

q 1(x))g(x) entonces, como b  no es divisor de cero, se cumple que deg g(x) =

deg q (x)

₋

q 1(x) + deg g(x)

 ⇒

deg q (x)

−

q 1(x) =

 −∞ ⇒

q (x)

−

q 1(x) = 0

 ⇒

q (x) =  q 1(x).

Supongamos ahora que b

_∈

 U (R), entonces tomamos  q _{(x) =  b}−k_{q (x) y r}_{(x) =}

b−k_r(x)

Cap´ıtulo 7

Divisibilidad

Definici´on 7.1. Sea R un dominio entero con 1, sean a, b

 _∈

R. Diremos que a divide a b o que b es m´ultiplo de a si existe c

 _∈

 R tal que b = ac. Lo denotamos por a

_|

b. Si a

_|

b y  b

_|

a entonces diremos que a  y  b  est´an asociados y lo denotamos por a

_∼

 b.

Lema 7.2. La relaci´ on a

_∼

 b en R es de equivalencia.

Demostraci´on 7.3.   Reflexividad) a

 _∼

 a

 _⇔

 a

_|

a

 _⇔

 a  =  ac  y si tomamos c = 1 esto es cierto.

Simetr´ıa) a

_∼

 b

 _⇔

 a

_|

b y  b

_|

a

_⇔

 b

 _∼

 a.

Transitividad) a

 _∼

b, b

 _∼

c

 _⇒

a

_|

b, b

_|

a, b

_|

c, c

_|

b

 _⇒

a = a1b, b = b1a, b =

b2c, c = c1b

 ⇒

 a = a1b2c, c = c1b1a

 ⇒

 a

|

c y  c

|

a

 ⇒

 a

 ∼

 c.

Si R  es dominio entero con 1, entonces ¿Qui´en es la clase de  a

_∈

 R  con

 _∼

?

Proposici´on 7.4. La clase de  a

_∈

 R bajo

 _∼

es  aU (R).

Demostraci´on 7.5. Sea ar

 _∈

 U (R), entonces como  a

_|

ar y como arr−1 _= a

 ⇒

ar

_|

a  entonces a

 _∼

 ar. Supongamos a

 _∼

 b

 _⇒

 a

_|

b, b

_|

a

 _⇒

 a  =  a1b, b =  b1a

 ⇒

 a  =

a1b1a

⇒

 a1b1 = 1

⇒

 b1

 ∈

 U (R)

⇒

 b = b1a

∈

 aU (R).

Definici´on 7.6. Sea R un dominio entero con 1. Diremos que b

 _∈

 R es irreducible si sus ´unicos divisores son unidades de  R  y asociados de b. Un elemento  p

_∈

 R∗

es primo si satisface que:  p

_|

ab

_⇒

 p

_|

a ´o p

_|

b.

Proposici´on 7.7. Si p es primo, entonces p es irreducible.

Demostraci´on 7.8.  Supongamos p = ab con a, b

_∈

U (R), entonces p

_|

ab. Supongamos p

_|

a

 _⇒

 a = pc

 _⇒

 p = pcb

 _⇒

 p(1

₋

cb) = 0

 _⇒

 cb = 1

 _⇒

 b

 _∈

 U (R) y esto es una contradicci´on, por lo tanto p  es irreducible.

Lema 7.9. Si R  es un anillo conmutativo con 1, entonces el conjunto

 _

a

_

=

{

ar

_|

r

 _∈

 R

_}

 es un ideal.

Definici´on 7.10. Un dominio entero con 1, R,es un dominio de ideales principales (DIP) si todo ideal en  R  es principal, es decir, es de la forma

 _

a

_

 para alg´un a

_∈

 R.

Proposici´on 7.11  (Ver tarea 8). Si  R  es un DIP, entonces todo elemento irreducible en  R es primo.

Definici´on 7.12. Un dominio entero R con 1 se llama Euclideano si existe una funci´on d  :

R

∗

−→Z

≥0 _{tal que:}

Si a, b

_∈

 R∗ _y a

|

b entonces d(a)

_≤

 d(b).

Si a, b

 _∈

 R, b

 _

= 0 entonces existen  q, r

 _∈

 R  tales que a  = bq  + r con r  = 0 ´o d(r) < d(b).

Lema 7.13. Si R es Euclideano, entonces U (R) =

_{

a

_∈

 R

_|

d(a) =  d(1)

_}

.

Demostraci´on 7.14.  Supongamos a

 _∈

U (R), entonces existe b

 _∈

R∗ tal que ab = 1

 _⇒

 a

_|

1

_⇒

 d(a)

_≤

 d(1) y como 1

_·

a = a

 _⇒

 1

_|

a

_⇒

 d(1)

_≤

 d(a) por lo tanto d(a) =  d(1).

Supongamos ahora que d(a) =  d(1), entonces existen q, r

 _∈

 R tales que 1 = aq  + r. Supongamos r

 _

= 0 entonces 1

_|

r

 _⇒

d(1)

 _≤

d(r) < d(a) = d(1)!! y esto es una contradicci´on, por lo tanto r  = 0, entonces 1 = aq 

 _⇒

 a

 _∈

 U (R).

49

Demostraci´on 7.16. Sea I 

 _⊂

 R  un ideal distinto de cero. Sea b

 _∈

 I ∗ _{tal que}

d(b) es m´ınimo. Es claro que

 _

b

_{ ⊆}

 I . Sea a

 _∈

 I , entonces existen  q, r

 _∈

 R  tales que a = bq + r con r = 0 o d(r) < d(b), luego r = a

₋

bq 

 _∈

 I . Supongamos r

 _

= 0, entonces  d(r) < d(b), pero como d(b) es m´ınimo en  I , es una contradicci´on, por lo que r  = 0, entonces  a  = bq 

 _⇒

 a

_{∈ }

b

_

 por lo tanto  I  =

_

b

_

.

Definici´on 7.17.  Un com´un divisor de dos elementos a y b   en un dominio entero con 1, R, es un elemento  c

_∈

 R tal que c

_|

a y  c

_|

b.

Un com´un divisor d

 _∈

R de a y b es un m´aximo com´un divisor (mcd) si todo com´un divisor de a  y  b  divide a  d.

Proposici´on 7.18. Sea  R un DIP y  a, b

_∈

 R. Entonces existe un mcd de  a y  b

al que denotaremos por  (a, b). Este mcd es ´ unico salvo por asociados y se puede  expresar como xa + yb para algunos  x, y

 _∈

 R.

Demostraci´on 7.19.  Consideremos I  =

 _

a, b

_

 =

 _{

au + bv

_|

u, v

 _∈

 R

_}

. Como R es DIP, existe d

_∈

 R tal que

_

a, b

_

 =

_

d

_

. Como a, b

_{∈ }

d

_{ ⇒}

 d

_|

a, d

_|

b. Supongamos que c

_|

a y c

_|

b. Como d

 _{∈ }

a, b

_{ ⇒ ∃}

x, y

 _∈

 R  t.q. d  = xa + yb

 _⇒

 c

_|

d. Si d1 es un

mcd de a  y  b, entonces d1

|

d y  d

|

d1 por lo tanto  d1

 ∼

 d.

Corolario 7.20. Si R es un DIP, todo elemento irreducible es primo.

Demostraci´on 7.21. Sea p

 _∈

R  irreducible. Supongamos que p

_|

ab y p

 

a. Notemos que ( p, a) = 1 pues los ´unicos divisores de p  son unidades y asociados. Entonces existen x, y

 _∈

 R  tales que 1 = xp + ya

 _⇒

 b = xbp + yab como p

_|

yab y  p

_|

xbp entonces p

_|

b.

Definici´on 7.22.  Una cadena ascendente infinita I 1

 ⊆

 I 2

 ⊆ ·· ·

 de ideales de

un anillo R  termina si existe  k

 _∈Z

≥1 _{tal que I} 

l =  I k para todo l

 ≥

 k.

Un anillo R tiene la condici´on de cadenas ascendentes (CCA) si toda cadena ascendente termina.

Un anillo con esta condici´on se llama Noetheriano.

Demostraci´

Demostraci´on 7.24.on 7.24. SeaSea RR un DIP y un DIP y I I 11

 ⊆ ⊆

I I 22

 ⊆  ⊆ ···· ··

  una cadena ascendente  una cadena ascendente

de ideales de

de ideales de  R R, entonces, entonces I  I  = =

 _∪ ∪

kk≥≥11I I kk es un ideal. Entonces existe es un ideal. Entonces existe  a a

∈∈

 R R tal que tal que

I 

I  ==

 _ 

aa

_

 a as´s´ı ı ququee aa

 _∈ ∈

 I  I ll para alg´ para alg´unun ll

 ∈ ∈ Z Z

≥1≥1

⇒ ⇒ 

aa



 = =  I  I 

 ⊆ ⊆

 I  I ll

 ⊆ ⊆

 I  I kk

 ⊆ ⊆

 I  I  para todo para todo

k

k

 _≥ ≥

 l l

 _⇒ ⇒

 I  I ll = =  I  I  == I  I kk para todo para todo k k

 ≥ ≥

 l l. Por lo tanto. Por lo tanto  R R  en Noetheriano. en Noetheriano.

Definici´

Definici´on 7.25.on 7.25. un dominio de factorizaci´ un dominio de factorizaci´on on ´´unica (DFU) es un dominio en-unica (DFU) es un dominio en- tero con 1,

tero con 1, R R, en el cual todo elemento, en el cual todo elemento  r r

 _∈ ∈

 R R∗∗

−

−

U U ((RR) es el producto de elementos) es el producto de elementos irreducibles y todo elemento irreducible es primo.

irreducibles y todo elemento irreducible es primo.

Proposici´

Proposici´on 7.26.on 7.26. SI SI RR es un DIP, entonces  es un DIP, entonces  R R es un DFU. es un DFU.

Demostraci´

Demostraci´on 7.27.on 7.27. SeaSea X  X  ==

_{{

xx

_∈∈

 R R∗∗

−

−

U U ((RR))

_}}

tal quetal que x x no puede expresarse no puede expresarse como el producto de irreducibles. Sea

como el producto de irreducibles. Sea  a a11

 ∈ ∈

 X  X . Como. Como a a

∈∈

 U  U ((RR) entonces) entonces



aa





RR..

Const

Construimruimos os una una cadencadena a de de idealidealeses

 _ 

aa

_{  ⊆⊆}

I I 11

⊆⊆

I I 22

 ⊆ · · · ⊆ · · ·

  Como  Como RR   es DIP,  es DIP,

entonces existen

entonces existen  a aii

 ∈ ∈

 X  X   tales que  tales que

  

aaii



 = = I  I ii. Como. Como R R  es Noetheriano, existe es Noetheriano, existe  a ann

tal que

tal que

 _ 

aann



 = = I  I ll para todo para todo l l

 ≥ ≥

 n n. Como. Como a ann

 ∈ ∈

 X  X , entonces, entonces a ann no es irreducible, no es irreducible,

entonces

entonces aann == a ann+1+1bb. . Supongamos, Supongamos, sin sin p´p´erdida erdida de de generalidad quegeneralidad que aann+1+1

 ∈ ∈

 X  X ,,

entonces

entonces

 _ 

aann

    

aann+1+1



 pues si pues si a ann+1+1 == a anncc = =  a ann+1+1bcbc

 ⇒ ⇒

 bc  =  bc = 11

 ⇒ ⇒

 b b

 ∈ ∈

 U  U ((RR) ) yy

la cadena termina, entonces no sucede. la cadena termina, entonces no sucede.

Recordemos que si

Recordemos que si R,R, S S   son   son anilanillos, los, ententoncesonces RR

 _⊕ ⊕

 S  S   es un anillo con las  es un anillo con las operaciones ya definidas. y se llama la suma directa de los anillos

In document AModerna.pdf (página 32-58)