AModerna.pdf

MODERNA I

MODERNA I

Fernando S´

Fernando S´

anchez Castellanos Villafuerte

anchez Castellanos Villafuerte

27 de julio de 2007

El fin de estas notas es llevar un registro ordenado (hasta donde me sea El fin de estas notas es llevar un registro ordenado (hasta donde me sea posible) de los temas vistos en la clase de

posible) de los temas vistos en la clase de Algebra Moderna I Algebra Moderna I ´ ´   con la Dra. Claudia con la Dra. Claudia Reynoso. Se

Reynoso. Se copiaron ´copiaron ´ıntegrameıntegramente los nte los teoremas, las teoremas, las proposiciones y proposiciones y corolarioscorolarios vistos en clase, adem´

vistos en clase, adem´as as de de sus sus demostraciones. Tamdemostraciones. Tambi´bi´en en he he copiado tocopiado todas das laslas tareas que

tareas que nos asignaron nos asignaron en el en el curso. La curso. La mayormayor´´ıa de ıa de las demostraciones fueronlas demostraciones fueron las que se vieron en clase, propuestas por la maestra, o resueltas por alg´ las que se vieron en clase, propuestas por la maestra, o resueltas por alg´unun compa˜

´

´

_{Indice general}

_{Indice general}

1

1. . TTeeoorr´´ııa a dde e GGrruuppoos s 55

1.1.

1.1. IntIntroduccroducci´i´oon n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.

1.2. 2. OrOrdeden, n, GeGeneneraradodoreres, s, GrGrupupos os CC´´ıcıclilicocos . s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2

2. . TTeeoorreemmaas s dde e HHoommoommoorrfifissmmoos s 1111

22..11. . CCllaassees s LLaatteerraallees s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111 22..22. . HHoommoommoorrfifissmmoos s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122 22..33. . SSuubbggrruuppoos s NNoorrmmaallees s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144 2.4.

2.4. La La apliaplicaci´caci´oon n ccoocciieenntte e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177 22..55. . AAcccciioonnees s dde e GGrruupopos s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199

3

3. . GGrruuppo o ssiimm´´eettrriicco o y y GGrruuppo o aalltteerrnnaanntte e 2255

3.1.

3.1. IntIntroduccroducci´i´oon n . . . . . . . 2255

4

4. . TTeeoorreemmaas s dde e SSyylloow w 2299

4.1.

4.1. CaracCaracteriterizaci´zaci´on on de de grgrupupos os AbAbeleliaianonos Fs Fininititos . . os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3131

5

5.. AAnniillllooss 3333

5.1.

5.1. IntIntroduccroducci´i´oon n . . . . . . . 3333

6

6.. PPoolliinnoommiiooss 4433 7

7. . DDiivviissiibbiilliiddaad d 4477

8. Problemas 53 8.1. Tarea 1 . . . 53 8.1.1. Extras a Tarea 1 . . . 54 8.2. Tarea2 . . . 54 8.3. Tarea 3 . . . 55 8.4. Tarea 4 . . . 57 8.5. Primer Parcial . . . 58 8.6. Tarea 5 . . . 59 8.7. Tarea 6 . . . 60 8.8. Tarea 7 . . . 61 8.9. Tarea 8 . . . 63 8.10. Tarea 9 . . . 64

Cap´ıtulo 1

Teor´ıa de Grupos

1.1. Introducci´

on

Definici´on 1.1.  Un conjunto S  no vac´ıo se llama semigrupo si tiene una op-eraci´on binaria asociativa.

·

S :  S 

×

S 

 →

 S 

Si x,y, x

 _∈

 S  entonces (x

_·

y)

_·

z = x

_·

(y

_·

z)

Definici´on 1.2.  Un semigrupo S  se llama monoide si existe un elemento 1

_∈

 S  (llamado elemento identidad) tal que:

1

_·

x = x

_·

1 =  x,

_∀

x

 _∈

 S  En ocasiones, el elemento identidad se denota por  e.

Ejemplos de Monoide:

 R

,

N

 bajo la suma.

Proposici´on 1.3. El elemento identidad de un monoide es ´ unico.

Demostraci´on 1.4. Sean 1 y 1 _{identidades en S , entonces}

1 = 1

_·

1 = 1 5

Notaci´on 1.5. Algunas veces se utilizara la notaci´on xy := x

_·

y por comodidad durante el libro. Tambi´en usaremos  x

_·

G y  cuando sea necesario indicar en que

conjunto act´ua la operaci´on binaria. De igual manera se utilizar´a la notaci´on 1G

para indicar el grupo al que pertenece la identidad cuando se pueda prestar a confusiones.

Definici´on 1.6.  Dado x

 _∈

 G, un elemento y

 _∈

 G  tal que x

_·

y = y

 _·

x = 1 se llama el elemento inverso de  x  en  G.

Definici´on 1.7.  Un monoide G   es un grupo si para cada x

_∈

G   existe el elemento inverso de  x.

Proposici´on 1.8. El inverso de  x

 _∈

 G es ´ unico.

Demostraci´on 1.9.  Sean y, z

 _∈

 G inversos de x, entonces:

y = y

_·

1 =  y

_·

(x

_·

z) = (y

_·

x)

_·

z = 1

_·

z =  z

Notaci´on 1.10. El inverso de  x  se denota por x−1

Definici´on 1.11. Un grupo G  se llama Abeliano (o conmutativo) si: x

_·

y = y

_·

x,

_∀

x, y

 _∈

 G

Usualmente, la operaci´on binaria en grupos abelianos se denota por +, la identidad por 0 y el inverso de  x  por

 ₋

x.

Notaci´on 1.12. Sea G  un grupo con identidad 1 y sea  x

 _∈

 G, entonces defini-mos:

1. x0 _{:= 1}

2. xn := xn−1

_·

x, n

_∈

Z

>0

3. x−n := (x−1)n si n

 _∈

Z

≥0

Definici´on 1.13. Sea S   un conjunto no vac´ıo. Una permutaci´on de S  es una funci´on φ : S 

 _→

 S , biyectiva.

1.2. ORDEN, GENERADORES, GRUPOS C ´ICLICOS  7 Sea G =

 _{

φ : S 

 _→

S 

_|

φ  es permutaci´on

_}

. Entonces (G,

_◦

) es un grupo y lo denotamos por Perm(S ).

Sea S  finito, i.e.  S  =

_{

1, 2,...,n

_|

n

_∈

N

_}

 entonces Perm(S ) :=  Simn := S n

Si φ

 _∈

 Simn usaremos la siguiente notaci´on: φ =





1 2

_{· · ·}

n φ(1) φ(2)

_{· · ·}

φ(n)





Como ejemplo, podemos tomar un tri´angulo equil´atero en el plano, T , con centro en O. Sea D3  el grupo de simetr´ıas de T . Una simetr´ıa es una funci´on

del plano en el plano que lleva a T   sobre T   y preserva distancias. Ba jo la composici´on, D3 es un grupo. Denominamos cada uno de los elementos de D3

de la siguiente manera:

1T   la funci´on identidad.

φ1 la funci´on que rota T  120◦

φ2 la funci´on que rota T  240◦

σ1 la funci´on que refleja  T  sobre el v´ertice 1

σ2 la funci´on que refleja  T  sobre el v´ertice 2

σ3 la funci´on que refleja  T  sobre el v´ertice 3

1.2. Orden, Generadores, Grupos C´ıclicos

Definici´on 1.14. La cardinalidad de un grupo  G  se llama el ´orden de G.

Notaci´on 1.15. El ´orden de un grupo G  se denotar´a por

 _|

G

_|

. Si G  es infinito, entonces diremos que  G  tiene ´orden infinito.

Definici´on 1.16.  Un subconjunto H  de un grupo G es un subgrupo de G, si la operaci´on binaria de G, restringida a  H , hace de H  un grupo.

Notaci´on 1.17. Si H  es un subgrupo de G, entonces escribimos  H 

 _≤

 G.

Observaci´on 1.18.  La identidad en H  es la identidad en  G, y el inverso de  x en H  es el inverso de  x  en  G.

Proposici´on 1.19.  Un subconjunto H 

 _

=

_∅

 de un grupo G es un subgrupo de  G

si, y s´ olo si 

∀

x, y

 _∈

 H 

 _⇒

 x

_·

y−1

∈

 H 

Demostraci´on 1.20. (

_⇒

) Si H 

 _≤

 G entonces

 _∀

x, y

 _∈

 H 

 _⇒

 x

_·

y−1

∈

 H . (

_⇐

) Supongamos que para todo  x, y

 _∈

 H  tenemos que x

_·

y−1

∈

 H . Entonces: Sea x

_∈

 H   entonces x

_·

x−1 _{= 1}

 ∈

 H . Sea y

 _∈

 H  entonces 1

_·

y−1 _= y−1

∈

 H .

Sean x, y

 _∈

 H , entonces x, y−1

_∈

 H , entonces x

_·

(y−1)−1= x

_·

y

 _∈

 H . Por lo tanto H 

 _≤

 G.

Proposici´on 1.21. Si 

 _{

Gα

}

_α∈Λ  es una familia de subgrupos de un grupo G,

entonces 

_

_α∈ΛG

_≤

 G.

Demostraci´on 1.22.  Sean x, y

 _∈

_

_α∈ΛG, entonces x, y

 _∈

 Gα

∀

α

 ∈

 Λ as´ı que

x, y−1

_∈

 Gα

∀

α

∈

 Λ por lo tanto  x, y−1

∈



_α∈ΛG

⇒



_α∈ΛG

≤

 G.

Observaci´on 1.23. La uni´on de subgrupos no es un grupo.

Ejemplo Sea H  =

 _{

2n

_|

n

_∈

Z

_{} ∪ {}

3n n

_∈

Z

_}

  entonces H 

 Z

 pues 2, 3

 _∈

 H  y 2 + 3 = 5

 _∈

 H .

Definici´on 1.24. Sea S  un subconjunto de un grupo G. Definimos

 _

S 

_

 =

_∩

H  tal que S 

 _⊂

 H 

 _≤

 G.



S 

_

 es el m´as peque˜no subgrupo de G  que contiene a  S , en el sentido que si H  es un subgrupo que contiene a  S , entonces

 _

S 

_{ ⊆}

 H .

1.2. ORDEN, GENERADORES, GRUPOS C ´ICLICOS  9 Notamos que un grupo c´ıclico G se define por G =

 _

x

_

 para alg´un x

 _∈

G. De esta manera, tenemos que  G =

_{

x

_}

 =



xk

|

k

 _∈

Z



Definici´on 1.26. El ´orden de un elemento  x  en un grupo G   es el ´orden del grupo c´ıclicoque genera.

 _|

x

_|

 :=

_|

x

_|

Entonces, el ´orden de un elemento puede ser infinito, o un entero positivo. Si es un entero positivo, i.e.

_|

x

_|

 = n

_∈

Z

>0_{, entonces n es el m´ınimo entero positivo}

tal que xn _{= 1.}

Proposici´on 1.27. Si  x es un elemento de orden finito n de un grupo G, y si 

xm = 1 para alg´ un m

 _∈

Z

>0_{, entonces  n}

|

m

Demostraci´on 1.28. Sea m = nq  + rn, q 

 _∈

Z

, 0

_≤

 r < n. Entonces:

1 = xm = xnq+r = (xn)q

_·

xr = 1q

_·

xr = 1

_·

xr

_⇒

 r = 0

Corolario 1.29. Si  G =

_

x

_

 tiene orden finito n y  k

_|

n con  0 < k

 _∈

Z

 entonces 



xnk



 es el ´ unico subgrupo de G de orden k.

Demostraci´on 1.30.  Primero notemos que



xnk



 tiene orden  k. Sea entonces

xs

∈

 G un elemento de ´orden k. P.D:

 _

xs



 =



xnk



Observamos que (xs)k = xsk = 1, entonces n

_|

sk, es decir sk = nm, por lo tanto xs = (xnk)m

∈



x

n k



Proposici´on 1.31.  Un subgrupo de un grupo c´ıclico es c´ıclico.

Demostraci´on 1.32. Sea H 

 _{≤ }

x

_

. Si H  =

 _{

1

_}

, entonces es c´ıclico. Supong-amos que H 

 _

=

 _{

1

_}

. Sea m  el m´ınimo entero positivo tal que  xm

∈

 H . P.D: H  =

_

xm



. Sea xs

∈

H , sea s = mq  + r, q,r

 _∈

Z

, 0

 _≤

r < m. Entonces xs _{= x}mq+r ₌ (xm₎q

·

xr

∈

 H 

⇒

xs−mq _= xr

∈

 H 

 _→

 xr _{= 0 y H} 



 xs _{= (x}m₎q _{∴ H  =}



xm



Cap´ıtulo 2

Teoremas de

Homomorfismos

2.1. Clases Laterales

Definici´on 2.1. Sea H  un subgrupo de un grupo G. Diremos que x es congruente con y m´odulo H  si, y s´olo si y−1

·

x

 _∈

 H .

Lo denotamos por x

_≡

 y  (mod H ). Ejemplo: G =

Z

, H  =

_

n

_

.

Sabemos que

 _≡

 define una relaci´on en G  que depende de H .

Proposici´on 2.2.

 _≡

 es una relaci´ on de equivalencia en G.

Demostraci´on 2.3. Reflexividad: Como H   subgrupo:

⇒

 1 = x

_·

x−1

∈

 H 

 _⇒

 x

_≡

 x  (mod H ). Simetr´ıa: Sea  x

 _≡

 y  (mod H )

 _⇒

 y−1

·

x

 _∈

 H   como H   es subgrupo:

⇒

 (y−1

_·

x)−1 = x−1

_·

y

 _∈

 H 

 _⇒

 y

 _≡

 x (mod H ). 11

Transitividad: Sean x

 _≡

 y y y

 _≡

 z  (mod H ). Como H  es subgrupo:

⇒

 (y−1

_·

x), (z−1

_·

y)

_∈

 H 

 _⇒

 (z−1

_·

y)

_·

(y−1

_·

x) =  z−1

_·

x

_∈

 H 

 _⇒

 x

 _≡

 z  (mod H ).

∴

 ≡

 es una relaci´on de equivalencia

Por ser

_≡

una relaci´on de equivalencia, “parte” a G en clases de equivalencias. Si x

 _≡

 y   (mod H ) entonces y−1

·

x =  h

 _∈

 H 

 _→

 x  =  y h. Entonces, la clase de equivalencia que contienes a  y es

 _{

yh

_|

h

 _∈

 H 

_}

 := yH .

Definici´on 2.4. Sea y

 _∈

 G, entonces yH  se llama la clase lateral izquierda de  H  en G  que contiene a  y. Entonces tenemos que:

G =



y∈G

yH    (2.1.0.1)

Definici´on 2.5. Sea H 

 _≤

 G el n´umero (posiblemente infinito) de clases laterales izquierda de equivalencia de  H  en G. Este n´umero se llama el ´ındice de  H  en G y se denota por [G : H ].

Teorema 2.6 (Teorema de Lagrange). Sea  G un grupo de ´ orden finito y  H un  subgrupo de  G. entonces 

 _|

G

_|

 =

_|

H 

_{| ·}

[G : H ], en particular, el ´ orden de H  es un  divisor del ´ orden de  G.

Demostraci´on 2.7. Sea y

 _∈

G. Definimos f  : H 

_−→

yH  con f (h) = yh y notamos que es una biyecci´on.Como G es la uni´on disjunta de las clases laterales, entonces:

|

G

_|

 =

_|

yH 

_{| ·}

[G : H ] =

_|

H 

_{| ·}

[G : H ] (2.1.0.2)

2.2. Homomorfismos

Definici´on 2.8. Un homomorfismo f  de un grupo (G,

_·

G) en un grupo (H,

·

H)

es una funci´on f  : G

_−→

 H  tal que  f (x

_·

G y) =  f (x)

·

H f (y)

 ∀

x, y

 ∈

 G

2.2. HOMOMORFISMOS  13 Sea H 

 _≤

 G y  f  : H 

 _−→

 G, f (h) =  h.

Sean G  = (

R

, +), H  = (

R

≥0_,

·

) y f  : G

_−→

 H , f (r) =  er_.

Sea f  :

Z

_−→

Z

 tal que f (n) =  mn, m

 _∈

Z

Definici´on 2.9. Si f  es inyectiva, entonces se llama monomorfismo. Si f  es suprayectiva, entonces se llama epimorfismo.

Si f  es inyectiva y suprayectiva, entonces se llama isomorfismo.

Si existe un isomorfismo entre los grupo  G y H , entonces decimos que son isomorfos, y lo denotamos por  G

_

 H .

Un homomorfismo de G

_−→

 G se llama endomorfismo. Un isomorfismo de G

 _−→

 G se llama automorfismo.

Notaci´on 2.10. Aut(G) =

_{

f  : G

 _−→

 G

_|

 f es automorfismo

_}

Definici´on 2.11. Si f  : G

_−→

 H  es un homomorfismo, entonces el kernel (o n´ucleo) de f  es el conjunto  K er(f ) =

_{

g

 _∈

 G

_|

f (g) = 1H

}

Ejemplo: Sean SL(n,

C

) =

_{

A

_∈

 GL(n,

C

)

_|

det(A) = 1

_}

y P GL(n,

C

) =

_{

[A]

_|

A

_∈

 GL(n,

C

)

_}

con [A] =



λA

_|

λ

 _∈

C

=0

_

_{. Entonces f  : SL(n,}

_C

₎

−→

 P GL(n,

C

) tal que f(A)=[A] es un homomorfismo.

Proposici´on 2.12. Sea f  : G

 _−→

 H  un homomorfismo, entonces:

f (1G) = 1H con  1G, 1H el elemento neutro de  G y  H  respectivamente.

f (x−1_{) = (f (x))}−1

∀

x

_∈

 G Ker(f )

_≤

 G

f  es un monomorfismo si, y s´ olo si Ker(f ) =

 _{

1G

}

Demostraci´on 2.13. f (1G) =  f (1G

·

1G) =  f (1G)

·

f (1G)

 ⇒

1H = f (1G) =  f (x

·

x−1) =  f (x)

·

f (x−1)

 ⇒

 f (x−1) = (f (x))−1

Sean x, y

 _∈

 Ker(f ) P.D. x

_·

y−1

_∈

 Ker(f ).

⇒

 f (x

_·

y−1) =  f (x)

_·

f (y−1) =  f (x)

_·

(f (y))−1= 1

_·

1−1 = 1

_·

1 = 1

_⇒

 x

_·

y−1

_∈

 Ker(f ) (Parte 1) Sea Ker(f ) =

 _{

1G

}

. Sean x, y

 ∈

G tales que f (x) = f (y),

en-tonces f (x)

_·

(f (y))−1 = 1H, pero por otro lado f (x)

·

(f (y))−1= f (x)

·

f (y−1) =  f (x

·

y−1)

⇒

 f (x

_·

y−1) = 1H as´ı que x

·

y−1

∈

 Ker(f ) =

{

1G

} ⇒

 x

·

y−1= 1G

⇒

 x = y

∴ f  es monomorfismo.

(Parte 2) Sea Ker(f )

 _

=

 _{

1G

}

. Sea entonces x

 ∈

 K er(f ) tal que x

 

= 1G,

entonces  f (x) = 1H = f (1G) ∴ f  no es monomorfismo

Como ejemplo, podemos tomar G = D3 y H  =

{

1,

−

1

}

. Definimos f  :

G

 _−→

 H  con f (φ) = 1 si φ es rotaci´on, f (φ) =

 ₋

1 si φ es reflexi´on. Entonces Ker(f ) =

_{

φ

_∈

 D3

|

φ es rotaci´on

} ≤

 3,

 |

Ker(f )

|

 = 3

Proposici´on 2.14. Si f   es isomorfismo de G a H , entonces  f −1 _{es un}

iso-morfismo de G a  H .

Demostraci´on 2.15. Sea f  : G

 _−→

 H   un isomorfismo de grupos. P.D. f −1_(g

·

h) =  f −1_(g)

·

f −1_(h)

∀

g, h

 _∈

 G

Sean h = f (x), g = f (y)

 _∈

H . Entonces f −1_{(h) = x y f} −1_{(g) = y  por lo}

tanto h

_·

g = f −1_(x

·

y) =  f (x)

_·

f (y)

_⇒

 f −1_(h

·

g) =  x

_·

y = f −1_(h)

·

f −1_(g).

Proposici´on 2.16. Sea  G un grupo, entonces  Aut(G) es un grupo con la com-posici´ on de funciones.

Demostraci´on 2.17. Aut(G)

_∈

  Perm(G) P.D. Aut(G)

_≤

  Perm(G). Sean f, g

 _∈

 Aut(G) y sean x, y

 _∈

 G (f 

 _◦

g−1_)(x

·

y) = f (g−1_(x

·

y)) =  f (g−1_(x)

·

g−1_{(y)) = f (g}−1_(x))

·

f (g−1_{(y)) =}

(f 

 _◦

g−1(x))

_·

(f 

 _◦

g−1(y)), entonces f 

 _◦

g−1

_∈

 Aut(G)

_⇒

 Aut(G)

 _≤

 P erm(G)

2.3. Subgrupos Normales

Definici´on 2.18. Sea H 

 _≤

 G. Diremos que H  es un subgrupo normal de G  si x−1Hx :=



x−1

_·

y

_·

x

_|

y

 _∈

 H 



_⊆

 H,

_∀

x

_∈

 G

2.3. SUBGRUPOS NORMALES  15

Notaci´on 2.19. H G

Observaci´on 2.20. Si H G, entonces x−1Hx,

∀

x

∈

 G

Demostraci´on 2.21.  Sabemos que xHx−1

_⊆

H , luego, sea h

 _∈

H   entonces h = xx−1hx−1x = (xx−1)h(xx−1)−1

_∈

 xH x−1.

Proposici´on 2.22. Sea f  : G

 _−→

 H  un homomorfismo, entonces Ker(f )G

Demostraci´on 2.23. Sea x

 _∈

 G; P.D. x−1_Ker(f )x

⊆

 Ker(f ). Sea y

 _∈

 Ker(f ) f (x−1

·

y

_·

x) = (f (x))−1

·

f (y)

_·

f (x) = (f (x))−1

·

1

_·

f (x) = 1

 _⇒

 x−1

·

y

_·

x

 _∈

 Ker(f )

Observaci´on 2.24. De hecho, todo subgrupo normal de un grupo  G es el kernel de un homomorfismo f  : G

_→

 H . Esta demostraci´on se deja en la tarea 3.

Ejemplos:

Si G  es abeliano, entonces todo subgrupo de  G  es normal.

H  =





1 2 3 2 3 1







S ₃, la demostraci´on se deja como ejercicio.

H  =





1 2 3 2 1 3









S ₃ Demostraci´on 2.25.





1 2 3 1 3 2





·





1 2 3 2 1 3





·





1 2 3 2 1 3





=





1 2 3 3 2 1





∈

 H 

Definici´on 2.26. Sea G  un grupo. El centro de  G  es el conjunto: Z (G) =

 _{

x

 _∈

 G

_|

xy = yx

 _∀

y

 _∈

 G

_}

Proposici´on 2.27. Z (G)G Z (G) es abeliano. Demostraci´on 2.28. Z (G)

 _≤

 G. Sean x, z

 _∈

 Z (G), y

 _∈

 G; P.D. xz−1

∈

Z (G), i.e. (xz−1)y = y(xz−1)). Si z

 _∈

Z (G)

 _⇒

zy = yz

 _⇒

z−1zyz−1 = z−1yzz−1

_⇒

yz−1 = z−1y

 _⇒

z−1

∈

 Z (G)

⇒

(xz−1_{)y = x(z}−1_{y) = x(yz}−1_{) = (xy)z}−1 _{= (yx)z}−1 _{= y(xz}−1₎

 ⇒

xz−1

_∈

 Z (G) ∴ Z (G)

 ≤

 G Z (G)G. Sea z

 ∈

 G; P.D. z Z (G)z−1

⊆

 Z (G). Sea x

_∈

 Z (G); P.D. z xz−1

∈

 Z (G). Sea y

 _∈

 G; P.D. (zxz−1_)y = y(zxz−1₎

⇒

 (zxz−1_{)y = (xzz}−1_{)y = xy = yx  = y(xzz}−1_{) =  y(zxz}−1₎

⇒

 Z (G)G.

Z (G) es abeliano. Sean  x, y

 _∈

 Z (G)

⇒

 xy = yx

_⇒

 Z (G) es abeliano. Un par de cosas que hay que notar: Si G  es abeliano

 _⇒

 Z (G) = G.

Si H 

 _≤

 G es abeliano

 _⇒

 H 

 _⊆

 Z (G).

Proposici´on 2.29. Si  H  es un subgrupo de un grupo G, entonces  H  es normal  si, y s´ olo si toda clase lateral izquierda de  H  en G  es una clase lateral derecha  de  H en G. Es decir, para  xH   existe  H y tal que  xH  = H y.

Demostraci´on 2.30. (

_⇒

)Supongamos que H  G. Entonces, para todo x

 ∈

G, xHx−1 _{= H . Sea h}

 ∈

H . Sea h

 _∈

H , entonces xHx−1 _{= h}

 ∈

h

_⇒

xh = hx ∴ xH  = H x

(

_⇐

) Sea x

 _∈

G; P.D. xHx−1. Sabemos que para xH   existe y

_∈

G   tal que xh = Hy

 _⇒

xHx−1 = Hyx−1 = zH   para alg´un z

_∈

H   (por la propiedad supuesta). Entonces xHx−1 = zH   es una clase lateral por la izquierda que contiene a 1, por lo tanto  z H  = 1H  =  H  ∴ xH x−1 = H .

Definici´on 2.31. Sea H 

 _≤

 G. Definimos G_/

H :=

{

xH 

|

x

 ∈

 G

}

, como el conjunto

de clases laterales izquierdas de  H  en G.

Podemos notar que



G/H 



=

 |

G : H 

|

, y por el teorema de Lagrange, si  G  es

finito, entonces:

_

G_/

2.4. LA APLICACI ´ON COCIENTE  17

Teorema 2.32. Si  H G, entonces G/_H  toma estructura de grupo con la

sigu-iente operaci´ on binaria G_/

H 

×

G/H 

 −→

G/H  tal que  (xH,yH )

−→

 (x

·

y)H . Este 

grupo se llama el grupo cociente de  G m´ odulo H . Con identidad  H  = 1H 

Para probar esto, se utiliza la normalidad de H  en G para ver que la op-eraci´on est´a bien definida. Las dem´as propiedades de grupo las hereda de  G.

Notaci´on 2.33. Si G es abeliano y la operaci´on binaria la denotamos por +, entonces G/H =

 {

x + H 

|

x

 ∈

 G

}

.

El ejemplo 0 de este grupo es cuando G = (

Z

, +); H  =

 _{

nk

_|

k

 _∈

Z

_}

 = n

Z

, entonces  H 

 _≤

 G y  H  es normal porque G  es abeliano.

⇒

G_/

H  =

 {

m + H 

|

m

∈

Z

}

  tiene estructura de grupo con la operaci´n G/H 

 ×

G_/

H 

 −→

G/H  que manda (m1 + H, m2 + H )

→

 (m1 + m2) + H .

Notaci´on 2.34.  Definimos m + H  = [m]

Entonces tenemos que G/H =

 {

[0] , [1] , . . . , [n

−

1]

}

 y nuestra operaci´on

bi-naria en G/H  es tal que [m1] + [m2] = [m1 + m2]. Adem´as, en este ejemplo se

utiliza la notaci´on G/H := Z/nZ :=

Z

_n

Se recomienda revisar los problemas correspondientes a la Tarea 2.

2.4. La aplicaci´

on cociente

Sea H  G. Definimos π : G

−→

G/_H , con π(x) = [x]. Llamamos a π

la aplicaci´on cociente.

Proposici´on 2.35.  La aplicaci´ on cociente  π es un epimorfismo y  K er(π) =  H .

Demostraci´on 2.36. π es homomorfismo. π(xy) = [xy] = [x] [y] = π(x)π(y). π es epimorfismo. Sea  xH 

 _∈

 G_/

H , entonces π(x) =  xH .

Ker(π) =

_{

x

_∈

 G

_|

π(x) = xH  =  H 

_}

 = H .

Entonces tenemos que todo subgrupo normal es el kernel de un homomor-fismo.

Teorema 2.37  (Teorema fundamental de homomorfismos de grupos (TFH)).

Sea, G y H   grupos y f  : G

 _−→

H   un epimorfismo. Denotamos  K  = Ker(f ), entonces H 

 _

G/K .

Demostraci´on 2.38. Tenemos que demostrar que existe un isomorfismo entre H  y G_/

K . Definimos ¯f  : G/H 

 −→

 H  tal que ¯f (xK ) = f (x). Ahora probaremos

que ¯f  es isomorfismo.

Esta bien definido. Suponer xK  =  yK ; P.D. f (x) =  f (y) xK  = yK 

_⇐⇒

xy−1

∈

 K , entonces f (xy−1_{) = e}

 ⇒

 f (x)(f (y))−1 _{= 1}

 ⇒

f (x) =  f (y).

Es homomorfismo. Sean  xK, yK 

 _∈

 G/K 

¯

f (xK 

 _·

yK ) = ¯f ((x

_·

y)K ) =  f (x

_·

y) =  f (x)

_·

f (y) = ¯f (xK )

_·

f (yK ).¯ Es inyectiva.

Ker( ¯f ) =

_

xK 

_|

f (xK ) =  f (x) = 1¯

_

=

_{

K 

_{} ⊂}

 G_/

K 

 ⇒

f   es inyectiva.¯

Es sobreyectiva. Sea  y

 _∈

 H . Como f  es sobreyectiva, entonces

 _∃

x

_∈

 G tal que f (x) =  y

 _⇒

 xK 

 _∈

G_/

H 

 ⇒

f (xK ) =  f (x) =  y¯ ∴ f  es isomorfismo.¯

Para ver un ejemplo de la aplicaci´on de este teorema, tomemos  G  un grupo y a

 _∈

G. Definimos la aplicaci´on T a : G

 −→

G   tal que T a(x) = axa−1.

En-tonces T a es un automorfismo y todos los automorfismos de este tipo se

de-nominan automorfismos internos,  Autint(G) :

 {

T a :  G

−→

 G

|

a

∈

 G

}

. Notar que

Autint(G)

≤

 Aut(G). Definimos f  : G

−→

 Autint(G) tal que f (a) =  T a

 ∀

a

∈

 G

Proposici´on 2.39. f   es homomorfismo.

f  es sobreyectiva.

Ker(f ) =  Z (G).

Demostraci´on 2.40. f   es homomorfismo. Sean   a,b,x

_∈

G, entonces f (ab)(x) =  T ab(x) = (ab)x(ab)−1 = abxb−1a−1 = a(T b(x))a−1= T a(T b(x)) =

2.5. ACCIONES DE GRUPOS  19 f  es sobreyectiva. Sea  a

 _∈

 G y  T a

 ∈

 Autint(G), entonces f (a) =  T a.

Ker(f ) = Z (G). Por definici´on Ker(f ) =

 _{

a

 _∈

 G

_|

T a(x) =  x

 ∀

x

∈

 G

}

=



a

 _∈

 G

_|

axa−1 _= x

 ∀

x

_∈

 G



= Z (G) Y por el TFH: G_/

Z (G)

 

 Autint(G)

Proposici´on 2.41. Sea f  : G

 _−→

H   un epimorfismo con Ker(f ) = K . En-tonces:

{

L

_|

L

_≤

 H 

_{} ←→ {}

S 

_|

K 

 _≤

 S 

 _≤

 G

_}

con L

_→

f −1(L)  es una correspondencia  biyectiva. Adem´ as LH  si, y s´ olo si  f −1(L)G

Corolario 2.42. Si  K G entonces todos los subgrupos del grupo cociente G/_K 

tiene la forma M /K   donde M  es un subgrupo de G, y M /K G/K  si, y s´ olo si 

M G.

Se dejan como ejercicio las demostraciones de la proposici´on anterior y su corolario.

Teorema 2.43 (Teorema de Freshman). Sea  G un grupo, H G, K H , K G,

entonces: H /K G/K  y adem´ as G/H 

 

 (

G /K)/ (H_/ K) Demostraci´on 2.44.  Definimos f  : G_/ K 

 −→

G/H con f (xK ) =  xH .

f  esta bien definida: Sean  x, y

 _∈

 G, entonces xK  = yK 

 _⇒

 xKH  = yKH  y como K 

 _⊂

H 

_⇒

xKH  = yKH 

 _⇒

xH  = yH . f   es homomorfismo: Sean x, y

 _∈

 G, entonces f (xK 

 _·

yK ) = f ((xy)K ) = (xy)H  = xH 

 _·

yH  = f (xK )

_·

f (yK ).

f  es sobreyectiva. Sea  xH 

 _∈

 G/H , entonces xK 

 ∈

 G/K 

 ⇒

 f (xK ) =  xH .

⇒

Ker(f ) =



xK 

 _∈

G/K 

|

f (xK ) =  xH  =  H 



=



xK 

 ∈

G/H 

|

x

∈

 H 



= G/K . Entonces H /K G/K , y por el TFH: G/H 

 

 ( G_/ K)_/ (H_/ K)

2.5. Acciones de Grupos

Definici´on 2.45. Sea G un grupo y S  un conjunto. Una aplicaci´on φ : G

_×

S 

 _−→

S  tal que (x, s)

_→

 φ(x, s) :=  xs, que satisface:

φ(x1, φ(x2, s)) =  φ(x1

·

x2, s)

 ∀

s

 ∈

 S , es decir x1(x2s) = (x1x2)s.

φ(1G, s) =  s

 ∀

s

 ∈

 S , es decir 1Gs = s.

Se llama acci´on izquierda del grupo  G  en  S .

Si adem´as satisface: xs = s

 _⇒

 x = 1, diremos que la acci´on de G  es fiel. Como ejemplo, podemos tomar G = GL(n,

R

), S  =

R

n_{y definimos φ : G}

×

S 

 _−→

 S  tal que (A, v)

 _→

 Av.

Definici´on 2.46. Sea G  un grupo actuando en un conjunto S . Sea s

 _∈

S . Definimos el estabilizador de  s  respecto a la acci´on de G  como:

EstG(s) =  StabG(s) =

 {

x

 ∈

 G

|

xs = s

} ⊆

 G.

Definici´on 2.47. Sea G  un grupo actuando en un conjunto S . Sea s

 _∈

S . definimos la orbita de s  respecto a la acci´on de G  como:

OrbG(s) =

 {

xa

|

x

 ∈

 G

}

.

Si existe s

 _∈

S   tal que OrbG(s) = S , entonces diremos que la acci´on es

transitiva. Esto significa que dados  s1, s2

 ∈

 S 

 ⇒ ∃

 x

 ∈

 G tal que xs1 =  s2.

Si G act´ua en un conjunto  S , entonces la acci´on define una partici´on en S , dada por la siguiente relaci´on de equivalencia: s1

 ∼

 s2

⇐⇒ ∃

x

 ∈

 G  tal que

xs1 = s2. Esta demostraci´on de deja en los problemas de tarea.

La clase de equivalencia de  s  es  OrbG(s).

Observaci´on 2.48.  Si existe s

 _∈

 S  tal que OrbG(s) = S , entonces, para todo

s1

 ∈

 S  se cumple que OrbG(s1) =  S .

Proposici´on 2.49. Si un grupo G act´ ua en un conjunto S , entonces  StabG(s)

≤

G y  [G : StabG(s)] =

|

OrbG(s)

|

, para todo s

 ∈

 S .

Demostraci´on 2.50.  Parte 1:

Sea s

 _∈

S  y sean x, y

 _∈

EstG(s)

 ⇒

xs =  s, ys = s

 ⇒

xs = s, s = y−1s

 ⇒

(xy−1_)s = x(y−1_{s) =  xs = s}

⇒

 xy−1

∈

 StabG(s) ∴ Stab_G(s)

≤

 G.

Parte 2:

2.5. ACCIONES DE GRUPOS  21 Est´a bien definido: Si x1S  = x2S 

 ⇒

 (x−12 x1)s = s

⇒

 x−12 x1

 ∈

 StabG(s)

 ⇒

x1StabG(s) =  x2StabG(s).

Es sobreyectiva: Dado xStab(s)

 _∈

 G_/

StabG(s), entonces xs

→

 xStabG(s).

Es inyectiva: Supongamos x1StabG(s) =  x2StabG(s)

 ⇒

 x−12 x1

 ∈

 StabG(s)

⇒

(x

₋

2−1x1)s = s

⇒

 x1s = x2s

∴

|

Orb_G(s)

|

 =



G/_Stab

G(s)



= [G : StabG(s)]

Teorema 2.51 (Teorema de Cayley). Sea  G un grupo. Entonces  G es isomorfo a un subgrupo de un grupo de permutaciones, es decir, existe  S   tal que G

 _≤

Perm(S ).

Demostraci´on 2.52. Definamos f x : G

 −→

 G con f x(y) = xy,

∀

x

 ∈

 G, es claro

que f 

 _∈

 P erm(G). Entonces, definamos  f  : G

_−→

 Perm(G) tal que  f (x) =  f x,

y probemos que f  es un homomorfismo de grupos.

P.D. f x1x2 = f x1

 ◦

 f x2. Sea y

 ∈

G, entonces f x1x2(y) = x1x2y = x1f x2(y) =

f x1(f x2(y)) = (f x1

 ◦

f x2)(y).

Ahora tenemos que Ker(f ) =

_{

x

_∈

 G

_|

f x = I d

}

 =

 {

x

 ∈

 G

|

f x(y) =  xy = y

 ∀

y

 ∈

 G

}

 =

 {

1

}

.

Y por el TGH G

_

G_/

Ker(f )

 

 I m(f )

 ≤

 P erm(G).

Ahora vamos a definir algunos conjuntos que se obtienen a partir de acciones de grupo particulares:

Sea G un grupo y sea G

_×

G

 _−→

 G  tal que (x, y)

 _→

 xyx−1

∀

x, y

 _∈

 G. Sea y

 _∈

 G, entonces definimos:

cl(y) :=  OrbG(y) =



xyx−1

|

x

∈

 G



, La clase conjugada de  y en G.

C G(y) :=  EstG(y) =



x

∈

 G

|

xyx−1 = y



, el centralizador de  y en G.

Corolario 2.53.

_|

cl(y)

_|

 = [G : C G(y)]

Observaci´on 2.54. cl(y) =

_{

y

_{} ⇐⇒}

y

 _∈

 Z (G). ordcl(y)

_⇐⇒

y

 _∈

 Z (G).

Demostraci´on 2.55. cl(y) =



xyx−1

|

x

 _∈

 G



=

 _{

y

_{} ⇐⇒}

xyx−1 _{= y}

 ∀

x

 _∈

G

_⇐⇒

y

 _∈

 Z (G).

Ahora, ya sabemos que una acci´on de G  en  S  define una relaci´on de equiv-alencia. Es decir que ”parte” a  S  en clases de equivequiv-alencia.

Si G  es un grupo finito, entonces

 _|

G

_|

 es la suma de la cardinalidad de las distintas clases conjugadas  cl(y).

Sean y1, y2, . . . , yk representantes de las distintas clases conjugadas cl(yi)

que tienen m´as de un elemento, entonces:

|

G

_|

 =

_|

Z (G)

_|

+

k



i=1

|

cl(yi)

|

  (2.5.0.3)

Corolario 2.56. Si  p

 _∈

Z

  es primo, n

 _∈

N

y G  es un grupo de orden pn_,

entonces 

 _|

Z (G)

_{| }

= 1 y de hecho, p divide a 

 _|

Z (G)

_|

Demostraci´on 2.57.  Primero notemos que, por definici´on, C G(yi)

 ≤

G

 ∀

i,

entonces, por el teorema de Lagrange:

 _|

C G(yi)

|

 divide

 |

G

|

.

Como [G : C G(yi)] > 1, entonces [G : C G(yi)] = pr, con 0 < r < n  y luego

[G : C G(yi)] = _|C G|G|_(yi)|, por lo tanto Z (G) =

|

G

| −



k_i=1 [G : C G(yi)] =  mp para

alg´un m

_∈

N

.

Otro caso: Sea G un grupo y S  =

 _{

A

_|

A

_⊂

 G

_}

. Definimos G

_×

S 

 _−→

S  tal que (x, A)

_→

 xAx−1 y acordamos que x

_∅

x−1 =

 _∅

. Entonces, esto es una acci´on de G  en  S .

Sea A

 _∈

 S . Entonces definimos:

Orbg(A) =



xAx−1

|

x

∈

 G



como los conjuntos  G-conjugados de A.

N G(A) := EstG(A) =



x

∈

 G

|

xAx−1 = A



=

 {

x

∈

 G

|

xA = Ax

}

  como

normalizador de A  en  G.

Corolario 2.58.  El n´ umero de conjuntos  G-conjugados de  A es  [G : N G(A)].

Teorema 2.59  (teorema de homomorfismos).  Supongamos que H, K 

_≤

G y 

2.5. ACCIONES DE GRUPOS  23

Demostraci´on 2.60. Vamos a probar que KH  =

 _{

xy

_|

x

 _∈

 K y

 _∈

 H 

_{} ≤}

 G. Sean x, u

_∈

 K , y, v

 _∈

 H ; P.D. (xy)(uv)−1

∈

 KH .

(xy)(uv)−1 = xy(v−1u−1) =  xu−1uyv−1u−1, y como x, u

 _∈

 K 

 _⇒

xu−1

_∈

 K . Adem´as, K 

_⊂

N G(H ) =



x

 ∈

 G

|

xhx−1= h

 ∀

h

∈

 H 



 ⇒

u(yv−1)u−1

∈

H  ∴ (xu−1)(uyv−1u−1)

 ∈

 KH .

KH  = HK . Sea xy

 _∈

KH , entonces xy = (xyx−1_{)x y como x}

 ∈

K 

 _⊂

N G(H )

⇒

 xyx−1

∈

 H , entonces xy  = (xyx−1)x

 ∈

 H K .

H KH . Sean xy

 ∈

 KH 

 ⇒

 (xy)H (xy)−1= xyHy−1x−1 = xH x−1 = H .

KH _/

H 

 

K /K ∩H . Definimos f  : K 

 −→

 K H /H  tal que x

→

 xH .

•

f  es homomorfismo: f (x1x2) =  x1x2H  = x1H 

 ·

x2H  = f (x1)

·

f (x2).

•

f  es sobreyectiva: Sea xyH 

 _∈

KH /H , entonces xyH  = xH , pues y

 ∈

 H 

as´ı que f (x) =  xH  =  xyH .

•

Ker(f ) =

_{

x

_∈

 K 

_|

xH  = H 

_}

 =

 _{

x

 _∈

 K 

_|

x

_∈

 H 

_}

 = K 

 _∩

H . Por lo tanto, KH _/

H 

 

K /Ker(f ) = K /K ∩K .

Teorema 2.61  (Teorema de Cauchy). Sea G  un grupo finito cuyo orden es  divisible por un primo p. Entonces, existe un elemento x

_∈

 G de orden  p, i.e. G

tiene un subgrupo de orden  p,

 _

x

_

.

Demostraci´on 2.62. Sea

S  =

_{

(x1, x2, . . . , x p)

 ∈

 G

×

G

× · · · ×

G

|

x1x2

· · ·

xk = 1

} − {

(1, 1, . . . , 1)

}

.

Calculemos

_|

S 

_|

: podemos elegir x1, x2, . . . , x p−1, entonces x p = (x1x2

· · ·

x p−1)−1,

por lo tanto

 _|

S 

_|

 =

 _|

G

_|

 p−1

₋

1. Notemos que, como

 _|

G

_|

  es divisible entre p,

 _|

S 

_|

no es divisible entre  p.

Sea C  =

 _

z

_

  un grupo c´ıclico de orden p. Definimos ϕ : C 

 _×

S 

 _−→

S   tal que ϕ(zr_{, (x}

1, x2, . . . , x p)) = (x1+r, x2+r, . . . , xr). Veamos que ϕ  es una acci´on de

grupo.

ϕ(zn_zm_{, (x}

1, x2, . . . , x p)) = ϕ(zn+m, (x1, x2, . . . , x p)) =

= (x1+n+m, x2+n+m, . . . , x( p+n+m (mod p))) =  ϕ(zn, (x1+m, x2+m, . . . , xm)) =

= ϕ(zn, ϕ(zm, (x1, x2, . . . , x p))).

Por lo tanto ϕ  es una acci´on de C  en S .

Entonces

_|

OrbC (x1, x2, . . . , x p)

|

 = [C  :  EstC (x1, x2, . . . , x p)] = _EstC(x1p_,x2,...,xp) = 1 ´o p.

Si todas las ´orbitas tienen orden p, entonces

 _|

S 

_|

 es divisible entre  p, y eso es una contradicci´on. As´ı que existe (x1, x2, . . . , x p

 ∈

 S ) tal que

|

OrbC (x1, x2, . . . , x p)

|

 =

1, as´ı que OrbC  =

 {

(x , x , . . . , x)

}

  para alg´un x

 ∈

G   tal que x

 

= 1, entonces

x p _{= 1.}

Recordemos que Lagrange dice que si H 

_≤

G, entonces

 _|

H 

_|

  divide a

 _|

G

_|

. Luego veremos que existe un grupo finito  G  y un divisor  n  de

 _|

G

_|

 tal que G  no tiene subgrupos de orden n.

Cap´ıtulo 3

Grupo sim´

etrico y Grupo

alternante

3.1. Introducci´

on

Recordemos que S n =

{

σ :

 {

1, 2, . . . , n

} −→ {

1, 2, . . . , n

} |

σ es biyecci´on

}

, es

el grupo sim´etrico de n letras. Sea S  =

_{

1, 2, . . . , n

_}

, entonces S n act´ua de

man-era natural en  S : S n

×

S 

 −→

 S  tal que (σ, k)

→

 σ(k).

Sea σ

 _∈

 S n. Consideramos



σ



y vemos que act´ua sobre S  al definir



σ

×

S 

 −→

 S 

tal que (σr_{, k)}

→

 σr_{(k). Entonces tenemos que Orb}

σ(k) =



k, σ(k), σ2(k), . . . , σ|σ|−1(k)



.

Sean T 1, T 2, . . . , T  l las distintas ´orbitas de esta acci´on, y definamos σ1, . . . , σl

 co-mo sigue: σi(k) =







σ(k) si k

 _∈

 T i k si k

 _∈

 S 

 ₋

T i

Entonces, tenemos que σ  = σ1σ2

· · ·

σl.

Definici´on 3.1. Sea T 

 _⊂

 S  un subconjunto de k  elementos. Una permutaci´on σ

 _∈

 S n se llama k-ciclo asociado a  T  si σ  permuta todos los elementos de T  y

deja fijos todos los elementos de  S 

 ₋

T . 25

Notaci´on 3.2. Si σ es un k-ciclo, escribimos σ =



s σ(s) σ2(s)

_{· · ·}

σk−1(s)



Donde cada elemento esta siendo enviado pro  σ al siguiente, y el ´ultimo elemento es enviado al primero.

Definici´on 3.3. Si los ciclos σ1, σ2 permutan los elementos de T 1 y  T 2

 respec-tivamente, y adem´as T 1

∩

T 2 =

∅

, entonces diremos que los ciclos son disjuntos.

Observaci´on 3.4. Los ciclos disjuntos conmutan.

Proposici´on 3.5. Si σ  es una permutaci´ on de n elementos, entonces σ puede  expresarse como un producto de ciclos disjuntos. La expresi´ on es ´ unica excepto por el ´ orden de los factores.

Definici´on 3.6.  Un 2-ciclo se llama transposici´on.

Podemos ver que cada ciclo se puede expresar como un producto de trans-posiciones:

(i1 i2 . . . ık) = (i1 ik)(i1 ik−1)

· · ·

(i1 i3)(i1 i2)

Entonces, por la proposici´on, toda permutaci´on puede expresarse como producto de transposiciones.

Definici´on 3.7.  Diremos que σ  es una permutaci´on par, si puede expresarse como el producto de un n´umero par de transposiciones. Es permutaci´on impar en otro caso.

Si G =

_{−

1, 1

_}

 bajo la multiplicaci´on, y definimos f  : S n

 −→

 G tal que:

σ

 _→

 f (σ) =







1 si σ  es par

−

1 si σ  es impar

Definici´on 3.8.  Entonces f  es un homomorfismo de grupos, y definimos  An :=

Ker(f ) =

_{

σ

 _∈

 S n

|

σ es par

}

, el grupo alternante de  n  letras.

3.1. INTRODUCCI ´ON  27

Demostraci´on 3.10. Si f  : S n

 −→

H  =

 {

1,

−

1

}

  es sobreyectiva, entonces,

por el TFH: S n_/

An



H  y [S n :  An] =

|S n|

|An| = 2. Para probar que f   es sobre

tenemos que probar que existe en S n  una permutaci´on impar. Probemos que

(12) es impar. Si (12) es par, entonces la identidad de puede expresar como el producto de un n´umero impar de transposiciones. A saber 1 = ( ab)

_{· · ·}

  usando el n´umero m´ınimo de transposiciones y el menor n´umero de a’s. Como 1(a) =  b con a

 _

= b, entonces debe existir en el producto de transposiciones de 1 por lo menos una m´as que contenga a a. Sea (ac) la primera que aparece despu´es de (ab), entonces 1 = (ab)

_{· · ·}

(ac)

_{· · ·}

.

Notemos que (de)(ac) = (ac)(de) si son disjuntos, y adem´as (dc)(ac) = (ad)(cd), entonces podemos escribir 1 = ( ab)

_{· · ·}

(ac)

_{· · ·}

= (ab)(af )

_{· · ·}

  con las mismas condiciones de minimalidad.

Si b = f , entonces podemos reducir el n´umero de transposiciones. Si b

 _

= f , entonces (ab)(af ) = (af )(bf ) y estar´ıamos reduciendo el n´umero de a’s. En ambos caos llegamos a una contradicci´on.

Sea σ = (a1 a2  . . . ak) un k-ciclo y sea τ 

 ∈

 S n, tal que τ (ai) =  bi, 1

≤

 i

 ≤

 k,

y convenimos que ak+1 = a1 y bk+1 =  b1. Entonces τ στ −1(bi) =  τ στ −1(τ (ai)) =

τ (σ(a1)) = t(ai+1) = bi+1,

∀

1

 ≤

i

 ≤

k, y si s

 ∈ {

b1, b2, . . . , bk

}

, entonces

s

 _{∈ {}

τ (a1), τ (a2), . . . , τ  (ak)

} ⇒

τ −1(s)

∈ {

a1, a2, . . . , ak

} ⇒

τ στ −1(s) = s.

As´ı que  τ στ −1 _{es (b}

1 b2  . . . bk) = (τ (a1) τ (a2)   . . . τ  (ak)), un k-ciclo.

Definici´on 3.11. Sea σ

 _∈

 S n, supongamos que σ  se expresa como el producto

de ciclos disjuntos con  kj j-ciclos, con 1

≤

 j

 ≤

 n. Diremos entonces que σ  tiene

tipo c´ıclico (k1, k2, . . . , kn).

Notemos que

_

n_i=1iki = k1 + 2k2 +

· · ·

+ nkn = n.

Proposici´on 3.12. Sea  σ

 _∈

 S n, entonces  cl(σ) consiste de todos los elementos 

τ 

 _∈

 S n que tienen el mismo tipo c´ıclico de  σ.

Demostraci´on 3.13. Recordemos que dada una acci´on de grupo S n

×

S n

 −→

 S n

tal que (τ, σ)

_→

 τ στ −1, entonces cl(σ) =  Orbsn(σ) =



τ στ 

−1

|

τ 

 _∈

 S n



. Primero

Sea σ

_∈

S n, con σ = σ1σ2

· · ·

σm como un producto de ciclos disjuntos

in-cluyendo los 1-ciclos. Sea  τ 

 _∈

 S n, entonces τ στ −1 = τ σ1τ −1τ σ2τ −1

· · ·

τ σmτ −1,

entonces, si σj es un kj-ciclo, τ σjτ −1 tambi´en lo es.

{

τ 

_|

τ  tiene el mismo tipo c´ıclico que  σ

_{} ⊆}

 cl(σ) :

Supongamos que φ

 _∈

S n  tiene el mismo tipo c´ıclico que σ. Y digamos que

σ = (a1 a2

· · ·

)(b1 b2

· · ·

)

· · ·

 , φ = (a1 a2

· · ·

)(b1 b2

· · ·

)

· · ·

  donde los ciclos

est´an ordenados de manera creciente respecto a su longitud. Definimos  τ 

 _∈

 S n

como τ (ai) =  ai, τ (bi) =  bi, etc. Entonces τ στ −1= φ

 ∈

 cl(σ).

Lema 3.14. Sea G un grupo finito y H 

 _≤

 G. Si  [G : H ] = 2, entonces  H G.

Como ejercicio, se sugiere demostrar que el inverso del Teorema de Lagrange es falso (ubicar los subgrupos de  A4).

Cap´ıtulo 4

Teoremas de Sylow

Notaci´on 4.1.  Sean n, m

 _∈

Z

. Decimos que nk



m si, y s´olo si nk

|

m y nk+1

 _ 

_m.

Definici´on 4.2. Sea G un grupo finito y p un primo. Un subgrupo  P 

 _≤

 G  se llama p-subgrupo de Sylow si

 _|

P 

_|

 = pk, k

 _∈

Z

 y  pk

_{ |}

G

_|

.

Teorema 4.3  (Primer Teorema de Sylow). Si G  es un grupo finito y  p un  primo, entonces existe un  p-subgrupo de Sylow P en G.

Demostraci´on 4.4. Prob´emoslo por inducci´on en

 _|

G

_|

. Si

 _|

G

_|

 = 1 o si p

  

 _|

G

_|

, entonces  P  =

 _{

1

_}

. Supongamos entonces que

 _|

G

_|

 > 1 y que p

_{| |}

G

_|

. La hip´otesis de inducci´on nos dice que el teorema se satisface para todos los grupos de orden menor a

 _|

G

_|

. Si existe H 

_≤

G, H 

_

= G  tal que p

 

[G : H ], entonces, por la hip´otesis de inducci´on, H  tiene un p-subgrupo de Sylow P . Y este p-subgrupo tambi´en es p-subgrupo de Sylow de G. Supongamos que p

_|

[G : H ] para todo H 

 _≤

 G con H 

 _

= G. Recordemos que si tenemos una acci´on de grupo G

_×

G

 _−→

 G con (y, x)

 _→

yxy−1 _{tenemos que}

 |

G

_|

=

 _|

Z (G)

_|

+

_

k_i=1 [G : C G(xi)]. Entonces

 p

_{| |}

Z (G)

_|

, y por el teorema de Cauchy, existe  x

_∈

 Z (G) con

_|

x

_|

 = p. Sea K  =

_

x

_

. Como x

 _∈

 Z (G), entonces yxy−1_= x

 ∀

y

 _∈

 G

 _⇒

 yxm_y−1 _= xm

∀

y

 _∈

 G, as´ı que K G. por hip´otesis de inducci´on



G/_K 



tiene un p-subgrupo de Sylow P ₁ = P /_K 

con K 

 _≤

 P 

 _≤

 G, entonces

 _|

P 1

|

 = pm−1

⇒ |

P 

|

 =

|

P 1

| |

K 

|

 = pm.

Definici´on 4.5. Sea p un primo. Un grupo G se llama p-grupo si todo elemento en G  tiene como orden una potencia de  p.

En la tarea se demuestra que G es un p-grupo si, y s´olo si

_|

G

_|

 = pk_, k

 ∈

Z

≥0_.

Observaci´on 4.6.  Todo p-subgrupo de Sylow es un  p-grupo.

Lema 4.7.  Supongamos que P   es un p-subgrupo de Sylow de un grupo finito

G, y supongamos que  H 

 _≤

 G es un  p-grupo. Entonces H 

 _∩

N G(P ) =  H 

 ∩

P .

Teorema 4.8 (Segundo Teorema de Sylow). Si G es un grupo finito, p es un  primo, y P   es un p-subgrupo de Sylow de G y H 

_≤

G un p-grupo, entonces  existe  x

 _∈

 H  tal que  H 

 _⊂

 xP x−1 _{En particular, todos los  p-subgrupos de Sylow} 

de  G son conjugados entre si.

Demostraci´on 4.9. Sea S  =



xP x−1 _x

 ∈

 G



. Construyamos la acci´on H 

 _×

S 

 _−→

 S  tal que (y,xPx−1₎

→

 yxPx−1_y−1_{. Sean S} 

1, S 2, . . . , S  k las

distintas H -´orbitas en S  y sea P i = xiP x−1_i

⊂

 S i, 1

 ≤

 i

≤

 k. Entonces S i =



yP iy−1

|

y

 ∈

 H 



y EstH (P i) =



y

 ∈

 H 

|

yP iy−1 = P i



= H 

 ∩

N G(P i) = H 

 ∩

P i, as´ı que

 |

S i

|

=

[H  :  EstoG(P i)] = [H  :  H 

 ∩

P i].

Ahora, recordemos que cuando tenemos una acci´on de grupo G

_×

mathscrS  =

{

A

_|

A

_⊂

 G

_{} −→}

 mathscrS   con (y, A)

 _→

yAy−1 _{y definimos S  = Orb}

G(P ) =



yP y−1

|

y

 _∈

 G



, entonces

 _|

S 

_|

=

_|

OrbG(P )

|

= [G : EstG(P )] = [G : N G(P )].

Entonces tenemos (por la primera acci´on definida) que

_|

S 

_|

=

 _

k_i=1

_|

S i

|

=



ki=1 [H  : H 

 ∩

P i]. Como [H  : H 

 ∩

P i] es una potencia de p   ya que H   es un

 p-grupo, y como p

  

_|

S 

_|

, entonces existe i  tal que [H  :  P i] = p0 = 1, por lo tanto

H 

 _∩

P i = H , es decir  H 

 ⊂

 P i = xP x−1.

Corolario 4.10. Si  G tiene un ´ unico p-subgrupo de Sylow  P , entonces  P G.

Demostraci´on 4.11. Sea x

 _∈

 G, entonces xP x−1 es p-subgrupo de Sylow, por lo tanto xP x−1 _= P 

 ⇒

 xP  = P x

_⇒

 P G.

Teorema 4.12 (Tercer Teorema de Sylow). Sea  G un grupo finito y  p un primo, entonces el n´ umero de p-subgrupos de Sylow de G es congruente con 1 m´ odulo

4.1. CARACTERIZACI ´ON DE GRUPOS ABELIANOS FINITOS  31

Demostraci´on 4.13. Sea P  un p-subgrupo de Sylow de G, sea S  =



xP x−1

|

x

_∈

 G



. Entonces

 _|

S 

_|

 es el n´umero de conjuntos de p-subgrupos de Sylow de G.

Consideramos la acci´on P 

 _×

 S 

_−→

S   con (y,xPx−1)

_→

  yxPx−1y−1, sean S 1, S 

 −

 2, . . . , S  n las distintas ´orbitas de la acci´on. Entonces

 |

S 

|

=



n_i=1

|

S i

|

.

Sea S 1 = OrbP (P ) =



yP y−1

|

y

 ∈

 P 



=

 {

P 

}

, entonces

 |

S 

|

= 1 +



n_i=2

|

S i

|

.

Recordemos que

_|

OrbP (S )

|

 = [G : EstP (S )]. Sean pues P i

 ∈

 S i, 2

≤

 i

≤

 n, luego

EstP (P i) =



y

 ∈

 P 

|

yP iy−1 = P i



= P 

 ∩

N G(P i)

 ⇒ |

S i

|

 = [P  : P 

 ∩

N G(P i)] =

[P  : P 

 _∩

P i]. Como P 

 

= P i

 ⇒

 P 

 ∩

P i

 

= P , por lo tanto [P  : P 

 ∩

P i] es

m´ulti-plo de p. Entonces

 _|

S 

_|

= 1 +

_

n_i=2

_|

S i

|

= 1 +



n_i=2 pki, ki

 ≥

 1, por lo tanto

|

S 

_{| ≡}

 1 (mod p)

Ejemplo: Demostrar que un grupo de orden 28 tiene un subgrupo normal de orden 7.

Soluci´on: 28 = 22

_·

7. Por el Teorema 3 de Sylow, puedo tener 1 , 8, 15, 22, . . . p-subgrupos de Sylow. Tomamos S  =

_{

A

_|

A

 _⊆

 G

_}

 y definimos la acci´on G

_×

S 

 _−→

S  con (x, S )

 _→

xSx−1

⇒

 OrbG(P ) =



xP x−1

|

x

 ∈

 G



, entonces

 |

OrbG(P )

|

=

[G : EstG(P )] que es un divisor de 28, y de nuestra lista, solo 1 divide a 28,

entonces solo existe un 7-grupo de Sylow, por el corolario, es normal.

4.1. Caracterizaci´

on de grupos Abelianos

Fini-tos

Sean (G1,

·

1) y (G2,

·

2) grupos, entonces el conjunto  G1

×

G2 tiene estructura

de grupo con la operaci´on binaria (G1

 ×

G2)

×

(G1

 ×

G2)

 −→

 G1

 ×

G2 donde

(x1, x2)

·

(y1, y2)

 →

 (x1

·

1 y1, x2

·

2 y2).

La identidad en G1

×

G2 es (11, 12) y (x1, x2)−1 = (x

−1

1 , x−12 )

 ∀

(x1, x2)

∈

 G1

×

G2.

G1

×

G2 con esta operaci´on se llama el producto directo de  G1 y G2.

En general, si G1, G2, . . . , Gn son grupos, podemos construir e producto directo

G1

×

G2

 × · · · ×

Gn. Cuando G1, G2, . . . , Gn son abelianos, el producto directo

se denota por G1

⊕

G2

 ⊕ · · · ⊕

Gn.

G1G2 =

 {

x1x2

|

x1

 ∈

 G1, x2

 ∈

 G2

}

 = G, entonces  G



 G1

×

G2

Teorema 4.15. Sea G  un grupo abeliano finito, entonces  G es isomorfo a la  suma directa de sus subgrupos de Sylow.

Ejercicio: Demostrar el teorema anterior.

Teorema 4.16  (Frobenius). Si G  es un grupo abeliano finito, entonces es la  suma directa de sus subgrupos c´ıclicos. Cada uno de estos subgrupos tiene orden 

 pk para alg´ un  p primo y  k

 _∈

Z

≥0

Demostraci´on 4.17. Sea G  abeliano finito. Denotamos la operaci´on por +, y el neutro por 0. G  es suma directa de sus subgrupos de Sylow, entonces, podemos suponer que G es un grupo abeliano. Vamos a probar que todo p-grupo abeliano finito es suma directa de c´ıclicos. Usamos inducci´on en

 _|

G

_|

 = pn_.

Sea a

_∈

 G de orden pk _{maximal (i.e. si  b}

∈

 G tiene orden  pk1 entonces  k

 ≥

 k1).

Sea H   es subgrupo maximal de G   tal que H 

 _{∩ }

a

_

=

_{

0

_}

. Sea G1 = H 

 ⊕



a

_

 =

 _{

(h,na)

_|

h

_∈

 H, n

 _∈

Z

_}

 Notemos que: i) ,

_

a

_{ ≤}

 G; ii) H 

 _{∩ }

a

_

 =

 _{

0

_}

; iii) H  +

_

a

_{ ≤}

 G. Entonces G1

 

 H  +



a



. Si G  = G1 terminamos, pues aplicamos

la hip´otesis de inducci´on en H . Supongamos que G1



G. Sea x + G1

 ∈

G/G1

con x + G1

 

= G1 (i.e. x /

∈

 G1) de orden p, entonces px

 ∈

 G1 = H  +



a



. As´ı que

existen h

 _∈

H, m

 _∈

Z

 tal que px =  h + ma. Como pk es el orden maximal en G, entonces 0 = pkx = pk−1( px) = pk−1(h + ma) = pk−1h + pk−1ma. Como

|

a

_|

 = pk

_⇒

 pk

_

 pk−1m

_⇒

 p

_

m. Sea m = pr. Entonces h = px

₋

ma = px

₋

 pra =  p(x

₋

ra)

 _∈

 H . Como x /

_∈

 G1 = H, H  +



a

 ⇒

 x

−

ra /

∈

 H . Por la maximalidad

de H , tenemos que H  +

 _

x

₋

ra

_{ ∩ }

a

_{ }

= 0. Sea h1

 ∈

H ; t, s

 ∈

Z

  tales que

sa = h1 + t(x

−

ra)



= 0, entonces  tx = sa

−

h1 + tra =

−

h1 + (s + rt)a

∈

 H 1.

Vamos a probar que p

 

t. Supongamos que t = up, entonces t(x

 ₋

 ra) = up(x

₋

ra) = uh, entonces sa = h1 + uh

 ∈

H !!, pues H 

 ∩ 

a



=

 {

0

}

. As´ı que

 p

 _|

t, por lo tanto son primos relativos, entonces existen enteros  s1, s2 tales que

Cap´ıtulo 5

Anillos

5.1. Introducci´

on

Definici´on 5.1. Un anillo es un grupo abeliano ( R, +, 0) con una operaci´on binaria asociativa

 _·

 : R

_×

R

 _−→

 R tal que (a, b)

 _→

 ab, que llamaremos multipli-caci´on. Las operaciones + y

 _·

 se relacionan mediante las siguientes propiedades distributivas:

(a + b)x = ax + bx x(a + b) =  xa + xb).

Si ab = ba

 _∀

a, b

 _∈

 R, entonces el anillo se llama conmutativo.

Si existe 1

 _∈

R, 1

 _

= 0 tal que a1 = 1a = a

 _∀

a

 _∈

R, entonces R   se llama anillo con 1 (uno).

Observaci´on 5.2.  Para todo a

_∈

 R, se cumple que 0a = a0 = 0.

Demostraci´on 5.3. a0 = a(0 + 0) = a0 + a0

 _⇒

a0 = 0. 0a  = (0 + 0)a = 0a + 0a

_⇒

 0a = 0.

Definici´on 5.4. Un anillo R conmutativo con 1 se llama campo si

_∀

x

_∈

 R

_−{

0

_}

existe y

_∈

R   tal que xy = yx   = 1, es decir, R

 _{− {}

0

_}

  es un grupo con la multiplicaci´on.