2014-15
MATEMÁTICAS II
2º BACHARELATO
Profesoras:
Trinidad Pazos Celis Ana I. Valdés Fernández
BLOQUE: ANÁLISIS ... 5
1. LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD ... 5
Conceptos preliminares ... 5
Definición de función real de variable real ... 5
o Dominio de definición de una función ... 5
o Recorrido de una función ... 5
o Grafo de una función ... 5
Funciones elementales ... 5
Límite de una función en un punto ... 8
o Límites laterales ... 9
o Cálculo de límites de funciones ... 9
o Asíntotas ... 10
Función continua en un punto ... 10
o Continuidad lateral. ... 11
o Tipos de discontinuidades ... 11
Continuidad en un intervalo ... 11
Teorema de Bolzano ... 11
o Interpretación geométrica del Teorema de Bolzano ... 12
Teorema de Weierstrass ... 12
o Interpretación geométrica del Teorema de Weierstrass ... 12
EJERCICIOS ... 13
SELECTIVIDAD:... 17
2. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN ... 18
Definición de tasa de variación media. ... 18
Definición de tasa de variación instantánea o derivada en un punto. ... 18
o Interpretación geométrica de la derivada. ... 19
o Derivadas laterales. ... 20
Ecuación de la recta tangente en un punto. ... 21
Ecuación de la normal. ... 22
Relación entre continuidad y derivabilidad. ... 23
Función derivada. Derivadas de orden superior. ... 23
Reglas de derivación. ... 21
EJERCICIOS ... 24
SELECTIVIDAD:... 27
3. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS AL ESTUDIO DE LAS PROPIEDADES LOCALES Y GLOBALES DE UNA FUNCIÓN ... 28
Definición de función creciente y decreciente ... 28
Definición de extremos relativos y absolutos. ... 29
Criterios para el cálculo de extremos relativos. ... 29
o Criterio 1. Variación del signo de la derivada primera en el entorno del punto. ... 29
o Criterio 2. Valor de la derivada segunda en el punto. ... 29
Concavidad y convexidad. ... 30
o Puntos de inflexión. ... 30
Criterio para el cálculo de puntos de inflexión ... 30
Problemas de optimización. ... 30
Enunciado de la Regla de l’Hôpital ... 32
Teorema de Rolle ... 33
o Enunciado ... 33
o Interpretación geométrica del Teorema de Rolle ... 33
Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial (o de los Incrementos Finitos) ... 34
o Interpretación geométrica del Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial ... 34
4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES ... 35
EJERCICIOS ... 38
SELECTIVIDAD ... 45
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE LÍMITES ... 49
5. PRIMITIVAS DE UNA FUNCIÓN ... 50
Definición ... 50
o Teorema ... 50
Definición de integral indefinida ... 50
Propiedades lineales ... 50
Cálculo de integrales inmediatas ... 50
Cálculo de primitivas ... 51
o Integrales casi inmediatas y/o ajuste de la constante. ... 51
o Método de integración por partes. ... 52
o Método de cambio de variable. ... 52
o Integración de funciones racionales. ... 53
EJERCICIOS ... 55
CUESTIONES: ... 56
SOLUCIONES:... 57
SELECTIVIDAD ... 59
6. INTEGRAL DEFINIDA ... 60
Sumas superiores e inferiores de Riemann de una función asociada a una partición ... 60
Integral definida ... 60
Interpretación geométrica de la integral definida ... 61
Propiedades de la integral definida ... 61
Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral ... 61
o Interpretación geométrica del Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral ... 61
Teorema Fundamental del Cálculo Integral ... 62
Regla de Barrow ... 62
Cálculo de áreas planas limitadas por funciones ... 62
EJERCICIOS ... 65
SELECTIVIDAD:... 67
BLOQUE:ÁLGEBRA ... 70
1. MATRICES ... 70
Definición y elementos de una matriz ... 70
Tipos de matrices ... 70
o Matriz fila ... 70
o Matriz columna ... 70
o Matriz rectangular ... 70
o Matriz nula ... 70
o Matriz traspuesta ... 70
o Matriz simétrica ... 71
o Matriz antisimétrica ... 71
o Matriz cuadrada ... 71
Suma de matrices. ... 72
o Propiedades. ... 72
Producto de una matriz por un escalar. ... 72
o Propiedades. ... 72
Producto de matrices. ... 72
o Propiedades. ... 73
EJERCICIOS ... 74
SELECTIVIDAD ... 76
2. DETERMINANTES ... 78
Definición de determinante de una matriz cuadrada ... 78
Determinante de orden 2 ... 78
Determinante de orden 3. ... 78
o Regla de Sarrus. ... 78
Definición de menor complementario y de adjunto de un elemento ... 78
Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea ... 79
Propiedades elementales de los determinantes ... 79
EJERCICIOS ... 80
SELECTIVIDAD ... 81
3. APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES ... 82
Definición ... 82
Cálculo del rango de una matriz ... 82
o Transformaciones elementales ... 82
Cálculo del rango por el método de Gauss ... 82
Definición de matriz inversa de una matriz cuadrada ... 83
Teorema. Condición necesaria y suficiente para la existencia de matriz inversa ... 83
Cálculo de la matriz inversa ... 83
Propiedades ... 84
Cálculo de la matriz inversa utilizando el método de Gauss ... 85
EJERCICIOS ... 87
SELECTIVIDAD ... 89
4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ... 92
Definiciones ... 92
Sistemas homogéneos ... 92
Sistemas de ecuaciones equivalentes ... 92
Forma matricial de un sistema ... 92
Clasificación de los sistemas atendiendo al número de soluciones ... 93
5. DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES... 94
Enunciado del Teorema de Rouché-Frobenius ... 94
Discusión de sistemas de ecuaciones lineales ... 94
Enunciado de la Regla de Cramer ... 94
Discusión y resolución por el método de Gauss ... 94
Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales con un parámetro ... 96
EJERCICIOS ... 98
BLOQUE: GEOMETRÍA ... 102
1.VECTORES EN EL ESPACIO ... 102
Vectores en el espacio ... 102
o Operaciones con vectores ... 102
o Dependencia e independencia lineal de vectores ... 103
Producto escalar de dos vectores ... 104
o Propiedades ... 104
o Interpretación geométrica ... 104
o Expresión analítica ... 105
Módulo de un vector ... 105
o Vector unitario ... 105
o Ángulo que forman dos vectores ... 105
o Ortogonalidad ... 105
Producto vectorial de dos vectores ... 106
o Propiedades ... 106
o Expresión analítica ... 106
o Interpretación geométrica ... 106
Producto mixto de tres vectores ... 107
o Expresión analítica del producto mixto ... 107
o Propiedades ... 107
o Interpretación geométrica ... 107
EJERCICIOS ... 109
2. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO ... 111
Ecuaciones de la recta ... 112
Ecuaciones del plano... 113
Posiciones relativas de dos planos ... 115
Posiciones relativas de tres planos ... 115
Posiciones relativas de una recta y un plano ... 117
Posiciones relativas de dos rectas ... 118
EJERCICIOS: ... 120
3. ESPACIO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: ÁNGULOS, PERPENDICULARIDAD DE RECTAS Y PLANOS ... 123
Ángulo que forman dos rectas ... 123
o Condición de perpendicularidad de dos rectas ... 123
Ángulo que forman dos planos ... 123
o Condición de perpendicularidad de dos planos ... 123
Ángulo que forman recta y plano ... 124
o Condición de perpendicularidad de recta y plano ... 124
EJERCICIOS ... 125
4. APLICACIONES DE LOS PRODUCTOS ESCALAR, VECTORIAL Y MIXTO AL CÁLCULO DE DISTANCIAS... 127
Distancia entre dos puntos ... 127
Distancia de un punto a un plano ... 127
o Distancia entre dos planos paralelos ... 127
o Distancia entre una recta y un plano paralelos ... 127
Distancia de un punto a una recta ... 128
Distancia entre dos rectas... 130
EJERCICIOS ... 132
SELECTIVIDAD ... 133
BLOQUE: ANÁLISIS
1. LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD
Conceptos preliminares
Definición de función real de variable real
Dado un subconjunto A de números reales, una función f real de variable real definida sobre A, es una aplicación que relaciona cada valor x de A con un único valor real, llamado imagen de x.
( )
:
f A
x y f x
→ ℜ
→ = x v. independiente; y v. dependiente o Dominio de definición de una función
Es el subconjunto de los números reales donde la variable independiente x toma valores.
El dominio de una función contiene todos los números reales que permiten realizar las operaciones que caracterizan a f.
Dom (f)= x∈ℜ / ∃ f(x) ∈ ℜ
o Recorrido de una función
Es el subconjunto de los números reales de forma cuando x recorre todos los valores del dominio.
o Grafo de una función
Es la representación de la función en el plano cartesiano.
Funciones elementales
Constante: su expresión es: . Dominio: R.
Gráfica: recta horizontal que pasa por (0,a).
Lineal: su expresión es: donde m es la pendiente.
Dominio: R.
Gráfica: es una recta que pasa por el origen.
Afín: su expresión es: donde m es la pendiente y n es la ordenada en el origen. Dominio: R. Gráfica: es una recta que no pasa por el origen.
( )
f AD ⊂
( )
x( ) ( )
f{
f x x D f}
f)= / ∈ Imf(
a x f( )=
mx x f( )=
decrece m
crece m
→
<
→
>
0 0
n mx x
f( )= +
decrece m
crece m
→
<
→
>
0 0
Cuadrática: es . Dominio: R.
Gráfica: una parábola de eje vertical, de vértice
Proporcionalidad inversa: es , siendo k un número real no nulo.
Dominio:
Gráfica: hipérbola equilátera.
Decreciente si Creciente si
Es simétrica respecto al origen
Definidas a trozos:
Son varias “fórmulas”, cada una de las cuales rige el comportamiento de la función en un cierto tramo.
Se representa cada tramo, prestando atención a su comportamiento en los puntos de empalme.
Función valor absoluto
;
( 0)
; )
(x =ax2 +bx+c a≠ f
−
− a
f b a V b
, 2 2
x x k f( )=
{ }
0D= −R 0 k>
0 k<
≥
<
= −
= , 0
0 ,
x si x
x si x x
y
a>0 a<0
k>0 k<0
Valor absoluto de una función:
Exponenciales:
de base . Dominio R. Las gráficas de estas funciones tienen una forma característica y se deben distinguir dos casos: creciente y decreciente. Ambas pasan por el punto (0,1)
Ejercicio: Resuelve las ecuaciones exponenciales:
a) b) 2x +2x+1 +2x+2 =112 c) d)
Definición de logaritmo: ; 0< a≠1
Propiedades:
( )
( )
x y xy y x
x
y x
y x
a y
a
a a
a
a a
a
log log
log log
log
log log
log
⋅
=
−
=
+
=
⋅
R
x a x
f( )= x, ∈ 0< a≠1
>1
a 0< a<1
4
2− x = 9x −6⋅3x+1 =−81 52x+1−5x+2 =2500
x a b
x b
a = ⇔ =
log
a P P
b b
a log
log = log
a>1 a<1
( ) ( ) ( )
( ),, ( ) 00
f x cuando f x y f x
f x cuando f x
− <
= = ≥
Función logarítmica: es de base . Su dominio es R+. Es la inversa de la función exponencial de la misma base y, por tanto, sus representaciones gráficas son simétricas respecto de la bisectriz del 1er y 3er cuadrante. Igualmente distinguiremos dos casos: creciente y decreciente. Pasa por (1,0).
Trigonométricas: función seno y función coseno y . Su dominio es R. Son periódicas de período .
La función tangente . Es periódica de período . Su dominio es
Composición de funciones:
Es una operación propia de las funciones. Se representa por el símbolo “ ” se calcula en orden inverso a cómo actúan.
(
g f)( )
x = g( )
f( )
xLa composición de funciones no es conmutativa.
Límite de una función en un punto
Se dice que un número real L es el límite de una función en el punto a si al tomar valores de x cada vez más próximos a a, los valores de las imágenes están también más próximas a L . Lo escribiremos .La definición formal es:
x∈
(
a−δ,a+δ)
,x≠a⇒ f( ) (
x ∈ L−ε,L+ε)
x x
f( )=loga a> y0 ≠1
>1 a 1
0< a<
senx x
f( )= f(x)=cosx π
2
tgx x f( )=
π
( )
k∈Z
;
1 2 - 2k -
R π
( )
x g(
f( )
x)
f x
g
f
→
→
( )
xf y=
( )
x( )x L f f
a
x =
lim→
>0
∀ε ∃δ >0/
a<1
a>1
o Límites laterales
El tipo de tendencia de una función puede ser diferente cuando x se aproxima a a con valores mayores o menores que a (por la derecha o por la izquierda de a).
Se representan Ejemplo:
Cuando los límites laterales no coinciden, la función no tiene límite en ese punto.
o Cálculo de límites de funciones
En la práctica, para calcular , hacemos la sustitución de x por a y efectuamos las operaciones indicadas, igual que con las sucesiones.
Operaciones
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
(
lim ( ))
( ); ( ) 0lim
0 ) ( lim lim
lim lim
lim ) ( lim lim
lim lim
lim
lim >
=
≠
=
⋅
=
⋅
±
=
±
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
x f x
f x
f
x g siendo x
g x f g x
f
x g x
f x
g f
x g x
f x
g f
x g a
x x g a
x
a x a
x a x a
x
a x a
x a
x
a x a
x a
x
a x
Límites de funciones en el infinito
El cálculo de límites de funciones es igual que el de sucesiones, sólo hay que tener en cuenta que en las funciones la variable x puede tender a un número ó a y a . Por lo tanto, sólo hemos de tener en cuenta la regla de los signos. Las indeterminaciones que se presentan son del mismo tipo que para las sucesiones:
0⋅
( )
±∞Operaciones con expresiones infinitas.
Sumas (+∞)+ a =+∞
(+∞)+ (+∞) = +∞
(−∞) + a =−∞
(−∞) + (−∞)= −∞
−(−∞) = +∞
Productos
(+∞) · (+∞) = +∞
(+∞) · a =+∞
Si a > 0
(−∞) · a =−∞
(+∞) · a = −∞
Si a < 0
(−∞) · a = +∞
( )
x f( )
x fa x a
xlim→ − ;lim→ +
+∞
=
−∞
= +
− →
→ x x x
x
lim1 1 ;
lim
0 0
( )x
f
x→a
lim
∞
+ −∞
∞
−
∞ ±∞
∞
±
0
0 0
0 ( )+∞ 0 1∞
( )( ) ( ) ( )−∞ =−∞
⋅
∞
∞
=
∞
−
⋅
∞
−
−∞
=
∞
⋅
∞
−
Cocientes
(hay que hallar los límites laterales)
Potencias (+∞)+∞ = +∞
(+∞)−∞ = 0
Si a > 0, (+∞)a = +∞
Si a < 0, (+∞)a = 0 Si a ≠ 0, a0 =1
Si a > 1
Si 0<a<1
o Asíntotas
Las asíntotas son rectas a las que se aproxima infinitamente la gráfica de la función. Pueden ser de tres tipos:
a) Asíntotas verticales. Son rectas de la forma (a es
un número), y se dan cuando , o cuando
alguno de los límites laterales da . Para encontrarlas se comprueba en puntos que no están en el dominio (o en puntos en los que cambia la expresión de la función en funciones a trozos).
b) Asíntotas horizontales. Son rectas de la forma (a
es un número), y se dan cuando o
. (Sólo puede haber una para cada lado de la gráfica y no tienen porqué coincidir).
c) Asíntotas oblicuas. Son rectas de la forma (m y n son números). Si la función ya tiene asíntotas horizontales no puede tener oblicuas. Se da por la derecha cuando
( )
0
x
lím f x m
→∞ x = ≠
en este caso se obtienen (f x mx)
x −
=lim→∞ ( ) .(La asíntota por el lado izquierdo se halla con )
La gráfica de la función puede cortar a las asíntotas horizontales u oblicuas, pero nunca a las verticales.
Función continua en un punto
Una función f es continua en un punto a si cumple las tres condiciones siguientes:
a) Existe el límite (finito) de la función en . b) La función está definida en ; es decir, existe . c) Los dos valores anteriores coinciden.
Si una función no es continua en un punto a, diremos que es discontinua en dicho punto.
a =0
±∞
0a = ±∞
±∞
∞ =
± 0
0 =0
∞
±
∞
−
<
∞
∞ >
0 0 a a a
∞
<
∞
−
∞ >
−
0 0 a a a
= +∞
=
∞
− +∞
0 a a
+∞
=
=
∞
− +∞
a
a 0
a x=
±∞
→ ( )= lim f x
a x
∞
±
a y=
a x f
x =
∞
→ ( )
lim a
x
x f =
−∞
→ ( )
lim
n mx y= +
−∞
→ x
) (x
f x=a
a
x= f(a) lim ( )x→a f x = f a( ) y=a
o Continuidad lateral.
Una función es continua por la derecha en un punto a si existe límite por la derecha en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto:
) ( ) (
lim f x f a
a
x + =
→
Una función es continua por la izquierda en un punto a si existe el límite por la izquierda en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto:
o Tipos de discontinuidades
a) Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo (o este no existe).
El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama valor verdadero de la función en el mismo.
b) Una función tiene una discontinuidad de salto en un punto cuando existen los límites laterales (finitos) en él y son distintos.
c) Una función tiene una discontinuidad infinita en un punto si alguno de los límites laterales es infinito (o menos infinito).
Continuidad en un intervalo
Una función es continua en un intervalo abierto (a,b) si lo es en cada uno de sus puntos.
Una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] si lo es todos los puntos de (a,b) y además es continua por la derecha en a y por la izquierda en b.
Teorema de Bolzano
“Si una función es continua en un intervalo [a,b] y toma valores de signo opuesto en los extremos, entonces existe al menos un punto interior c del intervalo en el que .”
) ( ) (x f a f
lim
a x
− =
→
0 ) (c = f
•
o Interpretación geométrica del Teorema de Bolzano
Si una gráfica continua pasa de ser positiva a ser negativa (o viceversa), entonces atraviesa el eje de abscisas en al menos un punto.
a b a b
El Teorema de Bolzano es muy práctico para probar que determinadas ecuaciones poseen solución.
Teorema de Weierstrass
"Si una función es continua en un intervalo cerrado , entonces alcanza un valor máximo M y un valor mínimo m en ese intervalo".
o Interpretación geométrica del Teorema de Weierstrass
Si una función es continua en , los puntos y pueden unirse por medio de una curva continua. Así, se obtienen dos puntos y del intervalo en los que la función toma, respectivamente, el menor y el mayor valor posible dentro de ese intervalo.
Consecuencias de los teoremas
a) Si una función f es continua en un intervalo [a,b] y k es un número comprendido entre los valores y , entonces existe algún c en (a,b) tal que .
b) Si una función es continua en el intervalo (a,b), la función toma en ese intervalo todos los valores comprendidos entre el máximo y el mínimo.
c) Si dos funciones f y g son continuas en un intervalo [a,b]; y o viceversa, entonces existe algún c en (a,b) tal que .
[ ]
a,b[ ]
a,b(
a,f( )
a) (
b,f( )
b)
x1 x2
[ ]
a,b) (a
f f(b) f(c)=k
( ) ( )
a g af > f
( ) ( )
b <g b( )
c g c f( )= [ ]a b M
m
[ ]
a b M
m
[ ]
a b
EJERCICIOS
1) Calcula el dominio:
a) b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i) j) k) l) m) 2) Representa gráficamente las siguientes funciones definidas a trozos:
a) ( ) 2
2 1 0
1 0
x si x
f x x si x
+ <
= + ≥ b) c)
3) El número y de miles de socios de un club de fútbol, a lo largo de los últimos 12 años viene dado
por la función .
a) ¿En qué intervalos de tiempo creció o disminuyó el número de socios?
b) ¿Durante cuánto tiempo se superaron los 5000 asociados?
4) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
a) b)
c)
d)
e)
f)
5) Calcula los siguientes logaritmos:
a)
b)
c) d)
e) f) 6) Calcula x en las siguientes expresiones:
a)
b) c)
( )x = x3 −3x+4 f
( ) 36
1
2 −
= x x f
( )x x
f =
( )
x x xf +2
=
( )= 3 +6 x x x f
( ) 16
1
4 2
−
= − x x x f
( )x x
f 1
=
( ) 32
f x x
=
( ) 2
3 f x x
x
= − +
( ) 3 1
3 f x x
x
= −
( ) ln 3(+ 5)
f x = x−
( ) 3
4 f x x
= x
−
( ) 22 5
1 f x x
x
= −
−
≤
<
+
−
≤
≤ +
=
8 2
si 2 25 5
2 0
si 4 4 ) (
2
x x
x x
x
f y= −x2 +8x
≤
<
+
≤
<
≤
≤ +
−
=
=
12 7
si 17 -
7 5 si 10
5 0 si 5 4 )
(
2
t t
t t t
t t f y
2 2 9
2x+2 + x−1 =
{
x=0}
8 2 7
22x− ⋅ x =
{
x=3}
0 1
2x−2 − =
{
x=2}
3 3 6
32x − ⋅ x−1 =
{
x=1}
0 24 2 11
22x− ⋅ x + =
=
= 3 log 3 x 2
x
0 18 3 3
32x −11⋅ x+1+ =
=
=
=
63093 ' 0 2 log 2 x 3
x
8 log2
81 log3
32 log
12
243
log3 4
log2 1 1000 log
2 36 logx =
2
log7 x=− = x
27 log 1
3 1
7) Representa gráficamente las siguientes funciones exponenciales y logarítmicas:
a) b) c)
8) Representa gráficamente las siguiente función:
9) Calcula la composición de las siguientes funciones:
a) f x( )= +x 1 y g x( )= − 1 x
b) ( ) 2 1 y ( ) 1
f x x g x 1
= − = x
+
c) ( ) y ( ) 2
1 2
x x
f x g x
x x
= =
+ −
d) ( ) 2x2 y ( ) 5
f x g x x
x x
= = −
−
e) ( ) 22 3 y ( ) 2 1
2 3
f x x g x x
x x
= + = +
− 10) Calcula los siguientes límites:
a)
b)
c) d) 11) Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:
a) b)
c)
12) Calcula los siguientes límites:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
13) Calcula los siguientes límites:
a)
b)
c) d) 14) Calcula los siguientes límites:
a) b) c)
d) { }
e)
f) g)
( )x x
f
= 2
1 f( )x =ex f( )x =log13 x
senx y=
(
6 8)
lim 2
0 − + −
→ x x
x
{ }
−8(
3 2 5 1)
lim2 + − −
→ x x
x
{ }
4 2 7 144 lim 2 10
2
3 − −
+
−
→ x x
x x
x
{}
1( )
11ln
lim +
→ x
x e
{ }
2(
1)
2 log10
log x= x− +
= 9
x 10 2(logx)2 −9logx+10=0
x=100 x; =1025
(
16)
log(
5)
2log x− + x+ =
{
x=20}
1 1 lim 22
− +
+∞
→ x
x
x
{ }
0(
x x)
x −
−∞
→
2 4
lim
{ }
+∞1 1 2 lim 2 2
3
−
− +
−∞
→ x
x x
x
{ }
−∞1 1 2 lim 2 5
3
−
− +
−∞
→ x
x x
x
{ }
01 1 2 lim 3 3
3
−
− +
−
−∞
→ x
x x
x
{ }
−31 1 2 lim 2 2
3
−
− +
−
−∞
→ x
x x
x
{ }
+∞
+
− − +
+∞
→ x
x x
x
x
1 1
lim 4
2 2
3
{ }
0
⋅ −
− +
−∞
→ x
x x
x
x 4
4 3
1 lim 5
2
2
4 5
+ +
÷− +
−∞
→ 2 1
6 2
lim 25 3
x x x
x
x
{ }
+∞(
2 3 5)
lim 2 − − 2 +
+∞
→ x x
x
{ }
−∞2 3 lim 5
2
2 −
− +
→ x
x
x
3 2
x x
x x
x −
−
+∞
→ 3 2
3 2
lim 8
{ }
24 6 2 lim 5
5 + −
−
→ x
x
x
{ }
43 1
2 5
lim 2 5
x
x
x x
−
→∞
+
−
e15
2 1 3
2 2
2
3 lim 5
+
−∞
→
−
− x
x x
x
{ }
e−3( ) 3
3 3 8
lim −
→ − xx
x x
{ }
e9(
2)
130 1
lim x
x x +x+
→
