DOCUMENTO Nº 2. PERMUTACIONES, COMBINACIONES Y VARIACIONES

(1)

INSTITUCION EDUCATIVA INTEGRADO CARRASQUILLA INDUSTRIAL AREA: MATEMATICAS ASIGANTURA: ESTADISTICA

GRADO: 7 GRUPO: ____ JORNADA: ________

DOCENTES: MARIA ISABEL TRUQUE MURILLO Y RAFAEL SANABRIA TAPIAS ALUMNO: ____________________________________________________________

DOCUMENTO N0 _2._FACTORIAL.

Es el producto de todos los números naturales sucesivos partiendo del 1 hasta el número dado. El factorial de un número n, se denota así: n!

0! = 1 1! = 1 2! = 2 x 1 3! = 3 x 2 x 1 4! = 4 x 3 x 2 x 1 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1

. . . .

n! = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)……..1

EJERCICIOS RESUELTOS

Ejemplo: Si n = 9, Hallar n! Solución

Si n = 9 ⇒ n! = 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 9! = (9 x 8)(7 x 6)(5 x 4)(3 x 2)(1) 9! = (72 x 42)(20 x 6)(1)

9! = (3.024 x 120 )(1) 9! = (362.880 x 1) 9! = 362.880

Respuesta: 9! = 362.880

Ejemplo: Calcular 1! + 9! - 7! + 0! Solución

1! + 9! - 7! + 0! = ( 1) + ( 9x8x7x6x5x4x3x2x1 ) – ( 7x6x5x4x3x2x1 ) + 1 = 1 + 362.880 – 5.040 + 1

(2)

= 357.842

Ejemplo: Calcular 5! 6! Solución

5! 6! = ( 5x4x3x2x1 ) ( 6x5x4x3x2x1 ) = (120)(720)

= 86.400

Ejemplo: Calcular

12!

8 !

Solución

12!

8 !

₌

12 x

11 x

10 x

9 x

8 x

7 x

6 x5

x

4 x

3 x2

x

1 8x

7 x

6 x5

x

4 x

3 x

2 x

1 =12

x

11 x

10 x

9=(12

x11

)(10

x9

)=132

x

90=11.880

8!3

!

6 !

Solución

8!3

!

6 !

₌

(8x7x6x5x4x3x2x1)(3x2x1)

6x5x4x3x2x1 _{= (8 x 7)(3 x 2 x1) = 56 x 6 = 336}

8!+2!−4!

3 !

Solución

8!+2!−4!

3 !

₌

(8x7x6x5x4x3x2x1)+(2x1)−(4x3x2x1) 3x2x1

= (8x7x6x5x4x3x2x1) + (2x1) - (4x3x2x1) 3 x 2 x1

= (40.320) + (2) - (24) 6

= (40.322) - (24) 6

= 40.298 6

(3)

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Si n = 7, Calcular el valor de n! 2) Si n = 1, Calcular el valor de n! 3) Si n = 9, Calcular el valor de n! 4) Calcular: 3! - 0! + 1!

5) Calcular: 4! + 3! - 2!

6) Calcular: 5! 2!

7) Calcular:

14 !

12!

8) Calcular:

9!5

!

12!

9) Calcular:

5!7!

9!

10)Calcular:

9!+3

!−5

!

4!

PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN

Definición: Permutaciones son las diferentes maneras de organizar o agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta el orden de su ubicación.

Dos permutaciones se consideran diferentes entre sí solo por el orden de sus elementos.

a) En las permutaciones para formar un grupo se toman todos los elementos, no hay que seleccionar unos pocos.

b) En las permutaciones se debe tener en cuenta el orden en que se colocan los elementos.

c) En las permutaciones no se repiten los elementos dentro de un mismo grupo

NÚMERO DE PERMUTACIONES

La formula que permite calcular el número de permutaciones con "n" elementos diferentes es: Pn = n!

PAUTAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Si en cada agrupación figuran todos los elementos disponibles, importando su orden de colocación, entonces se trata de un problema de permutaciones.

Ejemplo: De cuántas maneras se pueden disponer 7 personas en una fila? Solución:

Si n = 7

⇒ _P_n_{= n!}_{= 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1} 7! = (7 x 6)(5 x 4)(3 x 2)(1) 7! = (42 x 20)(6 x 1)

(4)

Respuesta: 7 personas se pueden disponer en una fila de 5.040 maneras

Ejemplo: De cuántas formas pueden quedar clasificados 6 equipos de fútbol que participan en un torneo?

Solución: Si n = 6

⇒ _P_n_{= n!}_{= 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1} 6! = (6 x 5)(4 x 3)(2 x 1) 6! = (30 x 12)(2)

6! = (360 x 2) 6! = 720

Respuesta: 6 equipos de fútbol que participan en un torneo, pueden quedar clasificados de 720 formas.

Ejemplo: De cuántas maneras se pueden disponer en una mesa 3 hermanas? ( María, Sofía, Clara ) Determínelas.

Solución: Si n = 3

⇒ _P_n_{= n!}_{= 3! = 3 x 2 x 1} 3! = (3 x 2) x 1 3! = 6 x 1 3! = 6 M = María

S = Sofía C = Clara

Formación de los grupos: (M, S, C) (M, C, S) (S, C, M) (S, M, C) (C, S, M) (C, M, S)

Respuesta. En una mesa, 3 hermanas se pueden disponer de 6 maneras.

Ejemplo: Cuál es el número de permutaciones de 5 elementos? Solución:

Si n = 5

⇒ _P_n_{= n!}_{= 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1} 5! = (5 x 4)(3 x 2)(1) 5! = (20 x 6)(1) 5! = (120 x 1) 5! = 120

Respuesta: El número de permutaciones de 5 elementos es 120

(5)

2) De cuántas maneras pueden quedar clasificados 6 corredores que intervienen en una carrera?

3) De cuántas formas pueden quedar clasificados 5 equipos de fútbol que participan en un torneo?

4) De cuántas maneras se pueden disponer 9 estudiantes en una fila?

5) De cuántas maneras se pueden disponer en una mesa 5 hermanas? ( Manuela, Claudia, Francisca, Leonor y Patricia).

6) De cuántas maneras pueden quedar clasificados 7 corredores que intervienen en una carrera?

VARIACIONES SIN REPETICIÓN

Definición: Son las diferentes maneras de organizar o agrupar los elementos de un conjunto sin que ninguno se repita y teniendo en cuenta el orden de su ubicación.

Dos variaciones se consideran diferentes, por los elementos que la componen o por su orden. En las variaciones sin repetición:

a) Hay que tener en cuenta el orden en que se colocan los elementos; si se altera el orden, se tiene un grupo distinto.

b) No se repiten los elementos dentro de un mismo grupo.

NÚMERO DE VARIACIONES

La fórmula que permite calcular el número de variaciones de n elementos agrupados de k en k elementos sin repetición es:

nVk =

n!

(

n

−

k

)

!

_{con (k < n)}

Si en cada agrupación figuran sólo algunos de los elementos disponibles, importando el orden de colocación de éstos, entonces es un problema de variaciones.

1. Cuántos números de 4 cifras distintas se pueden formar con las cifras del 1 al 9? Solución:

(6)

n Vk =

n!

(

n

−

k

)

!

₌

9!

(

9 −

4 )

!

=

9 !

5!

=

9x

8 x

7

5 x6

x

4 x

x3

5 x4

x2

x1

x3

x2

x

1 =9

x

8x

7 x

6=3.024

2. En una carrera de 100 metros participan 8 corredores. De cuántas maneras diferentes se podrán repartir las medallas de oro, plata y bronce?

SOLUCIÓN:

n = Número de corredores que participan = 8 k = Número de medallas en cada variación = 3

n_V k =

n!

(

n

−

k

)

!

₌

8 !

(

8 −

3 )

!

=

8 !

5 !

=

8x

7

5 x

6 x

x

4

5 x3

x

4 x

2 x

3 x

1 x

2 x

1 =8

x

7 x

6=336

RESPUESTA: Las medallas de oro, plata y bronce, se pueden repartir de 336 maneras diferentes.

Debemos tener en cuenta que este ejercicio también lo podemos resolver obviando en el proceso la cancelación de 5 x 4 x 3 x 2 x 1, así:

n_V k =

n!

(

n

−

k

)

!

₌

8!

(

8 −

3 )

!

=

8 !

5 !

=

_{8 x 7 x 6 = 336}

1) Cuántos números de 5 cifras distintas pueden formarse con los dígitos?

2) Cuántas elecciones distintas puede haber en un grupo de 28 alumnos donde se va a elegir un delegado y un subdelegado.

3) De cuántas maneras diferentes se puede contestar un examen de 12 preguntas, si solo hay que contestar 10 de ellas?

4) Cuántas banderas tricolores se pueden confeccionar con 7 colores?

5) Cuál es la posibilidad de que 3 dados caigan por caras diferentes, al hacer un lanzamiento con ellos?

6) Cuántos números distintos de 4 dígitos pueden obtenerse con las cifras del 0 al 9?

(7)

Definición: Combinaciones son las diferentes maneras de organizar o agrupar los elementos de un conjunto sin tener en cuenta el orden de su ubicación.

a) Dos combinaciones se consideran diferentes, solo por los elementos que las conforman. b) En las combinaciones no influye el orden en que se colocan los elementos.

c) En las combinaciones no se repiten los elementos dentro de un mismo grupo.

NÚMERO DE COMBINACIONES

La formula que permite calcular el número de combinaciones de "n" elementos diferentes

tomados de "k" en "k" , con k ≤ n ,es: n_Ck₌

n!

k!

(

n

−

k

)

!

n = Número de elementos para escoger

k = Número de elementos de cada combinación

Si en cada agrupación figuran sólo algunos de los elementos disponibles, sin importar el orden de colocación de éstos, entonces estamos ante un problema de combinaciones.

Ejemplo 1: Se tienen los 4 ases de una baraja y se quieren tomar al azar dos cartas. Cuántas y cuales son las combinaciones que pueden resultar?

Solución

n = 4 = Número cartas para escoger

k = 2 = Número de cartas en cada combinación

n_C k =

n!

k!

(

n

−

k

)

!

₌

4 !

2 !

(

4 −

2 )

!

=

4 !

2!

=

4 x

3 x

2 x

1 (

2 x

1 )(

2 x

1 )

=

24

2 x

2 =

24

4 =

6

Respuesta: Pueden resultar 6 combinaciones posibles de 2 cartas con los 4 ases.

T = Trébol C = Corazón D = Diamante P = Pica

Formación de los grupos: (T , C) (T , D) (T , P) (C , D) (C , P) (D , P)

(8)

De cuantas maneras diferentes puede elegir esas evaluaciones? Determínelas. Solución

n = 5 = Número de evaluaciones para escoger

k = 3 = Número de evaluaciones en cada combinación.

n_C k =

n!

k!

(

n

−

k

)

!

₌

5 !

(

3 !

)(

5 −

3 )

!

=

5 !

(

3 !

)(

2 !

)

=

5 x

4 x

3 x

2 x

1 (

3 x

2 x

1 )(

2 x

1 )

=

120

6 x

2 =

120

12 =

10

Respuesta. Hay 10 maneras posibles de elegir las 3 evaluaciones, entre las 5 A = Aritmética

E = Español I = Inglés R = Religión S = Sociales

Formación de los grupos: ( A, E, I ) ( A, E, R ) ( A, E, S ) ( A, I, R ) ( A, I, S ) ( A, R, S ) ( E, I, R ) ( E, I, S ) ( E, R, S ) ( I, R, S )

1) Una madre decide llamar a cenar 4 de sus 6 hijos ( Amelia, Bertha, Carolina, Daniel, Esther, Federico y Gonzalo). De cuantas maneras diferentes puede llamarlos?

2) De cuántas maneras se puede seleccionar un equipo de 5 integrantes de un grupo de 7 personas?

3) Se tienen los 4 ases de una baraja y se quieren tomar al azar tres cartas. Cuántas combinaciones pueden resultar?

4) Cuántas banderas tricolor se pueden confeccionar con 7 colores?

5) Una chica tiene en su armario 8 vestidos y quiere elegir 6 para un viaje. De cuántas maneras puede hacerlo?

CONJUNTO DE PARTES DE UN CONJUNTO

El conjunto de partes de un conjunto A, es otro conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos del conjunto A, incluyendo el conjunto vacío y el conjunto A .

(9)

NÚMERO DE ELEMENTOS DEL CONJUNTO P(A)

Si un conjunto A tiene n elementos, entonces el número de elementos del conjunto P(A) tiene 2n elementos.

Es decir que # P(A) = 2n

Ejemplo: Si M = { a, b, c } Hallar P(M) Solución:

Si n = 3

⇒ _{# P(M) = 2}n_{= 2}3

23_{= 2 x 2 x 2 = 8, O sea que P(M) tiene 8 elementos}

P(M) = { { }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }

Ejemplo: Si B = { 1, 2, 3, 4 } Hallar P(B) Solución:

Si n = 4

⇒ _{# P(B) = 2}n_{= 2}4

24_{= 2 x 2 x 2 x 2 = 16, O sea que P(B) tiene 16 elementos}

P(B) = { { }, {1}, {2}, {3}, {4},{1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4 }, {2,3,4}, {1,2,3,4} }

EJERCICIOS PROPUESTOS 1) SI B = { m, n, p} Determinar P(B)

2) SI C = {2, 4, 6, 8} Determinar P(C) 3) SI Q = { d, e, f, g, h} Determinar P(Q)