Universidad acional de La Plata

Universidad acional de La Plata

Facultad de Ciencias aturales y Museo

Cátedra de Matemática y Elementos de Matemática Asignatura: Elementos de Matemática

Período Lectivo 2010

Contenidos de la Unidad Temática nº 2 AÁLISIS COMBIATORIO

Conceptos preliminares. Principio fundamental del Análisis Combinatorio. La función factorial. Fórmula de Stirling.

Combinatoria simple: Variaciones, Permutaciones y combinaciones.

a) Potencia de un binomio: Introducción. Estructura de los términos y de los coeficientes. Tabla de cálculo directo de los coeficientes. El coeficiente binomial o número combinatorio:

propiedades Aplicación de las propiedades al cálculo de los coeficientes del desarrollo de la potencia n-ésima de un binomio. Triángulo de Tartaglia.

b) Combinatoria con repetición: Variaciones.

Permutaciones de n elementos y Permutaciones con elementos indistinguibles. Permutaciones con repetición

Ing. Carlos Alfredo López

Profesor Titular

Facultad de Ciencias aturales y Museo

Cátedra de Matemática y Elementos de Matemática Asignatura: Elementos de Matemática (2010)

Análisis Combinatorio

Ing. Carlos Alfredo López

CONCEPTOS PRELIMINARES:

El interés del hombre por los juegos de azar viene indudablemente desde los tiempos históricos, pero no fue hasta principios de 1650 que se hizo un fundamento matemático para la solución de diversos problemas sugeridos por esos juegos. El Chevalier de Meré, llamado el “filósofo jugador del siglo XVII”, interesado en obtener información sobre los riesgos que corría en los juegos de dados consultó a uno de los matemáticos más famosos de todos los tiempos: Blaise Pascal, quien a su vez escribió a un matemático aún más célebre, el consejero parlamentario de la ciudad de Toulouse, Pierre de Fermat y en la correspondencia que intercambiaron se planteó por primera vez la Teoría de la Probabilidad.

Con el correr de los años, la Teoría de la Probabilidad encontró su cauce durante el siglo XIX de la mano de Laplace en muchas aplicaciones, no sólo en Ingeniería y Matemática, sino también en campos como la Agricultura, la Administración de Empresas, la Medicina y la Sociología.

La Teoría de la Probabilidad representa el intento de la mente humana de afrontar cuantitativamente la complejidad de fenómenos en los que intervienen un gran número de causas, cada una de las cuales resulta imposible de controlar. Tales fenómenos decimos, están regidos por el azar.

El azar es un nombre que damos a nuestra ignorancia: que un dado al caer muestre en su cara superior el 1 o bien el 2, el 3, el 4, el 5 o el 6 está determinado por su posición inicial, por el impulso con el cual es arrojado, por el material con el que está construido, como así también por la naturaleza de la superficie

sobre la cual rebota, por la eventual velocidad del viento, etc.... Como hay tantas causas que intervienen en el fenómeno, no sabemos ponderar ni calcular su efecto y entonces, decimos que es el azar el que determina el resultado. Pero a pesar del azar, seguramente diremos que un dado está “cargado” si al arrojarlo 1000 veces, solo obtenemos veinte veces el número uno, porque las innumerables complejidades que

gobiernan un fenómeno tal como el lanzamiento de un dado, se equilibran cuando lo repetimos un gran número de veces.

Resulta entonces, que la complejidad del resultado de un fenómeno simple que nos lo hace impredecible o azaroso, se convierte en ley matemática simple e inexorable cuando en lugar de considerar un solo fenómeno tomamos en cuenta los resultados de cientos o miles de fenómenos semejantes.

Una disciplina estrechamente vinculada con la Teoría de la Probabilidad es la Estadística: nacida con anterioridad a dicha Teoría, trata principalmente el problema de la recolección, organización y presentación de datos en tablas y gráficos.

La palabra Estadística nos trae frecuentemente imágenes de números organizados en grandes arreglos, tablas de cifras relativas a nacimientos, muertes, impuestos, ingresos, deudas, créditos, etc... Ello es debido a que el uso de la

palabra Estadística por parte del ciudadano común se hace como sinónimo de recolección y agrupamiento de datos; por ejemplo, cuando se habla de las estadísticas en el campeonato de fútbol, o las estadísticas de los accidentes de automovilismo.

Con el advenimiento de la Teoría de la Probabilidad se puso de manifiesto que la Estadística puede emplearse en la extracción de conclusiones válidas y en la toma de decisiones razonables.

El lanzamiento de un dado o de una moneda, la extracción de un naipe de una baraja o de los números de la lotería son experiencias denominadas aleatorias¹ pues sus resultados dependen del azar.

También son aleatorios el instante en que llegará un ómnibus a su parada, el número de hijos que tendrá un matrimonio, la estatura que tendrá uno cualquiera de ellos o el número de años que vivirá.

Los primeros ejemplos son sencillos de seguir ya que con comodidad y rapidez los eventos correspondientes pueden repetirse muchas veces. Es por esta razón que el estudio de las probabilidades comienza con los juegos de azar. A partir de ellos, se obtienen leyes que rigen los fenómenos aleatorios y que se aplican, con éxito similar a los problemas de la vida real, que son en realidad muchísimo más interesantes.

En muchos casos el número de posibilidades que pueden darse en un determinado suceso no es muy grande y en consecuencia la enumeración de las mismas no resulta difícil. Sin embargo, aparecen dificultades si la cuenta directa (por corresponder a grandes números) se convierte en una imposibilidad desde el punto de vista práctico.

Para estos casos se utiliza el Análisis Combinatorio que, en una primera aproximación podría definirse como una manera sofisticada de contar.

Principio fundamental del Análisis Combinatorio: (también llamado principio fundamental del conteo o de contar)

Si un determinado suceso, operación o acción puede ocurrir de n1

maneras distintas y si, siguiendo a ese suceso otro puede ocurrir de n2 maneras diferentes y siguiendo a este suceso un tercer suceso puede ocurrir de n3 maneras y

así sucesivamente..., el número total de formas diferentes en que pueden realizase estos sucesos será igual a: n1••••n2••••n3••••....

Ejemplo1: Si un hombre tiene tres sacos y dos corbatas, podrá elegir (principio fundamental de contar) de n1•n2=3•2 = 6 maneras distintas primero un saco y después una corbata.

1 La palabra aleatorio proviene del latín alea que significa suerte y también dados. La palabra azar viene del árabe,

Para dar una solución gráfica al problema anterior se emplea una estructura llamada diagrama arborescente o simplemente diagrama de árbol.

c1 S1C1 c2 S1C2

S1

c1 S2C1 S2

c2 S2C2 S3

c1 S3C1

c2 S3C2

La estructura de diagrama de árbol permite no sólo obtener el número de sucesos posibles, sino también individualizar cada uno de los mismos.

Ejemplo 2: Supongamos que deseamos viajar de la ciudad A hasta la ciudad C, pasando por la ciudad B, contando para ello con cuatro rutas que unen las ciudades A y B y tres rutas entre B y C. Nos interesa saber cuántas rutas diferentes pueden transitarse desde A hasta C.

1

2 1

A 3 B 2 C 4 3

Por cada ruta entre A y B hay tres elecciones posibles antes de emprender la ruta entre B y C. Puesto que hay cuatro maneras distintas de llegar desde A hasta B, habrá en total 4•3=12 formas de llegar desde A hasta C.

Este problema, como todos aquellos que corresponden al Análisis Combinatorio pueden formularse en el lenguaje de la Teoría de Conjuntos- En efecto, las rutas entre A y C pueden expresarse mediante un conjunto de pares ordenados en

los cuales la primera componente es una de las posibles rutas entre A y B y la segunda componente corresponde a una de las rutas entre B y C:

{(1,1);(1,2);(1,3);(2,1);(2,2);(2,.3);(3,1);(3,2);(3,3);(4,1);(4,2);(4,3)}

Ejemplo 3:

Suponemos que el Director de una película debe conformar una familia compuesta por un marido, una esposa y un hijo, eligiendo entre 4 actores, 5 actrices y tres niños. El marido puede elegirse de cuatro maneras distintas y por cada elección existirá la posibilidad de elegir 5 esposas, resultando un total de 4•5=20 matrimonios posibles. Por cada elección de los padres es decir, por cada matrimonio elegido, se podrán efectuar tres elecciones para el hijo. En consecuencia, el número de familias posibles resultará 4•5•3= 60.

Actividad:

¿De cuántas maneras diferentes podrá vestirse una persona que tiene dos camisas, tres pantalones y cuatro pares de zapatos?

El Análisis Combinatorio trata de las distintas maneras en que se pueden organizar subconjuntos de un conjunto dado, siguiendo determinadas restricciones particulares para cada problema. Si en los subconjuntos a estructurar los elementos que intervienen no pueden repetirse se tratará de la llamada Combinatoria

Simple mientras que, cuando pueden hacerlo, nos estaremos ocupando de la Combinatoria con Repetición.

Notación de Factorial: Dado un número natural n, recibe el nombre de factorial de n (n!), el producto decreciente de la sucesión de los números naturales entre n y 1:

n!=n(n-1)(n-2)••••••••••••••••3••••2••••1 Ejemplo:

6! = 6•5•4•3•2•1 6! = 6•5!

6! = 6•5•4!

Cuando el número n es muy grande no resulta sencillo el cálculo de n! Las máquinas de calcular electrónicas de uso corriente permiten calcular hasta 69!, lo que significa que la expresión en la que interviene factorial, si no puede simplificarse, será dificultosa de calcular. Para tales casos suele utilizarse la fórmula aproximada debida a Stirling:

n n

e n n 2 !

n ≅ ≅ ≅ ≅ π π π π • • • •

⁻⁻⁻⁻

en la cual e = 2,718291828459045... es la base de los logaritmos naturales.

Ejemplo:

a) con la máquina de calcular: 69! = 1,71 •10⁹⁸

b) con la fórmula de Stirling: 69 !==== 2••••3,14••••69••••69⁶⁹••••(2,7128...)⁻⁻⁻⁻⁶⁹ Aplicando logaritmos decimales:

log 69! = ½(log 2 + log 3,14 + log 69) + 69 •log 69 - 69•log 2,718...= 98,23779...

69! = 1,72 • 10⁹⁸

COMBINATORIA SIMPLE:

Pueden distinguirse tres problemas distintos estudiados en el conjunto

A = { a

1

; a

2

;...; a

(n-1)

; a

n

}

:

1) Variaciones o Permutaciones de n elementos tomados de a r. (r<n)

Definición: Llamamos variaciones, permutaciones o arreglos de n elementos tomados de a r a los distintos ordenamientos que pueden realizarse de acuerdo con las siguientes condiciones:

a) En cada uno de los subconjuntos intervienen r de los n elementos constitutivos del conjunto A que se estudia.

b) Dos subconjuntos se considerarán distintos si difieren en algún elemento o bien, si contando con los mismos elementos es distinto el ordenamiento.

Se trata en consecuencia, de la estructuración de subconjuntos ordenados de A (debe considerarse como elemento distintivo de dos subconjuntos el hecho de que a pesar de contar con los mismos elementos, sea distinto el ordenamiento).

Por tal razón y a los efectos de diferenciarlos de los conjuntos no ordenados se los encerrará entre paréntesis (siguiendo la notación de los pares ordenados de números reales, de las ternas ordenadas, etc.)

Teniendo en cuenta que en los problemas del Análisis Combinatorio interesa conocer el número de arreglos que se pueden realizar, sin que sea necesario describir cada uno de los subconjuntos posibles, utilizaremos para obtener una fórmula de recurrencia la estructura de diagrama de árbol que permite, escribiendo parcialmente el mismo, obtener fórmulas de aplicación para el problema general.

Para ejemplificar el proceso, consideremos el problema de obtener el número de las V4,3 (variaciones de cuatro elementos tomados de a tres), a partir del conjunto A = {a1 ; a2 ; a3 ; a4}.

Se debe entonces, construir subconjuntos del conjunto A en cada uno de los cuales intervengan tres elementos, recordando que dos subconjuntos se considerarán distintos si difieren en algún elemento o si, estando conformados por los mismos elementos, es distinto el ordenamiento.

Para comenzar, construimos las Variaciones de cuatro elementos tomados de a un elemento. A partir de una raíz, abrimos cuatro ramas:

(a1) (a2)

(a3) (a4)

Hemos obtenido las V4,1 = 4. Con análogo razonamiento podemos inferir que las Vn,1 (variaciones de n elementos tomados de a uno) resultarán en un número igual a n.

(Vn,1 = n)

A partir de cada una de las V4,1 trataremos de construir las V4,2 . Teniendo en cuenta que las Variaciones que estamos construyendo son simples, es decir sin repetición, cada una de las V4,1 dará origen a conjuntos binarios (pares ordenados) que se obtendrán yuxtaponiendo a las mismas uno de los tres elementos de A que no haya sido utilizado, resultando:

(a1,a2) (a1) (a1,a3) (a2) (a1,a4) (a3)

(a4)

Como puede observarse fácilmente, no resulta necesario escribir la totalidad de las ramificaciones del árbol, ya que puede inferirse que el número de las V4,2 resultará de multiplicar el número de las V4,1 por tres (3).

V

4,2

= V

4,1

• • • •3 = 4••••3

A partir de las V4,2 siguiendo un razonamiento similar, construimos las V4,3

teniendo en cuenta que cada una de las V4,2 constituidas por dos elementos, dará lugar a dos V4,3 ; cada una de ellas por yuxtaposición de un elemento tomado del conjunto A que no figure en la correspondiente V4,2. Así se obtiene (abrimos el árbol únicamente para el subconjunto (a1,a3):

(a1,a2) (a1,a3,a2)

(a1) (a1,a3) (a2) (a1,a4) (a1,a3,a4)

(a3)

(a4)

resultando por cada una de las V4,2 dos V4,3 ; lo que significa:

V

_4,3

= 2 V

_4,2

= 4••••3••••2

Con análogo razonamiento, la estructuración del diagrama de árbol nos permite inferir:

V

_5,3

= 3V

_5,2

= 5••••4••••3 V

_6,3

= 4V

_6,2

= 6••••5••••4

V

_n,3

= (n-2)V

_n,2

= n(n-1)(n-2) V

n,4

= (n-3)V

n,3

= n(n-1)(n-2)(n-3)

Puede observarse para cada caso que el resultado es el producto de una sucesión decreciente de números naturales que comienza con el primero de los subíndices y tiene tantos términos como indica el segundo subíndice; así, si queremos calcular

V

_1000,4 , el resultado será

1000••••999••••998••••997 ;

y si queremos calcular

V

_n,r obtendremos:

V_n,r

= n(n-1)(n-2)(n-3)...[n-(r-1)] ;

que equivale a:

V

n,r

= n(n-1)(n-2)(n-3)...(n – r + 1)

Utilizando la notación de factorial, si multiplicamos y dividimos el segundo miembro de la expresión anterior por (n - r)!, resulta:

! ) (

! ) )(

1 (

) 3 )(

2 )(

1 (

, n r

r n r n n

n n V_nr n

−

−

−

−

•

•

•

•

−

−

= −

el numerador del segundo miembro equivale al desarrollo de n! por ser:

(n-r)! = (n-r)(n-r-1)(n-r-2)••••••••••••3••••2••••1 resultando entonces:

)!

(

!

, n r

V_nr n

= −

Ejemplo: Utilizaremos la última expresión deducida para calcular V1000,4

997 998 999

! 1000 996

! 996 997 998 999 1000

! 996

! 1000

! ) 4 1000 (

! 1000 4

,

1000 • • • • = • • •

=

− = V =

2) Permutaciones de n elementos:

Se trata ahora de estructurar subconjuntos de un conjunto dado en los cuales intervienen todos los elementos del conjunto que se estudia, diferenciándose unos de otros solamente por el ordenamiento.

Si tomamos como punto de partida para la estructuración de una fórmula de recurrencia el conjunto de las V4,3 que construimos como modelo para obtener el número de las Vn,r

(a1,a2)

(a1) (a1,a3) (a1,a4,a2)

(a2) (a1,a4) (a1,a4,a3)

(a3) (a4)

vemos que cada una de las V4,3 originadas por la dupla (a1,a4) que están representadas en la última columna, sólo puede dar origen a una V4,4 obtenida mediante la yuxtaposición del único elemento faltante tomado del conjunto A que se

estudia; es decir que la terna (a1,a4,a2), por ejemplo, dará origen únicamente a la cuaterna (a1,a4,a2,a3)

(a1,a2)

(a1) (a1,a3) (a1,a4,a2) (a1,a4,a2,a3)

(a2) (a1,a4)

(a1,a4,a3) (a3)

(a4)

lo que significa que el número de las V4,4 = P4 = 4•3•2•1= 4! ; podemos entonces escribir:

P

_n

= n!

3) Combinaciones de n elementos tomados de a r

.

Se trata en este caso de conformar subconjuntos de un conjunto dado, tales que en cada uno de ellos intervengan r de los n elementos del conjunto A que se estudia, (siendo r ≤ n) con la condición de que dos subconjuntos deben considerarse distintos sólo en el caso en que difieran al menos en un elemento.

A los efectos de obtener la correspondiente expresión de recurrencia, tomemos como ejemplo la construcción de las Combinaciones de cuatro elementos tomados de a 3 , es decir la construcción de las C4,3 tomadas del conjunto

A={a1,a2,a3,a4}. Con la condición impuesta, los subconjuntos a construir serán no ordenados, razón por la cual encerramos sus elementos entre llaves. Se obtienen mediante simple análisis las siguientes ternas:

{a1,a2,a3} ; {a1,a2,a4} ; {a1,a3,a4} ; {a2,a3,a4}

Si a partir de estos subconjuntos, escribimos las permutaciones de los elementos de cada uno de ellos, obtendremos:

(a1,a2,a3) (a1,a3,a2) (a2,a1,a3) (a2,a3,a1) (a3,a1,a2) (a3,a2,a1) (a1,a2,a4) (a1,a4,a2) (a2,a1,a4) (a2,a4,a1) (a4,a1,a2) (a4,a2,a1) (a1,a3,a4) (a1,a4,a3) (a3,a1,a4) (a3,a4,a1) (a4,a1,a3) (a4,a3,a1)

(a2,a3,a4) (a2,a4,a3) (a3,a2,a4) (a3,a4,a2) (a4,a2,a3) (a4,a3,a2)

Como las ternas ordenadas de la tabla anterior han sido obtenidas siguiendo el mecanismo de estructurar todos los subconjuntos posibles de tres elementos de A:

primero aquellos que se diferencian en algún elemento, (los que corresponden a cualquier columna) y luego todos aquellos que, manteniendo los elementos, se obtienen permutando el orden de los mismos (ver una cualquiera de las

filas), en dicha tabla habremos escrito (recordar la definición) la totalidad de las variaciones de cuatro elementos tomados de tres.

Resulta entonces que si cualquier columna representa la descripción de las C4,3 y cada fila la descripción de las P3, podremos asegurar que:

V

4,3 =

C

4,3

• • • •P

3

o bien:

3 3 , 4 3 ,

4 P

C =V

que puede generalizarse:

r r n r

n P

C _, =V ^,

utilizando la expresión:

! r) - (n

! V_n,r = n

llegamos a r! (n-r)!

! C_n,r ==== n

Potencia de un binomio. Introducción. Estructura de los términos.

Estructura de los coeficientes. Tabla de cálculo directo de los coeficientes para una potencia cualquiera. El coeficiente binomial o número combinatorio: propiedades Aplicación de las propiedades al cálculo de los coeficientes del desarrollo de la potencia n-ésima de un binomio. Triángulo de Tartaglia.

Potencia de un binomio.(El binomio de Newton).

Para encontrar una expresión de recurrencia que nos permita obtener el desarrollo de (a+b)ⁿ cualquiera sea n perteneciente al conjunto No (naturales incluido el cero) sin tener que multiplicar sucesivamente la base (a+b) por sí misma, nos basaremos en algunos desarrollos realizados para potencias pequeñas, que conocemos desde la escuela media.

(a+b)^o = 1

(a+b)¹= 1a¹b⁰ +1a⁰b¹ (a+b)²= 1a²b⁰+2a¹b¹+1a⁰b² (a+b)³= 1a³b⁰+3a²b¹+3a¹b²+1a⁰b³

(a+b)⁴= 1a⁴b⁰+4a³b¹+6a²b²+4a¹b³+1a⁰b⁴

En los desarrollos precedentes pueden realizarse las siguientes observaciones;

a) respecto de la estructura de los desarrollos:

a1) el número de términos es igual a la potencia mas uno (n+1).

a2) en todos los casos se efectúan en potencias crecientes de b (desde 0 hasta n) y en potencias decrecientes de a (desde n hasta 0).

a3) todos los términos son homogéneos, es decir, del mismo grado n, lo que significa que si en un término cualquiera el grado de b es i, el grado de a deberá ser n-i, resultando que el término genérico o término general del desarrollo será de la forma a^n-ib^i,.precedido de un coeficiente cuya forma de generación describimos:.

b) respecto de la formación de los coeficientes:

(a+b)^o = 1

(a+b)¹= 1 1 (a+b)²= 1 2 1 (a+b)³= 1 3 3 1 (a+b)⁴= 1 4 6 4 1

con los coeficientes de los segundos miembros de las igualdades se ha formado un

“triángulo numérico” en el cual:

b1) para cualquier potencia el primero y el último coeficientes son iguales a la unidad; el segundo y el anteúltimo son iguales al valor de la potencia.

b2) existe simetría en el valor de los coeficientes, con uno central si n es par y dos centrales iguales si n es impar. Por esta razón solo es necesario encontrar el valor de un número de coeficientes equivalente a la parte entera del cociente 2n , teniendo en cuenta que, para todo n, el valor del primer coeficiente es la unidad.

b3) en el “triángulo numérico” cada uno de los coeficientes, exceptuando el primero de cada desarrollo, es igual a la suma del que tiene encima más el de la izquierda de este último o bien, puede obtenerse como la diferencia entre el que tiene debajo y el que tiene a su izquierda.

b4) Para cualquier potencia, todos los coeficientes, a partir del segundo pueden calcularse multiplicando el coeficiente del término anterior por la potencia de a en su término y dividiéndolo por la potencia de b en el término cuyo coeficiente se quiere calcular.

Como veremos y justificaremos posteriormente, esta última observación resulta de suma utilidad, ya que posibilita calcular directamente los coeficientes para cualquier potencia, por grande que ella sea, sin tener que apelar al previo conocimiento de los coeficientes de potencias menores obtenidas del triángulo numérico. Debe destacarse que, cuando n aumenta, el cálculo de los coeficientes utilizando el triángulo numérico resulta engorroso y muchas veces inviable. .

Para ejemplificarla observación efectuada en b4) volvamos al desarrollo del binomio para la potencia n = 4

(a+b)⁴= 1a⁴b⁰+4a³b¹+6a²b²+4a¹b³+1a⁰b⁴ el cálculo de los coeficientes puede realizarse como sigue:

coef. 0 = 1 (como se dijo en b1), para cualquier potencia es igual a la unidad).

coef. 1 = 4 1 1•4 =

coef. 2 = 6 2 4•3 =

coef. 3 = 4 3 6•2 =

coef. 4 = 1 4 4•1 =

El cálculo puede generalizarse utilizando la expresión:

coef. i = coef.i-1 



 



 − + i

i

n 1 válida para todo i mayor o igual que uno.

Ejemplificamos para n = 6 coef. 0 = 1

coef. 1 = 1 6

1 1 6 1

1 1

6 = • =



 



 − +

coef. 2 = 6 15

2 6 5 2

1 2

6 = • =



 



 − +

coef. 3 = 15 20

3 15 4 3

1 3

6 = • =



 



 − +

coef. 4 = 20 15 4 20 3 4

1 4

6 = • =



 



 − +

coef. 5 = 15 6

5 15 2 5

1 5

6 = • =



 



 − +

coef. 6 = 6 1

6 6 1 6

1 6

6 = • =



 



 − +

resultando los coeficientes de (a+b)⁶ iguales a 1 6 15 20 15 6 1

utilizando la observación b3), podemos escribir los valores de los coeficientes para n = 5 y n = 7 (a+b)⁵ = 1 5 10 10 5 1

(a+b)⁶ = 1 6 15 20 15 6 1 (a+b)⁷ = 1 7 21 35 35 21 7 1

Ahora nuestro triángulo numérico puede ampliarse a:

(a+b)^o = 1 (a+b)¹ = 1 1 (a+b)² = 1 2 1 (a+b)³ = 1 3 3 1 (a+b)⁴ = 1 4 6 4 1 (a+b)⁵ = 1 5 10 10 5 1 (a+b)⁶ = 1 6 15 20 15 6 1 (a+b)⁷ = 1 7 21 35 35 21 7 1

El cálculo que hemos realizado puede tabularse, permitiendo una gran simplificación y aumento de la rapidez en la obtención de los coeficientes.

Supongamos que queremos obtener los coeficientes para la potencia n = 7;

teniendo en cuenta la simetría a que hemos hecho referencia en b2), sólo será necesario calcular un número de coeficientes equivalente a la parte entera de 7/2, es decir, tres coeficientes:

1 +

−i

n 7 6 5

i 0 1 2 3 coef. i 1 7 21 35

y para la potencia n = 15 (calculamos siete coeficientes)

1 +

−i

n 15 14 13 12 11 10 9

I 0 1 2 3 4 5 6 7

Coef.i 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 resultando los coeficientes:

1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1

Supongamos ahora que queremos calcular el sexto coeficiente

(i = 5) del desarrollo del binomio para la potencia 15 (ver la zona sombreada de la tabla anterior). El valor requerido se obtiene mediante la operación:

5 3003 4 3 2 1

11 12 13 14 15

5 , 15 5

5 ,

15 = =

• =

•

•

•

•

•

•

• C

P V

en la cual el número resultante equivale a las combinaciones de quince elementos tomados de a cinco, pero no se trata de un arreglo sino de un número que, por la estructura de su obtención llamamos Número Combinatorio. Vamos a demostrar que esta estructura de cálculo es válida cualquiera sea el valor de la potencia n.

Generalizando;

n−i+1 n n-1 n-2 n-3 … … n-i+1 … …

i 0 1 2 3 4 … … i … …

coef. i 1 coef. i ... ...

coef. i =

i i n n

n n n

•

•

•

•

+

−

−

−

−

....

4 3 2 1

) 1 )...(

3 )(

2 )(

1

( ;

multiplicando y dividiendo el segundo miembro por (n-I)!

coef. i =

)!

(

!

! )!

( ....

4 3 2 1

)!

)(

1 )...(

3 )(

2 )(

1 (

i n i

n i

n i

i n i n n

n n n

= −

−

•

•

•

•

•

− +

−

−

−

− que escribimos:

coef.i =

)!

(

!

! i n i

n i

n

= −







 ; al símbolo 







 i

n lo denominamos indistintamente número combinatorio o coeficiente binomial. Al número n lo llamamos numerador y al número i, denominador, sin que ello signifique que se trata de un cociente entre estos números.

Podemos entonces escribir los desarrollos para distintas potencias, expresando los coeficientes como números combinatorios; por ejemplo, para la potencia n = 4 resultará:

( )

^{4 4 0 3 1 2 2 1 3 0 4}

4 4 3

4 2

4 1

4 0

4 a b a b a b ab a b

b

a 





 +





 +





 +





 +







= +

y para la potencia n:

( )

^{n n n n n i i n n n} a bⁿ

n b n

n a b n

i a b n

n a b n a b n a b

a ^{0 1 1 2 2 ( 1) 1} ´ ⁰

.... 1 2 ....

1

0 





 +







 + −

 +





 +

 +





 +





 +







=

+ ^{− − − − − −}

expresión en la cual cada uno de los coeficientes puede obtenerse a partir del primero 







 0 n =1.

mediante la fórmula 



 



 − +

⋅









= −









i i n i

n i

n 1

1 ;

por ejemplo, para el desarrollo de (a+b)⁷:

...

3 35 21 5 3 ;

1 3 7 2 7 3 7

21 3 7 2 ;

1 2 7 1

7 2 7

7 7 1 1 ,

1 1 7 0 7 1 7

siguiendo así

y

=

⋅

=







 



 



 − +

⋅







=









=

⋅

=







 



 



 − +

⋅







=









=

⋅

=







 



 



 − +

⋅







=









3

" 7

"

"

"

"

2

" 7

"

"

"

"

1 a 7 igual es que lo

o de manera más rápida como se explicara y desarrollara en la tabla

1 +

−i

n 7 6 5

i 0 1 2 3 coef. i 1 7 21 35

La potencia n-ésima de un binomio puede escribirse en forma condensada:

( ) ∑

=

 −







=  +

n i

i i n

n a b

i b n

a

0

expresión que recibe el nombre de “El binomio de Newton” y en la cual los coeficientes pueden obtenerse mediante los métodos desarrollados.

Para aceptar la validez de esta última expresión condensada cualquiera sea n, falta generalizar las observaciones b2) y b3; para ello realizaremos el análisis de las propiedades de los que hemos llamado Números Combinatorios.

Propiedades de los Números Combinatorios Generalización de la observación b2) .

La igualdad 







 i

n = 









−i n

n que corresponde a la simetría de los coeficientes se traduce en palabras de la siguiente manera:

Dos números combinatorios de iguales numeradores y denominadores tales que su suma es igual al numerador, se dicen de órdenes complementarios y son iguales.

Demostración.

El desarrollo de los números combinatorios para ambos miembros puede expresarse como: factorial de numerador dividido el factorial del denominador que multiplica al factorial de la diferencia entre numerador y denominador. Para

nuestra igualdad:

( )

[ ]

!

)!

(

! )!

(

!

!

i n n i n

n i

n i

n

−

−

= −

− ; eliminando el paréntesis del segundo factor del denominador del segundo miembro, resulta:

! )!

(

! )!

(

!

!

i i n

n i

n i

n

= −

−

⋅ ; lo que significa que, cualquiera

sea n, los coeficientes simétricos del desarrollo son iguales. La observación b2), se ha transformado en una propiedad).

Ejemplo: en el desarrollo de (a+b)⁴ se verifican las siguientes igualdades:

3 4 4 1

; 4 4 1

4 0

4 =







=







= 







=







 :

que se leen: el primero y el último coeficiente son iguales a la unidad; el segundo y el anteúltimo son iguales a la potencia.

Generalización de la observación b3)

Que un coeficiente cualquiera puede obtenerse en el triángulo numérico como la suma entre el que tiene encima y el de la izquierda de este último se expresa, si los consideramos como números combinatorios, de la siguiente manera

“La suma de dos números combinatorios de iguales numeradores y denominadores sucesivos es un nuevo número combinatorio cuyo numerador es una unidad mayor que la de los numeradores de los sumandos y cuyo denominador es igual al mayor de los denominadores de los sumandos”,

y se simboliza:







=





 + −









−

−

i n i

n i

n 1

1

1 ;

Demostración: aplicando la definición, escribimos para cada número combinatorio de la igualdad, factorial del numerador, dividido el factorial del denominador que multiplica al factorial de la diferencia:

( )

( ) ( [ ) ( ) ]

( )

( )

!

( )

!

!

! 1

!

! 1

! 1 1

! 1

! 1

i n i

n i

n i

n i

n i

n

−

= ⋅

−

−

⋅ + −

−

−

−

⋅

−

−

que puede simplificarse eliminando paréntesis en el segundo factor del denominador del primer término del primer miembro y ordenando de manera conveniente el segundo factor del denominador del segundo término del primer miembro:

( )

( ) [ ]

( )

( )

!

( )

!

!

! 1

!

! 1

!

! 1

! 1

i n i

n i

n i

n i

n i

n

−

= ⋅

−

−

⋅ + −

−

⋅

−

− ;

teniendo en cuenta que:

( )

( )

!

( ) (

1

)

!

! 1

!

−

−

⋅

−

=

−

−

⋅

=

i n i n i n

i i i

multiplicamos y dividimos el primer término del primer miembro por i y el segundo término del primer miembro por

(

n −i

)

, resultando:

( )

( ) [ ]

( ) ( )

( ) ( )

!

( )

!

!

! 1

!

! 1

!

! 1

! 1

i n i

n i

n i n i

n i n i

n i i

n i

−

= ⋅

−

−

⋅

−

⋅

−

⋅ + −

−

⋅

−

⋅

−

⋅

!i

(

n −i

)

!

( )

( )

( ) ( )

( )

!

( )

!

!

!

!

! 1

!

!

! 1

i n i

n i

n i

n i n i n i

n i

−

= ⋅

−

⋅

−

⋅ + −

−

⋅

−

⋅

por tener el primer miembro denominador común:

( ) ( ) ( )

( )

!

( )

!

!

!

!

! 1

! 1

i n i

n i

n i

n i n n

i

−

= ⋅

−

⋅

−

⋅

− +

−

⋅ ;

vemos ahora que el numerador del primer miembro tiene como factor común )!

1

( −n ; operando convenientemente:

( ) ( )

( )

!

( )

!

!

!

!

! 1

i n i

n i

n i

i n i n

−

= ⋅

−

⋅

− +

⋅

−

( ) ( )

( )

!

( )

!

!

!

!

! 1

i n i

n i

n i

n n

−

= ⋅

−

⋅

⋅

−

siendo el numerador del primer miembro igual a n!, la observación b3 transformada en propiedad queda demostrada para cualquier valor de n, es decir, para cualquier potencia.

Aplicación de los números combinatorios al cálculo de los coeficientes del desarrollo de la potencia de orden n de un binomio.

Según hemos visto, el desarrollo de la potencia n-ésima de un inomio puede escribirse;

( )

^{n n n n n i i n n n} a bⁿ

n b n

n a b n

i a b n

n a b n a b n a b

a ^{0 1 1 2 2 ( 1) 1} ´ ⁰

.... 1 2 ....

1

0 



 

 +



 



 + −

 +



 

 +

 +



 

 +



 

 +



 



=

+ ^{− − − − − −}

que para las potencias comprendidas entre 0 y 4 toma el aspecto;

(a+b)^o = 1

(a+b)¹= 1a¹b⁰ +1a⁰b¹ (a+b)²= 1a²b⁰+2a¹b¹+1a⁰b² (a+b)³= 1a³b⁰+3a²b¹+3a¹b²+1a⁰b³

(a+b)⁴= 1a⁴b⁰+4a³b¹+6a²b²+4a¹b³+1a⁰b⁴

o lo que es igual, expresados los coeficientes como números combinatorios:

(a+b)^o = 







 0 0

(a+b)¹= 







 0

1 a¹b⁰ + 







 1 1 a⁰b¹

(a+b)²= 







 0

2 a²b⁰+ 







 1

2 a¹b¹+ 







 2 2 a⁰b²

(a+b)³= 







 0

3 a³b⁰+ 







 1

3 a²b¹+ 







 2

3 a¹b²+ 







 3 3 a⁰b³

(a+b)⁴= 







 0

4 a⁴b⁰+ 







 1

4 a³b¹+ 







 2

4 a²b²+ 







 3

4 a¹b³+ 







 4 4 a⁰b⁴

estos desarrollos pueden escribirse en forma simplificada, cuando interesan solamente los coeficientes:

(a+b)^o

(a+b)¹ 







 0 1 







 1 1

(a+b)² 







 0 2 







 1

2 







 2 2

(a+b)³ 







 0 3 







 1

3 







 2

3 







 3 3

(a+b)⁴ 







 0 4 







 1

4 







 2

4 







 3 4 







 4 4

observándose en todos los desarrollos que:

a) El primero y el último coeficiente son iguales a la unidad (verificar que para cualquier potencia 







 0

n y 







 n

n son iguales a la unidad.

b) El segundo y el anteúltimo coeficiente son iguales a la potencia.

c) Cualquier coeficiente puede obtenerse, de acuerdo con la segunda propiedad de los números combinatorios, sumando los dos que en el triángulo tiene encima; por ejemplo









 2

3 + 







 3

3 = 







 3 4

(recordar que: “La suma de dos números combinatorios de iguales numeradores y denominadores sucesivos es un nuevo número combinatorio cuyo numerador es una unidad mayor que la de los numeradores de los sumandos y cuyo denominador es igual al mayor de los denominadores de los sumandos”,

Estas observaciones permiten “traducir” el triángulo de los números combinatorios a un triángulo aritmético, que recibe el nombre de Triángulo de Tartaglia o de Pascal y que se desarrolla:

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 y así siguiendo...

Término general del desarrollo:

Tiene la forma; _i a^{n i}bⁱ i

T n ⁻







=

Atención: el cuarto término de un desarrollo tiene i = 3 ya que i, recordamos, va desde 0 hasta n.

Ejemplo 1: Hallar los términos de (a+b)³

3 3 3 0

2 3

2 1

2 1 1 2

3 0 0 3

3

; 3 2 3

3

1 3

; 3 0

3

b b a T

ab b

a T

b a b a T

a b a T

 =







=

 =







=

 =







=

 =







=

Ejemplo 2: Calcular el término inicial del desarrollo de

(

3x −2y

)

⁷

( ) (

⁷

)

^{0 7 7 7}

0 3 2 1 3 2187

0

7 x y x x

T  − = ⋅ ⋅ =







=

Ejemplo 3: Calcular el quinto término para el binomio del ejemplo anterior:

(para el 5to. término debemos considerar i = 4)

( ) (

³

)

^{4 3 4 3 4}

4 3 2 35 27 16 15.120

4

7 x y x y x y

T  − = ⋅ ⋅ ⋅ =







=

Ejemplo 4: Calcular el término de grado uno en el desarrollo de

1 7

3 



 



 −

x x

( )

ⁱ _i ⁱ

( )

ⁱ

(

ⁱ

)

i i i

i

i i x

x i i x

x x

T i ^{7 7 7 7} 1 7 3⁷ 1 ^{7 2}

1 7 3

3 1

7 _{− − − − − −}

⋅

−

⋅

⋅







=

⋅

−

⋅

⋅

⋅







=



 



−

⋅

⋅







=

como el grado del término buscado debe ser uno; 7-2i = 1 que nos da i = 3

entonces, T ⋅ ⋅x =− ⋅ ⋅x=− ⋅x







−

= 3 ^{− − ⋅} 35 81 2835

3

7 _{7 3 7 23} 3

Ejemplo 5: calcular el cuatro término del desarrollo de 1 ⁷

3 



 



 −

x x Utilizamos la tabla

1 +

−i

n 7 6 5

i 0 1 2 3 coef. i 1 7 21 35

( )

x x x

x

T = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ 1 =−35⋅81⋅ =−2835⋅ 1

3

35 3

4 3 3 4

Ejemplo 6: calcular los coeficientes del desarrollo de (a+b)⁴³:

1 +

−i

n 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

i

coef . 1 43 903 12341 123410 962598 6,1x10⁶ 3,2x10⁷ 1,5x10⁸ 5.6x10⁸ 1,9x10⁹

1 +

−i

n ^{33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23}

i ^{11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21}

i

coef . 5,8x10⁹ 1,5x10¹⁰ 3,7x10¹⁰ 7,8x10¹⁰ 1,6x10¹¹ 2,7x10¹¹ 4,2x10¹¹ 6,1x10¹¹ 8,0x10¹¹ 9,6x10¹¹ 1,1x10¹²

Combinatoria con repetición

: Variaciones con repetición de n elementos tomados de a r.

Permutaciones con repetición de n elementos. Permutaciones con elementos indistinguibles Variaciones

con repetición:

Llamamos Variaciones con repetición de n elementos tomados de a r

(V*

_n,r

)

a los distintos ordenamientos que pueden efectuarse con los n elementos del conjunto que se estudia, teniendo en cuenta que en cada ordenamiento puede repetirse cualquier elemento hasta r veces. Por tal razón para este tipo de combinatoria r puede ser menor, mayor o igual que n.

Para encontrar una fórmula de recurrencia que nos permita calcular el número de las

V*

_n,r comenzamos a partir del conjunto A = {a1 , a2 , a3 , a4} a construir las

V*

_4,1

que no pueden ser distintas a las

V

4,1 resultando:

(a1) (a2)

(a3) (a4)

Por tratarse de Variaciones con repetición, cada uno de los subconjuntos que componen las V*4,1 podrá originar 4 conjuntos binarios, ya que, al permitirse la repetición, todos los elementos de A, pueden ser utilizados. En efecto:

(a1,a1) (a1,a2)

(a1) (a1,a3) (a2) (a1,a4) (a3)

(a4) resultando en la última columna: V*4,2 = 4••••4 = 4²

Como cada vez que hagamos una nueva ramificación podremos estructurar 4 nuevos subconjuntos inferimos, sin más trámite, que:

V*

_n,r

= n

^r

Las variaciones con repetición pueden utilizarse para resolver un problema que en Estadística recibe el nombre de “muestreo con repetición” Si tenemos un bolillero con m bolillas numeradas de 1 a m y se van extrayendo una a una r bolillas con el cuidado de anotar el número de cada una de las que salen y previamente a sacar la siguiente reponerlas en el bolillero, se obtiene un conjunto de r números que pueden o no ser repetidos. Se obtiene así un conjunto ordenado (a1, a2, a3.... ar) donde los ai pueden repetirse hasta r veces que recibe el nombre de “muestra de tamaño r” tomada de un conjunto de m elementos, permitiéndose la repetición. El número total de muestras posibles de tamaño r corresponde a las

V*

n,r

= n

^r

NOTA IMPORTANTE: Cuando el número r alcanza el valor de n, debería escribirse

V*

_n,n

= n

ⁿ

. Es preferible, cuando esto sucede y en cada uno de los subconjuntos interviene un número de elementos igual a n, cambiar el nombre de Variaciones por el de Permutaciones con repetición de n elementos, simbolizándose P*

_n

= n

ⁿ

Permutaciones con elementos indistinguibles

Sea ahora un conjunto formado por n elementos, entre los cuales hay algunos que son distintos pero indistinguibles entre sí; por ejemplo consideremos un conjunto formado por tres tizas blancas, dos verdes y una azul. Se trata de un conjunto de 6 tizas con las cuales resulta posible efectuar 6! = 720 permutaciones.

Sin embargo, como es fácil entender, cuando a partir de un ordenamiento cualquiera se permuten entre sí, por ejemplo, la posición de dos tizas blancas, la permutación resultará distinta pero indistinguible de la que le dio origen.

Cuando se nos presenta este problema, la solución al mismo consiste en hallar el número de permutaciones distinguibles (las que se obtienen sólo al intercambiar la posición de elementos que resulten distinguibles: dos tizas de distinto color)

Sea entonces el conjunto T = {B;B;B;V;V;A}. El número total de permutaciones que pueden realizarse con los elementos del conjunto T es, como ya hemos visto de 6! = 720 permutaciones simples.

El diagrama arborescente nos permitirá encontrar el número de permutaciones distinguibles: para ello comencemos por identificar las tizas de igual color mediante un subíndice:

T= {B

1

;B

2

;B

3

;V

1

;V

2

;A}

En una primera ramificación colocaremos las permutaciones distinguibles, cuyo número nos es desconocido:

X ? (B1;B2;B3;V1;V2;A) (B1;B2;V1;B3;V2;A) (B1;B2;V1;B3;A;V2)

(V1;V2;A;B1;B2;B3)

(las líneas punteadas indican que no se conoce el número de las permutaciones distinguibles: no se conoce el número de ramas en la primera ramificación). Llamamos X (incógnita) al número de elementos de dicha columna.

A partir del conjunto de las permutaciones distinguibles cuyo número X desconocemos, comenzamos a desarrollar las siguientes ramas de la estructura de árbol. Cada una de las permutaciones distinguibles dará origen a 3! permutaciones como consecuencia del intercambio en la posición de las Bi

X ?

(B1;B2;B3;V1;V2;A) (B1;B2;V1;B3;V2;A)

(B1;B2;V1;B3;A;V2) X••••3!

(V1;V2;A;B1;B2;B3) (V1;V2;A;B1;B3;B2) (V1;V2;A;B1;B2;B3) (V1;V2;A;B2;B1;B3) (V1;V2;A;B2;B3;B1) (V1;V2;A;B3;B1;B2) (V1;V2;A;B3;B2;B1) resultando que el número total de permutaciones de la segunda columna es X••••3!.

Con similar razonamiento, pueden obtenerse permutaciones distintas pero indistinguibles en una tercera columna, cambiando el ordenamiento de las V (tizas verdes), como se desarrolla en el esquema de la página siguiente: