1
Temario
1. Teoría de conjuntos
(a) Algebra de conjuntos: unión [; intersección \; complementario c;
leyes de De Morgan, el producto directo
(b) Relaciones binarias: relaciones de equivalencia, conjunto cociente. (c) Aplicaciones: correspondencia, función, aplicación. Inyectiva,
so-breyectiva, biyectiva
No entra: relación de orden, números complejos 2. Números enteros Z
(a) Máximo común divisor (m.c.d.): algoritmo de Euclides. Mínimo común múltiplo (m.c.m.)
(b) Teorema fundamental de la aritmética: m.c.d. m.c.m.
(c) Congruencias Zn : +, ; ecuación diofántica, ecuación en
congruen-cias, pequeño teorema de Fermat
No entra: teorema del resto chino, criterios de divisibilidad 3. Grupos
(a) De…nición de grupo y propiedades: el orden de un grupo jGj ; la tabla de un grupo …nito
(b) Ejemplos: congruencias (Zn; +); (Zn; ); permutaciones (Sn; )
(B(X); ); el grupo dihédrico (D2n; ); el producto directo.
(c) Subgrupos: el orden de un elemento jxj (d) Grupos cíclicos
(e) Teorema de Lagrange
(f) Subgrupos normales. Grupo cociente (g) Homomor…smos de grupos
(h) Teoremas de isomorfía: 1o
(i) Teorema de clasi…cación de los grupos cíclicos. Teorema de estructura de grupos cíclicos.
No entra: grupos de matrices, grupos de movimientos, el producto semidirecto, el 2oy 3oteoremas de isomorfía, teorema de clasi…cación
de los grupos abelianos …nitos, grupos abelianos …nitamente genera-dos
4. Anillos
(b) Ejemplos: (Zn; +; )
(c) Subanillos
(d) Ideales: anillo cociente; ideal primo, maximal y principal (e) Homomor…smos de anillos
(f) Teoremas de isomorfía: 1o
(g) El anillo de polinomios en una variable con coe…cientes en un cuerpo K[X]
i. Criterios de irreducibilidad: generales, sobre C[x]; R[x]; Q[x]; Zp[x] con p primo
ii. DIP; I primo , I maximal, P 2 K[X] irreducible , hP i max-imal , K[X]= hP i cuerpo
No entra: 2oy 3oteoremas de isomorfía, cuerpo de fracciones de un anillo
2
Ejercicios
2.1
Conjuntos
1. Determinar cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas para cua-lesquiera conjuntos A, B, C, D. Si una doble implicación falla, determinar si hay alguna implicación verdadera dando un contraejemplo en caso con-trario. Si una igualdad falla, determinar si hay alguna inclusión verdadera, dando un contraejemplo en caso contrario
(o) lo contrario de m, suponiendo que A y B son no vacíos (p) (A B) [ (C D) = (A [ C) (B [ D) (q) (A B) \ (C D) = (A \ C) (B \ D) (r) A (B C) = (A B) (A C) (s) (A B) (C D) = (A C B C) A D (t) (A B) (C D) = (A C) (B D)
2. Si A es un subconjunto de U, se de…ne el complementario Ac de A en U
como Ac= U A: Si A U y B U probar que
(A [ B)c= Ac\ Bc (A \ B)c= Ac[ Bc 3. Simpli…car
(a) (((A [ B) [ C) \ A) \ (((B [ C) \ (Bc\ Cc)) [ A)
(b) (((A [ B)c\ Cc) \ (B [ (A [ B)c)) [ ((A \ B)c[ Ac)
4. Se de…ne la diferencia simétrica de dos conjuntos A y B como A B = (A B) [ (B A) Probar:
(a) A B = B A
(b) A B = (A [ B) (B \ A) (c) A B = (A \ Bc) [ (B \ Ac) (d) A C (A B) [ (B C):
(e) Demostrar que se puede de…nir una distancia entre conjuntos …nitos como el número de elementos de su diferencia simétrica
5. Sean A; B subconjuntos de un conjunto X: Se de…ne A u B (A \ B)c:
Demostrar que Ac = A u A y que A \ B = (A u B) u (A u B): Expresar
también A [ B en función de u
6. Sea A un conjunto y P(A) el conjunto de las partes de A: ¿Puede ser A 2 P(A)? ¿Puede ser A P(A)? Demostrar que si A contiene n elementos entonces P(A) tiene 2n elementos
7. Sean A; B conjuntos. Comprobar si son ciertas las igualdades siguientes: P(A) \ P(B) = P(A \ B)
P(A) [ P(B) = P(A [ B)
8. Dado un conjunto U, se dice que una aplicación f : P(U) ! R es aditiva si satisface 8A; B U que A \ B = ; =) f(A [ B) = f(A) + f(B): Probar que si f es aditiva, se veri…ca que f (;) = 0 y f(A [ B) = f (A)+f (B) f (A\B) 8A; B U: Si además f no toma valores negativos, se dice que es una medida; en tal caso probar que A B =) f(A) 5 f(B)
9. Sea F una colección de conjuntos tal que
X; Y 2 F =) X Y 2 F Comprobar que si X; Y 2 F entonces X \ Y 2 F
10. Sea F una colección de conjuntos. De…nimos F0= fX Y = X; Y 2 Fg:
Demostrar que F0 (F0)0: Dar un ejemplo que demuestre que es posible
tener F06= (F0)0
11. En Z se de…ne aRb si y sólo si a2= b2: Probar que R es de equivalencia
e identi…car Z=R
12. Si n 2 N se de…ne en Z la relación aRb () a b es múltiplo de n. Probar que R es de equivalencia y dar un conjunto completo de representantes 13. Escribiendo Z = Z f0g; en Z Z se de…ne la relación (a; b)R(c; d) si
y sólo si ad = bc. Probar que es de equivalencia e identi…car el cociente (Z Z )=R
14. Determinar los conjuntos cocientes de las relaciones de equivalencia sigu-ientes:
(a) en R2; (x; y)R(x0; y0) si y sólo si x2+ y2= x02+ y02
(b) en R3; (x; y; z)R(x0; y0; z0) si y sólo si z = z’
(c) en R3; (x; y; z)R(x0; y0; z0) si y sólo si x2+ y2= x02+ y02
15. Sea R la relación de equivalencia de…nida en el conjunto M = R2 f(0; 0)g por (a; b)R(c; d) () ad = bc
(a) Encontrar la clase de equivalencia de cada uno de los elementos sigu-ientes: ( 1; 0); (0; 1); (2; 1); (a; b)
(b) Sea S1 la circunferencia de radio 1 y centro el origen. Construir una aplicación inyectiva entre el conjunto cociente M=R y S1
16. Dado un conjunto N; se llama función característica del subconjunto M N a la aplicación siguiente:
M : N ! R
a 0 a =2 M
1 a 2 M
Sea P otro subconjunto de N y f : N ! R la aplicación dada por f (a) = M(a) + P(a) M(a) P(a)
(a) f es inyectiva si y sólo si existe otra aplicación g : B ! A tal que g f = IA
(b) f es sobreyectiva si y sólo si existe otra aplicación h : B ! A tal que f h = IB
(c) f es biyectiva si y sólo si existe otra aplicación k : B ! A tal que k f = IA y f k = IB
18. Dadas las aplicaciones f : A ! B y g : B ! C probar (a) si f, g son inyectivas, g f lo es
(b) si f, g son sobreyectivas, g f lo es (c) si f,g son biyectivas, g f lo es (d) si g f es inyectiva, f es inyectiva
(e) si g f es sobreyectiva, g es sobre
(f) si g f es inyectiva y f es sobreyectiva entonces g es inyectiva (g) si f es biyectiva, f 1 también lo es
(h) si f y g son biyectivas entonces (g f ) 1= f 1 g 1
19. Dada una aplicación f : X ! Y y subconjuntos cualesquiera A; B X C; D Y , se de…ne la preimagen conjuntista de C Y como f 1(C) = fx 2 X = f(x) 2 Cg: Determinar cuales de las siguientes igualdades son verdaderas. Si una igualdad falla, determinar si hay alguna inclusión verdadera, dando un contraejemplo en caso contrario
(a) f (A [ B) = f(A) [ f(B) (b) f (A \ B) = f(A) \ f(B) (c) f 1(f (A)) = A (d) f 1(C [ D) = f 1(C) [ f 1(D) (e) f 1(C \ D) = f 1(C) \ f 1(D) (f) f (f 1(C)) = C (g) f (f 1(f (f 1(C)))) = f (f 1(C))
20. Dada una aplicación f : A ! B sobreyectiva, se de…ne sobre A una relación: aRa0 () f(a) = f(a0)
(a) demostrar que es una equivalencia
(b) siendo A el conjunto cociente, demostrar que hay una biyección entre A y B
22. ¿ Cuántas relaciones de equivalencia distintas se pueden de…nir sobre el conjunto fa; b; cg ?
23. Sea X = R f0g: De…nimos las relaciones R1 y R2 sobre X X por
(a; b)R1(x; y) cuando ay = bx
(a; b)R2(x; y) cuando a2y = bx2
Demostrar que son relaciones de equivalencia. En cada caso describir geométricamente las clases de equivalencia.
24. Dado un número real a consideramos la relación R de…nida sobre R por xRy cuando y = x2+ ax + a2
(a) Demostrar que si A = fx 2 R = xR1g entonces i. A = ? si y sólo si jaj > 2=p3
ii. jAj = 1 si y sólo si jaj = 2=p3 iii. jAj = 2 si y sólo si jaj < 2=p3
(b) Demostrar que la relación S de…nida sobre R por xSy cuando x3 y3= x y
es una relación de equivalencia. Deducir del apartado a) que la clase de equivalencia de x 2 R consta de:
i. un único elemento si y sólo si jxj > 2=p3
ii. dos elementos si y sólo si jxj = 2=p3 o jxj = 1=p3 iii. tres elementos en otro caso
25. Dada una aplicación f : A ! B se de…ne en P(A) una relación R mediante A0RA00() f 1(f (A0)) A00 8A0; A00 A Razonar si R tiene
la propiedad re‡exiva, simétrica, transitiva o antisimétrica
26. Sea X un subconjunto de un conjunto Y y R la relación de…nida en P(Y ) por:
ARB cuando A \ X = B \ X
Demostrar que R es una relación de equivalencia. Si X tiene n elementos, calcular el número de elementos del conjunto cociente P(Y )=R
27. Sea f : A ! B una aplicación inyectiva entre dos conjuntos con más de dos elementos cada uno. Se de…ne en el producto cartesiano A B una relación entre sus elementos, de la forma (a; b) (a0; b0) () o se veri…ca
fa = a0 y b = b0g o se veri…ca fb = f(a0) y b0 = f (a)g Demostrar que es
F : C ! P(A) (a; b) fa; g(b)g
siendo g la aplicación de…nida en el problema 17a. Demostrar que F está bien de…nida. ¿Es inyectiva? ¿Es sobreyectiva? Demostrar que si f es sobreyectiva, F es inyectiva
28. Sea el conjunto Q Q con la relación R dada por (a; b)R(x; y) cuando a2+ y2= b2+ x2 (a) Demostrar que R es una relación de equivalencia
(b) Describir las clases de equivalencia y el conjunto cociente
(c) Para cada 2 R; sea f : Q Q ! R la aplicación dada por f (x; y) = px2+ y2: Encontrar los valores de para los cuales
la aplicación f induce una aplicación en el conjunto cociente F :
Q Q=R ! R
(d) Para los valores de encontrados en el apartado anterior, comprobar si F es inyectiva o sobreyectiva
2.2
Números enteros
1. Demostrar por inducción
(a) 1 +22 +32 +...+n2 = n(n+1)(2n+1)/6
(b) a +aq +aq2 +aq3 +...+aqn = a(1-qn+1)/(1-q)
(c) 13 divide a 42n+1+ 3n+2 para todo n
(d) si x= 0 entonces 1 + nx 5 (1 + x)n para todo n
(e) (cos x + isen x)n = cos nx + isen nx para todo n (fórmula de De
Moivre)
(f) Si A1;: : : An son subconjuntos de un conjunto E; entonces
n [ i=1 Ai = n X i=1 jAij X i<j jAi\ Ajj+ X i<j<k jAi\ Aj\ Akj +( 1)n 1 n \ i=1 Ai
2. Una construcción abstracta de Z
(a) En el producto cartesiano N2= N N se de…ne la relación (a,b)s(c,d)
(b) Denotando por [(a,b)] las clases de equivalencia de s se de…ne una suma en el cociente N2= s mediante [(a,b)]+[(c,d)] = [(a+c,b+d)]; probar que está bien de…nida, que es asociativa, conmutativa y tiene la clase [(0,0)] como neutro
(c) Probar que en el cociente N2= s; la ecuación x + [(a,b)] = [(c,d)]
tiene solución única para cualesquiera [(a,b)] y [(c,d)]; deducir que todo [(a,b)]2 N2= s tiene un opuesto, es decir existe [(a’,b’)] tal que [(a,b)] + [(a’,b’)] = [(0,0)], y que este opuesto es único
3. Calcular (a,b) y usar el algoritmo de Euclides para encontrar una solución de ax + by = (a,b) en los siguientes casos:
(a) a = 63, b = 49 (b) a = 619, b = 93
(c) a = 521, b = 2187
¿Es única la solución en cada uno de estos casos?
4. Se dispone de dos tipos de cajas de CD: en una caben 10 unidades y en otra 25. ¿De cuántas maneras se pueden guardar 325 CD de tal forma que todas las cajas estén llenas?
5. Si p, q son dos números enteros no nulos primos entre sí y p j qm, demostrar que p j m
6. Probar que (ma,mb) = m(a,b) con a; b; m 2 N
7. Probar que si c = (a,b) entonces (a/c,b/c) = 1. Deducir que todo 2 Q puede escribirse como = p=q con (p,q) = 1
8. Demostrar que (a; b) = (ma + nb; pa + qb) si los números enteros m; n; p; q veri…can que mq np = 1
9. Hallar todas las soluciones enteras de las ecuaciones (a) 2x + 3y = 7
(b) 21x -35y = -14
10. Probar que jabj = [a; b](a; b)
11. Sean ai 2 Z 2 i n primos entre sí, es decir (ai; aj) = 1 8i 6= j
Demostrar que 9ni2 Z /Pniai= 1 (Identidad de Bezout)
12. Dado n 2 N probar que o bien n es un cuadrado perfecto, n = a2 con
a 2 N o bien pn =2 Q En general, demostrar que si P (x) = xm +
am 1xm 1+ ::: + a1x + a0 2 Z[X] tiene una solución racional, esta es
entera.
14. Si (a,b) = 1 probar que (a+b,a-b) es 1 ó 2. Deducir que si a2 b2 es un cuadrado perfecto, a+b y a-b son ambos cuadrados perfectos o el doble de un cuadrado perfecto.
15. Demostrar que si 3 j a2+ b2 entonces 3 j a y 3 j b
16. Si p es primo, probar que p divide al coe…ciente polinómico pi 15 i 5 p 1: Deducir que (a + b)p ap+ bp (p)
17. Sean a; b 2 Z; a + b 6= 0; y (a; b) = 1: Sea p un número primo impar, demostrar que a + b;a p+ bp a + b = 1 p
18. Probar que todo cuadrado perfecto es congruente con 0 o 1 módulo 4 y con 0,1 o 4 módulo 8
19. Probar que para todo n entero positivo 22n+1 9n2 3n + 2(54)
20. Si p es primo, probar por inducción en n que np n(p)
21. Si a b(p) con p primo, probar por inducción en n que apn bpn(pn+1)
22. Calcular 132231(7); 246218(11); 145197(13) 23. Hallar los inversos de 13 en Z21y Z31
24. Resolver
(a) 5x 17 (19) (b) 5x 10 (15)
(c) 35x 119 (139) (d) 211x 659 (900)
25. Encontrar todos los valores enteros de x que satisfacen x2 3x + 3 0(7)
26. Demostrar que 5x+ 2 = 17y no tiene soluciones enteras
27. La función de Euler '(m) siendo m un entero positivo, se de…ne como el número de primos relativos con m y menores que él: '(1) = '(2) = 1; '(3) = 2; '(4) = 2 etc.
(a) Calcular '(10); '(11); '(12); y probar que si p es primo '(p) = p 1 (b) Si (m,n) = 1 probar que '(mn) = '(m)'(n)
(c) Si p es primo, probar que '(pk) = pk 1(p 1) y en general si p,q,...r
son los factores primos de m, probar que '(m) = m(1 1=p))(1 1=q):::(1 1=r)
2.3
Grupos
1. Justi…car cuáles de las siguientes operaciones son asociativas y cuáles son conmutativas
(a) En R , a b = jaj b (b) En Z , a b = a + b + b2
(c) En Z , a b = a + b + ab
2. Tomar G = R f0g = R y la operación de…nida por a b = 3ab: En-contrar un elemento identidad en (G; ): EnEn-contrar el inverso de cualquier elemento x de G: ¿Es (G; ) un grupo?
3. Sea G un conjunto con una operación binaria asociativa tal que 8a; b 2 G 9!x; y 2 G / ax = b ya = b: Demostrar que G es grupo
4. Sea G = R f 1g y la operación a b = a + b + ab: ¿Es (G; ) un grupo? Encontrar x 2 G tal que 2 x 3 = 35
5. Completar la siguiente tabla de manera que sea la tabla de un grupo. ¿Es este grupo abeliano?
e a b c d f e e a b c d f a a e f c d b b e a c c a d d f f f c a
6. Demostrar que (G; ) es abeliano si y sólo si (ab)2= a2b2 8a; b 2 G
7. Si G es un grupo en el que x2= e 8x 2 G demostrar que es abeliano
8. En un grupo (G; ) se de…ne a2 = a a; a3 = a a a; y en general
an= a : : :n a: Demostrar:
(a) (an) 1= (a 1)n
(b) Si G es abeliano, (a b)n= an bn
(c) xn = e () (y 1 x y)n = e
(d) Si b 1 a b = ak entonces b r as br= askr
9. Indicar cuál de los siguientes conjuntos es grupo. En caso a…rmativo indicar si es abeliano.
(c) f0; 2; 4; 6; 8g (Z10; +)
(d) f0; 3; 6; 9; 4g (Z10; +)
(e) Z con la operación a b = a + b + 1 (f) Z con la operación a b = a b (g) Dado el conjunto U; (P (U ); )
(h) El conjunto formado por las 6 funciones de variable compleja '1(z) = z '2(z) = 1=(1 z) '3(z) = (z 1)=z '4(z) = 1=z '5(z) = 1 z '6(z) = z=(z 1) con la composición de funciones (i) Z Q con la operación (a; b) (c; d) = (a + c; 2cb + d)
(j) fm=pn = m; n 2 Zg con la suma usual, siendo p un número primo 10. En Z12 de…nimos la relación:
aRb cuando (a; 12) = (b; 12) (a) demostrar que está bien de…nida
(b) demostrar que es una relación de equivalencia (c) construir el conjunto cociente H Z12=R
(d) ¿Se puede de…nir una suma en H mediante la correspondiente op-eración entre representantes?. En caso a…rmativo, ¿es (H; +) un grupo?
11. Dadas = 1 2 3 4 5 6
1 3 2 5 4 6 =
1 2 3 4 5 6
2 3 4 1 6 5 ambas
permutaciones de S6calcular 2; 21; 3; 3 6y la signatura de cada una
de ellas
12. En R3 se de…ne la siguiente relación binaria: !a = (a1; a2; a3) R !b =
(b1; b2; b3) cuando existe una permutación 2 S3 tal que
b1= a (1); b2= a (2); b3= a (3)
(a) Demostrar que R es una relación de equivalencia (b) En el conjunto cociente C = R3=R se de…ne
F : C ! R
[!a ] a1+ a2+ a3
Demostrar que F es aplicación. ¿Es inyectiva? ¿Es sobreyectiva? 13. Escribir el retículo de los subgrupos de:
(a) (Z6; +)
(c) (Z8; +)
(d) D8
14. Demostrar que T = fx 2 D2n = x2= Ig no es un subgrupo de D2n
15. Dados H; K subgrupos de (G; ) demostrar que (a) H [ K es subgrupo si y sólo si H K ó K H
(b) HK = fh k = h 2 H k 2 Kg es subgrupo si y sólo si HK = KH 16. Demostrar que las siguientes de…niciones son subgrupos de (G; )
(a) Dado h 2 G; el centralizador de h en G, Ch= fg 2 G = g h = h gg
(b) Dado H G; el normalizador de H en G; NH= fg 2 G = gHg 1=
Hg
(c) El centro de G; Z(G) = fg 2 G = g h = h g 8h 2 Gg 17. Demostrar que todo grupo cíclico es abeliano
18. Sea G un grupo abeliano que contiene un elemento a de orden m y un elemento b de orden n / (m; n) = 1: Demostrar que el orden de ab es mn: Dar un ejemplo que muestre que la condición (m; n) = 1 no se puede quitar
19. Hallar el orden del elemento (g1; g2) 2 G1 G2 en función de los órdenes
de cada factor. A partir de (Z3; +) (Z5; +) probar que Z3 Z5 es cíclico
y hallar un generador. ¿Es cierto que si G y H son grupos cíclicos, G H es cíclico?
20. Demostrar que si (G; ) es un grupo cíclico con sólo un generador, G tiene como máximo 1 o 2 elementos. ¿Es cierto este resultado si posee 2 generadores?
21. Sea G un grupo multiplicativo …nito. Si x 2 G; sea jxj su orden. Sean m; n 2 N ; primos entre sí, y un elemento x tal que jxj = mn: Demostrar que existe un único par (y; z) 2 G G tal que
x = yz = zy jyj = m jzj = n
22. Probar que un grupo de orden 6 abeliano, es cíclico si contiene un elemento de orden 3
23. Sea G grupo de orden par. Demostrar que existe a 6= e = a2= e
24. Si G es un grupo de orden 2p con p primo, demostrar que todo subgrupo propio de G es cíclico
26. Sea G grupo …nito y H; K G con órdenes m; n respectivamente y (m; n) = 1: Probar que H \ K = feg
27. Si p; q son primos distintos, probar que cualquier grupo abeliano de orden pq es cíclico
28. Mostrar que A4no tiene un subgrupo de orden 6 (El recíproco del teorema
de Lagrange es falso)
29. Demostrar que todo subgrupo propio de S3 es cíclico. ¿Es posible
encon-trar un grupo abeliano no cíclico en el que todos sus subgrupos propios sean cíclicos?
30. Decir si el enunciado es verdadero o falso:
(a) Cualquier permutación puede ser escrita como un producto de trans-posiciones disjuntas
(b) Si es un ciclo de longitud n, entonces n= e
(c) La permutación identidad e, se puede escribir como un producto de transposiciones
(d) Todo elemento de orden 2 de Sn n > 3 es una transposición
(e) Las permutaciones impares de S4 forman un subgrupo
(f) El grupo A3 es abeliano
(g) Si n> 2 Sn es cíclico
(h) No es posible expresar un producto de ciclos disjuntos como un pro-ducto de ciclos que no son disjuntos
(i) S3 es isomorfo al subgrupo de S4 que deja invariante un mismo
ele-mento
(j) Si n> 1 en Sn hay el mismo número de permutaciones pares que
impares
31. Hallar los adjuntos por la izquierda y derecha del subgrupo generado por (123) en S4
32. Sea
= 1 2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 1 8 7 2
Se de…ne una relación de equivalencia R en el conjunto X = f1; 2; :::; 8g dada por: xR y cuando existe k 2 Z tal que y = k(x): Escribir la
partición de X en clases de equivalencia a la que dar lugar R 33. Encontrar todos los subgrupos normales de D8
34. Sea G = (R R; +) y sea H = f(x1; x2) = x2= 2x1g
(b) Interpretar geométricamente quienes son las clases de equivalencia G/H y cómo actúa (G/H,+)
35. Sea H G = 8x 2 G x22 H: Demostrar que H E G y G/H es abeliano
36. ¿ Son H = Z f0g K = f0g Q subgrupos normales del problema 9i? 37. Sea el grupo abeliano G = fambn = m; n 2 Zg donde a3 = b3 = e y
ab = ba; y sea H el subgrupo generado por ab2
(a) Determinar explícitamente los adjuntos de H en G (b) Dar la tabla de G/H
38. Dado el grupo (G,*), se de…ne el conmutador de dos elementos de G como [a; b] = a 1b 1ab: Sea (G) el subgrupo generado por todos los
conmutadores, es decir (G) = < f[a,b] / a,b 2 Gg > . Demostrar que (a) (G)E G
(b) G/ (G) es abeliano
(c) (G) es el subgrupo más pequeño de G que tiene la propiedad anterior 39. Sea n 3: Demostrar:
(a) Sn está generado por las siguientes trasposiciones: f(1 k) = 2 k
ng
(b) An está generado por los 3-ciclos siguientes: f(1 2 k) = 3 k ng
(c) (Sn) = An
40. Demostrar que AnE Sn
41. ¿ Es cierto que KE H y H E G =) K E G ?
(a) Tomar H como el subgrupo de A4generado por (l 2)(3 4) y (l 3)(24).
(b) Tomar H = f a0 0b = a; b 2 R g y G = H [ H’con el producto de matrices, siendo H’= f 0b a0 = a; b 2 R g
42. Considerar el grupo cociente Q=Z
(a) Demostrar que cada clase contiene exactamente un representante q 2 Q tal que 0 q < 1
(b) Probar que cada elemento de Q=Z tiene orden …nito pero que hay elementos de orden arbitrariamente grande
43. Siendo H subgrupo de G, demostrar que su normalizador NH es el mayor
subgrupo de G del que H es normal
44. Sea R una relación de equivalencia en un grupo G; que cumple la siguiente propiedad: Si aRb y cRd entonces acRbd: Demostrar que [e] E G: 45. Si H es un subgrupo de G y K es normal en G, demostrar que HK G y
KE HK
46. Sea H un subgrupo normal de G y x un elemento de G; demostrar que el orden de xH en G/H es un divisor del orden de x en G
47. Sea G un grupo abeliano. Se de…ne la parte de torsión de G como el siguiente conjunto:
(G) = fx 2 G = jxj < 1g Demostrar que:
(a) (G) G
(b) G= (G) es libre de torsión, es decir que (G= (G)) = [e] 48. Sea (G,*) un grupo, HE G, K E G. Demostrar que HK E G
49. ¿ Es (R ; ) isomorfo a (R; +)? ¿ Es (R+; ) isomorfo a (Q+; ) ?¿ Es
(Z; +) isomorfo a (Q; +)?
50. Sea G un grupo y H G: Sea B = fgH = g 2 Gg el conjunto de clases adjuntas por la izquierda. Dado a 2 G se de…ne
a : B ! B
gH agH
(a) Demostrar que a es una aplicación biyectiva 8a 2 G
(b) Siendo B(B) el grupo de biyecciones del conjunto B; demostrar que
: G ! B(B)
a a
es un homomor…smo de grupos
(c) Calcular el núcleo de ; es decir, el Ker (d) Demostrar:
[G : H] = 3 =) 9K E G = [G : K] = 3 o bien [G : K] = 6 51. Sean H,K subgrupos normales de G tales que H\K = feg; demostrar que
52. Sea G un grupo y supongamos que existe n 2 N; mayor que 1; tal que (xy)n = xnyn para todos x; y 2 G: Sea A = fxn = x 2 Gg; B = fx 2 G = xn= eg: Demostrar que:
(a) AE G (b) BE G
(c) G=B ' A
53. Demostrar que D12 Z2 D6
54. Sea f la correspondencia que a cada número real x le asocia aquellos números reales y, tales que se veri…ca kx6 2yx3+ y2 = 0 siendo k 2 R
…jo
(a) Hallar k para que f sea aplicación de R en R
(b) Para dicho valor de k, hállese una ley de composición interna (*) en R tal que f sea aplicación lineal de (R, +) en (R, * )
(c) Razonar si G = f(a + bp2)3 = a; b 2 Zg es un subgrupo de (R, *)
55. Cada uno de los siguientes grupos tiene orden 8 (a) (P (U ); ) siendo U = f1; 2; 3g
(b) Z8
(c) D4
(d) f1; 2; 4; 7; 8; 11; 13; 14g (Z15; )
Demostrar que no hay 2 grupos isomorfos 56. Dada la aplicación f : R+ * R
x x+22x
obtener una ley de composición interna ( *) en Im f tal que con…era a Im f estructura de grupo isomorfo al grupo multiplicativo (R+; ) ¿ Quién es el neutro de * ?
57. ¿Cuáles de las siguientes aplicaciones son homomor…smos de grupos? Para las que lo sean, encontrar el núcleo y la imagen.
(e) Z2 Z3 ! S3 (a; b) (12)a(123)b (f) Sn ! Sn+1 1 2 : : : n n + 1 (1) (2) : : : (n) n + 1
58. Si A es un grupo abeliano con n elementos y k es un entero primo con n, demostrar que la aplicación f : A ! A
a ak
es un isomor…smo
59. Demostrar que la aplicación de un grupo G en sí mismo, de…nida por f (x) = x 1 es biyectiva, y que es un isomor…smo si y sólo si el grupo es
abeliano
60. Decir si las siguientes de…niciones son endomor…smos del problema 9i y en caso a…rmativo hallar su núcleo e imagen:
(a) (a,b) ! (b,a) (b) (a,b) !(a, a) (c) (a,b) !(a, 0)
61. Sean (B(G), o), (Aut(G), o), (I(G), o) los grupos de biyecciones, auto-mor…smos y autoauto-mor…smos internos del grupo G. Demostrar que I(G) E
Aut(G) B(G)
62. Supongamos que existe un entero n tal que la aplicación f(x) = xn es un
automor…smo del grupo G. Demostrar que 8g 2 G gn 12 Z(G)
63. Demostrar por inducción que Sn=< (12); (123); : : : ; (123 : : : n) >
64. 8 2 S3 9!(a; b) 2 Z2 Z3 = = (12)a(123)b es decir hay una biyección
' : S3 ! Z2 Z3: Dar una operación de grupo en Z2 Z3 para que que
' sea isomor…smo de grupos 65. Dado el grupo Z2 Z4
(a) Hallar su retículo
(b) Si N = f(0; 0); (1; 0)g identi…car Z2 Z4=N
(c) Si f es un epimor…smo de Z2 Z4 en Z4 ¿ cuáles son los posibles
núcleos de f?
66. Sea A subgrupo normal de G, AE G y B subgrupo normal de H, B E H. Demostrar que A x BE G x H y que (G x H)/(A x B) (G/A) x (H/B) 67. Sea G un grupo conmutativo de orden pn con p primo
(b) Demostrar que para todo m con 0 5 m 5 n existe al menos un subgrupo de orden pm
68. Sean G1y G2dos grupos …nitos y f :G1 !G2un homomor…smo
suprayec-tivo. Demostrar que si Ker(f ) H 5 G1 entonces [G1 : H] = [G2 :
f (H)]: Dar un ejemplo que muestre que la condición Ker(f ) H no se puede quitar
69. Sea f un homomor…smo suprayectivo de G en Z Demostrar que para todo número entero positivo n, G tiene un subgrupo normal de índice n 70. En (Z; +) demostrar que nZ + mZ = (n; m)Z , nZ \ mZ = [n; m]Z ,
(n; m)Z=mZ = nZ=[n; m]Z
71. Demostrar que Zm Zn' Zmn () (m; n) = 1
72. En el grupo de permutaciones S25 se considera el subgrupo G =< >
generado por la permutación
= (2; 21; 13; 3; 5; 25; 7; 10; 19)(1; 22) Dar el retículo de G
73. En el grupo D8 D6 S5 se considera el subgrupo G generado por el
elemento ( ; ; ) siendo la rotación de 90o; una simetría del triángulo,
y = 1 2 3 4 5
3 5 4 1 2 : Dar el retículo de G; escribiendo un generador para cada subgrupo.
74. Hallar todos los automor…smos de Z2p con p primo impar
75. Sea G grupo …nito
(a) Demostrar que R es relación de equivalencia: gRg0 () 9x 2 G / g0= xgx 1
(b) Demostrar que el cardinal de la clase de g es el índice de G por el centralizador de g: #[g] = [G : Cg] (c) Demostrar que jGj = jZ(G)j + r P i=1 [G : Cgi] siendo gi representantes
2.4
Anillos
1. Calcular las unidades o elementos invertibles de los siguientes anillos: C([0; 1]); M2(Z); Z[i]; Z[X]; R[X]; Z[
p
2]; Z[p 5]; Zn
2. Sea Z[ ] = fa + b = a; b 2 Zg donde es una raíz cúbica de la unidad, distinta de 1. Demostrar que Z[ ] es un dominio de integridad y calcular sus unidades.
3. Dado el conjunto U; demostrar que (P (U ); ; \) es un anillo conmutativo 4. Demostrar que los siguientes conjuntos son anillos y encontrar sus unidades
(a) A = f2nk = n; k 2 Zg
(b) Siendo p primo Ep= fab = a; b 2 Z ; p - bg
5. Si A, B son anillos, demostrar que el producto cartesiano AxB es un anillo respecto a las operaciones (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) y (a,b)(c,d) = (ac,bd) ; y que si ambos tienen unidad, lo mismo ocurre con AxB, y en este caso U(AxB) es isomorfo al producto directo de los grupos U(A) y U(B). ¿Si A y B son ambos dominios de integridad, lo es AxB?
6. Probar que un anillo conmutativo, con elemento unidad y …nito es un cuerpo si y sólo si no tiene divisores de cero
7. En un anillo A no conmutativo, se tienen dos elementos x; y que cumplen que xy yx = 2x: Demostrar que
xny yxn = 2nxn 8n 2 N
8. Demostrar que si S es un subconjunto de un anillo A, S A; se tiene que < S >= \fI = S I; I ideal de A}
9. Sean I,J dos ideales de un anillo conmutativo A; probar que los siguientes conjuntos son ideales de A:
(a) I + J que por de…nición es el subanillo generado por I [ J (b) I \ J
(c) IJ que por de…nición es el subanillo generado por fij = i 2 I; j 2 Jg 10. Sea A un anillo conmutativo, e I un ideal de A, se de…ne el radical de I,p I como pI = fx 2 A = xn 2 I para algún n 2 Ng Demostrar quepI es un ideal que contiene a I; y queppI =pI
11. Dados dos anillos con unidad A,B, probar que todos los ideales de AxB son de la forma IxJ con I ideal de A, y J ideal de B. Como corolario demostrar
12. Sea A un anillo conmutativo con unidad. Demostrar que son equivalentes las siguientes a…rmaciones:
(a) El conjunto de elementos que no son invertibles es un ideal
(b) El conjunto de ideales propios ordenado por inclusión, admite un máximo
13. Hallar todos los ideales de Z6; Z24; Z2 Z2; Z2 Z4
14. Demostrar que todo ideal primo de Z es maximal
15. Sea f:A !A’ un homomor…smo suprayectivo de anillos; probar que si A es un dominio de ideales principales, también lo es A’
16. En (Z; +; ) demostrar que nZ + mZ = (n; m)Z , nZ \ mZ = [n; m]Z , (n; m)Z=mZ = nZ=[n; m]Z , mZnZ = mnZ
17. Demostrar que Zm Zn ' Zmn () (m; n) = 1 y deducir el teorema
del resto chino.
18. En el anillo Z Z encontrar:
(a) Un subanillo que no sea un ideal. (b) Un ideal propio que no sea primo.
(c) Un ideal primo que no sea maximal (d) Un ideal maximal
19. Encontrar todos los automor…smos de Zn , Z , R , y C estos últimos tales
que …jen R
20. Sea A un anillo conmutativo
(a) Sea J un ideal primo de A; e I1; I2;: : : ; In ideales de A tales que
I1I2: : : In J: Demostrar que existe un índice k tal que Ik J
(b) Sea I un ideal no primo de A y distinto de A: Demostrar que existen dos ideales I1; I2 de A; conteniendo estrictamente a I y tales que
I1I2 I
(c) Sea I un ideal de A y J1; J2; : : : ; Jn ideales primos de A tales que
I J1[ J2[ : : : [ Jn: Demostrar que existe un índice k tal que
I Jk
21. Sea A un anillo conmutativo. Un ideal I se llama primario si 8x; y 2 A que veri…quen que xy 2 I y x =2 I existe n 2 N tal que yn2 I:
(a) Demostrar que el radical de un ideal primario es un ideal primo (b) Sea m 2 N ; M un ideal maximal de A; e I = Mm= fx1x2: : : xm= xi2
(c) Dar un ejemplo de un ideal primario no primo
22. Si C,C’ son dos cuerpos, probar que todo ideal del producto CxC’ es principal
23. Un anillo A se dice que tiene característica p si p es el menor natural tal que pa = a + a +...+ a (p veces) es igual a cero para todo a 2 A: Si no existe tal p se dice que tiene característica cero.
(a) Calcular las características de Z y Zn
(b) Si A es un anillo con unidad 1A probar que la función f : Z ! A
m m1A
es un homomor…smo de anillos , y que la característica de A coincide con el número de elementos de la imagen, si dicho número es …nito, o es cero en caso contrario.
(c) Si A es un dominio de integridad con unidad, probar que su carac-terística es cero o un número primo. ¿Es cierto el recíproco? (d) Si p es primo y A es un anillo conmutativo con característica p,
demostrar que la función g : A ! A
x xp
es un homomor…smo de anillos. Usar este resultado para demostrar el pequeño teorema de Fermat
24. Sea Q = ffqngn2N= qn2 Q 8n 2 N y fqng es de Cauchyg: Si se de…ne
fqng + fq0ng = fqn+ qn0g y fqngfqn0g = fqnq0ng probar que (Q ; +; ) es
un anillo conmutativo con unidad. Sea N = ffqng 2 Q = lim
n!1 qn= 0g:
Probar que N es un ideal maximal e identi…car Q =N 25. Si A es un anillo unitario tal que a2= a 8a 2 A; demostrar
(a) a + a = 0 8a 2 A (b) A es conmutativo
(c) todo ideal primo es maximal
26. Sea K un cuerpo, E un conjunto …nito no vacío, y A el anillo de aplica-ciones de E en K: Si a 2 E se de…ne
Ma = ff 2 A = f(a) = 0g
Sea I A un subconjunto distinto de A: Demostrar que las condiciones siguientes son equivalentes:
(a) 9a 2 E = I = Ma
(b) I es un ideal maximal de A
(a) Demostrar que si n = akb siendo a; b 2 Z; k 2 N; entonces ab es un elemento nilpotente del anillo (Zn + )
(b) Si a 2 Z; demostrar que el elemento a 2 (Zn + ) es nilpotente
si y sólo si cada divisor primo de n divide a a: Con este resultado, calcular todos los elementos nilpotentes de Z72
(c) Demostrar que si x 2 A es nilpotente, entonces o bien x = 0 o bien x es un divisor de cero
(d) Demostrar que 1 + x 2 U(A): Deducir entonces que la suma de un elemento nilpotente y una unidad es una unidad
(e) Demostrar que el conjunto de los elementos nilpotentes (A) es un ideal de A
(f) Demostrar que si I es un ideal primo de A; entonces (A) I: Deducir que si A= (A) es un cuerpo entonces A sólo tiene un único ideal primo ¿Cuál?
28. Sea A un anillo conmutativo y con unidad 1 2 A: Demostrar que si 8a 2 A 9n(a) > 1 = an= a entonces todo ideal primo es maximal
29. Demostrar que el anillo A = fm
n = m; n 2 Z ; n imparg es un dominio de
ideales principales ¿Cuáles son sus elementos irreducibles?
30. Hallar el cociente y el resto que se obtienen al dividir el polinomio P (x) = x5 x3+ 3x 5 entre el polinomio Q(x) = x2+ 7; primero en Q[X] y
luego en Z5[X]
31. Hallar el m.c.d. y el m.c.m. de x5+ 5x4+ 4x3+ 3x2+ 2x + 1 y x3+
3x2+ 2x + 1 como elementos de Q[X]:
32. Calcular el máximo común divisor en Q[X] de los polinomios p(x) = x4+ x3 x2+ x 2 y q(x) = x3+ 6x2+ x + 6 y expresarlo como a(x)p(x) + b(x)q(x) con a(x); b(x) 2 Q[X] (Identidad de Bezout)
33. Hallar todos los Zp en los que x2+ 2 divide a x5 10x + 12
34. Sea C un cuerpo con n elementos a1, a2,..., an: Probar que dos polinomios
P y Q de C[X] coinciden como funciones sobre C si y sólo si T (X) = (x a1)(x a2):::(x an) divide a P-Q. Probar que si p es primo T (X) = xp x
en Zp[X]: Deducir el teorema de Wilson: (p 1)! 1(p) para p primo
35. Usar el pequeño teorema de Fermat para hallar los ceros de 2x219+ 3x74+
2x57+ 3x442 Z 5[X]
36. Decir razonadamente cuáles de los siguientes ideales son primos o maxi-males en Q[X]
(c) < x + 5 >
37. Hallar las raices racionales de: (a) 3x3 7x 5
(b) 2x3 3x + 1
38. Probar que 30xn 91 = 0 no tiene raices racionales para ningún n>1
39. Estudiar la irreducibilidad de x2+ 1 y x3+ x + 2 en Z
3[X] y en Z5[X]
40. Probar que los siguientes elementos son irreducibles (a) x2+ 1 2 Z
7[X]
(b) x3 9 2 Z31[X]
(c) x2+ x + 4 2 Z11[X]
41. Descomponer los siguientes polinomios
(a) x4 5x2+ 6 sobre Q[X]; sobre Q[p2][X] y sobre R[X]
(b) x6 1 sobre Q[X]; R[X]; C[X]; y Z 7[X]
(c) x8 1 sobre Q[X]; R[X]; C[X]; y Z 5[X]
42. Estudiar la irreducibilidad en Q[x] de: (a) x3+ 2x2+ 4x + 2 (b) x4+ 3x3+ 4x2+ 6x + 4 (c) x3+ 6x2+ 5x + 25 (d) x3+ 6x2+ 11x + 8 (e) 2x4 8x2+ 1 (f) x4 2x2+ 8x + 1 (g) x4+ 2x2 x + 2 (h) x3 1 2x 2+1 4x 1 8 (i) x4 2x3+ 4x2 8 (j) x5+ x4+ x3+ x2+ x + 1
43. Demostrar el criterio de Eisenstein: sea P (X) 2 Q[X] con coe…cientes ai
enteros, gr(P ) = n; y p 2 Z primo. Si p j ai i = 0::n 1 y p - an; p2- a0
entonces P (X) es irreducible en Q[X]
44. Sea P (X) 2 Q[X] y R(X) = P (X + 1): Probar que P es irreducible si y sólo si R lo es. Demostrar que el p-ésimo polinomio ciclotómico
45. Sea p(x) 2 K[x]: Demostrar que K = fa = a 2 Kg es un subanillo de K[x]= < p(x) >
46. En los apartados siguientes, cada elemento del anillo de clases de congru-encia dado se puede escribir en la forma ax + b ¿Por qué?. Determinar las reglas para sumar y multiplicar las clases de congruencia, es decir, si el producto ax + b cx + d es la clase rx + s explicar cómo encontrar r y s a partir de a; b; c; d y lo mismo para la adición.
(a) R[x]= < x2+ 1 >
(b) Q[x]= < x2 2 >
(c) Q[x]= < x2 3 >
(d) Q[x]= < x2>
47. Demostrar que los cuerpos fa + bp2 = a; b 2 Qg y Q[x]= < x2 2 > son isomorfos
48. En el cuerpo Q[x]= < x4 2 > calcular el inverso de
x3 x + 1
Usar el resultado para expresar el número 1 1 p4
2 +p4
8 de tal forma que las raíces estén en el numerador 49. Determinar si los siguientes anillos son cuerpos:
(a) Z3[x]= < x3+ 2x2+ x + 1 >
(b) Z5[x]= < 2x3 4x2+ 2x + 1 >
(c) Z2[x]= < x4+ x2+ 1 >
50. Se tiene Z2[x]= < x3+ x + 1 > y se pide:
(a) demostrar que es un cuerpo
