3. Morfismo Relacional
3.3. Teoremas de caracterizaci´ on de los morfismos relacionales
3.3.2. Caracterizaci´ on de Morfismos Relacionales (v´ıa con-
Teorema 3.10. [2] Sean S, T semigrupos. Las siguientes proposiciones son equiva- lentes:
1. Existe un morfismo relacional τ : S ◦ //T .
2. Existe un subsemigrupo (submonoide)V deT y una congruencia φ∈Con(V)
Demostraci´on. Sup´ongase que existe un subsemigrupoV de T y una congruenciaφ
sobre V junto con un epimorfismo ϕ : S −→ V /φ. T´omese, τ = ϕ. V´ease que, ϕ
es morfismo relacional. Sea s ∈ S, entonces τ(s) = ϕ(s) = ts/φ, entendi´endose, a
ts/φ, como la φ−clase de t ∈ τ(s). La elecci´on de t ∈ τ(s) es arbitraria. Con lo que,ts/φ6=∅, ya que, por lo menos ts ∈ts/φ. Luego, para todo s∈S,τ(s)6=∅. La segunda condici´on, se satisface debido a que , para cualesquiera s, s0 ∈ S, se tiene que
τ(s)τ(s0) =ϕ(s)ϕ(s0) =ϕ(ss0) =τ(ss0)
por ser ϕ morfismo de semigrupos. En consecuencia, ϕ = τ es morfismo relacional entre los semigrupos S y T. En el caso, de que S y T sean monoides, se tiene que, 1T ∈ 1T/φ = ϕ(1S) = τ(1S). Por lo tanto, τ es morfismo relacional entre los semigrupos(monoides) S y T.
Respecto a la suficiencia, sup´ongase que existeτ : S ◦ //T . Def´ınase,V ⊆T, como
V = Im(τ) = {t ∈ T | (∃s∈S) (t ∈τ(s))}. Por teorema 3.1 V es subsemigrupo deT. En el caso, que S y T sean monoides, 1T ∈τ(1S), as´ı 1T ∈V =Im(τ). En segunda instancia, def´ınase la relaci´on ˆφsobreV, de modo tal que, parat, t0 ∈V
tφtˆ0 ⇐⇒ ∃s∈S
t, t0 ∈τ(s)
.
La relaci´on ˆφ est´a bien definida, por definici´on de V. La relaci´on ˆφ es reflexiva, ya que para (t, t0)∈ 1V, t ∈V, con lo que, existe s∈ S tal que t∈τ(s), y como t=t0 entonces t0 ∈τ(s). En consecuencia, tφtˆ 0, esto es, (t, t0) ∈ φˆ. As´ı, 1V ⊆φˆ. Adem´as,
ˆ
φ es sim´etrica, debido a que si
(t, t0)∈φˆ ⇐⇒ (∃s∈S) (t, t0 ∈τ(s))
⇐⇒ (∃s∈S) t0, t∈τ(s)
⇐⇒ (t0, t)∈φˆ
⇐⇒ (t, t0)∈φˆ−1,
es decir, ˆφ= ˆφ−1. Pero nada se puede asegurar de la transitividad. Con lo que, t´omese
φcomo la clausura transitiva de ˆφ. Entonces,φes una relaci´on de equivalencia. Resta por ver, que φ es estable bajo la operaci´on deV. T´omensetφt0 y uφu0. Por teorema 2.7 por la construcci´on de φ existen sucesiones finitas de ˆφ-elementos relacionados enT tales que
tφaˆ 2φaˆ 3φˆ· · ·φaˆ n−1φtˆ 0
uφbˆ 2φbˆ 3φˆ· · ·φbˆ m−1φuˆ 0.
Sin p´erdida de generalidad, se toman las sucesiones del mismo tama˜no. Por definici´on de ˆφ, parai∈ {0, ..., m−1}
(∃s∈S) ai, ai+1 ∈τ(s)
∧ (∃s0 ∈S) bi, bi+1 ∈τ(s0)
27 Y por ser τ morfismo relacional
(aibi),(ai+1bi+1)∈τ(s)τ(s0)⊆τ(ss0)
con lo que, (aibi) ˆφ(ai+1bi+1), para cada i ∈ {0, ..., m− 1}. Entonces, se pueden
operar las dos sucesiones y obtener la sucesi´on
(tu) ˆφ(a2b2) ˆφ(a3b3) ˆφ· · ·φˆ(am−1bm−1φˆ(t0u0)
y en consecuencia (tu)φ(t0u0), es decir,φes congruencia sobreV, esto es,φ ∈Con(V). Por ´ultimo, se debe definir el epimorfismo, t´omese la funci´onϕ:S →V /φ definida por ϕ(s) = t/φ, donde t es un elemento arbitrario de τ(s). ϕ no depende de la elecci´on de t en τ(s). Sean s, s0 ∈ S y t´omese t ∈ τ(s), t0 ∈ τ(s0) y t00 ∈ τ(ss0), se tiene que:
ϕ(s)ϕ(s0) = (t/φ) (t0/φ) = tt0/φ
Por ser τ morfismo relacional,
tt0 ∈τ(s)τ(s0)⊆τ(ss0) con lo que, tt0, t00 ∈τ(ss0). As´ı,
(tt0) ˆφ t00 ∧ (tt0)φ t00
luego,
ϕ(ss0) = t00/φ=tt0/φ=ϕ(s)ϕ(s0).
En consecuencia, ϕes un morfismo entre los semigrupos S y V /φ. Para el caso, en queS yT sean monoides, se tiene que, 1T ∈τ(1S), entonces por la manera como se construy´o ϕ
ϕ(1S) = 1T/φ
y as´ı, ϕ es un morfismo de monoides. ϕ es sobreyectivo, ya que para cualquier
t∈V =Imτ, existe alg´un s∈S tal que t∈τ(s), en consecuencia, ϕ(s) =t/φ. Corolario 3.11. [2] SeanS y T semigrupos. Las siguientes proposiciones son equi- valentes:
Existe un morfismo relacional τ : S ◦ //T .
Existe un subsemigrupo(submonoide) V de T, congruencias θ ∈ Con(S) y
φ∈Con(V), tal que,
Demostraci´on. Sup´ongase que existe un morfismo relacional τ : S ◦ //T . Por
teorema 3.10 existe un subsemigrupo(submonoide) V de T, una φ ∈ Con(V) y un morfismo sobreyectivo ϕ : S −→ V /φ. Por teorema 2.8, se tiene que ker ϕ ∈
Con(S). T´omese, θ = ker ϕ. Aplicando, el teorema 2.9 a ϕ, existe una biyecci´on ˜
ϕ:S/ker ϕ →V /φ. En consecuencia, S/θ∼=V /φ.
Ahora, sup´ongase que existe un subsemigrupo(submonoide)V deT y, congruencias
θ ∈Con(S) y φ∈Con(V), tal que,
S/θ∼=V /φ
Con lo que, existe una biyeccion ˜ϕ : S/ker ϕ → V /φ, donde ϕ : S −→ V /φ es morfismo. Luego, nuevamente por teorema 2.9,ϕ= ˜ϕ◦φ, y como ˜ϕyφson morfismos sobreyectivos, se obtiene que, ϕ es un morfismo sobreyectivo. Y por teorema 3.10, existe un morfismo relacional τ : S ◦ //T .
Teorema 3.12. [2] Sean S y T semigrupos. Si exite un morfismo relacional τ :
S ◦ //T entonces θ ∈ Con(S), donde θ es la clausura transitiva de la relaci´on θˆ sobre S, definida para s, s0 ∈S por
sθsˆ 0 ⇐⇒τ(s)∩τ(s0)6=∅.
Demostraci´on. La relaci´on ˆθ es reflexiva, ya que, si (s, s0)∈1S, se tiene que, τ(s)∩
τ(s0) =τ(s)∩τ(s) =τ(s)6=∅, por ser τ morfismo relacional. Entonces, (s, s0)∈θˆ. Adem´as, ˆθ es sim´etrica, dado que:
ˆ
θ−1 = {(x, y)∈S×S |(y, x)∈θˆ}
= {(x, y)∈S×S |τ(y)∩τ(x)6=∅}
= {(x, y)∈S×S |τ(x)∩τ(y)6=∅}
= θ.ˆ
Respecto a la transitividad, t´omese θ la clausura transitiva de ˆθ. Dicha relaci´on transitiva θ es reflexiva, ya que, 1S ⊆ θˆ⊆
S
n∈N
ˆ
θn. Tambi´en, θ es sim´etrica, dado que: θ = [ n∈N ˆ θn = [ n∈N ˆ θ−1 n = θ−1.
Luego, la relaci´on θ es de equivalencia sobre S. Resta por ver que θ es estable sobre
S. T´omense, s, s0, r, r0 ∈ S, tal que, sθs0 y rθr0. Por la construcci´on de θ, existen sucesiones finitas de ˆθ elementos relacionados en S, tal que,
29
rθbˆ 2θbˆ 3· · ·θbˆ n−1θrˆ 0
Sin p´erdida de generalidad n = m. Para i ∈ {0,· · · , m−1} por definici´on de ˆθ, se tiene que:
τ(ai)∩τ(ai+1)6=∅ ∧ τ(bi)∩τ(bi+1)6=∅
as´ı, existen c∈τ(ai)∩τ(ai+1) y d∈τ(bi)∩τ(bi+1), de donde,
cd∈τ(ai)τ(bi)⊆τ(aibi) ∧ cd∈τ(ai+1)τ(bi+1)
con lo que, cd ∈ τ(aibi)∩ τ(ai+1bi+1), es decir, τ(aibi)∩ τ(ai+1bi+1) 6= ∅. Luego,
(aibi) ˆθ(ai+1bi+1). En consecuencia,
(sr) ˆθ(a2b2) ˆθ· · ·θˆ(am−1bm−1) ˆθ(s0r0),
as´ı (sr, s0r0)∈θˆm ⊆S
n∈N
ˆ
θn. Luego,srθs0r0, y por tanto,θ ∈Con(S).
Teorema 3.13. [2]SeanSyT semigrupos. Sea un morfismo relacionalτ : S ◦ //T y consid´erese
El morfimo de semigrupos ϕ:S →(V =Imτ)/φ, con φ ∈Con(V).
La congruencia θ enS, donde θ es la clausura transitiva de la relaci´on θˆsobre
S, definida para s, s0 ∈S por
sθsˆ 0 ⇐⇒τ(s)∩τ(s0)6=∅.
Entonces, ker ϕ=θ.
Demostraci´on. Para la primera contenencia, sup´ongase que (s, s0)∈ ker ϕ, esto es,
ϕ(s) =ϕ(s0) =t/φ. Por la forma como se construy´o ϕ, se tiene que:
t∈τ(s) ∧ t∈τ(s0)
con lo que, τ(s)∩τ(s0)6=∅. En consecuencia, sθsˆ 0, esto es, (s, s0)∈θˆ. Luego, como ˆ
θ ⊆θ, (s, s0)∈θ, es decir, ker ϕ⊆θ.
Ahora, respecto a la otra contenencia, sup´ongase que (s, s0) ∈ θ, con lo que, existe una sucesi´on finita de ˆθ elementos relacionados en S
sθaˆ 2θaˆ 3· · ·θaˆ m−1θsˆ 0
Luego, para i ∈ {1,· · · , m−1}, se tiene que, aiθaˆ i+1, esto es, τ(ai)∩τ(ai+1) 6= ∅.
Luego, existe di ∈ τ(ai) ∩τ(ai+1), y as´ı f´ormese, la sucesi´on d0, d1,· · · , dm−1 de
elementos en V = Imτ. El´ıjase, i ∈ {1,· · ·, m −2} y consid´erense los elementos
di, di+1 ∈V, entonces:
En particular, di, di+1 ∈τ(ai+1). As´ı, diφdˆ i+1 y se obtiene la sucesi´on
d0φˆ· · ·φdˆ m−1
N´otese que, d1 ∈ τ(s)∩τ(a2). En particular, t, d1 ∈ τ(s), y por tanto tφdˆ 1. Igual-
mente, dm−1 ∈τ(am−1)∩τ(s0), y en particular, dm−1φtˆ 0. En consecuencia,
tφdˆ 0φdˆ 1· · ·φdˆ m−2φdˆ m−1φtˆ0
entonces tφt0. Luego,
ϕ(s) =t/φ=t0/φ=ϕ(s0).
Por tanto, (s, s0)∈ker ϕ, esto es, θ ⊆ker ϕ.
3.4.
En el caso de Grupos
Teorema 3.14. [7] En caso que G y H sean grupos, el morfismo relacional entre ellos se comporta como un morfismo (homomorfismo), ya que cumple las siguientes condiciones:
1. |τ(x)|=|τ(1)| para todo x∈G.
2. τ(x)τ(y) =τ(xy) para cualesquiera x, y ∈G. 3. Para z∈H, si z ∈τ(x) entonces z−1 ∈τ(x−1).
Demostraci´on. Primero se ver´a que el cardinal de τ(x) ∈ P(H) va hacer igual al cardinal del τ(1) ∈ P(H), donde el cardinal de A ∈ P(H) se denota por |A|. Para
x∈G, se tiene que x1 =x. Luego, por serτ morfismo relacional
τ(x) = τ(x1)⊇τ(x)τ(1)
entonces dado que las im´agenes deτ son subconjuntos de un grupo, los elementos se pueden cancelar, obteni´endose que, |τ(1)| ≤ |τ(x)|. Por otro lado, por ser G grupo, para x ∈ G, existe x−1 ∈ G tal que xx−1 = 1, y nuevamente por ser τ morfismo
relacional, se obtiene que
τ(1) =τ(xx−1)⊇τ(x)τ(1)
entonces por la raz´on anterior, |τ(1)| ≥ |τ(x)τ(x−1)| ≥ |τ(x)|. Por tanto, |τ(1)| =
|τ(x)|.
Para la segunda parte, sean x, y ∈G y z ∈τ(x), se tiene que:
31 Por 1, al estar trabajando sobre grupos, la cardinalidad de los subconjutos de H
bajo τ es la misma, con lo que, |zτ(y)| = |τ(y)| = |τ(xy)|. As´ı, se infiere que,
τ(x)τ(y) =τ(xy).
Por ´ultimo, s´upongase zτ(x−1) = τ(1). Luego, existe b ∈ τ(x−1) tal que zb = 1, de
Cap´ıtulo
4
Conclusi´on
Como se v´ıo, para la comprensi´on de algunos aspectos iniciales de los morfismos relacionales, se es necesario conocer el tratamiento de las relaciones, sus propieda- des y la definici´on alterna de relaci´on. Los morfismos relacionales entre semigrupos hereden definiciones y teoremas an´alogos a los grupos, como lo son: la preservaci´on de estructuras, la composici´on entre morfismos relacionales, y propiedades de inyec- tividad, sobreyectividad e inverso del morfismo relacional.
Los teoremas de caracterizaci´on, permiten proporcionar a los morfimos relacionales de semigrupos como composici´on de morfismos relacionales de semigrupos, como relaciones inversas de morfismos sobreyectivos de monoides. La existencia de los morfismos relacionales, proporcionan isomorfismos entre semigrupos cocientes, jun- to con una descripci´on de la congruencia kernel. Todo esto, se puede realizar v´ıa congruencias, siendo tales relaciones de equivalencia, la herramienta principal para dotar a conjuntos cocientes de estructura de semigrupo y, la v´ıa para establecer los teoremas de isomorf´ıa en la teor´ıa de semigrupos.
Todo ello, permite obtener una gran cantidad de morfismos relacionales, con lo que, cualquier morfismo relacional va a pertencer a las caracterizaciones y descripcio- nes dadas. Por ´ultimo, se reconoce que los morfismos relacionales adem´as de poseer propidades algebraicas, dan el surgimiento de las categor´ıa en los semigrupos.
Cap´ıtulo
5
Anexos
5.1.
Categor´ıa RSgp
Se presentar´a la categor´ıa cuyos objectos son los semigrupos y los morfismos entre dos objetos de la categor´ıa son los morfismos relacionales.
Definici´on 5.1. Una categor´ıa es una cuadrupla A = (O, hom, id,◦) que consiste de
Una claseO, cuyos miembros son llamados A-objetos.
Para cada pareja (A, B) deA-objetos, un conjuntohom(A, B), cuyos miembros son llamadosA-morfismos de A aB.
Para cada A-objeto A, un morfismo Aid→A A llamado la A-identidad de A. Una ley de composici´on asociando con cada A-morfismo A →f B y cada A- morfismo B →g C un A-morfismo A g→◦f C, llamado la composici´on de f y g, sujeto a las siguientes condiciones:
1. La composici´on es asociativa, es decir, para morfismos A→f B,B →g C y
C→h D, se cumple h◦(g◦f) = (h◦g)◦f.
2. A-identidades act´uan como identidades con respecto a la composici´on, es decir, paraA-morfismos A→f B, se tiene idB◦f =f =f ◦idA.
La categor´ıa RSgpconsiste en:
Ob(RSgp) ={S |S es semigrupo finito}.
hom(S, T) = {τ |τ : S ◦ //T }.
Para cada RSgp-objeto S , la RSgp-identidad sobre S, se define como:
idS :S → S
s → idS(s) ={s}
Paraf ∈hom(R, S) yg ∈hom(S, T) se tiene asociado la ley de composici´on dada en la definici´on 3.6. La cual, satisface lo siguiente:
1. Sean f ∈hom(R, S),g ∈hom(S, T) yh∈hom(T, U). Entonces (h◦(g◦f)) (r) = {u∈U | (∃t ∈T) t ∈(g◦f) (r) ∧ u∈h(t) } = {u∈U | (∃t ∈T) (∃s∈S) s∈f(r) ∧ t∈g(s) ∧ u∈h(t)} = {u∈U | (∃s ∈S) (∃t∈T) s∈f(r) ∧ t∈g(s) ∧ u∈h(t)} = {u∈U | (∃s ∈S) s∈f(r) ∧ u∈(h◦g) (s)} = ((h◦g)◦f) (r) 2. Sea f ∈hom(S, T). Entonces,
(f ◦idS) (s) = {t ∈T | (z ∈S) z∈idS ∧ t∈f(z)} = {t ∈T | (z ∈S) z=s ∧ t ∈f(z)} = {t ∈T |t ∈f(s)} = f(s) (idT ◦f) (s) = {t∈T | (z ∈T) z ∈f(s) ∧ t ∈idT(z)} = {t∈T | (z ∈T) z ∈f(s) ∧t =z} = {t∈T |t∈f(s)} = f(s).
Bibliograf´ıa
[1] A. Ballester-Bolinches, J.- ´E. Pin, and X. Soler-Escriv`a, Formations of finite monoids and formal languages: Eilenberg’s theorem revisited, Forum Math. 26(2012), no. 6, 1737–1761. [2] E. Cosme,Teoremes bonicos de coses lletges, 2013.
[3] S. Eilenberg,Automata, languages, and machines. Vol. A, Academic Press, New York, 1974. [4] ,Automata, languages, and machines. Vol. B, Academic Press, New York, 1976. [5] P. A. Grillet,Semigroups, Marcel Dekker, Inc, 1995. An introduction to the structure theory. [6] J. M. Howie,Fundamentals of semigroup theory, LMS monographs, Clarendon Press, 1995. [7] V. P´erez-Calabuig,Sobre els semigrups finitsH-resolubles, Master’s Thesis, Burjassot, 2013. [8] J.- ´E. Pin, Varieties of formal languages, North Oxford, London, Plenum, New-York, 1986.
Traduction de Vari´et´es de langages formels, Masson, 1984.
[9] ,Relational morphisms, transductions and operations on languages, Formal properties of finite automata and applications, 1989, pp. 34–55.
[10] ,Mathematical foundations of automata theory, 2012.
[11] J. Rhodes,Bret tilson: his life and work, International Journal of Algebra and Computation
20(2010), no. 2, vii–xvii.
[12] J. Rhodes and B. Steinberg, The q-theory of finite semigroups, Springer Monographs in Mathematics. Springer, New-York, 2009.
[13] B. Tilson, Categories as algebra an essential ingredient in the theory of monoids, Journal of Pure and Applied Algebra48(1987), 83–198.