Sobre los Morfismos Relacionales en la Teoría de Semigrupos

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(1)I. SOBRE LOS MORFISMOS RELACIONALES EN TEORÍA DE SEMIGRUPOS. Mariana Narváez Cárdenas. Trabajo de Grado.. Proyecto Curricular de Matemáticas. Facultad de Ciencias y Educación. Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Bogotá D.C. 2015.

(2) II. SOBRE LOS MORFISMOS RELACIONALES EN LA TEORÍA DE SEMIGRUPOS. Mariana Narváez Cárdenas.. Trabajo de grado presentado como requisito parcial para obtener el tı́tulo de: Matemática. Directora: Msc. Verónica Cifuentes Vargas.. Proyecto Curricular de Matemáticas. Facultad de Ciencias y Educación. Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Bogotá D.C. 2015.

(3) Vo. Bo. Verónica Cifuentes Vargas Directora Universidad Distrital Francisco José De Caldas. Vo. Bo Carlos Orlando Ochoa Castillo Evaluador Universidad Distrital Francisco José De Caldas.

(4) IV.

(5) Agradecimientos. De manera inicial doy mis agradecimientos a la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, que me dio las herramientas para forjar y construir mi desarrollo intelectual y personal. De allı́ gracias a mis maestros por otorgarme las directrices del saber. Igualmente al Dr. Adolfo Ballester y al Dr. Enric Cosme por incentivarme y otorgarme los cimientos para el estudio de la teorı́a de semigrupos. Al semillero de investigación ITENUA, especialmente a Pedro, gracias por motivar y permitir hacer realidad un esfuerzo e interés en común. Y a la profesora Verónica Cifuentes por su tiempo y colaboración dada. Gracias al apoyo, amor y comprensión de mis padres, mi hermana y mi familia, dado que ellos me dieron la posibilidad de concentrarme a tiempo completo en mis intereses académicos. De manera especial, a mis compañeros de estudio Manuel, Diana, Sebas y Ross agradezco por su compañı́a y grata amistad. Y a los compañeros de otras carreras que se impregnaron del mundo matemático y me permitieron relacionar las matemáticas con mi entorno. Y por último, a Mao por su tiempo, por la voz de aliento, y por ser incondicional en todo este proceso.. V.

(6) VI.

(7) Índice general. Agradecimintos. V. Resumen. IX. Introducción. XI. 1. Semigrupos 1.1. Morfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1 3. 2. Relaciones 5 2.1. Relaciones Inyectivas y Sobreyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2. Relaciones de Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3. Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3. Morfismo Relacional 3.1. Aspectos de la definición de morfismo relacional . . . . . . . . 3.2. Conceptos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Teoremas de caracterización de los morfismos relacionales . . . 3.3.1. Factorización Canónica . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Caracterización de Morfismos Relacionales (vı́a gruencias) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. En el caso de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Conclusión. . . . . . . . . . . . . con. . . . . .. . . . .. 19 19 19 24 24. . 25 . 30 33. 5. Anexos 35 5.1. Categorı́a RSgp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Bibliografı́a. 36. VII.

(8)

(9) Resumen. Este trabajo consistirá en dar algunos conceptos elementales de la teorı́a de semigrupos. Luego, se reconocerá a una relación como una función, y se darán algunos resultados del uso de las relaciones de equivalencia y las congruencias sobre semigrupos. Se reconocerá a un morfismo relacional, como una relación que cumple ciertas propiedades. Y como último, se presentarán dos formas de descomponer un morfismo relacional..

(10) X.

(11) Introducción. En el siglo XX se desarrolló y formalizó la teorı́a algebraica, en particular, el estudio de los semigrupos como una estructura algebraicamente simple. En 1968, Lazar Matveevich Gluskin matemático ucraniano, publica una investigación acerca de la caracterización de los semigrupos y la relación de estos con distintas áreas, en especial, con las máquinas inteligentes. Es desde allı́ que se inicia la relación entre teorı́a algebraica y la teorı́a de autómatas. La teorı́a de semigrupos en sus inicios, se centró en caracterizar los semigrupos finitos bajo isomorfismos. Como resultado de ello, en 1940, D. Rees en su artı́culo On semi-groups1 representa a los semigrupos simples y 0-simples como ciertas matrices sobre grupos. En 1956, S. C. Kleene en su publicación titulada, Representation of events in nerve nets and finite automata2 , los lenguajes regulares son interpretados como subconjuntos de monoides libres. S. Eilenberg(1976), en su libro Automata, languages, and machines, estudia por métodos algebraicos, las propiedades de conjuntos reconocibles por autómatas de estado finito. B. Tilson, contribuye en [4] con dos capı́tulos, en los cuales, introduce los morfismos relacionales para resolver algunos problemas relacionados con la descomposición del producto de semigrupos finitos y, los relaciona con la teorı́a de categorı́as, para dar resultados respecto a la complejidad. Los morfismos relacionales están vinculados con las operaciones sobre lenguajes y las traducciones, siendo tales morfismos una fuerte herramienta para el estudio de operaciones sobre lenguajes reconocibles. Es allı́ donde radica la importancia de conocer la teorı́a relacionada a los morfismo relacionales.. 1. D. Rees, On semi-groups, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society36(1940), 387-400. 2 S. C. Kleene, Representation of events in nerve nets and finite automata, In Automata studies, Annals of mathematics studies34(1956), 3-41. XI.

(12) Capı́tulo. 1. Semigrupos Este primer capı́tulo reune ciertos conceptos elementales y proposiciones sobre semigrupos, los cuales son indispensables para el entendimiento pleno de los morfismos relaciones. Como estructura algebraica se entiende por semigrupo, una estructura más debil que los grupos. Un semigrupo es simplemente un conjunto S junto con una operación binaria la cual es asociativa. Definición 1.1. [10] Sea S un conjunto, y defı́nase la operación binaria · sobre S como a·b = ab, para a, b ∈ S. Si la operación · es asociativa, estos es, a·(b·c) = (a·b)·c para a, b, c ∈ S, se dice que S tiene estructura de semigrupo. El orden de un semigrupo es el número de elementos que constituyen el semigrupo. Un semigrupo puede contar con los siguientes elementos. Definición 1.2. [10] Un elemento e del semigrupo S es identidad a derecha si para todo s ∈ S, se = s. Ası́ mismo, un elemento e ∈ S es identidad a izquierda si, para todo s ∈ S, es = s. Se dice que el elemento e ∈ S es identidad si a la vez es identidad a derecha e izquierda. Definición 1.3. [10] Un elemento e ∈ S se dice que es un cero (a derecha, a izquierda) si, para todo s ∈ S, se = e = es. Definición 1.4. [10] Un monoide es un semigrupo S que cuenta con un elemento identidad bajo la operación del semigrupo. Se denota por:  S si S es monoide  1 S =  S ∪ {1} si S no es monoide Un semigrupo (monoide) S se dice conmutativo si lo es su operación, esto es, a · b = b · a para cualesquiera a, b ∈ S. 1.

(13) 2 Ejemplo 1.1. El conjunto de los números enteros Z bajo la operación + de adición usual, es un semigrupo conmutativo. Igualmente, lo es bajo la operación · de multiplicación de números enteros. Ejemplo 1.2. [6] Sea BX el conjunto de todas las relaciones binarias sobre X, y defı́nase la operación binaria composición ◦ sobre BX como σ ◦ ρ = {(x, y) ∈ X × X | (∃z ∈ X) (x, z) ∈ ρ ∧ (z, y) ∈ σ }. Tómese ρ, σ, τ ∈ BX y (x, y) ∈ τ ◦ (σ ◦ ρ) , con lo que (x, y) ∈ τ ◦ (σ ◦ ρ) ⇐⇒ (∃z ∈ X) (x, z) ∈ (σ ◦ ρ) ∧ (z, y) ∈ τ ⇐⇒ (∃z ∈ X) (∃u ∈ X) (x, u) ∈ ρ ∧ (u, z) ∈ σ ∧ (z, y) ∈ τ ⇐⇒ (∃u ∈ X) (x, u) ∈ ρ ∧ (u, y) ∈ (τ ◦ σ) ⇐⇒ (x, y) ∈ (τ ◦ σ) ◦ ρ est es, la operación ◦ es asociativa, y por tanto, (BX , ◦) es semigrupo. Ejemplo 1.3. [10] Sea (S, ·) semigrupo y considérese el conjunto P(S). Defı́nase la operación (∗) : P(S) × P(S) → P(S) como A ∗ B = {a · b | a ∈ A, b ∈ B}, para A, B ∈ P(S) . Para cualesquiera A, B, C ∈ P(S) se tiene que, para x ∈ (A ∗ B) ∗ C existen a ∈ A, b ∈ B y c ∈ C tal que x = (a · b) · c. Por A, B, C ser subconjuntos de S y ser S semigrupo, se obtiene que x = a·(b·c). En consecuencia, x ∈ A∗(B ∗ C), esto es, (A ∗ B)∗C = A∗(B ∗ C). Por tanto, P(S) tiene estructura de semigrupo bajo la operación ∗. Ejemplo 1.4. [10] Sea X un conjunto finito. Defı́nase a T (X) como el conjunto de las funciones sobre X. La operación ◦ sobre T (X) se define para f, g ∈ T (X) como (f ◦ g)(a) = f g(a) , con a ∈ X. Veáse que la operación ◦ es asociativa: . f ◦ g ◦ h (a) = (f ◦ g) h(a) = f g h(a) = f g ◦ h (a) = f ◦ g ◦ h (a). Por tanto, (T (X), ◦) es semigrupo..

(14) 3. 1.1.. Morfismos. De manera general un morfismo entre dos estructuras algebraicas es una aplicación que preserva operaciones. Definición 1.5. [10] Un morfismo de semigrupos es una aplicación ϕ de un semigrupo (S, ·) en un semigrupo (T, ∗) tal que, para todo s1 , s2 ∈ S se cumple que ϕ(s1 · s2 ) = ϕ(s1 ) ∗ ϕ(s2 ),. (1.1). en el caso que S y T sean monoides, además de satisfacer 1.1 se debe cumplir que ϕ(1S ) = 1T . Se hará referencia a S como el dominio de ϕ y a T como el codominio; la imagen (o rango) de ϕ se define como el conjunto {ϕ(s) | s ∈ S}. Definición 1.6. [10] Un subsemigrupo de un semigrupo S es un subconjunto T de S tal que s1 ∈ T y s2 ∈ T implica que s1 s2 ∈ T . Un submonoide de un monoide es un subsemigrupo que contiene la identidad. Los morfismos e inversos de morfismos entre semigrupos tienen la caracterı́stica de preservar estructuras y subestructuras. Teorema 1.1. [10] Sea ϕ : S → T un morfismo de semigrupos. Si S 0 es un subsemigrupo de S, entonces ϕ(S 0 ) es un subsemigrupo de T . Si T 0 es un subsemigrupo de T , entonces ϕ−1 (T 0 ) es un subsemigrupo de S. Demostración. Sean t1 , t2 ∈ ϕ(S 0 ), con lo que existen s1 , s2 ∈ S 0 tales que t1 = ϕ(s1 ) y t2 = ϕ(s2 ). Luego, t1 t2 = ϕ(s1 )ϕ(s2 ) y por ser ϕ morfismo, t1 t2 = ϕ(s1 s2 ), esto es, t1 t2 ∈ ϕ(S 0 ). En consecuencia, ϕ(S 0 ) es un subsemigrupo de T . Ahora, tómense s1 , s2 ∈ ϕ−1 (T 0 ), con lo que existen t1 , t2 ∈ T 0 tales que s1 = ϕ−1 (t1 ) y s2 = ϕ−1 (t2 ), esto es, ϕ(s1 ) = t1 y ϕ(s2 ) = t2 . Luego, ϕ(s1 s2 ) = t1 t2 . Ası́, ϕ−1 (t1 t2 ) = s1 s2 . En consecuencia, s1 s2 ∈ ϕ−1 (T 0 ). Y por tanto, ϕ−1 (T 0 ) es un subsemigrupo de S..

(15) 4.

(16) Capı́tulo. 2. Relaciones En este capı́tulo se desarrollarán ciertos aspectos de la teorı́a de las relaciones en un sentido más general y abstracto. Se verá una relación, de una manera no muy usual, como una función, y se reconocerán ciertas propiedades de las funciones extendidas a las relaciones. Usualmente una relación se define como Definición 2.1. [6] Sean X y Y conjuntos. Una relación R sobre X y Y , es un subconjunto de X × Y . Si X = Y simplemente se dice que R es una relación sobre X. El dominio e imagen de R se definen como Dom R = {x ∈ X | (∃ y ∈ Y ) (x, y) ∈ R } Im R = {y ∈ Y | (∃ x ∈ X) (x, y) ∈ R } Las relaciones se pueden representar o visualizar mediante grafos, donde Definición 2.2. [8] El grafo de la relación R sobre los conjuntos X y Y , es el conjunto #R = {(x, y) ∈ X × Y | (x, y) ∈ R} (2.1) Todo subconjunto de X × Y es el grafo de alguna relación de X a Y , entonces existe una biyección entre las relaciones R de X y Y , y los subconjuntos de X × Y . Autores como Eilenberg y Pin en [4] optan por hacer notar que una relación R sobre los conjuntos X y Y puede ser vista de la siguiente manera: Definición 2.3. Una relación R sobre los conjuntos X y Y puede ser vista como una función τ de X en P(Y ), definida para cada x ∈ X como τ (x) = {y ∈ Y | (x, y) ∈ R}. 5. (2.2).

(17) 6 Nota. Abusando del lenguaje, se acostumbra hacer referencia a la relación R sobre X y Y , como la función τ : X → Y , entendiéndose a τ como la función de X en P(Y ). La relación inversa se define en términos de un subconjunto de un producto cartesiano como Definición 2.4. [8] La relación inversa de una relación R ⊆ X × Y es la relación R−1 ⊆ Y × X definida como R−1 = {(y, x) ∈ Y × X | (x, y) ∈ R}. Si R es la relación de X en Y , la relación R−1 también se puede extender a una función de Y en P(X) definida por τ −1 (y) = {x ∈ X | y ∈ τ (x)}. (2.3). La relación R de X en Y puede ser extendida a una función de P(X) en P(Y ), donde para cada A ⊆ X [ τ (x) τ (A) = x∈A. = {y ∈ Y | (∃x ∈ A) (x, y) ∈ R }, y si B ⊆ Y , se tiene que τ −1 (B) =. [. τ −1 (y). y∈B. = {x ∈ X | (∃y ∈ B) x ∈ τ −1 (y) } = {x ∈ X | (∃y ∈ B) y ∈ τ (x) } = {x ∈ X | τ (x) ∩ B 6= ∅}. Ejemplo 2.1. [6] Sobre un conjunto X se pueden definir al menos las siguientes tres relaciones: 1. Relación de Igualdad 1X . Consiste en que todo elemento x ∈ X está relacionado consigo mismo, se denota por 1X = {(x, x) ∈ X × X}. Entonces, 1X visto como la relación τ : X → X establece que para cualquier x ∈ X, τ (x) = {x} y τ −1 (x) = {x}, debido a que, 1X = 1−1 X . 2. Relación Universal w . Se define como w = {(a, b) ∈ X × X | ∀ a, b ∈ X}. Claramente, w = X × X. 3. Relación Vacı́o ∅. El subconjunto ∅ ⊆ X × X se conoce como la relación binaria trivial..

(18) 7 Ejemplo 2.2. Sea el semigrupo (BX , ◦) presentado en el ejemplo 1.2 . Larelación composición, σ ◦ ρ = {(x, y) ∈ X × X | (∃z ∈ X) (x, z) ∈ ρ ∧ (z, y) ∈ σ }, entre las relaciones binarias ρ, σ ∈ BX , vista como una función τ de X en P(X), está dada para x ∈ X como τ (x) = (τ2 ◦ τ1 ) (x) = {z ∈ X | (∃y ∈ X) y ∈ τ1 (x) ∧ z ∈ τ2 (y) } (2.4) donde, τ1 y τ2 representan la función asociada a las relaciones ρ y σ respectivamente. De manera general, sean los conjuntos X, Y, Z, y las relaciones τ1 : X → Y , τ2 : Y → Z. La composición de τ1 y τ2 , notada por τ2 τ1 o τ2 ◦ τ1 , se define τ2 ◦ τ1 (x) = {z ∈ Z | (∃y ∈ Y ) (y ∈ τ1 (x) ∧ z ∈ τ2 (y))}. (2.5). Ejemplo 2.3. Sea el conjunto A = {a, b, c} y la relación R1 sobre A definida como R1 = {(a, b), (a, a), (b, c), (c, b)}. R1 se puede ver como la función τ : A → P(A) donde τ (a) = {a, b}, τ (b) = {c}, τ (c) = {b}. Ası́ mismo, para R−1 1 = {(b, a), (a, a), (c, b), (b, c)} se obtiene τ −1 : A → P(A) donde τ −1 (a) = {a}, τ −1 (b) = {a, c} y τ −1 (c) = {b}. Ejemplo 2.4. Sea X un conjunto finito. Considérese, el semigrupo (P(X), ∗) presentado en 1.3 y, la relación A definida sobre él como A = {(M, N ) ∈ P(X) × P(X) | M ⊆ N }. Ası́, τ : P(X) → P(X) se define como τ (M ) = {N ∈ P(X) | M ⊆ N }. Por otra parte, A−1 = {(N, M ) ∈ P(X) × P(X) | (M, N ) ∈ A} = {(N, M ) ∈ P(X) × P(X) | M ⊆ N }. Luego, τ −1 : P(X) → P(X) está definido como τ −1 (M ) = {N ∈ P(X) | M ∈ τ (N )} = {N ∈ P(X) | N ⊆ M }. Para ver que las definiciones de relación dadas son equivalentes, la prueba del siguiente teorema se hará de las dos maneras. Teorema 2.1. [6] Sean ρ, σ y τ relaciones sobre el conjuntos X. Se satisface −1 ρ−1 = ρ, (2.6) (ρ ◦ σ)−1 = σ −1 ◦ ρ−1 ,. (2.7). ρ ⊆ σ =⇒ ρ ◦ τ ⊆ σ ◦ τ ∧ τ ◦ ρ ⊆ τ ◦ σ.. (2.8).

(19) 8 Demostración. Sea (x, y) ∈ ρ−1. −1. ⇐⇒ (y, x) ∈ ρ−1 ⇐⇒ (x, y) ∈ ρ,. −1. por tanto, (ρ−1 ) = ρ. Considérese a τ : X → X como la relación ρ ∈ BX . Para x ∈ X, se tiene que: τ −1. −1. por tanto, (τ −1 ). −1. (x) = {y ∈ X | x ∈ τ −1 (y)} = {y ∈ X | y ∈ τ (x)} = τ (x),. = τ . Sea. (x, y) ∈ (σ ◦ ρ)−1 ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒. (y, x) ∈ (σ ◦ ρ) (∃z ∈ X) ((y, z) ∈ ρ ∧ (z, x) ∈ σ) (∃z ∈ X) (z, y) ∈ ρ−1 ∧ (x, z) ∈ σ −1 (∃z ∈ X) (x, z) ∈ σ −1 ∧ (z, y) ∈ ρ−1 (x, y) ∈ ρ−1 ◦ σ −1 ,. por tanto, (σ ◦ ρ)−1 = (ρ−1 ◦ σ −1 ). Considérese a τ1 : X → X como la relación ρ ∈ BX y a τ2 : X → X como la relación σ ∈ BX . Para x ∈ X, se tiene que: (τ2 ◦ τ1 )−1 (x) = = = = =. {y ∈ X | x ∈ (τ2 ◦ τ1 ) (y)} {y ∈ X | (∃z ∈ X) z ∈ τ1 (y) ∧ x ∈ τ2 (z)} {y ∈ X | (∃z ∈ X) y ∈ τ1−1 (z) ∧ z ∈ τ2−1 (x) } {y ∈ X | (∃z ∈ X) z ∈ τ2−1 (x) ∧ y ∈ τ1−1 (z) } τ1−1 ◦ τ2−1 (x),. por tanto, (τ2 ◦ τ1 )−1 = τ1−1 ◦ τ2−1 . Respecto a R ∈ BX vista como (2.2), se redefine (2.1) como: Definición 2.5. [12] El grafo de la relación τ : X → Y está definido como #τ = {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ τ (x)}.. 2.1.. (2.9). Relaciones Inyectivas y Sobreyectivas. Se pueden caracterizar propiedades de sobreyectividad e inyectividad en la relaciones vistas como una función..

(20) 9 Definición 2.6. [10] Sean X y Y conjuntos. Una relación τ : X → Y es sobreyectiva si, para todo y ∈ Y , existe x ∈ X tal que y ∈ τ (x). Definición 2.7. [10] Sean X y Y conjuntos. Una relación τ : X → Y es inyectiva si, para todo u, v ∈ X, τ (u) ∩ τ (v) 6= ∅ implica que u = v. Definición 2.8. [10] Una función parcial τ : X → Y es una relación entre los conjuntos X y Y donde para todo x ∈ X, existe a lo sumo un único y ∈ Y , tal que, y ∈ τ (x). Nota. La relación τ se llama función parcial de X en Y si |τ (x)| = 1 para todo x ∈ Dom τ . Una función parcial φ : X → Y se llama función si Dom φ = X. La relación inversa de una relación dada, permite caracterizar la inyectividad de la relación, como se verá. Teorema 2.2. [10] Sea τ : X → Y una relación. τ es inyectiva si y sólo si τ −1 es una función parcial. Demostración. Supóngase que τ es una relación inyectiva. Para y ∈ Y , si x1 , x2 ∈ τ −1 (y) se tiene que y ∈ τ (x1 ) y y ∈ τ (x2 ), luego y ∈ τ (x1 )∩τ (x2 ). En efecto, x1 = x2 , esto por ser τ relación inyectiva. En consecuencia, para todo y ∈ Y existe a lo sumo un único x ∈ X tal que x ∈ τ −1 (y). Por tanto, τ −1 es función parcial. Por otra parte, supongamos que τ −1 es función parcial y τ (x1 ) ∩ τ (x2 ) 6= ∅ para x1 , x2 ∈ X. Con lo que, existe c ∈ τ (x1 ) ∩ τ (x2 ), esto es, c ∈ τ (x1 ) y c ∈ τ (x2 ). Luego, x1 , x2 ∈ τ −1 (c), pero por ser τ −1 función parcial a c ∈ Y le corresponde a lo sumo un único elemento de X, en efecto, x1 = x2 . Por lo tanto, τ es una relación inyectiva. Ejemplo 2.5. La relacion τ del ejemplo 2.3 no es inyectiva, ya que τ (a)∩τ (c) = {b} pero a 6= c. Por otra parte, como a ∈ τ (a), b ∈ τ (a), τ (c), y c ∈ τ (b), entonces τ es sobreyectiva. Ejemplo 2.6. La relación diagonal 1X vista como la función τ definida en el ejemplo 2.1 es inyectiva, ya que si τ (x1 ) ∩ τ (x2 ) 6= ∅, existe y ∈ τ (x1 ) y y ∈ τ (x2 ). Con lo que, (x1 , y) ∈ 1x y (x2 , y) ∈ 1X , en consecuencia x1 = x2 . Además, como para x ∈ X se tiene que, x ∈ τ (x), entonces τ es sobreyectiva. Ejemplo 2.7. La relación τ sobre P(X) presentado en el ejemplo 2.4 no es inyectiva. Dado que, si B ∈ τ (M ) ∩ τ (N ), entonces, M ⊆ B y N ⊆ B, pero M 6= N . τ es sobreyectiva ya que ∅ ⊆ M , para M ∈ P(X), ası́ M ∈ τ (∅).. 2.2.. Relaciones de Equivalencia. Se definirá de una manera más general propiedades que serán de utilidad en la caracterización de las relaciones de equivalencia. Es de notar, que siendo ρ una relación, la notación que se usará es la misma, es decir, dos elementos x, y ∈ X están relacionados bajo ρ se notará como x ρ y o (x, y) ∈ ρ..

(21) 10 Definición 2.9. [6] Una relación ρ sobre un conjunto X es de equivalencia si ρ satisface ser: 1. Reflexiva si, y sólo si, 1X ⊆ ρ. 2. Simétrica si, y sólo si, ρ = ρ−1 . 3. Transitiva si, y sólo si, ρ ◦ ρ ⊆ ρ. En la teorı́a de conjuntos, se acostumbra a decir que la relación ρ sobre X es reflexiva si para todo x ∈ X, (x, x) ∈ X; la forma como se definı́o anteriormente, no es más que una generalización, no se trata por elementos, sino a partir del subconjunto 1X del producto, X × X. La relación se dice simétrica, si para todo x, y ∈ X, (x, y) ∈ ρ entonces (y, x) ∈ ρ, estos es que ρ ⊆ ρ−1 , aplicando (2.6) se tiene que ρ−1 ⊆ ρ, con lo que, se obtiene la condición de simetrı́a, es decir, ρ = ρ−1 . Y en cuanto a la transitividad, se dice que para cualesquiera x, y, z ∈ X, si (x, y) ∈ ρ y (y, z) ∈ ρ entonces (x, z) ∈ ρ; por la existencia de y ∈ X que cumple las condiciones anteriores e inspeccionando la forma de (2.4) se obtiene que si (x, z) ∈ ρ ◦ ρ entonces (x, z) ∈ ρ. Nota. Si la relación es de reflexiva, se cumple que, 1x ⊆ ρ, entonces aplicando la propiedad (2.8) ρ = 1X ◦ ρ ⊆ ρ ◦ ρ, en efecto la condición de transitividad se puede reemplazar por ρ ◦ ρ = ρ, sólo cuando la relación ρ es de equivalencia. Los conjuntos xρ = {y ∈ X | (x, y) ∈ ρ} forman la partición en X asociada con la equivalencia ρ y son llamados ρ − clase de x o clase de equivalencia de x. A X/ρ se le conoce como el cociente de X por ρ, el cual, es el conjunto de las ρ − clases, cuyos elementos son los subconjuntos xρ, para x ∈ X. En el estudio de los conjuntos cociente, se dará ı́nteres a aquellos obtenidos por una relación de equivalencia especial, la cual se conoce como kernel y se caracteriza de la siguiente manera: si φ : X → Y es una función, la relación ker φ = φ−1 ◦ φ está definida como φ−1 ◦ φ = = = =. {(x, y) ∈ X {(x, y) ∈ X {(x, y) ∈ X {(x, y) ∈ X. × X| (∃z ∈ X) (x, z) ∈ φ ∧ (z, y) ∈ φ−1 } × X| (∃z ∈ X) (x, z) ∈ φ ∧ (y, z) ∈ φ } × X| (∃z ∈ X) φ(x) = z ∧ φ(y) = z } × X|φ(x) = φ(y)}.. Definición 2.10. [6] A la relación φ−1 ◦ φ = {(x, y) ∈ X × X|φ(x) = φ(y)} se le va a llamar el kernel de φ, y se notará φ−1 ◦ φ = Ker φ. Teorema 2.3. [6] El ker φ es una relación de equivalencia..

(22) 11 Demostración. Sea (x, y) ∈ 1X , con lo que, x = y. Luego, por ser φ función, φ(x) = φ(y), y por tanto (x, y) ∈ φ−1 ◦ φ, ası́ 1X ⊆ φ−1 ◦ φ, es decir que la relación φ−1 ◦ φ es reflexiva. Ahora, por (2.7), se tiene que −1 −1 φ−1 ◦ φ = φ−1 ◦ φ−1 = φ−1 ◦ φ, luego, dicha relación es simétrica. Por último, la relación es transitiva, ya que, (x, y) ∈ φ−1 ◦ φ ◦ φ−1 ◦ φ ⇐⇒ ∃ z ∈ X (x, z) ∈ φ−1 ◦ φ ∧ (z, y) ∈ φ−1 ◦ φ ⇐⇒ ∃ z, z1 , z2 ∈ X (x, z1 ) ∈ φ ∧ (z1 , z) ∈ φ−1 ∧(z, z2 ) ∈ φ ∧ (z2 , y) ∈ φ−1 ⇐⇒ (x, z1 ) ∈ φ ∧ (z, z1 ) ∈ φ ∧ (z, z2 ) ∈ φ ∧ (y, z2 ) ∈ φ ⇐⇒ φ(x) = z1 ∧ φ(z) = z1 ∧ φ(z) = z2 ∧ φ(y) = z2 ⇐⇒ φ(x) = φ(z) ∧ φ(z) = φ(y) ⇐⇒ φ(x) = φ(y). Luego, (x, y) ∈ φ−1 ◦ φ. Como es conocido, la intersección de relaciones es nuevamente una relación y, en el caso, de que las relaciones sean de equivalencia, la intersección también será de equivalencia; lo cual permite dada una relación R ∈ BX , encontrar la relación de equivalencia más pequeña que contenga a R, como se mostrará a continuación. Teorema 2.4. [6] Si {ρi | i ∈ I} es una \ familia no vacı́a de relaciones de equivalencias sobre el conjunto X, entonces ρi es también una relación de equivalencia i∈I. en X. Demostración. Sea {ρi | i ∈ I} una familia no vacı́a de relaciones de equivalencias sobre el conjunto X. Por ser ρi de equivalencia por definición 2.9, para toda i ∈ I, se tiene que 1. 1X ⊆ ρi , 2. ρi = ρ−1 i , 3. ρi ◦ ρi ⊆ ρi ,.

(23) 12 luego, por cumplirse lo anterior para cada i ∈ I, se concluye que: \ 1. 1X ⊆ ρi . i∈I. 2.. \. ρi =. i∈I. 3.. \. \. ρ−1 i .. i∈I. (ρi ◦ ρi ) ⊆. i∈I. \. ρi .. i∈I. Por tanto, la relación. \. ρi es de equivalencia.. i∈I. La relación de equivalencia más pequeña que contiene a una relación R ∈ BX se denotará por Re , y se construye de la siguiente forma. Se toma R ∈ BX y fórmese la familia E de relaciones de equivalencia sobre X que contienen a la relación R. Esta familia es no vacı́a, \ ya que, por lo menos la relación universal, w = X × X ∈ E . Se e define a R = ρ. Re es distinto de vacı́o, ya que toda relación ρ en E contiene ρ∈E. a R, y se tiene que R ⊆ Re . Dicha relación Re , es la relación de equivalencia más pequeña sobre X que contiene a R, y se llama la equivalencia generada por R. Encontrar todas las relaciones de equivalencia que contienen a una relación es un trabajo arduo. Se dará una nueva descripción de la relación Re en términos de la clausura transitiva de la relación, que se mostrará a continuación. Sea ρ una relación reflexiva sobre el conjunto X, entonces, se tiene que 1X ⊆ ρ, y aplicando (2.8) sucesivamente: ρ = 1X ◦ ρ ⊆ ρ ◦ ρ ρ◦ρ ⊆ ρ◦ρ◦ρ ρ◦ρ◦ρ ⊆ ρ◦ρ◦ρ◦ρ .. . se tiene que ρ ⊆ ρ ◦ ρ ⊆ ρ ◦ ρ ◦ ρ ⊆ ··· simplicando la notación se escribe ρ ⊆ ρ2 ⊆ ρ3 ⊆ · · · Se llamará a la relación ρ∞ =. [. la clausura transitiva de la relación ρ.. {ρn | n ∈ N}.

(24) 13 Teorema 2.5. [6] Para toda relación reflexiva ρ ∈ BX , la relación ρ∞ es la relación transitiva más pequeña que contiene a ρ. Demostración. Sean (x, y), (y, z) ∈ ρ∞ , entonces existen m, n ∈ N tales que (x, y) ∈ ρm y (y, z) ∈ ρn . En efecto, (x, z) ∈ ρn ◦ ρm = ρn+m ⊆ ρ∞ . Luego, (x, z) ∈ ρ∞ . En consecuencia, la relación ρ∞ es transitiva. Ahora, supongamos que T es una relación transitiva sobre X que contiene a la relación ρ, esto es, ρ ⊆ T . Entonces, ρ2 = ρ ◦ ρ ⊆ T ◦ T ⊆ T , y de manera general ρn ⊆ T para todo n ≥. Por tanto, ρ∞ ⊆ T , es decir, ρ∞ es la relación más pequeña que contiene a ρ. Teorema 2.6. [6] Para cualquier relación R ∈ BX , Re = [R ∪ R−1 ∪ 1X ]∞ . Demostración. Denótese por E = [R ∪ R−1 ∪ 1X ]∞ y por S = [R ∪ R−1 ∪ 1X ], se verá que la relación E es de equivalencia, y que es la relación de equivalencia más pequeña que contiene a la relación R. En primera instancia, por la forma que tiene la relación E en el teorema 2.5 la relación E es transitiva, y [ R ⊆ S ⊆ {S n | n ∈ N} = E esto es, la relación R está contenida en la relación E. Como, 1X ⊆ S ⊆ E entonces, la relación E es reflexiva. Además, como S = S −1 , se tiene que, S es simétrica. Aplicando (2.7) y por la simetrı́a de S 2 −1 = (S ◦ S)−1 = S −1 ◦ S −1 = S −1 = S 2 S2 −1 3 S3 = (S ◦ S ◦ S)−1 = S −1 ◦ S −1 ◦ S −1 = S −1 = S 3 .. . n −1 n −1 ◦ S −1{z◦ · · · ◦ S −1} = S −1 = S n (S ) = (S ◦ S ◦ · · · ◦ S)−1 = S | {z } | n−veces. n−veces. de donde, S n es simétrica, para cada n ∈ N. Ahora, tómese (x, y) ∈ E [ (x, y) ∈ E ⇒ (x, y) ∈ {S n | n ∈ N} ⇒ ∃n ∈ N (x, y) ∈ S n ⇒ ∃n ∈ N (x, y) ∈ (S n )−1 ⇒ ∃n ∈ N (y, x) ∈ S n ası́, (x, y) ∈ E −1 , luego E ⊆ E −1 , por ende E es simétrica. Ası́, E es de equivalencia y contiene a la relación R. Supóngase, que σ es una relación de equivalencia que.

(25) 14 contiene a la relación R, entonces, R ⊆ σ, y aplicando (2.6), R−1 ⊆ σ −1 = σ y, por la reflexividad de σ, 1X ⊆ σ, con lo que, S = R ∪ R−1 ∪ 1X ⊆ σ. Por otra parte, S ◦ S ⊆ σ ◦ σ = σ, y de manera sucesiva S n ⊆ σ, para todo natural n ≥ 1. En consecuencia, E = S ∞ ⊆ σ. Por tanto, E = Re , por ser E de equivalencia y, E ⊆ σ, para toda σ ∈ E . Teorema 2.7. [6] Sea R una relación sobre el conjunto X. (x, y) ∈ Re si y solo si x = y o, para algún n ∈ N existe una sucesión de transiciones x = z1 → z2 → · · · → zn = y en la cual, para cada i ∈ {1, 2, ..., n − 1}, (zi , zi+1 ) ∈ R, o (zi+1 , zi ) ∈ R. Demostración. Supónganse que (x, y) ∈ Re , esto equivale a: (x, y) ∈ Re ⇐⇒ (x, y) ∈ [R ∪ R−1 ∪ 1X ]∞ [ ⇐⇒ (x, y) ∈ [R ∪ R−1 ∪ 1X ]n n∈N. ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒. ⇐⇒. −1 n ∃n ∈ N (x, y) ∈ [R ∪ R ∪ 1X ] ∃n ∈ N (x, y) ∈ [R ∪ R−1 ∪ 1X ]n−1 ◦ [R ∪ R−1 ∪ 1X ] ∃n ∈ N ∃zn−1 ∈ X (x, zn−1 ) ∈ [R ∪ R−1 ∪ 1X ]n−1 −1 ∧(zn−1 , y) ∈ [R ∪ R ∪ 1X ] ∃n ∈ N ∃zn−1 ∈ X ∃zn−2 ∈ X (x, zn−2 ) ∈ [R ∪ R−1 ∪ 1X ]n−2 ∧(zn−2 , zn−1 ) ∈ [R ∪ R−1 ∪ 1X ] ∈ (zn−1 , y) ∈ [R ∪ R−1 ∪ 1X ] .. .. ⇐⇒. . (x, z2 ) ∈ [R ∪ R−1 ∪ 1X ], . . . , (zi , zi+1 ) ∈ [R ∪ R−1 ∪ 1X ], . . . , (zn−1 , y) ∈ [R ∪ R−1 ∪ 1X ] . ∃n ∈ N ∃zn−1 , zn−2 , . . . z2 ∈ X. con lo que, para la sucesión de transiciones x = z0 → z1 → z2 → · · · → zn = y, se tiene que, (zi , zi+1 ) ∈ [R ∪ R−1 ∪ 1X ] para cada i ∈ {0, 1, 2, ..., n}. En consecuencia, (zi , zi+1 ) ∈ R o, (zi , zi+1 ) ∈ R−1 .. 2.3.. Congruencias. Las congruencias sobre un semigrupo S son una clase de relaciones de equivalencia en S, las cuales, van a ser compatibles bajo la operacion del semigrupo S. Se notará Con(S) a el conjunto de todas congruencias sobre el semigrupo S. Definición 2.11. [6] Una congruencia C sobre un semigrupo S es una relación de equivalencia estable o compatible. Es decir, la relación de equivalencia C sobre el.

(26) 15 semigrupo S es una congruencia si para cada s, t ∈ S y u, v ∈ S 1 , se tiene que s C t implica us C ut ∧ sv C tv. Nota. La congruencia generada por una relación no va a ser más que la clausura transitiva de la relación , la cual es compatible. El uso de las congruencias están presentes en la comprensión de los teoremas de isomorfı́a. Es de reconocer, que dicho teorema en la teorı́a de grupos es una herramienta que relaciona subgrupos normales y homomorfismos. Cuando se trabajan con semigrupos, el teorema fundamental de homomorfismo de grupo, tiene su análogo y se basa en congruencias de semigrupos para relacionar semigrupos cocientes. Teorema 2.8. [5] Sean S, T semigrupos, ρ una congruencia sobre S, y φ : S → T un morfismo de semigrupos. Entonces: 1. S/ρ es un semigrupo respecto a la operación definida como (aρ)(bρ) = (ab)ρ. 2. La aplicación π : S → S/ρ es un morfismo de semigrupos. 3. ker φ es una congruencia sobre S. 4. Existe un monomorfismo α : S/ (ker φ) → T tal que im α = im φ. Demostración. La operación sobre las clases de equivalencias está bien definida, ya que, si para a, a0 , b, b0 ∈ S, aρ = a0 ρ y bρ = b0 ρ entonces (a, a0 ), (b, b0 ) ∈ ρ y por ser ρ congruencia (aa0 , bb0 ∈ ρ), con lo que (ab)ρ = (a0 b0 )ρ. Además, la operación entre las ρ − clases es asociativa (ab)ρ · cρ = ((ab)c) ρ = (a(bc)) ρ = aρ · (bc)ρ, por tanto, el conjunto S/ρ es semigrupo bajo la operación de clases de equivalencia. Sea la aplicación π : S → S/ρ definida como π(a) = aρ para a ∈ S, entonces π(ab) = (ab)ρ = (aρ)(bρ) = π(a)π(b) para a, b ∈ S, es decir que, π es un morfismo de semigrupos. Por teorema 2.4 la relación ker φ es de equivalencia. Resta por ver que es compatible. Tómense (a, a0 ), (b, b0 ) ∈ ker φ, con lo que, φ(a) = φ(a0 ) y φ(b) = φ(b0 ), luego por ser φ morfismo φ(ab) = φ(a)φ(b) = φ(a0 )φ(b0 ) = φ(a0 b0 ),.

(27) 16 en consecuencia, (aa0 , bb0 ) ∈ ker φ, esto es, ker φ es una congruencia. Nótese a ker φ = κ y defı́nase α : S/ (ker φ) → T como α(aκ) = φ(a), para a ∈ S. Supóngase que α(aκ) = α(a0 κ) y α(bκ) = α(b0 κ), ası́ φ(a) = φ(a0 ) y φ(b) = φ(b0 ), entonces φ(ab) = φ(a0 b0 ), de donde, α((ab)κ) = α((a0 b0 )κ) y la aplicación α queda bien definida. Además, α((aκ)(bκ)) = = = =. α((ab)κ) φ(ab) φ(a)φ(b) α(aκ)α(bκ),. esto es, α es morfismo, como era de esperarse por la definición de α. En cuanto a la inyectividad, si α(aκ) = α(bκ), se tiene por definición de α que, φ(a) = φ(b), con lo que, (a, b) ∈ κ y en consecuencia, aκ = bκ. Por último, respecto a la imagen de α y φ se tiene que: im α = {t ∈ T | (∃a ∈ S) (α(aκ) = t)} = {t ∈ T | (∃a ∈ S) (φ(a) = t)} = im φ.. Teorema 2.9. [10] Sea ϕ : S → T un morfismo de semigrupos, y sea π : S → S/ (ker ϕ) un morfismo de semigrupos. Entonces, existe un único morfismo de semigrupos ϕ̃ : S/ (kerϕ) → T tal que ϕ = ϕ̃ ◦ π. Por otra parte, ϕ̃ es un isomorfismo de S/ (kerϕ) sobre ϕ(S). S ϕ. π. ~. S/κ. ϕ̃. /. T. Demostración. Nótese a la congruencia ker ϕ como κ. Sea s = (xκ) para algún x ∈ S, entonces necesariamente ϕ̃(xκ) = ϕ̃(s) = ϕ(x). Además, si x, y ∈ s entonces ϕ(x) = ϕ(y), ası́ ϕ̃ está bien definido. Tómense, π(x1 ) = x1 κ y π(x2 ) = x2 κ para x1 , x2 ∈ S, entonces π(x1 x2 ) = (x1 x2 ) κ = (x1 κ) (x2 κ) = s1 s2 . Luego, ϕ̃(x1 κ)ϕ̃(x2 κ) = ϕ(x1 )ϕ(x2 ) = ϕ(x1 x2 ) = ϕ̃ ((x1 x2 )κ).

(28) 17 ası́ ϕ̃ es un morfimo de semigrupos. Ahora, supóngase que ϕ̃(x1 κ) = ϕ̃(x2 κ) y sea x1 ∈ π −1 (x1 κ) y x2 ∈ π −1 (x2 κ), entonces, ϕ(x1 ) = ϕ(x2 ), y ası́ (x1 , x2 ) ∈ κ. En consecuencia, π(x1 ) = π(x2 ), esto es, x1 κ = x2 κ. Ası́, ϕ̃ es inyectivo. Por tanto, ϕ̃ induce un isomorfismo de S/ (kerϕ) sobre ϕ(S)..

(29) 18.

(30) Capı́tulo. 3. Morfismo Relacional 3.1.. Aspectos de la definición de morfismo relacional. El concepto de morfismo relacional es clave para la caracterización de la resolubilidad de un semigrupo asociado a una variedad de grupos finitos. La definición de morfismo relacional aparece por primera vez en [4], siendo Tilson (1937) el primer divulgador cientı́fico del concepto de morfismo relacional, de sus propiedades y del papel del conjunto de los morfismos relacionales, como el conjunto de morfismos de la categorı́a RSgp, cuyos objetos son los semigrupos y los morfismos entre los objetos son los morfismos relacionales, presentada en [13]. La categorı́a derivada de un morfismo relacional determina los conceptos de producto directo y división, ası́ como todas las descomposiciones de dicho morfismo relacional. Pero tal vez, la primera muestra latente de la noción de morfismo relacional, en la comunidad matemática del siglo XX, se presenta en [4]. Wedderburn(1882) plantea una forma más simple y más clara de definir y trabajar con morfismos entre grupos, esto debido a la simetrı́a.. 3.2.. Conceptos Generales. Se entenderá por morfismo relacional, a una relación como se presentó en 2.2, que cumple ciertas condiciones. Se darán caracterizaciones de los morfismos relacionales. Definición 3.1. [7] Sean S y T semigrupos. Un morfismo relacional de S en T , es una relación, τ : S → P(T ) que satisface las siguientes condiciones 1. τ (s) 6= ∅, para todo s ∈ S, 19.

(31) 20 2. τ (s)τ (s0 ) ⊆ τ (ss0 ), para todo s, s0 ∈ S, en el caso de que S y T sean monoides, además de cumplir 1 y 2, se debe satisfacer que: 3. 1T ∈ τ (1S ). Nota. De aquı́ en adelante se notará al morfismo relacional entre los semigrupos o monoides S y T , como τ : S ◦ / T , entendiéndose que se hace referencia a la relación τ : S → P(T ) que cumpla las condiciones anteriores. Teorema 3.1. Si τ : S. /. T es morfismo relacional entonces la imagen de τ Im τ = {t ∈ T | (∃s ∈ S) t ∈ τ (s) } ◦. es un subsemigrupo de T . Demostración. Sean t1 , t2 ∈ Im τ , con lo que, existen s1 , s2 ∈ S tales que t1 ∈ τ (s1 ) y t2 ∈ τ (s2 ). Luego, t1 t2 ∈ τ (s1 )τ (s2 ). Y por ser τ morfismo relacional, t1 t2 ∈ τ (s1 s2 ). En consecuencia, t1 t2 ∈ Im τ . Nota. Se llamará a τ (S) =. [. τ (s). s∈S. el subsemigrupo imagen de τ sobre T . Definición 3.2. [10] El grafo de un morfismo relacional τ es el subconjunto de S ×T definido por #τ = {(s, t) ∈ S × T | t ∈ τ (s)} La primera condición implica que Dom τ = S. Debido a que si, s ∈ S, se tiene que ∃A ∈ P(T ), A 6= ∅ tal que τ (s) = A. La segunda condición equivale a que un morfismo relacional τ : S ◦ / T es una relación de S a T tal que el grafo #τ = {(s, t) | s ∈ S, t ∈ τ (s)} es un subsemigrupo de S × T . Teorema 3.2. [10] Sean S, T semigrupos y τ : S ◦ / T morfismo relacional. El grafo #τ = {(s, t) | s ∈ S, t ∈ τ (s)} es un subsemigrupo de S × T . Demostración. Es claro que #τ ⊆ S × T . Sean (s, t), (s1 , t1 ) ∈ #τ , con lo que, t ∈ τ (s) y t1 ∈ τ (s1 ). Luego, tt1 ∈ τ (s)τ (s1 ), de donde, tt1 ∈ τ (ss1 ), por ser τ morfismo relacional. En consecuencia, (ss1 , tt1 ) ∈ G. Por tanto, #τ es un subsemigrupo de S × T..

(32) 21 Para dar una mejor comprensión a la definición 3.1, vena central de este trabajo, se presentará el siguiente ejemplo. Ejemplo 3.1. Considérese el semigrupos de los N bajo la multiplicación y, el semigrupo de transformaciones T (X), con X = {0, 1}, del ejemplo 1.4. Para este caso, P(X) = {1X , c0 , c1 , δ}, donde, 1X : X → X 0 → 0 1 → 1. c1 : X → X 0 → 1 1 → 1. c0 : X → X 0 → 0 1 → 0. σ:X → X 0 → 1 1 → 0. La relación τ : N → P(T (X)) definida como   {1X , c0 } si n = 0 τ (n) =  {c0 } si n 6= 0 es un morfismo relacional. Claramente, por la forma en que se definió τ , se tiene que, τ (n) 6= ∅ para todo n ∈ N. Para probar la segunda condición, considérense los siguientes casos: τ (0)τ (0) = {1X , c0 } · {1X , c0 } = {1X , c0 } ⊆ τ (0) τ (0)τ (n) = {1X , c0 } · {c0 } = {c0 } ⊆ τ (0) τ (n)τ (0) = {c0 } · {1X , c0 } = {c0 } ⊆ τ (0) τ (m)τ (n) = {c0 } · {c0 } = {c0 } ⊆ τ (mn) Veáse como se esta operando τ (n)τ (0) = = = =. {c0 } · {1X , c0 } {c0 ◦ 1X , c0 ◦ c0 } {c0 , c0 } {c0 } ⊆ τ (0).. Primero se efectúa la operación del semigrupo P(T (X)), por definición de esta los elementos de T (X) se operan bajo la operacion composición de funciones. Definición 3.3. [8] Sea τ : S ◦ / T morfismo relacional. El inverso de τ es la relación τ −1 : T → S definida por τ −1 (t) = {s ∈ S | t ∈ τ (s)} para t ∈ T . Además, si T 0 es un subsemigrupo de T se define τ −1 (T 0 ) = {s ∈ S | τ (S) ∩ T 0 6= ∅}. Definición 3.4. [8] Un morfismo relacional τ : S ◦ / T es inyectivo si τ (s1 ) ∩ τ (s2 ) 6= ∅ implica que s1 = s2 , para s1 , s2 ∈ S cualesquiera..

(33) 22 Nota. Por teorema 2.2, la definición 3.4 equivale a que τ −1 es una función parcial. Tilson llama a los morfismos relacionales inyectivos “elementales”. Definición 3.5. [8] Un morfismo relacional τ : S t ∈ T existe s ∈ S, tal que, t ∈ τ (s).. ◦. /T. es sobreyectivo si para. Teorema 3.3. Sea τ : S ◦ / T morfismo relacional. Si τ es sobreyectivo entonces τ −1 es morfismo relacional. Demostración. Por definición τ −1 (t) = {s ∈ S | t ∈ τ (s)}. Luego, existe s ∈ S, tal que, s ∈ τ −1 (t), por ser τ sobreyectiva. En consecuencia τ −1 (t) 6= ∅. Además, para t, t0 ∈ T , existen s, s0 ∈ S tales que s ∈ τ −1 (t) y s0 ∈ τ −1 (t0 ). Con lo que, ss0 ∈ τ −1 (t)τ −1 (t0 ). Por definición de τ −1 , t ∈ τ (s), y t0 ∈ τ (s0 ), ası́ tt0 ∈ τ (s)τ (s0 ), de donde, tt0 ∈ τ (ss0 ), por ser τ morfismo relacional. Con lo que, ss0 ∈ τ −1 (tt0 ). En consecuencia, τ −1 (t)τ −1 (t0 ) ⊆ τ −1 (tt0 ), para t, t0 ∈ T . Teorema 3.4. [7]Sean S y T monoides, y φ : S → T homomorfismo sobreyectivo (epimorfismo). La función τ : T → P(S), definida para t ∈ T como τ (t) = φ−1 (t) es un morfismo relacional. Demostración. Debido a que φ es epimorfismo, para t ∈ T cualquiera, existe s ∈ S, tal que, t = φ(s). Luego, s ∈ φ−1 (t). Por ende, τ (t) 6= ∅ para todo t ∈ T . Por otra parte, para s ∈ φ−1 (t) se tiene que φ(s) = t e igualmente para s0 ∈ φ−1 (t0 ), φ(s0 ) = t0 , ası́ φ(s)φ(s0 ) = tt0 , y por ser φ homomorfismo, φ(ss0 ) = tt0 . En consecuencia, ss0 ∈ φ−1 (tt0 ), y por tanto, τ (t)τ (t0 ) ⊆ τ (tt0 ). Por ser S y T monoides, existen 1S ∈ S y 1T ∈ T unidades de cada monoide respectivamente. Ası́, τ (1T ) = φ−1 (1T ) = {s ∈ S | 1T ∈ φ(s)} = {s ∈ S | 1T = φ(s)}. Como φ es homomorfismo entonces φ(1S ) = 1T . Luego, 1S ∈ φ−1 (1T ), esto es, 1S ∈ τ (1T ). Definición 3.6. [8] La composición entre los morfismos relacionales τ1 : R ◦ / S y τ2 : S ◦ / T se define como t ∈ (τ2 ◦ τ1 )(r) si existe s ∈ τ1 (r) tal que t ∈ τ2 (s). Teorema 3.5. [8]Sean R, S, T semigrupos. Si τ1 : R ◦ / S y τ2 : S morfismos relacionales entonces τ2 ◦ τ1 : R → T es morfismo relacional. Demostración. Para ver que τ2 ◦ τ1 es morfismo hay que mostrar que: 1. (τ2 ◦ τ1 ) (r) 6= ∅ para todo r ∈ R 2. (τ2 ◦ τ1 ) (r) (τ2 ◦ τ1 ) (r0 ) ⊆ (τ2 ◦ τ1 ) (rr0 ). ◦. /. T son.

(34) 23 Sea r ∈ R. Por ser τ1 (r) 6= ∅, existe s ∈ S, tal que, s ∈ τ1 (r). De igual manera, por ser τ2 (s) 6= ∅, existe t ∈ τ2 (s), ası́, t ∈ τ2 ◦ τ1 (r). Y por la arbitrariedad de r ∈ R, (τ2 ◦ τ1 ) (r) 6= ∅ para todo r ∈ R. Por lo anterior, para r, r0 ∈ R, existen t, t0 ∈ T tales que t ∈ (τ2 ◦ τ1 ) (r) y t0 ∈ (τ2 ◦ τ1 ) (r0 ). Ası́, tt0 ∈ (τ2 ◦ τ1 ) (r) (τ2 ◦ τ1 ) (r0 ) . Además, por definición 3,5, existen s, s0 ∈ S, donde s ∈ τ1 (r) y s0 ∈ τ2 (r0 ), tales que, t ∈ τ2 (s) y t0 ∈ τ2 (s0 ). Con lo que, para ss0 ∈ S se tiene que ss0 ∈ τ1 (rr0 ) tal que tt0 ∈ τ2 (ss0 ), esto por ser τ1 y τ2 morfismos relacionales. Por tanto, tt0 ∈ (τ2 ◦ τ1 ) (rr0 ). En el teorema anterior, se probó que la composición de dos morfismos relacionales es nuevamente un morfismo relacional. Ahora, véase que la composición de dos morfismos relacionales inyectivos, generan como se muestra a continuación un morfismo relacional inyectivo. Teorema 3.6. [8] Sean R, S y T semigrupos. Si τ1 : R ◦ / S y τ2 : S ◦ / T son morfismos relacionales inyectivos entonces τ2 ◦ τ1 : R → T es morfismo relacional inyectivo. Demostración. En el teorema anterior se probó que la composición de morfismos relacionales es un morfismo relacional, sólo basta probar la inyectividad. Supongamos que τ1 y τ2 son morfismos relacionales, y además que para r, r0 ∈ R cualesquiera τ2 τ1 (r) ∩ τ2 τ1 (r0 ) 6= ∅. Con lo que, existe t ∈ τ2 τ1 (r) ∩ τ2 τ1 (r0 ), en efecto existe s1 ∈ τ1 (r) tal que t ∈ τ2 (s1 ) y existe s2 ∈ τ1 (r0 ) tal que t ∈ τ2 (s2 ), esto por definición 3.5. Luego, t ∈ τ2 (s1 ) ∩ τ2 (s2 ), es decir, τ2 (s1 ) ∩ τ2 (s2 ) 6= ∅. Como τ2 es inyectivo entonces s1 = s2 . Ası́, s1 = s2 ∈ τ1 (r)∩τ1 (r0 ), lo que equivale a que, τ1 (r)∩τ1 (r0 ) 6= ∅, y por ser τ1 inyectivo se obtiene que r = r0 . Por tanto, τ2 ◦ τ1 es inyectivo. Teorema 3.7. Teorema de correspondencia entre morfismos relacionales y subsemigrupos[10] Sea τ : S ◦ / T morfismo relacional. Si S 0 es un subsemigrupo de S, entonces τ (S 0 ) es un subsemigrupo de T . Si T 0 es un subsemigrupo de T , entonces τ −1 (T 0 ) es un subsemigrupo de S. Demostración. Sean t1 , t2 ∈ τ (S 0 ), con lo que existen s1 , s2 ∈ S 0 tales que t1 ∈ τ (s1 ) y t2 ∈ τ (s2 ), ası́, t1 t2 ∈ τ (s1 )τ (s2 ). Y por ser τ morfismo relacional, se tiene que t1 t2 ∈ τ (s0 ), donde s1 s2 = s0 ∈ S 0 . En consecuencia, t1 t2 ∈ τ (S 0 ), esto es, τ (S 0 ) es subsemigrupo de T . Por otra parte, para s1 , s2 ∈ τ −1 (T 0 ), existen t1 , t2 ∈ T 0 tales que s1 ∈ τ −1 (t1 ) y s2 ∈ τ −1 (t2 ). Con lo que, t1 ∈ τ (s1 ) y t2 ∈ τ (s2 ). Ası́, t1 t2 ∈ τ (s1 s2 ). Luego, s1 s2 ∈ τ −1 (t0 ), donde t1 t2 = t0 ∈ T 0 . Por ende, τ −1 (T 0 ) es un subsemigrupo de S..

(35) 24. 3.3.. Teoremas de caracterización de los morfismos relacionales. Los siguientes dos teoremas, representan dos maneras de caracterizar la existencia del morfismo relacional τ : S ◦ / T para los semigrupos S y T . El primer teorema, se conoce como la factorización canónica de τ , en dicha factorización intervienen morfismos inducidos por las funciones proyecciones de S × T en los semigrupos S y T respectivamente. El segundo teorema, caracteriza a τ por medio de la existencia de un subsemigrupo V de T , junto con una congruencia φ sobre el subsemigrupo V y, de un epimorfismo ϕ entre el semigrupo S y el semigrupo V /φ.. 3.3.1.. Factorización Canónica. Teorema 3.8. [10] Sean S,T semigrupos. Si τ : S ◦ / T es morfismo relacional y #τ es el grafo asociado a la relación τ , entonces las proyecciones π1 : S × T −→ S y π2 : S × T −→ T inducen los morfismos α : #τ −→ S y β : #τ −→ T , tales que, α es sobreyectivo y, τ = β ◦ α−1 . Demostración. Sea #τ = {(s, t) ∈ S × T | t ∈ τ (s)} el grafo asociado al morfismo relacional τ : S ◦ / T . Por teorema 3.2, #τ es un subsemigrupo de S × T , y las funciones proyecciones π1 : S × T −→ S y π2 : S × T −→ T están definidas para (s, t) ∈ S × T como π1 [(s, t)] = s ∧ π2 [(s, t)] = t e inducen las funciones (restricción) α : #τ −→ S y β : #τ −→ T , donde α ((s1 , t1 )(s2 , t2 )) = α ((s1 s2 , t1 t2 )) = s1 s2 = α(s1 , t1 )α(s2 , t2 ) y β ((s1 , t1 )(s2 , t2 )) = β ((s1 s2 , t1 t2 )) = t1 t2 = β(s1 , t1 )β(s2 , t2 ) estos es, tanto α como β son morfismos de semigrupos. Ahora, para s ∈ S, se tiene que τ (s) 6= ∅, por ser τ morfismo relacional. Con lo que, existe t ∈ T tal que t ∈ τ (s). Luego, (s, t) ∈ #τ . En efecto, para cada s ∈ S existe (s, t) ∈ #τ tal que s = α(s, t). En consecuencia, α es morfismo sobreyectivo, y por ende, la relación α−1 está definida sobre todo S..

(36) 25 Tomemos t ∈ (β ◦ α−1 ) (s), con lo que, t ∈ β ◦ α−1 (s) ⇐⇒ ∃ r ∈ α−1 (s) (t ∈ β(r)) ⇐⇒ α(r) = s ∧ β(r) = t ⇐⇒ (s, t) ∈ #τ ⇐⇒ t ∈ τ (s) Por tanto, (β ◦ α−1 ) (s) = τ (s), para cada s ∈ S. La factorización τ = β ◦ α−1 se llama la factorización canónica de τ , y esta representada por el siguiente diagrama #τ β. α. S. ~. /T. τ =β ◦ α−1. Teorema 3.9. [8] Sea β ◦ α−1 la factorización canónica del morfismo relacional τ : S ◦ / T . Entonces, τ es inyectivo si y sólo si β es inyectivo. Demostración. Sea τ inyetivo. Tomemos r1 , r2 ∈ #τ tal que β(r1 ) = β(r2 ) = t. Por ser α sobreyectiva, para todo s ∈ S, existe r ∈ #τ tal que s ∈ α(r), con lo que, r ∈ α−1 (s). Ası́, r1 ∈ α−1 (α(r1 )) y r2 ∈ α−1 (α(r2 )). Luego, t ∈ β α−1 (α(r1 )) ∩ α−1 (α(r2 )) t ∈ τ (α(r1 )) ∩ τ (α(r2 )) . Por tanto, α(r1 ) = α(r2 ), por ser τ es inyectiva. Entonces, r1 = (α(r1 ), β(r1 )) = (α(r2 ), β(r2 )) = r2 . Por otra parte, α−1 es un morfimo relacional inyectivo por teoremas 2.2 y 3.3. Además, α−1 es sobreyectiva, ya que para (s, t) ∈ #τ , α(s, t) = s, ası́ (s, t) ∈ α−1 (s). Con lo que, si β es inyectiva, se tiene que β ◦ α−1 = τ es inyectiva.. 3.3.2.. Caracterización de Morfismos Relacionales (vı́a congruencias). Teorema 3.10. [2] Sean S, T semigrupos. Las siguientes proposiciones son equivalentes: 1. Existe un morfismo relacional τ : S. ◦. /. T.. 2. Existe un subsemigrupo (submonoide) V de T y una congruencia φ ∈ Con (V ) junto con un epimorfismo ϕ : S −→ V /φ..

(37) 26 Demostración. Supóngase que existe un subsemigrupo V de T y una congruencia φ sobre V junto con un epimorfismo ϕ : S −→ V /φ. Tómese, τ = ϕ. Véase que, ϕ es morfismo relacional. Sea s ∈ S, entonces τ (s) = ϕ(s) = ts /φ, entendiéndose, a ts /φ, como la φ − clase de t ∈ τ (s). La elección de t ∈ τ (s) es arbitraria. Con lo que, ts /φ 6= ∅, ya que, por lo menos ts ∈ ts /φ. Luego, para todo s ∈ S, τ (s) 6= ∅. La segunda condición, se satisface debido a que , para cualesquiera s, s0 ∈ S, se tiene que τ (s)τ (s0 ) = ϕ(s)ϕ(s0 ) = ϕ(ss0 ) = τ (ss0 ) por ser ϕ morfismo de semigrupos. En consecuencia, ϕ = τ es morfismo relacional entre los semigrupos S y T . En el caso, de que S y T sean monoides, se tiene que, 1T ∈ 1T /φ = ϕ (1S ) = τ (1S ). Por lo tanto, τ es morfismo relacional entre los semigrupos(monoides) S y T . Respecto a la suficiencia, supóngase que existe τ : S ◦ / T . Defı́nase, V ⊆ T , como V = Im(τ ) = {t ∈ T | (∃ s ∈ S) (t ∈ τ (s))}. Por teorema 3.1 V es subsemigrupo de T . En el caso, que S y T sean monoides, 1T ∈ τ (1S ), ası́ 1T ∈ V = Im(τ ). En segunda instancia, defı́nase la relación φ̂ sobre V , de modo tal que, para t, t0 ∈ V tφ̂t0 ⇐⇒ ∃ s ∈ S t, t0 ∈ τ (s) . La relación φ̂ está bien definida, por definición de V . La relación φ̂ es reflexiva, ya que para (t, t0 ) ∈ 1V , t ∈ V , con lo que, existe s ∈ S tal que t ∈ τ (s), y como t = t0 entonces t0 ∈ τ (s). En consecuencia, tφ̂t0 , esto es, (t, t0 ) ∈ φ̂. Ası́, 1V ⊆ φ̂. Además, φ̂ es simétrica, debido a que si (t, t0 ) ∈ φ̂ ⇐⇒ (∃s ∈ S) (t, t0 ∈ τ (s)) ⇐⇒ (∃s ∈ S) t0 , t ∈ τ (s) ⇐⇒ (t0 , t) ∈ φ̂ ⇐⇒ (t, t0 ) ∈ φ̂−1 , es decir, φ̂ = φ̂−1 . Pero nada se puede asegurar de la transitividad. Con lo que, tómese φ como la clausura transitiva de φ̂. Entonces, φ es una relación de equivalencia. Resta por ver, que φ es estable bajo la operación de V . Tómense tφt0 y uφu0 . Por teorema 2.7 por la construcción de φ existen sucesiones finitas de φ̂-elementos relacionados en T tales que tφ̂a2 φ̂a3 φ̂ · · · φ̂an−1 φ̂t0 uφ̂b2 φ̂b3 φ̂ · · · φ̂bm−1 φ̂u0 . Sin pérdida de generalidad, se toman las sucesiones del mismo tamaño. Por definición de φ̂, para i ∈ {0, ..., m − 1} (∃ s ∈ S) ai , ai+1 ∈ τ (s). ∧. (∃ s0 ∈ S) bi , bi+1 ∈ τ (s0 ).

(38) 27 Y por ser τ morfismo relacional (ai bi ) , (ai+1 bi+1 ) ∈ τ (s)τ (s0 ) ⊆ τ (ss0 ) con lo que, (ai bi ) φ̂ (ai+1 bi+1 ), para cada i ∈ {0, ..., m − 1}. Entonces, se pueden operar las dos sucesiones y obtener la sucesión (tu)φ̂(a2 b2 )φ̂(a3 b3 )φ̂ · · · φ̂(am−1 bm−1 φ̂(t0 u0 ) y en consecuencia (tu)φ(t0 u0 ), es decir, φ es congruencia sobre V , esto es, φ ∈ Con(V ). Por último, se debe definir el epimorfismo, tómese la función ϕ : S → V /φ definida por ϕ(s) = t/φ, donde t es un elemento arbitrario de τ (s). ϕ no depende de la elección de t en τ (s). Sean s, s0 ∈ S y tómese t ∈ τ (s), t0 ∈ τ (s0 ) y t00 ∈ τ (ss0 ), se tiene que: ϕ(s)ϕ(s0 ) = (t/φ) (t0 /φ) = tt0 /φ Por ser τ morfismo relacional, tt0 ∈ τ (s)τ (s0 ) ⊆ τ (ss0 ) con lo que, tt0 , t00 ∈ τ (ss0 ). Ası́, (tt0 ) φ̂ t00. ∧. (tt0 ) φ t00. luego, ϕ(ss0 ) = t00 /φ = tt0 /φ = ϕ(s)ϕ(s0 ). En consecuencia, ϕ es un morfismo entre los semigrupos S y V /φ. Para el caso, en que S y T sean monoides, se tiene que, 1T ∈ τ (1S ), entonces por la manera como se construyó ϕ ϕ(1S ) = 1T /φ y ası́, ϕ es un morfismo de monoides. ϕ es sobreyectivo, ya que para cualquier t ∈ V = Imτ , existe algún s ∈ S tal que t ∈ τ (s), en consecuencia, ϕ(s) = t/φ. Corolario 3.11. [2] Sean S y T semigrupos. Las siguientes proposiciones son equivalentes: Existe un morfismo relacional τ : S. ◦. /. T.. Existe un subsemigrupo(submonoide) V de T , congruencias θ ∈ Con(S) y φ ∈ Con(V ), tal que, S/θ ∼ = V /φ..

(39) 28 Demostración. Supóngase que existe un morfismo relacional τ : S ◦ / T . Por teorema 3.10 existe un subsemigrupo(submonoide) V de T , una φ ∈ Con(V ) y un morfismo sobreyectivo ϕ : S −→ V /φ. Por teorema 2.8, se tiene que ker ϕ ∈ Con(S). Tómese, θ = ker ϕ. Aplicando, el teorema 2.9 a ϕ, existe una biyección ϕ̃ : S/ker ϕ → V /φ. En consecuencia, S/θ ∼ = V /φ. Ahora, supóngase que existe un subsemigrupo(submonoide) V de T y, congruencias θ ∈ Con(S) y φ ∈ Con(V ), tal que, S/θ ∼ = V /φ Con lo que, existe una biyeccion ϕ̃ : S/ker ϕ → V /φ, donde ϕ : S −→ V /φ es morfismo. Luego, nuevamente por teorema 2.9, ϕ = ϕ̃◦φ, y como ϕ̃ y φ son morfismos sobreyectivos, se obtiene que, ϕ es un morfismo sobreyectivo. Y por teorema 3.10, existe un morfismo relacional τ : S ◦ / T . Teorema 3.12. [2] Sean S y T semigrupos. Si exite un morfismo relacional τ : S ◦ / T entonces θ ∈ Con(S), donde θ es la clausura transitiva de la relación θ̂ sobre S, definida para s, s0 ∈ S por sθ̂s0. ⇐⇒ τ (s) ∩ τ (s0 ) 6= ∅.. Demostración. La relación θ̂ es reflexiva, ya que, si (s, s0 ) ∈ 1S , se tiene que, τ (s) ∩ τ (s0 ) = τ (s) ∩ τ (s) = τ (s) 6= ∅, por ser τ morfismo relacional. Entonces, (s, s0 ) ∈ θ̂. Además, θ̂ es simétrica, dado que: θ̂−1 = = = =. {(x, y) ∈ S × S | (y, x) ∈ θ̂} {(x, y) ∈ S × S | τ (y) ∩ τ (x) 6= ∅} {(x, y) ∈ S × S | τ (x) ∩ τ (y) 6= ∅} θ̂.. Respecto a la transitividad, tómese θ la clausura transitiva de θ̂. Dicha relación S transitiva θ es reflexiva, ya que, 1S ⊆ θ̂ ⊆ n∈N θ̂n . También, θ es simétrica, dado que: [ θ = θ̂n n∈N. =. [. θ̂. −1. n. n∈N −1. = θ . Luego, la relación θ es de equivalencia sobre S. Resta por ver que θ es estable sobre S. Tómense, s, s0 , r, r0 ∈ S, tal que, sθs0 y rθr0 . Por la construcción de θ, existen sucesiones finitas de θ̂ elementos relacionados en S, tal que, sθ̂a2 θ̂a3 · · · θ̂an−1 θ̂s0.

(40) 29 rθ̂b2 θ̂b3 · · · θ̂bn−1 θ̂r0 Sin pérdida de generalidad n = m. Para i ∈ {0, · · · , m − 1} por definición de θ̂, se tiene que: τ (ai ) ∩ τ (ai+1 ) 6= ∅ ∧ τ (bi ) ∩ τ (bi+1 ) 6= ∅ ası́, existen c ∈ τ (ai ) ∩ τ (ai+1 ) y d ∈ τ (bi ) ∩ τ (bi+1 ), de donde, cd ∈ τ (ai )τ (bi ) ⊆ τ (ai bi ). ∧. cd ∈ τ (ai+1 )τ (bi+1 ). con lo que, cd ∈ τ (ai bi ) ∩ τ (ai+1 bi+1 ), es decir, τ (ai bi ) ∩ τ (ai+1 bi+1 ) 6= ∅. Luego, (ai bi ) θ̂ (ai+1 bi+1 ). En consecuencia, (sr) θ̂ (a2 b2 ) θ̂ · · · θ̂ (am−1 bm−1 ) θ̂ (s0 r0 ) , ası́ (sr, s0 r0 ) ∈ θ̂m ⊆. S. n∈N. θ̂n . Luego, srθs0 r0 , y por tanto, θ ∈ Con(S).. Teorema 3.13. [2] Sean S y T semigrupos. Sea un morfismo relacional τ : S y considérese. ◦. /. T. El morfimo de semigrupos ϕ : S → (V = Imτ ) /φ, con φ ∈ Con(V ). La congruencia θ en S, donde θ es la clausura transitiva de la relación θ̂ sobre S, definida para s, s0 ∈ S por sθ̂s0. ⇐⇒ τ (s) ∩ τ (s0 ) 6= ∅.. Entonces, ker ϕ = θ. Demostración. Para la primera contenencia, supóngase que (s, s0 ) ∈ ker ϕ, esto es, ϕ(s) = ϕ(s0 ) = t/φ. Por la forma como se construyó ϕ, se tiene que: t ∈ τ (s). ∧. t ∈ τ (s0 ). con lo que, τ (s) ∩ τ (s0 ) 6= ∅. En consecuencia, sθ̂s0 , esto es, (s, s0 ) ∈ θ̂. Luego, como θ̂ ⊆ θ, (s, s0 ) ∈ θ, es decir, ker ϕ ⊆ θ. Ahora, respecto a la otra contenencia, supóngase que (s, s0 ) ∈ θ, con lo que, existe una sucesión finita de θ̂ elementos relacionados en S sθ̂a2 θ̂a3 · · · θ̂am−1 θ̂s0 Luego, para i ∈ {1, · · · , m − 1}, se tiene que, ai θ̂ai+1 , esto es, τ (ai ) ∩ τ (ai+1 ) 6= ∅. Luego, existe di ∈ τ (ai ) ∩ τ (ai+1 ), y ası́ fórmese, la sucesión d0 , d1 , · · · , dm−1 de elementos en V = Imτ . Elı́jase, i ∈ {1, · · · , m − 2} y considérense los elementos di , di+1 ∈ V , entonces: di ∈ τ (ai ) ∩ τ (ai+1 ). ∧. di+1 ∈ τ (ai+1 ) ∩ τ (ai+2 ).

(41) 30 En particular, di , di+1 ∈ τ (ai+1 ). Ası́, di φ̂di+1 y se obtiene la sucesión d0 φ̂ · · · φ̂dm−1 Nótese que, d1 ∈ τ (s) ∩ τ (a2 ). En particular, t, d1 ∈ τ (s), y por tanto tφ̂d1 . Igualmente, dm−1 ∈ τ (am−1 ) ∩ τ (s0 ), y en particular, dm−1 φ̂t0 . En consecuencia, tφ̂d0 φ̂d1 · · · φ̂dm−2 φ̂dm−1 φ̂t0 entonces tφt0 . Luego, ϕ(s) = t/φ = t0 /φ = ϕ(s0 ). Por tanto, (s, s0 ) ∈ ker ϕ, esto es, θ ⊆ ker ϕ.. 3.4.. En el caso de Grupos. Teorema 3.14. [7] En caso que G y H sean grupos, el morfismo relacional entre ellos se comporta como un morfismo (homomorfismo), ya que cumple las siguientes condiciones: 1. |τ (x)| = |τ (1)| para todo x ∈ G. 2. τ (x)τ (y) = τ (xy) para cualesquiera x, y ∈ G. 3. Para z ∈ H, si z ∈ τ (x) entonces z −1 ∈ τ (x−1 ). Demostración. Primero se verá que el cardinal de τ (x) ∈ P(H) va hacer igual al cardinal del τ (1) ∈ P(H), donde el cardinal de A ∈ P(H) se denota por |A|. Para x ∈ G, se tiene que x1 = x. Luego, por ser τ morfismo relacional τ (x) = τ (x1) ⊇ τ (x)τ (1) entonces dado que las imágenes de τ son subconjuntos de un grupo, los elementos se pueden cancelar, obteniéndose que, |τ (1)| ≤ |τ (x)|. Por otro lado, por ser G grupo, para x ∈ G, existe x−1 ∈ G tal que xx−1 = 1, y nuevamente por ser τ morfismo relacional, se obtiene que τ (1) = τ (xx−1 ) ⊇ τ (x)τ (1) entonces por la razón anterior, |τ (1)| ≥ |τ (x)τ (x−1 )| ≥ |τ (x)|. Por tanto, |τ (1)| = |τ (x)|. Para la segunda parte, sean x, y ∈ G y z ∈ τ (x), se tiene que: zτ (y) ⊆ τ (x)τ (y) ⊆ τ (xy).

(42) 31 Por 1, al estar trabajando sobre grupos, la cardinalidad de los subconjutos de H bajo τ es la misma, con lo que, |zτ (y)| = |τ (y)| = |τ (xy)|. Ası́, se infiere que, τ (x)τ (y) = τ (xy). Por último, súpongase zτ (x−1 ) = τ (1). Luego, existe b ∈ τ (x−1 ) tal que zb = 1, de manera que z −1 ∈ τ (x−1 )..

(43) 32.

(44) Capı́tulo. 4. Conclusión Como se vı́o, para la comprensión de algunos aspectos iniciales de los morfismos relacionales, se es necesario conocer el tratamiento de las relaciones, sus propiedades y la definición alterna de relación. Los morfismos relacionales entre semigrupos hereden definiciones y teoremas análogos a los grupos, como lo son: la preservación de estructuras, la composición entre morfismos relacionales, y propiedades de inyectividad, sobreyectividad e inverso del morfismo relacional. Los teoremas de caracterización, permiten proporcionar a los morfimos relacionales de semigrupos como composición de morfismos relacionales de semigrupos, como relaciones inversas de morfismos sobreyectivos de monoides. La existencia de los morfismos relacionales, proporcionan isomorfismos entre semigrupos cocientes, junto con una descripción de la congruencia kernel. Todo esto, se puede realizar vı́a congruencias, siendo tales relaciones de equivalencia, la herramienta principal para dotar a conjuntos cocientes de estructura de semigrupo y, la vı́a para establecer los teoremas de isomorfı́a en la teorı́a de semigrupos. Todo ello, permite obtener una gran cantidad de morfismos relacionales, con lo que, cualquier morfismo relacional va a pertencer a las caracterizaciones y descripciones dadas. Por último, se reconoce que los morfismos relacionales además de poseer propidades algebraicas, dan el surgimiento de las categorı́a en los semigrupos.. 33.

(45) 34.

(46) Capı́tulo. 5. Anexos 5.1.. Categorı́a RSgp. Se presentará la categorı́a cuyos objectos son los semigrupos y los morfismos entre dos objetos de la categorı́a son los morfismos relacionales. Definición 5.1. Una categorı́a es una cuadrupla A = (O, hom, id, ◦) que consiste de Una clase O, cuyos miembros son llamados A-objetos. Para cada pareja (A, B) de A-objetos, un conjunto hom(A, B), cuyos miembros son llamados A-morfismos de A a B. id. Para cada A-objeto A, un morfismo A →A A llamado la A-identidad de A. f. Una ley de composición asociando con cada A-morfismo A → B y cada Ag g◦f morfismo B → C un A-morfismo A → C, llamado la composición de f y g, sujeto a las siguientes condiciones: f. g. 1. La composición es asociativa, es decir, para morfismos A → B, B → C y h C → D, se cumple h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f . 2. A-identidades actúan como identidades con respecto a la composición, es f decir, para A-morfismos A → B, se tiene idB ◦ f = f = f ◦ idA . La categorı́a RSgp consiste en: Ob (RSgp) = {S | S es semigrupo finito}. hom(S, T ) = {τ | τ : S. ◦. /T. }. 35.

(47) 36 Para cada RSgp-objeto S , la RSgp-identidad sobre S, se define como: idS : S → S s → idS (s) = {s} Para f ∈ hom (R, S) y g ∈ hom (S, T ) se tiene asociado la ley de composición dada en la definición 3.6. La cual, satisface lo siguiente: 1. Sean f ∈ hom (R, S), g ∈ hom (S, T ) y h ∈ hom (T, U ). Entonces (h ◦ (g ◦ f )) (r) = = = = =. {u ∈ U | (∃t ∈ T ) {u ∈ U | (∃t ∈ T ) {u ∈ U | (∃s ∈ S) {u ∈ U | (∃s ∈ S) ((h ◦ g) ◦ f ) (r). t ∈ (g ◦ f ) (r) ∧ u ∈ h(t) } (∃s ∈ S) s ∈ f (r) ∧ t ∈ g(s) ∧ u ∈ h(t) } (∃t ∈ T ) s ∈ f (r) ∧ t ∈ g(s) ∧ u ∈ h(t) } s ∈ f (r) ∧ u ∈ (h ◦ g) (s)}. 2. Sea f ∈ hom(S, T ). Entonces, (f ◦ idS ) (s) = = = = (idT ◦ f ) (s) = = = =. {t ∈ T | (z ∈ S) z ∈ idS ∧ t ∈ f (z)} {t ∈ T | (z ∈ S) z = s ∧ t ∈ f (z)} {t ∈ T | t ∈ f (s)} f (s) {t ∈ T | (z ∈ T ) z ∈ f (s) ∧ t ∈ idT (z)} {t ∈ T | (z ∈ T ) z ∈ f (s) ∧ t = z} {t ∈ T | t ∈ f (s)} f (s)..

(48) Bibliografı́a. [1] A. Ballester-Bolinches, J.-É. Pin, and X. Soler-Escrivà, Formations of finite monoids and formal languages: Eilenberg’s theorem revisited, Forum Math. 26 (2012), no. 6, 1737–1761. [2] E. Cosme, Teoremes bonicos de coses lletges, 2013. [3] S. Eilenberg, Automata, languages, and machines. Vol. A, Academic Press, New York, 1974. [4]. , Automata, languages, and machines. Vol. B, Academic Press, New York, 1976.. [5] P. A. Grillet, Semigroups, Marcel Dekker, Inc, 1995. An introduction to the structure theory. [6] J. M. Howie, Fundamentals of semigroup theory, LMS monographs, Clarendon Press, 1995. [7] V. Pérez-Calabuig, Sobre els semigrups finits H-resolubles, Master’s Thesis, Burjassot, 2013. [8] J.-É. Pin, Varieties of formal languages, North Oxford, London, Plenum, New-York, 1986. Traduction de Variétés de langages formels, Masson, 1984. [9] [10]. , Relational morphisms, transductions and operations on languages, Formal properties of finite automata and applications, 1989, pp. 34–55. , Mathematical foundations of automata theory, 2012.. [11] J. Rhodes, Bret tilson: his life and work, International Journal of Algebra and Computation 20 (2010), no. 2, vii–xvii. [12] J. Rhodes and B. Steinberg, The q-theory of finite semigroups, Springer Monographs in Mathematics. Springer, New-York, 2009. [13] B. Tilson, Categories as algebra an essential ingredient in the theory of monoids, Journal of Pure and Applied Algebra 48 (1987), 83–198.. 37.

(49)