Condiciones de Contorno
6.2. Casos Hidrostáticos
Para comprobar que el código calcula de forma correcta los términos fuente del proble- ma astrofísico a estudiar, se empleó una solución hidrostática aproximada propuesta por (Aschwanden y Schrijver, 2002) para arcos de diversos tamaños y condiciones iniciales. El modelo emplea un sistema de coordenadas análogo al de la Figura 6.4, y tiene en cuenta:
Contornos de presión X t 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.2 0.4 0.6 0.8 Contornos de M=cte X t 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 −0.5 0 0.5 1
Figura 6.23: Contornos de presión y número de Mach constante para condiciones supersónicas no reejantes y subsónicas de p∞ impuesta
Contornos de presión X t 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.2 0.4 0.6 0.8 Contornos de M=cte X t 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.5 1 1.5
Figura 6.24: Contornos de presión y número de Mach constante para el esquema extrapolado
Conducción térmica de acuerdo al modelo de Spitzer, dado por la Ec. (3.7) Disipación por radiación de acuerdo a la Ec. (3.1)
Una ley de calentamiento de la forma
EH =EH0exp
−(s−s0) sH
Para el caso general de un arco con una distribución de temperatura, sección y una fun- ción de calentamiento arbitrarias no existe una solución analítica. (Aschwanden y Schrijver, 2002) obtuvieron soluciones aproximadas basadas en correlaciones estadísticas de un gran número de soluciones numéricas para distintos valores de los parámetros.
Empleando la variable normalizadaz: z=
L−s L−s0
La distribución aproximada de temperatura a lo largo del arco es:
T(s) =Tmax[1−za]b para sLH >0,3 T(s) =Tmax[1−za]b h 1 + 0,5·log10 L sH (1−z)z5i para sH L ≤0,3 (6.30) La presión se obtiene mediante una expresión similar a la de la distribución hidrostática:
p(s) =p0e
−h(s)−h0
λp(s)
La escala de altura para la presión se determina mediante:
λp(s) =λ0 T(s) 106 1 + h(s) Rsun qλ(L, sH)
donde Rsun= 6,96·108 m es el radio solar y h es la altura, dada por:
h= 2L
π sin
πs
2L
Y la densidad se obtiene a través de la ecuación de estado.
Los coecientes a, b yqλ se interpolan a través de otro grupo de coecientes:
a(L, sH) = a0+a1 L0 sH a2 b(L, sH) = b0+b1 L0 sH b2 qλ(L, sH) = c0+c1 L0 sH c2
Estas aproximaciones son válidas para:
4·106m≤L≤400·106m; 4·106m≤sH ≤400·106m; 1·106K ≤Tmax≤10·106K
Este modelo sencillo permite validar los términos fuente para arcos de diferentes longi- tudes, con diferentes funciones de calentamiento y diferentes leyes de variación de sección. A continuación se presentan los resultados para un arco de sección constante con semilongi- tud L= 40·106m. Para este caso además existen grácos de resultados de una simulación
con un código hidrostático en el trabajo de (Aschwanden y Schrijver, 2002), que también se emplearon para comparar resultados. Los datos de dicha simulación se levantaron co- mo puntos discretos de las guras del trabajo citado mediante un programa para tomar información de grácos, y son representados con círculos.
Una vez obtenidas las soluciones hidrostáticas aproximadas para la presión y densidad, se emplearon éstas como condición inicial para el código de FVM desarrollado. Con dichas condiciones iniciales y condiciones de contorno extrapoladas y caracteristicas análogas a las empleadas en la Sección 6.1.3, corrimos 4000 pasos de tiempo conCF L = 0,9. En ese
período de tiempo las oscilaciones en la velocidad se amortiguaron y el sistema convergió a una solución hidrostática idéntica a la obtenida por (Aschwanden y Schrijver, 2002) con su código hidrostático, y muy cercana a la solución aproximada parametrizada.
Por otro lado,para la condición inicial planteada el código de volumenes nitos dio como resultado velocidades casi nulas en todo el dominio (salvo pequeñas oscilaciones cerca de las bases, posiblemente debido a que la solución hidrostática propuesta es aproximada), y conservó esta conguración de presión, densidad y velocidad a lo largo del tiempo. En la Figura 6.25 se presentan los perles de densidad y temperatura obtenidos, comparados con el caso hidrostático simulado por los autores y las soluciones parametrizadas.
En la Figura 6.26 comparamos los términos de conducción de calor y pérdidas de energía por radiación para las tres soluciones mencionadas. De esta forma, comparamos los términos fuente calculados por el código FVM para dichas condiciones como los calculados para obtener la solución hidrostática aproximada y los de la simulación hidrostática. En todos los casos se obtuvo una muy buena correlación. Para evaluar los ujos de calor por conducción empleamos tanto la formulación de diferencias nitas, Ec. (4.32) como la de volúmenes nitos, Ec. (4.37). Ambos esquemas funcionaron adecuadamente, existiendo diferencias del orden del 1 % entre los resultados obtenidos con el método de volúmenes nitos y los con el esquema de diferencias nitas en la región cercana a las bases.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x 109 0 2 4 6 8 10 12x 10 5 T[K] 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x 109 108 109 1010 1011 lo g10 ρ Sol Aschwanden Sol hidrost Sol FVM
Figura 6.25: Comparación de los perles de densidad y temperatura obtenidos con la solución hidrostática numérica de (Aschwanden y Schrijver, 2002), la parametrizada aproximada y mediante volúmenes nitos
Por otro lado, evaluamos el efecto de considerar una limitación por saturación del ujo de calor por conducción, de acuerdo a la Ec. (3.12). Dicha condición no fue tenida en cuenta en la solución obtenida por los autores. Sin embargo, se observa que la limitación del ujo de calor posee escasa inuencia en la cantidad de calor transportada. Creemos que esto se debe a que en las zonas de las bases (donde existe mayor gradiente de temperatura) la densidad es más elevada, lo que implica un valor del ujo de saturación qsat mayor.
Por otro lado, derivamos el ujo de calor por conducción de la solución aproximada mediante derivadas analíticas y numéricas de la expresión otenida para temperatura, dada por la Ec.(6.30). Se observa que la solución aproximada para el ujo de calor (obtenida como una derivada exacta o aproximada de la solución paramétrica paraT) es ligeramente
diferente de la solución numérica obtenida por Aschwanden. Creemos que esto se debe a que la solución aproximada es menos exacta en las regiones cercanas a las bases, y estas pequeñas diferencias inciden en el gradiente de T7/2. Sin embargo, el código de volúmenes nitos
desarrollado muestra muy buena coincidencia con los valores obtenidos por la solución numérica hidrostática. Lo mismo ocurre con la función de pérdidas radiativasLrad.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x 109 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5x 10 −4 x[cm] Qcond [erg/cm 3 s] 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x 109 0 1 2 x 10−4 x[cm] LRad [erg/cm 3 s]
Cond. Cal. Asch. Cond. Cal. An. hid Cond. cal. ap. hid Cond. Cal. FDM Cond. Cal. FVM Cond. Cal. FVM Lim.
L rad Asch L
rad Hid Lrad FVM
Figura 6.26: Comparación de términos de conducción de calor y pérdidas radiativas para las tres soluciones hidrostáticas