Condiciones de Contorno
6.1. Casos gasdinámicos 1 Tobera de sección variable
6.1.2. Arco coronal de sección variable
El segundo caso analizado consiste en un modelo gasdinámico analítico simplicado de un arco de la corona solar, propuesto por (Cargill y Priest, 1980). Dicho modelo consiste de un arco circular con hidrógeno monoatómico, en cuyas bases la presión es igual a la presión de la cromósfera solar. En una de las bases se impone una velocidad de entrada v0, y se
consideran los efectos de la gravedad.
Tomando una coordenada curvilínea 0 ≤ s ≤ 2L a lo largo de la linea media del
arco y despreciando su curvatura, el problema se idealiza con las Ecuaciones de Euler cuasi unidimensionales de sección variable (3.36). En la Figura 6.4, tomada de la referencia citada, se esquematiza el modelo.
Figura 6.4: Esquema del modelo del arco de (Cargill y Priest, 1980)
Para implementar un modelo numérico del sistema es necesario incluir un vector de términos fuente de la forma:
S= 0, p∂A ∂x −ρAgcos πs 2L , −ρAugcosπs 2L T (6.2) en las Ecs. (3.36).
Los autores asumieron simplicaciones en la ecuación de la energía (ujo isoentrópico o isotérmico) y ujo estacionario, lo que les permitó obtener una relación analítica a través de una ecuación diferencial ordinaria (ODE) para la velocidad de la forma:
u−a 2 u ∂u ∂s =−gcos πs 2L +a 2 A ∂A ∂s (6.3)
Imponiendo la condición de contornou=u0paras= 0puede integrarse esta ecuación para
obtener una ecuación algebraica no lineal, de donde se despeja la distribución de velocidades. Y mediante las relaciones isoentrópicas y la ecuación de continuidad se obtienen las demás variables.
Como condición inicial empleamos un estado constante para la densidad, velocidad y presión. La discretización del dominio fue de 400 celdas, más dos en cada uno de los con- tornos. Para este modelo tanto la entrada como la salida serán subsónicas, por lo tanto empleamos la condición de caudal másico constante para la entrada y probamos las condi- ciones de presión constante, no reexión y y fuerza nula en la salida. La solución depende fuertemente de la ley de variación de la sección con la coordenada s, así como la longitud
del arco, ya que la gravedad solar produce un gradiente en la densidad, cuyo mímino se encuentra paras=L, y además desacelera el ujo en la rama ascendente, y lo acelera en
la descendiente.
Elegimos para simular el caso de un arco de longitudL= 140·106m, cuya densidad y
temperatura en las bases son respectivamente de ρ = 1,18·10−12kg/m3 y T = 1·106K.
Dichas condiciones implican un valor de aceleración de gravedad adimensionalizado de
g= 2,8. La variación de sección del arco viene dada por:
A(x) =A0 h 1 + (k−1) sin2 πs 2L i ; L= 140·106m; k= 5
dondekrepresenta un factor de contracción entre el área de la baseA0 y el área a la mitad
del arco A(s=L). Teniendo en cuenta que la solución adimensional resulta independiente
del valor del área en la base A0, por simplicidad empleamos A0 = 1. La velocidad en la
entrada valeu0 = 0,27a. Para estas condiciones, la solución analítica predice ujo subsónico
en ambas bases (entrante a la izquierda y saliente a la derecha). Si la velocidad en la entrada o si el efecto de la gravedad son sucientemente grandes, el ujo se vuelve sónico en s=L.
Esto se debe a que existen dos efectos que compiten: la variación del área, que hace que el ujo reduzca su velocidad (como en un difusor subsónico); y por otro lado la gravedad variable, cuyo efecto decae con la altura, posibilitando que el ujo se acelere (la aceleración de la gravedad es máxima en s = 0,2L, pero es nula en s = 2L).Por estas razones las
soluciones posibles pueden tener varios extremos locales. De esta manera, si la contracción de área y el cambio en la gravedad son sucientes, el ujo puede volverse supersónico en la segunda mitad del arcoL < s <2L. Para satisfacer la condición de presión en la cromósfera
paras= 2Lnecesariamente debe aparecer una onda de choque en dicho segmento del arco.
de la semilongitud del arco. Esto presenta un problema desde el punto de vista numérico: es imposible que el algoritmo converja a una solución estacionaria si existen innitas soluciones posibles entre L < s <2L; cualquier solución obtenida cambiaría hacia otra solución con
la más pequeña perturbación en algún parámetro.
El caso analizado produce como resultadoM = 0,9paras=L. Corrimos 6000 iteracio-
nes con CF L= 1,2, para poder analizar las particularidades del proceso de convergencia.
Este caso se encuentra cercano a la condició límite de M = 1 para s = L, por lo que
pueden aparecer soluciones supersónicas durante el transitorio de convergencia. Además, se ve claramente que la distribución de velocidades a lo largo del arco posee tres máximos locales
Empleamos la condición de caudal másico constante a la entrada, ya que dio buenos re- sultados para el caso del difusor subsónico, y la solución también implica ujo isoentrópico. Evaluamos diferentes esquemas de condiciones de contorno para la salida: presión constante en el tiempo (Ec. (5.42)), temperatura constante en el tiempo, no reexión (Ec. (5.37)), presión impuesta en el campo lejano (Ec. (5.43)) y fuerza nula en el contorno (Ec. (5.40)). Los resultados obtenidos se muestran en la Figura 6.5, donde se presentan los perles de densidad y velocidad, comparados con los de la solución analítica.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Densidad 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Velocidad
Extrap. p=cons T=cons v=cons fza nula nonref p∞ exact
Figura 6.5: Distribuciones de velocidad y densidad para 6000 iteraciones
El proceso de convergencia no resulta sencillo: durante el transitorio suelen aparecer regiones donde el ujo es supersónico, que eventualmente pueden cambiar las condiciones en la salida (dependiendo del tipo de esquema de BCs utilizado), haciendo que el sistema
converja a una solución no física (con una presión en la cromósfera diferente de la real). El sistema también resulta muy sensible a las condiciones iniciales, pudiendo obtenerse presiones negativas en el caso de que el paso de tiempo sea sucientemente grande. Esto ocurrió incluso con distribuciones de densidad parabólicas, con distribuciones de presión y velocidad que satisfacen las ecuaciones de conservación. En la Figura 6.6 se muestran las curvas de convergencia obtenidas.
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 10−7 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 Residuo de la densidad E xtra p. p=cons T=cons v=cons fza nula no ref p ∞ n
Figura 6.6: Curvas de convergencia para distintos esquemas de BCs para el arco coronal de (Cargill y Priest, 1980)
Otro aspecto interesante de notar es que la presencia de términos fuente en la ecuación de cantidad de movimiento provocó que la convergencia a la velocidad fuera mucho más lenta que la convergencia a la presión y a la densidad.
Para evaluar la inuencia de los términos fuente relativa a la de los efectos convectivos, calculamos la relación entre las componentes del vector de términos fuente Ci0 y las com-
ponentes del vector de ujos numérico Fi para las ecuaciones de cantidad de movimiento
y energía. Dichas relaciones evaluadas en los contornos:
C20(x= 0) F2(x= 0) = 2,50 C 0 3(x= 0) F3(x= 0) = 1,093 (6.4)
y para un punto representativo del dominio, comos=L/2
C20(x=L/2) F2(x=L/2) = 1,53 C 0 3(x=L/2) F3(x=L/2) = 1,51 (6.5)
De esta manera, los efectos gravitatorios tienen un rol importante en el modelo de BCs, ya que sus efectos son mayores a los de la convección, y a que los efectos de variación de área no están presentes.
El modelo de condiciones de contorno que mejores resultados produjo fue el de presión constante en el contorno, aunque vimos que la convergencia fue bastante errática, y para casos más severos (como para k = 20 y L = 175·106 m) una vez alcanzada la solución
analítica, ésta no era estable y después de un tiempo el algoritmo convergía a otra solución. Nuevamente la condición de no reexión de ondas probó poseer las mejores propiedades de convergencia, pero ocurrió que resultó muy sensible a las condiciones iniciales, debido a que el ujo se volvía supersónico durante el transitorio, provocando que la salida se volviera también supersónica y cambiara el valor en la presión. Una estrategia que empleamos para subsanar este problema fue utilizar la condición de salida con presión constante para las primeras 3000 iteraciones, y luego cambiar a las condiciones de no reexión. Sin embargo, este problema quedó resuelto con el esquema de presión impuesta en el campo lejano, que resultó ser una buena solución de compromiso entre ambos esquemas. A pesar de ello, la tasa de convergencia no es tan buena como hubiéramos esperado. Podría ser mejorada quizás ajustando el coeciente σ en la Ec. (5.43) a un valor mas apropiado para este tipo
de ujo. El esquema de temperatura constante no convergió a la solución esperada porque produjo una discontinuidad en la salida y una mayor presión en la admisión. A pesar de esto, su tasa de convergencia es mayor que la de los esquemas anteriores.
La condición de fuerza nula en el contorno no convergió a la solución analítica propuesta simplemente porque se demuestra que para esta solución no se cumple que
∂pA
∂x +ρAg−p dA
dx = 0
El algoritmo converge a una solución con expansión supersónica, que verica la relación anterior. Finalmente, debemos notar que el esquema de extrapolación para BCs posee una curva de convergencia de mayor velocidad y con menor cantidad de oscilaciones. Sin embargo, como en los casos anteriores, esta solución requirió denir todas las variables en la entrada, porque de otra manera no se lograba la convergencia. Esto no resulta práctico cuando tienen que analizarse casos cuya solución analítica no se conoce en el contorno. Si bien en la Figura 6.5 se observa que esta solución es la que más se acerca a la analítica, lo que ocurre es que se mantiene oscilando. Sin embargo, las condiciones extrapoladas probaron ser más robustas e insensibles a la condición inicial.