Problema 8.1
Trazar una circunferencia tangente a otra por el punto R y que además contenga al punto M
Problema 8.3
Dadas dos circunferencias, trazarle otras dos tangentes entre sí
Construcción
1. Sea O1 y O2 el centro de las dos circunferencias da-
2. Unimos O1 y N, y O2 y N' con rectas prolongadas a discreción, llevándonos sobre cada una de las rectas (con centro en N y N') a una distancia igual a su ra- dio, indicando con los puntos de corte, R y R'. 3. Con centro en O1 y O2 y arcos O1 R y O2 R' se trazan
arcos que se cortan en O7 y O8, centro de las dos cir- cunferencias buscadas.
4. Unimos los cuatro centros entre sí con rectas que cortan las circunferencias en el punto de tangencia 1, 2, 3, 4.
Problema 8.4
Trazar dos circunferencias tangentes a la recta ML en el punto S, conociendo el radio de las circunferencias
Construcción
1. Sea S el punto de contacto y ML la recta dada y el radio conocido de las dos circunferencias de 2 cm. 2. Por el punto S trazamos una perpendicular LM y ha-
ciendo centro en el mismo punto, describimos una circunferencia con radio de 2 cm.
3. La circunferencia se corta con la perpendicular en los puntos O y O', centros de las dos circunferencias busca- das. Al trazarlas se encuentran en el punto de tangencia.
Problema 8.5
Trazar dos circunferencias tangentes de radío conocido, a una circunferencia de centro O, siendo N punto de tan- gencia
Construcción
1. Sea 2 cm el radio de las dos circunferencias y N el punto de tangencia a la circunferencia de centro O. 2. Por el punto O y N trazamos una recta.
3. Haciendo centro en O' y O" y con el mismo radio trazamos las dos circunferencias tangentes a la recta
LM.
4. Con los radios dados trazamos las circunferencias tan- gentes en el punto N.
Problema 8.6
Trazar dos circunferencias tangentes a una recta dada, de radio conocido y que pasen por el punto N.
Construcción
1. Sea 2 cm el radio de las circunferencias por trazar; LM la recta tangente a ellas y N el punto dado. 2. A una distancia del radio dado, trazamos una parale-
la a LM, haciendo centro en N y con un radio de 2 cm describimos una circunferencia auxiliar que corta a la paralela en O y O'.
Problema 8.7
Dada una circunferencia, trazarle dos o más circunferen- cias tangentes y del mismo radio y que pasen por el punto
L exterior a la circunferencia dada Construcción
1. Sea O el centro de la circunferencia y Tl y T2, T3 y T4
sus puntos de tangencia con las demás circunferen- cias de radio de 2 cm y que pasan por el punto L. 2. Unimos con una recta OL, hacemos centro en L y
con un radio de 1.5 cm trazamos una circunferencia auxiliar.
3. Con un radio igual a la suma del radio dado 7 mm + 1.5 mm = 22 mm, más el de la circunferencia dada haciendo centro en O trazamos un arco, que corta a la circunferencia auxiliar en C1 y C2
4. Haciendo centro en O pero con la diferencia del ra- dio dado menos el de la circunferencia dada 2 + 1 cm trazamos otro arco que corta a la circunferencia auxiliar en C3 y C4.
5. Los puntos C1 C2, C3 y C4 son los centros de las cua-
tro circunferencias tangentes buscadas, que al unirlos con el centro O nos dan los cuatro puntos de tan- gencia.
2.
NOTA: Este problema tiene cuatro soluciones como máximo.
Pasando por P una recta que corte a LM en B, sobre LM, llevamos la distancia PB a la izquierda y dere- cha con los puntos D y D'.
4.
Por D1 y D2 levantamos perpendiculares a LM, al án-
gulo formado en B le trazamos sus bisectrices, que se cortan con las rectas perpendiculares en dos puntos O y O'.
Con centro en O y O' trazamos las circunferencias de radio OD y OD', que son tangentes entre sí en P y a la recta en D y D'.
Problema 8.9
Trazar cuatro circunferencias de radio conociendo tangen- tes a una recta y otra circunferencia dada
Construcción
1. Sea LM la recta dada y O7 el centro de la circunfe-
rencia y el radio de las circunferencias.
2.
3.
4.
Tracemos dos paralelas a LM a la distancia del radio dado, más el de la circunferencia tangente R = 2 + 2.5 = 4.5 cm y haciendo centro en O describimos un arco de circunferencia que corta a la paralela en O1
02, 03, 04.
Con los centros de circunferencias antes encontrados, trazamos cuatro circunferencias tangentes a la circun- ferencia dada.
Unimos con una recta a O7 con sus puntos de
tangencia T1 T2, T3 y T4 hacia adentro llevamos un
arco de radio igual al dado, que al cortarse con la recta nos da los otros dos centros O5 y O6 de circun-
ferencias tangentes.
Problema 8.8
Trazar circunferencias tangentes en el punto P y a la vez tangentes a una recta
Construcción
1. Si LM es la recta dada y P el punto de tangencia de las dos circunferencias.
Problema 8.10
A dos rectas concurrentes trazarles dos o más circunferen- cias tangentes
Construcción
1. Sea LM y NP las dos rectas concurrentes.
2. Trazamos su bisectriz y por el punto Q levantamos una perpendicular que corta en O1 a la bisectriz.
3. Con centro y arco O1Q trazamos la circunferencia tan-
gente, que corta a la bisectriz en B.
4. De B bajamos una perpendicular a la bisectriz que corta LM en C.
5. Con un radio BC y haciendo centro en C llevamos un arco que corta a LM en D, de ahí levantamos una recta perpendicular cortando a la bisectriz en O2, cen-
tro de la circunferencia siguiente; al trazarla será tan- gente a las rectas y a la otra circunferencia.
6. Estos mismos pasos se siguen repitiendo de acuerdo al número de circunferencias que se quieran.
Problema 8.11
Trazar cuatro circunferencias de radio conocido tangentes a dos rectas
Construcción
1. Sea AB y CD las dos rectas que se cortan en M y 1 cm el radio de las circunferencias.
2. Se le trazan dos rectas paralelas, una de cada lado, con la distancia del radio dado a las rectas AB y CD. 3. Estas se cortan en cuatro puntos que son O1 O2, O3,
O4, centros de las circunferencias tangentes buscadas.
NOTA: El punto de tangencia se encuentra haciendo pasar una es- cuadra por el centro de la circunferencia, adaptando su base a la posición de la recta.
Problema 8.12
Trazar cuatro circunferencias y tres rectas tangentes entre sí
Construcción
1. Sea AB, CD y LM las tres rectas que al cortarse forman un triángulo equilátero y O1, O2, O3 y O4 los
centros de las circunferencias buscadas que ubicamos próximos a las rectas, esto es, a criterio del dibujante. 2. Por el método ya explicado se encuentran la circunfe-
rencia tangente al triángulo interior (problema 7.8). 3. Se saca la bisectriz de cada ángulo del triángulo central
y se prolongan hasta que se corten en un punto centro de cada una de las circunferencias O2, O3, O4.
4. Se trazan las cuatro circunferencias tangentes, bus- cando el punto de tangencia por el procedimiento an- tes explicado.
M
Problema 8.13
Dada una circunferencia, trazarle tres circunferencias tan- gentes entre sí
Construcción
2. Se traza un triángulo LST inscrito a la circunferencia de acuerdo al método ya explicado.
3. Se hace centro en cada uno de los vértices de LST, con un radio igual a la distancia LO, se trazan las tres circunferencias tangentes entre sí en M, M' y N. 4. Haciendo pasar una recta por O y L, O y S y O yT
hasta tocar la circunferencia exterior y sus puntos de tangencia.
5. Con un radio OP trazamos la circunferencia exterior que será tangente a las circunferencias interiores en P,
Q y R.
Problema 8.14
Dada una circunferencia trazarle seis circunferencias tan- gentes entre sí
Construcción
1. Sea O el centro de la circunferencia dada.
2. El procedimiento es el mismo sólo que en vez de un triángulo inscrito se traza un hexágono de acuerdo al método ya explicado.
3. Si se quiere el trazo de seis circunferencias, entonces la figura buscada es un dodecágono.
4. Se trazan seis líneas que partan del centro O y pasen por cada vértice del hexágono. Dichos puntos serán el centro de las seis circunferencias.
5. Se trazan las seis circunferencias.
6. Se prolongan las seis líneas que parten del centro O hasta tocar las seis circunferencias.
7. Con un radio OA se traza otra circunferencia tangen- te a las seis circunferencias internas en los puntos A,
B, C, D, E y F.
Problema 8.15
Trazar tres circunferencias entre sí centradas en los vérti- ces de un triángulo dado
Construcción
1. Sea LMN el triángulo dado.
2. Trazando las bisectrices de los tres ángulos, encontra- mos el incentro / del triángulo.
3. Trazando perpendiculares que pasen por el incentro de cada uno de los lados encontramos los radios de cada una de las circunferencias.
4. Con radios 1L, 2M, 3N y centro en cada vértice del triángulo trazamos las tres circunferencias tangentes en 1,2, 3.