de circunferencia
Problema 11.1
Empalme de una recta y un arco de circunferencia por un arco de radio dado
Construcción
1. Sea AB la recta y O1 centro del arco de la circunfe-
rencia, con un radio de 2 cm.
2. Se le traza una paralela a la recta AB, a la distancia del radio dado.
3. Con la suma del radio dado, LT, más el radio del arco de la otra circunferencia O1L (haciendo centro
en O1) trazamos un arco que al prolongarse corta a la
paralela en el punto O2 del arco de circunferencia de
enlace; lo trazamos con radio 02M y se empalma con
Problema 11.2
Empalme de una recta y un arco de circunferencia, cono- ciendo el punto de empalme en la recta
Construcción
1. Sea LM la recta y O1 el centro de la circunferencia y T el punto de empalme.
2.
3.
Por el punto de empalme se levanta una perpendicu- lar, sobre la cual se lleva la medida del radio de la circunferencia dada, dándonos el punto S.
Se une O1 y S con una línea recta a la cual le traza-
mos una mediatriz que corta a la perpendicular en el punto O2 centro del arco de empalme que al trazarlo
se lo hacen en Ty T1
Problema 11.3
Empalme de una recta y un arco de circunferencia, cono- ciendo el punto de empalme en el arco de circunferencia
1.
2.
4.
Construcción
Sea CD la recta y O1 el centro de la circunferencia y
T el punto de empalme.
Trazamos una tangente a la circunferencia por el pun- to T y que corte a la recta en el punto E.
Haciendo centro en £ y con un radio TE, bajamos el arco sobre la recta cortándola en T', de ahí levanta- mos una perpendicular que corte a la recta que pasa por O1T, en el punto O2.
Con centro en O2 y radio O2T' trazamos el arco de
empalme en los puntos T y T'.
Problema 11.4
Empalme de una recta y un arco de circunferencia por medio de enlaces parabólicos
Construcción
1. Sea CD la recta y O el centro de la circunferencia y 7 y T' los puntos de empalme.
2. Se prolonga la recta a partir del punto T de empalme y en la circunferencia se le traza una tangente al pun- to T', ambas rectas se cortan en el punto P.
3. Las dos rectas se dividen en cierto número de partes; por ejemplo, en cinco partes iguales.
4. Se unen con rectas los puntos Ty 7' con todos los demás puntos, encontrando su enlace en la intersec- ción de 1 l', 12', 3 3', 4 4' y TT'
Problema 11.5
Enlace del número de puntos que se quiera por medio de arcos de circunferencia
Construcción
1. Sea L, M, N, O, P y R los puntos dados.
2. Se unen todos los puntos con rectas de acuerdo al orden dado.
Problema 12.1
Dado el eje mayor construir un óvalo con cuatro centros
3. A los puntos LM y MN se le sacan las mediatrices y éstas se cortan en el punto C1
4. Este procedimiento se repite con todos los demás pun- tos que haya.
Construcción
1. Sea AB el eje mayor, se corta en tres partes iguales, sirviendo los dos puntos intermedios de centros de dos circunferencias, de radio igual a la tercera parte de AB.
2. El corte de las dos circunferencias con el eje AB nos da los centros C3 y C4, y el corte entre éstas nos dan
los centros C1 y C2.
3. Haciendo centro en C1 y C2 y con radio C1L o C2S
se trazan los arcos de circunferencia. En seguida, y con centro C3 y C4 y con radio C3A o C4B trazamos
otros dos arcos, enlazándose perfectamente los arcos que se trazaron primero.
Problema 12.2
Dado el eje menor, construir un óvalo con cuatro centros
El óvalo
Es conveniente que no se confunda el óvalo con la elipse, pues sus figuras son muy parecidas. El óvalo es una curva plana cerrada como la elipse.
La diferencia estriba en que no satisface la condición de igualdad entre la suma de sus radios vectores, o sean las rectas que unen un punto cualquiera de la curva con los focos.
En la mayoría de los casos el óvalo lo trazamos me- diante el enlace de cuatro a ocho arcos de circunferencia con diferentes tipos de radio, es por eso que es muy sim- ple su construcción.
Construcción
1. Sea AB el eje menor y diámetro de la circunferencia. 2. Trazamos una recta perpendicular al eje menor, de tamaño regular; éste corta a la circunferencia, en dos de sus centros del óvalo C3 y C4; y los otros dos cen-
tro C1 y C2 nos lo da el extremo del eje menor.
3. Se unen entre sí los cuatro centros por rectas con una longitud a discreción.
4. Haciendo centro en C1 y C2 y radio CM trazamos los
dos arcos; enseguida, haciendo centro C3 y C4 y ra-
dio CL, trazamos los otros dos arcos enlazándose en L,NyS.
Problema 12.3
Segundo método del problema anterior con ayuda de la escuadra de 45°
Construcción
1. Sea AB el eje menor y diámetro de la circunferencia. 2. Ubicándose la hipotenusa de la escuadra al eje menor
AB, le trazamos cuatro rectas a una inclinación de 45°.
3. Los extremos del eje menor (A y B) serán los dos cen- tros de los arcos LM y NS.
4. Haciendo centro en C1 y C2 y con radio C1B o C2A
trazamos dos arcos; enseguida, con centros C3 y C4 y
radio C3L o C4N, trazamos los otros dos arcos enla-
zándose en L, M, N y S.
Problema 12.4
Dado el eje mayor, trazar un óvalo con cuatro centros (se- gundo método)
Construcción
1. Sea AB el eje mayor.
2. Se divide el eje AB en cuatro partes iguales, concen- tro en las tres partes intermedias y con un radio C3A
trazamos tres circunferencias.
3. Estas se cortan entre sí en C4 y C3, prolongando 2
diámetros a 45° y que pase por el C3 y por C4, éstos al
interceptarse nos darán C2 y C3 por un extremo y por
el otro los puntos de enlace L, N, M y S.
4. Haciendo centro en C1 y C2 y radio C1L trazamos
dos arcos; enseguida, con centro C3 y C4 y radio C3A, trazamos los otros dos arcos que se enlazan per-
fectamente en L, M, N y S.
La elipse
Problema 13.1
Trazar una elipse por medio de puntos por el corte de arcos de circunferencia dado sus dos ejes
Construcción
1. Sea AB y CD los dos ejes perpendiculares en el pun- to O.
2. Buscamos los focos F y F' en la siguiente forma: con un radio igual BO (semi-eje-mayor) y centro en C, trazamos arcos que cortan al eje mayor AB en F y F focos de la elipse.
3. Del foco F y F al centro lo dividimos en cuatro partes o más.
4. Haciendo siempre centro primero en F y segundo en F y con radios (A-1' y B-l) (A-2' y B-2) (A-3' y B-3) trazamos arcos arriba y abajo que al cortarse nos dan una serie de puntos que al unirlos, ya sea a mano o con curvígrafo, nos dan la elipse buscada.
Problema 13.2
Dadas dos circunferencias concéntricas de diámetro igual a cada uno de los ejes de la elipse, trazarla al localizar varios puntos
Construcción
1. Sea O centro de las dos circunferencias concéntricas de diámetro igual a cada uno de los ejes.
2. Se dividen las dos circunferencias en doce partes igua- les, de acuerdo al método de dividir un ángulo recto en tres partes iguales.
3. Del punto de tangencia de los diámetros no perpen- diculares a la circunferencia mayor, bajamos rectas verticales.
4. Del punto de corte en la circunferencia menor traza- mos rectas horizontales; ambas rectas se cortan en varios puntos, la sucesión de éstos nos dan la elipse.
Problema 13.3
Dado un rectángulo, trazarle una elipse tangente por me- dio de haces proyectivos
Construcción
1. Sea L, M, N, D, el rectángulo y AB y CD los ejes de la elipse.
2. Se dividen el eje mayor en cuatro partes iguales y el menor en seis partes iguales.
3. Se trazan rectas que partan de C y D y pasen por cada una de las divisiones del eje mayor y menor. 4. Las rectas trazadas se cortan entre sí en doce puntos
que servirán de guía para trazar con una plantilla cur- va, la elipse.
Problema 13.4
Por medio de una tira de papel, conociendo sus dos ejes trazar una elipse
Construcción
1. Sea LM y SP los dos ejes dados.
2. Se trazan los dos ejes en forma perpendicular en su parte media.
3. En una tira de papel tomamos la medida del semi-eje mayor LC y sobre la misma distancia LC tomamos la medida del semi-eje menor SD, partiendo de L' hasta C.
4. Para trazar la elipse se requiere que los dos puntos C y D' coincidan con los dos ejes perpendiculares; cuan- do la tira de papel se vaya girando se irán describien- do líneas punteadas sobre las posiciones sucesivas que vaya teniendo el punto L' de la tira de papel. 5. Unimos a mano o con un curvígrafo los puntos, dán-
Problcma 13.5
Con el auxilio de un hilo trazar una elipse
Construcción
1. Sea LM y SP los dos ejes perpendiculares entre sí, por su punto medio.
2. Trazar sobre el eje mayor los dos focos de acuerdo al método antes explicado.
3. Con un hilo fijo en los focos F y F' y una longitud
FSF se trazará la elipse.
4.
5.
Con un lápiz ponemos tenso el hilo, iniciando en el punto S la descripción de la elipse.
Es necesario que el lápiz siempre mantenga tenso el hilo, para en tal forma ir describiendo tanto arriba y abajo del eje mayor.