Se utilizan en experimentos que tienen una estructura de tratamientos establecida de ante- mano, es decir, las comparaciones a realizar son hipótesis especificadas antes de realizar el experimento. Esta es la situación deseable siempre porque reduce el número de compa- raciones, dejando sólo las esenciales y eliminando las irrelevantes, reduciendo así el riesgo de errores tipo I y II.
El método más utilizado de este grupo es el de los contrastes ortogonales, aunque también son empleados los contrastes polinómicos cuando la variable independiente es cuantitativa.
Contrastes ortogonales
La estrategia de este método consiste en repartir la suma de cuadrados de los tratamientos entre las diversas hipótesis o contrastes. La suma de cuadrados asociada a cada contraste se usa como numerador y el cuadrado medio del error como denominador para calcular ra- zonesF y comprobar su significación (valor P). Cada contraste consume un grado de liber- tad, por lo que tendremosa-1 contrastes posibles.
El procedimiento a seguir para calcular contrastes ortogonales se resume a continuación: a) Calcular los contrastes planificados (Ci):
dondeTjson los valores totales de cada grupo de tratamientos ywison pesos o coeficien- tes asignados a cada grupo. Los coeficientes son números enteros arbitrarios (-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3) que indican el peso relativo de cada medida, cuyos signos positivos y nega- tivos son convencionales, sólo sirven para identificar los grupos que están a cada lado de la comparación. Por tanto, la suma de todos los coeficientes de cada contraste debe ser 0. Los coeficientes de valor 0 identifican los grupos que no intervienen en una determinada com- paración.
Los contrastes de interés deben establecerse de forma que no haya superposiciones, es decir, que no utilicen la misma fuente de varianza, por eso se denominan ortogonales. Las condiciones que deben cumplir los contrastes para ser ortogonales son:
donde,ise refiere a los coeficientes de un contraste yja los del otro.
b) Calcular la suma de cuadrados de cada contraste (SCCi), según la expresión:
dondewi son los coeficientes de cada contraste (j),Tjlos totales de los tratamientos yr el número de repeticiones incluidas en cada total. A cada contraste le corresponde un grado de libertad. SiCison mutuamente ortogonales, entonces se cumple:
c) Calcular los cocientesF. Con el valor de cada SCCiy el cuadrado medio del error (CME) se calcula laF de Fisher con 1 gl del numerador y tantos gl del denominador como tenía la varianza residual:(N - a) = a x r - a = a x (r - 1).
d) Ver la significación estadística (P) de laF calculada. De la tabla A2 o de algún programa estadístico, se obtiene el valor de P. Si P<0.05, se rechaza la hipótesis nula y el con- traste es significativo.
Para explicar los contrastes ortogonales vamos a utilizar el ejemplo sobre tratamientos fun- gicidas para el control de una enfermedad en el olivar, que luego se desarrolla en el Capítulo 12. Tenemos un factor, tratamientos fungicidas, con cuatro niveles o tratamientos y 10 ob- servaciones por cada nivel. Los cuatro tratamientos son: sin tratar (ST), tratamiento de pri- mavera (P), tratamiento de otoño (O), tratamiento de primavera y de otoño (P+O), en un diseño en bloques al azar con 10 repeticiones. Los valores totales de la incidencia de la en- fermedad para estos tratamientos son 653,3; 239,0; 467,7 y 138,5; respectivamente (Tabla 12.4). Como se tienen cuatro tratamientos, hay 4-1=3 grados de libertad y, en consecuen- cia, 3 contrastes posibles. Un posible conjunto de contrastes ortogonales sería:
Coeficientes
Contraste ST P O P+O Ci SCCi
Sin tratar vs. Tratados 3 -1 -1 -1 1114,7 10354,63
Trat. indiv. vs. Trat. doble 0 1 1 -2 429,7 3077,37
P vs. O (individual) 0 1 -1 0 -228,7 2615,18
Se puede comprobar que la suma de los coeficientes para cada contraste, es decir, para cada línea de la tabla anterior, es cero; por ejemplo, para el contraste primero: 3 + (-1) + (-1) + (-1) = 0. Asimismo, la suma de los productos entre los coeficientes de cada par de con- trastes también es cero; para los dos primeros contrastes, por ejemplo, se tiene que (3x0)+(- 1x1)+(-1x1)+(-1x-2)=0. Se trata, por tanto, de contrastes mutuamente ortogonales. En las dos columnas de la derecha se indican el valor de cada contraste (Ci) y de la suma de cua- drados correspondiente (SCCi). Su cálculo detallado para cada contraste sería:
Como se tiene 1 gl por cada contraste, los valores de la suma de cuadrados coinciden con el cuadrado medio (SCCi= CMCi). La significación de estos contrastes mediante el testF, te-
niendo en cuenta que el cuadrado medio del error (CME) para este experimento es 54,1 con 12 gl (véase tabla del ANOVA del Capítulo 12), sería:
Los tres contrastes resultan altamente significativos, por lo que se concluye que los cuatro tratamientos son diferentes. Es decir, los olivos tratados presentan una incidencia menor de la enfermedad que los olivos no tratados, el doble tratamiento también produce una reduc- ción de la enfermedad frente a los tratamientos individuales y el tratamiento individual de pri- mavera es más eficaz en el control de la enfermedad que el tratamiento de otoño.
Para el mismo ejemplo podríamos haber elegido otro grupo de contrastes ortogonales, como se indica a continuación, obteniéndose los resultados siguientes:
Coeficientes Contraste ST P O P+O Ci SCCi P (Primavera vs. no primavera) -1 1 -1 1 -743,5 13819,80 O (Otoño vs. no otoño) -1 -1 1 1 -286,1 2046,33 P*O 1 -1 -1 1 85,1 181,05 SCTratamientos= 16047,18 Al ser estos contrastes también ortogonales, se obtiene la misma suma de cuadrados total, que coincide con la suma de cuadrados del factor Tratamientos (véase tabla del ANOVA del Capítulo 12). La significación de estos nuevos contrastes sería:
Utilizando estos nuevos contrastes llegaríamos a conclusiones parecidas, pero no iguales, ya que no incluyen las mismas comparaciones. Así, se puede decir que el efecto más im- portante es el del tratamiento de primavera. El tratamiento de otoño, aunque con menor efecto, también resultó muy significativo, pero no hubo interacción entre ambos tratamien- tos, por lo que su efecto fue aditivo y no hubo sinergia ni antagonismo.
Para utilizar los contrastes ortogonales con el programaStatistix, una vez realizado el ANOVA correspondiente, en la pantalla de resultados se elige la siguiente secuencia:
Results>Contrasts…
En la pantalla resultante se introducen los coeficientes con sus signos, de acuerdo con las comparaciones que deseamos realizar, y se pulsa OK. Para cada uno de los contrastes or- togonales elegidos, con un grado de libertad, aparecerá el valor de P correspondiente al es- tadístico t del test de Student y a la F del test de Scheffé (veánse las comparaciones a posteriori). Los resultados correspondientes al ejemplo utilizado en este apartado, que ob- viamente coinciden con el cálculo manual, se indican en el Capítulo 12.
Contrates polinómicos
Cuando la variable independiente es un factor cuantitativo (temperatura, tiempo, densidad de inóculo, etc.), el concepto de contrates ortogonales se puede extender a los diferentes ni-
veles de este factor para determinar si existe alguna tendencia (lineal, cuadrática, cúbica) en los datos. En este caso, los procedimientos de comparación múltiple de medias son clara- mente inapropiados. El contraste polinómico tiene su principal aplicación cuando los niveles del factor cuantitativo son pocos (<5). Sin embargo, cuando los niveles de ese factor son ma- yores, el análisis de regresión es más apropiado.
Al igual que en los contrastes ortogonales, la suma de cuadrados del factor se divide en di- ferentes contrastes (lineal, cuadrático, cúbico, etc.), con un grado de libertad cada uno. El contraste lineal determina si existen diferencias significativas entre los niveles bajos y los ni- veles altos del factor cuantitativo. El cuadrático detecta diferencias entre los niveles inter- medios y los extremos. El cúbico compara entre niveles alternos. La hipótesis nula (H0) es que no existe ningún efecto lineal, cuadrático, cúbico, etc., debido a los diferentes niveles del fac- tor cuantitativo. Los valores de los coeficientes para realizar estos contrastes están tabula- dos en la Tabla A15, considerando igual espaciamiento entre los niveles de la variable independiente, lo que facilita el cálculo manual. Algunos paquetes estadísticos, incluidoSta- tistix, permiten los cálculos para un espaciamiento desigual de la variable.
Para ilustrar el procedimiento a seguir con los contrastes polinómicos vamos a utilizar un ejemplo sobre el rendimiento de un cultivo sometido a cuatro tratamientos de fertilización ni- trogenada en un diseño en bloques completos al azar con 4 repeticiones. Tenemos, por tanto, un factor Nitrógeno con cuatro niveles: 0, 40, 80 y 120 kg de N/ha. Los totales de estos tratamientos son: 5961,2, 9538,0, 11922,4 y 12160,8, respectivamente. El cálculo de los contrastes sería idéntico a al realizado con los contrastes ortogonales. En este caso serían: Coeficientes Contraste 0 40 80 120 Ci SCCi 1. Lineal -3 -1 +1 +3 20983,2 5503683,5 2. Cuadrático +1 -1 -1 +1 3338,4 696557,2 3. Cúbico -1 +3 -3 +1 953,6 11366,9 SCTratamientos= 6211607,6
Como tenemos 1 gl por cada contraste, los valores de la suma de cuadrados coinciden con el cuadrado medio (SCCi= CMCi). La significación de estos contrastes mediante el testF, teniendo en cuenta que el cuadrado medio del error (CME) para este experimento es 98736,5 con 9 gl, sería:
Luego podemos concluir que la mayor parte de la variación se debe al efecto lineal, aunque el efecto cuadrático también ha resultado significativo, pero no existe efecto cúbico. La ten- dencia del incremento de la cosecha con la dosis de nitrógeno no es sólo lineal sino que sigue una curva parabólica creciente, similar a una curva de saturación, donde existe una tasa de crecimiento más pronunciada para dosis bajas, la cual va reduciéndose a medida que au- menta la dosis de nitrógeno.
Para utilizar los contrastes polinómicos con el programaStatistix, una vez realizado el ANOVA correspondiente, en la pantalla de resultados, se elige la siguiente secuencia:
Results>Polynomial Contrasts…
En la pantalla resultante se introduce el grado del polinomio (1, 2, 3, …) y se pulsa OK. Para cada tendencia (lineal, cuadrática, cúbica…), con un grado de libertad, aparecerá el valor de P correspondiente al estadísticot del test de Student y a la F del test de Scheffé (veánse las comparacionesa posteriori).
Comparaciones con un control
Cuando se pretende comparar un conjunto de medias, una a una, frente a una única media, la del control, el procedimiento más usado es eltest de Dunnett. Este test establece un valor crítico para la comparación de dos medias, a partir del cual podemos declarar que dichas medias difieren significativamente. El valor crítico (C) viene dado por:
donde es el error estándar de la diferencia entre dos medias y d es el estadístico de Dunnett paraγgrados de libertad del error,amedias yαela tasa del error experimental, es decir, el riesgo de error tipo I.
Se trata, por tanto, de un método conservador que protege principalmente contra el error tipo I (falsos positivos). No obstante, si se compara con los métodos conservadores de compa- raciones múltiples es más liberal, o potente, que el más liberal de éstos, el deTukey, ya que al haber menos comparaciones disminuye el riesgo de error tipo II (falsos negativos). Para ilustrar este procedimiento tomemos como ejemplo el de la Tabla 18.1, que recoge la producción obtenida en un experimento donde se trataba de comparar tres épocas de acla- reo de la nectarina ‘Armking’ frente a un control sin aclarar. Como se muestra en el capítulo 18, el error estándar de la diferencia entre dos medias fue = 0,94 y los grados de libertad del error 11. Para un nivel de significaciónα = 0,05, se obtiene en la Tabla A13 el valor d = 2,72. El valor crítico será, pues:
SD
Las comparaciones de las medias con el control muestran que todos los tratamientos difie- ren del mismo, como se indica a continuación:
Comparaciones Diferencia Valor crítico Significación
18,816 – 13,624 5,19 2,5568 *
18,816 – 12,106 6,71 2,5568 *
18,816 – 9,184 9,63 2,5568 *
Para utilizar las comparaciones con un control en el programaStatistix, una vez realizado el ANOVA correspondiente, en la pantalla de resultados, se elige la siguiente secuencia:
Results>Multiple Comparisons>Comparisons with a Control
En la pantalla que aparece se introduce el tratamiento control, el nivel de significaciónα(ge- neralmenteα= 0.05), y la alternativa considerada (diferente del control, menor que el con- trol, o mayor que el control), se pulsa OK y se obtiene la siguiente salida:
Two-sided Dunnett’s Multiple Comparisons with a Control of PRO
Control: TRA=1
Simultaneous 95% confidence intervals of treatment mean - control mean
Lower Upper
TRA Mean Bound Difference Bound
1 18.816 2 13.624 -7.750 -5.192* -2.635 3 12.106 -9.223 -6.710* -4.197 4 9.184 -12.190 -9.632* -7.075 Alpha 0.05 Critical D Value 2.717
Error term used: BLK*TRA, 11 DF
que muestra el valor de las medias a comparar con el control (TRA=1), el intervalo de con- fianza de la diferencia de cada media con el control, el nivel de significaciónα, el valor de d en tablas y los grados de libertad del error.
Comparaciones con el mejor
Cuando en lugar de comparar con la media del control se pretende identificar los tratamien- tos que producen el mejor resultado (media mayor o menor), se utiliza el test deHsu (1996).
Al igual que el test deDunnett, el de Hsu es un método conservador pero, al reducir el nú- mero de comparaciones, aumenta su protección contra el error tipo II siendo, por tanto, más potente o liberal que eltest de Tukey.
Para utilizar las comparaciones con el Mejor en el programaStatistix, una vez realizado el ANOVA correspondiente, en la pantalla de resultados se elige la siguiente secuencia:
Results>Multiple Comparisons>Comparisons with the Best
En la pantalla resultante se introduce el nivel de significaciónα(generalmenteα= 0,05) y la alternativa considerada (el valor mayor o el valor menor) y se pulsa OK. El resultado del aná- lisis presenta varios estadísticos, entre los que destaca el valor crítico para comparación según eltest de Hsu, y las medias con su intervalo de confianza, destacando con un aste- risco aquéllas que difieren significativamente del valor mayor o del valor menor, dependiendo de la alternativa elegida.