Compensaci´ on din´ amica

Hemos visto que variando la ganancia podemos conseguir una representaci´on deseada de nuestro sistema pero esto no es siempre posible. Empleamos el M´etodo de compensaci´on din´amica cuando el dise˜no deseado no lo podemos alcanzar con la variaci´on de la ganancia ´unicamente. Tenemos dos tipos b´asicos de compensadores: por adelanto y por atraso:

2.4 M´etodo de dise˜no del lugar de las ra´ıces (MLR) 101

Figura 2.44: LGR del ejemplo con MATLAB.

• Adelanto. Se usa para reducir el tiempo de elevaci´on y el transitorio de sobreimpulso de la respuesta. Es decir, se aproxima a un control derivativo. • Atraso. Se usa para mejorar la respuesta en estado estacionario. Tambi´en

nos referimos a ´el como control integral.

Si tenemos un compensador con la forma: D(s) = s + zi

s + pi

, (2.102)

se llama compensador de adelanto si zi < pi y de atraso si zi > pi.

Normalmente la compensaci´on se realiza en serie con la planta (Fig. 2.45), aunque tambi´en se puede situar en el camino de realimentaci´on.

De este modo, tenemos una ec. caracter´ıstica: 1 + KD(s)G(s) = 0, donde K = KAKG. Todas las reglas del LGR se pueden aplicar ahora a la funci´on

D(s)G(s). Definimos compensaci´on como el c´alculo de D(s) para que se cumplan ciertas especificaciones del sistema total.

Efecto de adici´on de polos y ceros Recordemos que:

• Adici´on de polos3.

– Mueve el LGR hacia la derecha. – Reduce la estabilidad relativa.

– Aumenta el tiempo de establecimiento, ts.

• Adici´on de ceros.

– Mueve el LGR hacia la izquierda, mejorando la estabilidad del sistema. – Aumenta la estabilidad relativa.

– Reduce el tiempo de establecimiento, ts.

– Agregar un cero introduce cierto grado de anticipaci´on al sistema y acelera la respuesta transitoria.

Compensaci´on en adelanto

Veamos, en primer lugar, un ejemplo sobre la adici´on de un cero al siguiente sistema:

KG(s) = K

s(s + 1) (2.103)

El LGR se muestra en la Fig. 2.46 en l´ınea continua. Si consideramos un com- pensador D(s) = s + 2, se consigue el LGR en l´ınea discontinua (c´ırculo). Vemos como a˜nadir un simple cero en s = −2 hemos desplazado el LGR hacia la izquierda, mejorando la estabilidad del sistema final.

El problema de a˜nadir un ´unico cero en el compensador ser´ıa que, una realiza- ci´on f´ısica del sistema involucrar´ıa un diferenciador que amplificar´ıa el ruido de alta frecuencia de la se˜nal del sensor. Por ello, es imposible construir un diferenciador puro. Podemos, sin embargo, ver la influencia que tendr´ıa construir un compensador que incluyera el cero anterior y un polo adicional en s = −20:

D(s) = s + 2

2.4 M´etodo de dise˜no del lugar de las ra´ıces (MLR) 103

Figura 2.46: Lugar de las Ra´ıces para la inclusi´on de un compensador por adelanto.

Figura 2.47: Lugar de las Ra´ıces para la inclusi´on de un compensador por adelanto (s=-2) y un polo (s=-20).

El efecto se muestra en la Fig. 2.47.

Normalmente la elecci´on de los polos/ceros se realiza mediante prueba–y–error aunque existen algunos consejos ´utiles:

• El polo se sit´ua entre 3 y 20 veces el valor de la posici´on del cero.

• Si el polo est´a demasiado cerca al cero, entonces el LGR se aleja hacia una forma no compensada y el cero no hace su funci´on.

• Si el polo fuera demasiado lejos hacia la izquierda, aparecer´ıa ruido de ampli- ficaci´on de alta frecuencia.

El ejemplo del “coche+barra”

Este ejemplo es cl´asico en la demostraci´on de un sistema que necesita ser estabi- lizado mediante la inclusi´on de un compensador. El sistema consiste en un cochecito

3

con una barra fija en su cap´o y que oscila conforme el coche avanza y frena (Fig. 2.48).

m u

θ

Figura 2.48: Diagrama del coche+barra.

El sistema se puede describir matem´aticamente como sigue (Ogata, 1993): ¨

θ + θ = u → s2φ(s) − φ(s) = U (s) → φ(s) φU (s) =

1

s2_{− 1} (2.105)

Si representamos el LGR de este sistema obtenemos un sistema inestable (Fig. 2.49a). Ahora bien, si introducimos un compensador por adelanto como en la Fig. 2.50, podemos obtener un sistema estable (Fig. 2.49b) o incluso, cuando las variaciones son menores, con mejor relaci´on de amortiguamiento (Fig. 2.49c). Este ´ultimo sistema ser´ıa m´as lento pero conseguir´ıa una mejor relaci´on de amortiguamiento.

-2 -1 0 1 2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Real Axis Imag Axis (a) -4 -2 0 2 -5 0 5 Real Axis Imag Axis (b) -4 -2 0 2 -5 0 5 Real Axis Imag Axis (c)

Figura 2.49: Lugar de las ra´ıces para (a) el sistema original, (b) compensador 1 y (c) compensador 2.

El c´odigo de MATLAB para realizar estos LGR ser´ıa: subplot(131),rlocus([1],[1 0 -1]),grid,title(’(a)’) alpha = 2;beta = 3;

2.4 M´etodo de dise˜no del lugar de las ra´ıces (MLR) 105 u + e - s +α s + β s -12 1

Figura 2.50: Control mediante un compensador por adelanto del sistema coche+barra.

subplot(132),rlocus([1 alpha],conv([1 0 -1],[1 beta])),grid,title(’(b)’) alpha = 0.5;beta = 3;

subplot(133),rlocus([1 alpha],conv([1 0 -1],[1 beta])),grid,title(’(c)’)

Compensaci´on en atraso

Si consideramos de nuevo la misma funci´on de transferencia, y consideramos el compensador en adelanto D(s) = (s + 2)/(s + 20), obtendremos el LGR de la Fig. 2.47 anterior. Si ahora elevamos la ganancia (K=31) hasta conseguir una relaci´on de amortiguamiento ξ = 0.707, la constante de velocidad es:

Kv = lim

s→0sKD(s)G(s) = (31/10) = 3.1 (2.106)

Si ahora a˜nadimos un segundo compensador por atraso: D2(s) =

s + 0.1

s + 0.01, (2.107)

aumentamos la velocidad por 10 ya que z/p = 10 y adem´as mantenemos peque˜nos z y p de forma que D2(s) tendr´ıa poca influencia sobre la din´amica del sistema. El

LGR se muestra en la Fig. 2.51.

De este ejemplo podemos comentar que:

• El peque˜no c´ırculo alrededor del origen es el resultado de la compensaci´on por atraso.

• Una ra´ız de lazo cerrado se queda muy cerca del cero de compensaci´on por retardo de –1, lo que corresponde a un transitorio muy lento. Esta lentitud se debe a que el cero casi cancela el polo en la funci´on de transferencia. Sin embargo, este decaimiento es tan lento que este t´ermino puede aumentar el valor del tiempo de establecimiento.

• Por tanto, resulta importante situar la combinaci´on de atraso polo-cero en frecuencias tan altas como sean posibles sin causar desplazamientos demasiado importantes en la localizaci´on de la planta original.

Figura 2.51: Lugar de las Ra´ıces para la inclusi´on de un compensador por atraso con control de velocidad.

T´ecnica LGR de dise˜no mediante compensaci´on en adelanto

El m´etodo del LGR es bastante bueno para el dise˜no de compensadores si las especificaciones dadas son t´erminos en el dominio del tiempo: amortiguamiento (δ), frecuencia natural (wn), sobreimpulso m´aximo (Mp), tiempo de crecimiento (tr),

tiempo de establecimiento (ts), etc. El sistema original que se nos plantea en estos

casos es, bien inestable para cualquier ganancia est´atica K, bien estable para alg´un valor de K pero con respuesta transitoria indeseable. Es entonces cuando tendremos que modificar el LGR pr´oximo al eje imaginario y al origen mediante la inclusi´on de un compensador.

El procedimiento de dise˜no sigue estos pasos:

• A partir de las especificaciones obtenemos la ubicaci´on de los polos dominantes de lazo cerrado.

• Trazamos el LGR y nos planteamos la pregunta de si con s´olo ajustar la ganan- cia podemos obtener los polos deseados en lazo cerrado. En caso de no poder hacerlo, calculamos la diferencia angular φ que deber´a proporcionar nuestro compensador para que el nuevo LGR pase por los polos deseados.

• Supondremos la funci´on del compensador:

Gc(s) = Kcα

1 + T s 1 + αT s = Kc

s +_T1

s +_αT1 , 0 < α < 1. (2.108) Los valores de α y T los podremos calcular a partir de φ y la ganancia est´atica del compensador Kc a partir de la ganancia de lazo abierto.

2.4 M´etodo de dise˜no del lugar de las ra´ıces (MLR) 107

• Si las constantes de error no se proporcionan, determinar la posici´on del polo y cero de Gc(s) de forma que ´este contribuya con el ´angulo necesario φ. Si

no hay otros requisitos impuestos, elegiremos α lo mayor posible ya que as´ı conseguimos una constante de velocidad elevada, lo cual es deseable.

Si se da alguna constante de error est´atico deberemos emplear el M´etodo de Compensaci´on de Respuesta en Frecuencia que veremos en la siguiente secci´on • Determinar la ganancia en lazo abierto del sistema compensado partiendo de

la condici´on de magnitud.

T´ecnica LGR de dise˜no mediante compensaci´on en atraso

Se utiliza la compensaci´on en atraso cuando tenemos, por ejemplo, un sistema que presenta caracter´ısticas satisfactorias de respuesta transitoria pero no en estado estacionario. As´ı pues, la compensaci´on consiste en incrementar la ganancia en lazo abierto sin modificar las caracter´ısticas de la respuesta transitoria. Esto significa que el LGR m´as cercano a los polos dominantes en lazo cerrado no debe variar de forma significativa, pero hay que incrementar la ganancia de lazo abierto tanto como sea necesario. Esto se puede lograr si se coloca un compensador en atraso en serie con la planta.

Para evitar una modificaci´on apreciable del LGR, la contribuci´on angular del compensador debe ser menor de 5o. Para asegurar esto, el polo y el cero del com- pensador en atraso se tienen que colocar bastante juntos y cerca del origen. As´ı, los polos de lazo cerrado del sistema total compensado se desplazan levemente de sus ubicaciones originales por lo que las caracter´ısticas de respuesta transitoria no se alteran.

La forma del compensador es: Gc(s) = Kcβ

1 + T s 1 + βT s = Kc

s + _T1

s + _βT1 , β > 1. (2.109) Si el polo y el cero se colocan muy cerca entre si, s = s1 donde s1 es uno de los

polos dominantes de lazo cerrado por lo que s1+ 1/T y s1+ 1/βT son casi iguales y:

|Gc(s)| = |Kc

s +_T1

s +_βT1 | ≈ Kc. (2.110)

Esto quiere decir que si Kc = 1 las caracter´ısticas de respuesta transitoria no se

alterar´an (la ganancia global de la funci´on de transferencia de lazo abierto (l.a.) se puede incrementar en un factor β > 1.)

Como ponemos el polo y el cero cerca del origen, β puede hacerse muy grande (1 < β < 15, β = 10 suele ser una buena elecci´on). El valor de T debe ser grande pero

no en exceso. Un aumento en la ganancia significa un aumentao en las constantes de error est´atico:

Sistema N o Compensado : Kv = lim

s→0[sG(s)] (2.111)

Sistema Compensado : ˆKv = lim

s→0[sGc(s)G(s)] = KcβKv (2.112)

El procedimiento de dise˜no es el siguiente4:

• Trazar el LGR para el sistema no compensado. Empleando las especificaciones, localizamos los polos dominantes en lazo cerrado (l.c.)

• Planteamos el compensador por atraso:

Gc(s) = Kc

s +_T1

s +_βT1 . (2.113)

• Calculamos el error est´atico especificado: Kp, Kv, Ka, ess.

• Deteminar el aumento del coeficiente de error est´atico que se da para cumplir las especificaciones.

• Determinar el polo y el cero del compensador en atraso que produce el aumento necesario en el coeficiente de error est´atico sin alterar mucho el LGR original5. • Trazar el LGR del sistema compensado. Poner los polos dominantes de l.c. en el LGR. Poner los polos dominantes de l.c. deseados conforme a las especifica- ciones de la respuesta transitoria.

• Ajustar la ganancia Kc a partir de la condici´on de m´odulo para que los polos

dominantes l.c. queden en las ubicaciones deseadas.

T´ecnica LGR de dise˜no mediante compensaci´on en atraso–adelanto Hasta ahora hemos visto como un compensador en adelanto proporcionaba mayor ancho de banda, aceleraba la respuesta y reduc´ıa el sobreimpulso m´aximo, mientras que un compensador en atraso proporcionaba una mayor ganancia en frecuencias

4

Vamos a suponer que el sistema no compensado cumple las condiciones de respuesta transitoria por ajsute de ganancia.

5

La relaci´on de ganancias de las especificaciones/no compensado es la misma que la de distancias del cero al origen y poloo al origen.