2.5 M´ etodo de dise˜ no de la respuesta en frecuencia (MRF)
2.5.6 Compensaci´ on
La funci´on de transferencia de un compensador por adelanto, recordemos, tiene la siguiente expresi´on:
D(s) = Kc
s +T1
s +αT1 , 0 < α < 1. (2.136) La Fig. 2.69 muestra el diagrama de Bode de este tipo de compensador. El m´aximo adelanto de fase ocurre con:
w = √1
αT (2.137)
La compensaci´on por adelanto a˜nade un adelanto de fase en la banda de frecuencias entre puntos de ruptura (ver Fig. 2.69). Si no tenemos una variaci´on de ganancia en bajas frecuencias, el compensador a˜nade un adelanto de fase al sistema por lo
Figura 2.65: LGR, Bode y Nyquist del Ejemplo 3: G(s) = s+1 s(s
10−1)2
2.5 M´etodo de dise˜no de la respuesta en frecuencia (MRF) 123
Figura 2.66: Definiciones de los m´argenes de estabilidad (PM y GM) sobre un Diagrama de Nyquist gen´erico.
que mejora su velocidad de respuesta (a´un no siendo estable!). Los compensadores en adelanto act´uan aproximadamente como un compensador PD pero con menor amplificaci´on de las altas frecuencias.
El dise˜no de compensadores en adelanto sigue el siguiente protocolo: • Determinar la ganancia K que satisface el requisito de error est´atico.
• Con esa K trazar los Diagramas de Bode del sistema no compensado pero con la ganancia determinada. Evaluar el margen de fase.
• Determinar φm(´angulo de fase en adelanto) necesario para agregarlo al sistema. • Determinar la frecuencia en que la magnitud del sistema no compensado G1(jw) =
−20log10(√1α). Esta ser´a la nueva frecuencia de cruce de ganancia.
• Las frecuencias de cruce del compensador por adelanto son: CERO: w = 1/T , POLO: w = 1/αT .
• Kc= K/α.
• Verificar el margen de ganancia (GM). Si no se cumple la especificaci´on modi- ficar la posici´on del polo/cero.
Continuamos con un ejemplo de dise˜no de un compensador de adelanto para una planta con la siguiente funci´on de transferencia:
G(s) = 1
2.5 M´etodo de dise˜no de la respuesta en frecuencia (MRF) 125
Open-Loop Phase (deg)
Open-Loop Gain (dB) Nichols Charts -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -200 -150 -100 -50 0 50 From: U(1) To: Y(1)
Figura 2.68: Ejemplo de Diagrama de Nichols para el sistema en l.a. G(s) =s(s+3)(s+5)s+1 .
Figura 2.69: Diagrama de Bode del compensador en adelanto para α = 0.1 Kc= 1.
Se nos pide que el sistema en lazo cerrado tenga un error en estado estacionario menor del 10% ante una entrada rampa y un sobreimpulso Mp < 25%.
El error en estado estacionario viene dado por: (∞) = lim
s→∞= s
1
1 + D(s)G(s)R(s), (2.139)
donde R(s) = 1/s2 para la rampa unitaria, con lo que la expresi´on se reduce a: (∞) = lim s→∞= 1 s + D(s)s+11 = 1 D(0) = 1 Kcα , 0 < α < 1. (2.140)
Podemos elegir K = 10 para conseguir el error estacionario deseado (10% = 0.1). Adem´as, conociendo la relaci´on entre el margen de fase y el sobreimpulso (sinφ =
1−α
1+α, wm = 1/
√
αT , Mp ≈ 2sin(P M/2)1 ), podemos concluir que necesitamos un
PM=45o para conseguir los requerimientos (Fig. 2.70). Ahora s´olo queda expe- rimentar con algunos valores de α y T para conseguir el compensador deseado:
D(s) = 10 s 2 + 1 s 10+ 1 (2.141)
Figura 2.70: Diagramas de Bode para el sistema sin compensar (trazo continuo) y compensado (trazo discontinuo) mediante red de adelanto.
Compensador PD
El Compensador PD (Control Proporcional Derivativo) es una versi´on simplifi- cada del compensador en adelanto. Su funci´on de transferencia es:
D(s) = K(1 + TDs). (2.142)
Se comporta como un filtro pasa alta y se emplea situando z = −1/TD de forma que
el adelanto de fase se da cerca de wc, es decir, donde |D(s)G(s)| = 1, de forma que
aumente la ganancia (Fig. 2.71).
La magnitud del compensador contin´ua creciendo con la frecuencia. Esto no es deseable ya que amplifica el ruido de alta frecuencia que est´a siempre presente en los problemas reales. Esto ocurre para w > 1/TD.
2.5 M´etodo de dise˜no de la respuesta en frecuencia (MRF) 127
Figura 2.71: Diagrama de Bode del Compensador PD.
Compensaci´on en atraso
Un controlador en atraso tiene la forma:
D(s) = K T s + 1
αT s + 1, (2.143)
donde ahora α es mayor que 1. La Fig. 2.72 muestra el diagrama de Bode de este tipo de compensador.
La compensaci´on por atraso aumenta la magnitud en frecuencias por debajo de los dos puntos de ruptura y por tanto disminuye los errores en estado estacionario. B´asicamente se trata de un filtro pasa–baja ya que las frecuencias bajas se mantienen inalteradas y las altas son atenuadas.
El dise˜no de compensadores en atraso sigue el siguiente protocolo:
• Determinar la ganancia K que satisface el requisito de errors est´atico.
• Si el sistema no compensado G1(jw) = KG(jw) no satisface las especificacio- nes de PM y GM, hallar el punto de frecuencias donde φm de la funci´on de
transferencia en l.a. es −180o+ P Mrequerido. El P Mrequerido es el especificado
m´as 5o a 12o. Estos grados adicionales compensan el atraso de fase del contro- lador. Elegir esta frecuencia como nueva frecuencia de cruce de ganancia.
Figura 2.72: Diagramas de Bode de un compensador de atraso.
• El polo y el cero del compensador se deben poner por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia:
w = |1/T | < |wc/8| a |wc/10| (2.144)
• Determinar la atenuaci´on necesaria para bajar la curva de magnitud a 0 dB en la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Esta atenuaci´on es de −20log10α.
Halla α. • Kc = K/α.
• Verificar el margen de ganancia (GM). Si no se cumple la especificaci´on modi- ficar la posici´on del polo/cero.
Compensador PI
El compensador de control proporcional integral es una versi´on simplificada del compensador en atraso y act´ua como un filtro pasa baja. Su funci´on de transferencia es: D(s) = K(1 + 1 TIs ) = K s(s + 1 TI ) (2.145)
El aspecto deseado de este compensador es la ganancia ∞ a frecuencia nula que reduce el error est´atico. Esto se consigue con el coste de un decrecimiento de la
2.5 M´etodo de dise˜no de la respuesta en frecuencia (MRF) 129
fase por debajo del punto de ruptura w = 1/TI. Por tanto, este punto se sit´ua
normalmente a una frecuencia menor que la de cruce para que el PM no quede afectado mucho. La Fig. 2.73 muestra el efecto de un compensador integral.
Cap´ıtulo 3
Toolbox de Control
E
STE tema revisamos las funciones m´as ´utiles que contiene la Toolbox de Control de Matlab 5.3 (Mathworks, 1997).3.1
Organizaci´on del paquete de Control
La Toolbox de Control es un conjunto de funciones que facilitan la tarea de dise˜nar compensadores, modelar sistemas SLIT, simular la din´amica de los siste- mas, sus respuestas temporales y frecuenciales as´ı como el trabajar en tiempo con- tinuo/discreto, espacio de estados, etc.
Las partes esenciales para nuestros intereses son: Creation of LTI models.
tf - Create a transfer function model. zpk - Create a zero/pole/gain model. ss - Create a state-space model.
dss - Create a descriptor state-space model. frd - Create a frequency response data model. filt - Specify a digital filter.
set - Set/modify properties of LTI models.
ltimodels - Detailed help on various types of LTI models. ltiprops - Detailed help on available LTI properties. Overloaded arithmetic operations.
+ and - - Add and subtract LTI systems (parallel connection). * - Multiply LTI systems (series connection).
\ - Left divide -- sys1\sys2 means inv(sys1)*sys2. / - Right divide -- sys1/sys2 means sys1*inv(sys2).
^ - LTI model powers.
’ - Pertransposition.
[..] - Concatenate LTI models along inputs or outputs. stack - Stack LTI models/arrays along some array dimension. inv - Inverse of an LTI system.
Model dynamics.
pole, eig - System poles.
zero - System (transmission) zeros. pzmap - Pole-zero map.
dcgain - D.C. (low frequency) gain. norm - Norms of LTI systems.
covar - Covariance of response to white noise.
damp - Natural frequency and damping of system poles. esort - Sort continuous poles by real part.
dsort - Sort discrete poles by magnitude. Time response.
ltiview - Response analysis GUI (LTI Viewer).
step - Step response.
impulse - Impulse response.
initial - Response of state-space system with given initial state. lsim - Response to arbitrary inputs.
gensig - Generate input signal for LSIM. stepfun - Generate unit-step input. Frequency response.
ltiview - Response analysis GUI (LTI Viewer). bode - Bode plot of the frequency response. sigma - Singular value frequency plot. nyquist - Nyquist plot.
nichols - Nichols chart.
margin - Gain and phase margins.
freqresp - Frequency response over a frequency grid. evalfr - Evaluate frequency response at given frequency. System interconnections.
append - Group LTI systems by appending inputs and outputs. parallel - Generalized parallel connection (see also overloaded +). series - Generalized series connection (see also overloaded *). feedback - Feedback connection of two systems.
lft - Generalized feedback interconnection (Redheffer star product). connect - Derive state-space model from block diagram description. Classical design tools.
rltool - Root locus design GUI rlocus - Evans root locus.