Concepto Fundamental del Método del Elemento Finito

Con el Método del Elemento Finito (MEF) se puede representar el dominio de un problema complejo en un conjunto de subdominios, llamados elementos finitos. Dicho de otro modo, el Método consiste en dividir el cuerpo en pequeñas áreas o volúmenes según sea el caso, los cuales estarán constituidos por nodos. A estos se les asocia el parámetro de interés cuyo valor se evaluará numéricamente, en el caso de problemas de análisis de esfuerzos son los desplazamientos.

El número de ecuaciones resultante para la solución de un problema simple es muy grande, por lo que al resolver un problema mas complicado, el número de ecuaciones crece, haciendo su solución imposible por métodos manuales, por lo que la utilización inicial de este Método fue restringido a problemas sencillos. Con la reciente aparición de las computadoras este Método comenzó a ser utilizado con mayor aplicaciones a diversas problemas en el campo de la física y de las matemáticas.

Hoy en día, el MEF es considerado como una técnica general numérica para el análisis de esfuerzos en componentes y como herramienta del Diseño Asistido por Computadora, otorgando la posibilidad de desarrollar el procesamiento gráfico de los resultados numéricos obtenidos. Para que el Método sea capaz de efectuar esto, utiliza un arreglo de subregiones o elementos de tamaño muy pequeño que se interconectan entre sí. El modelado con elementos finitos plantea una aproximación. Como punto fundamental para la aplicación del MEF, se parte de la base de que el dominio de estudio puede modelarse analíticamente al ser reemplazado por elementos de dimensiones finitas que ensamblan perfectamente para construir el todo o medio continuo. La colocación de los elementos finitos puede ser dispuesta a priori variando tanto la dimensión como su orientación permitiendo poder representar formas cualquiera, no importando su complejidad. De acuerdo a esto, Segerlind [3.19] definió este principio de la siguiente manera:

El concepto fundamental del Método del Elemento Finito consiste en que cualquier función característica del medio continuo, como la temperatura, presión o desplazamiento puede aproximarse por un modelo discreto compuesto por una serie de funciones continuas parte a parte en un número finito de subdominios. Las funciones continuas parte a parte se definen empleando los valores de la cantidad continua en un número finito de puntos de su dominio.

La serie de funciones se debe elegir de manera que aseguren la continuidad de su comportamiento del todo en el medio continuo. De acuerdo a esto, el MEF debe poder formular un sistema de ecuaciones diferenciales y plantear la solución por medio de un sistema de ecuaciones lineales simultáneas presentando la ventaja de poder ser resueltas por una computadora en forma automatizada. Por otro lado, es también posible que se representen estructuras irregulares y complejas, así como diversas condiciones de frontera. Una forma esquemática de ejemplificar esto fue ilustrada por Domínguez, [3.20] de la siguiente forma: se tiene un muro al cual se le aplica una carga P, la cual ocasiona deformaciones en su plano principal ver la figura 3.1

P

A

B

C

H

I

J

E

F

D

G

Figura 3.1 Carga de un miembro el cual se ha dividido en elementos finitos

La deformación debida a la aplicación de la carga P que sufre el tabique B se transmite a los tabiques circunvecinos A, C, E, y F, causando también que estos sufran distorsiones, la carga P es transmitida como una carga uniformemente distribuida como se muestra en la figura 3.2

P

A

B

C

E

F

Figura 3.2 Distribución de la carga concentrada a los elementos circunvecinos como carga uniformemente distribuida

Estas cargas distribuidas originan deformaciones a los tabiques que las soportan y así mismo también transmiten las cargas a otros tabiques, ocasionando que estos otros también se deformen y así sucesivamente hasta llegar a la superficie de apoyo, por lo que el muro en cuestión se puede considerar como un elemento continuo sufriendo deformaciones en su totalidad como se ve en la figura 3.3

P

Figura 3.3 Cuerpo entero deformado por la transmisión de la carga

En problemas de análisis de esfuerzos, el MEF trabaja de manera similar empleando una formulación variacional. Calcula las deformaciones que sufre un elemento debido a las fuerzas externas, o por el contacto de otros elementos. Al terminar esto, continua con los siguientes elementos adyacentes, tomando en cuenta las condiciones de frontera. El MEF realiza esta operación con todos los elementos, depurando los resultados en cada iteración, repitiendo las iteraciones hasta alcanzar el factor de exactitud elegido por el usuario. Una vez que se alcanza la exactitud deseada en los desplazamientos de los nodos se calculan las deformaciones unitarias y posteriormente los esfuerzos. En el último paso, se evalúan los esfuerzos principales y se combinan de acuerdo a alguna teoría de falla para determinar los puntos críticos. Considerando lo anterior, se puede establecer que la discretización es el

proceso mediante el cual el cuerpo es subdividido en un sistema equivalente de elementos finitos. Pero el analista antes de comenzar la corrida debe de determinar que tipos de elementos va a utilizar, para establecer la densidad de la malla, es decir el tamaño y número de elementos de la red, por lo que este proceso no tiene bases teóricas y depende únicamente del criterio del analista. Para esto es importante considerar que la malla sea sencilla y adecuada al caso en cuestión, procurar que tenga sus elementos iguales en el tamaño y forma dentro del cuerpo, y que tenga una subdivisión mas fina en los cambios muy pronunciados donde se espera una concentración de esfuerzos más alta de acuerdo al tipo de problema de estudio. Con el fin de obtener mejor representación del campo de esfuerzos en problemas de mecánica de la fractura, se debe buscar el mayor refinamiento posible de la malla en el frente de la grieta, procurando aumentar el tamaño de los elementos en las zonas de poco interés, con lo que se optimiza el empleo de la memoria de la computadora. De acuerdo a lo expuesto anteriormente, el MEF maneja como idea básica la representación de un cuerpo o una estructura por medio del ensamble de subdivisiones llamados elementos finitos, los cuales se interconectan en uniones llamados puntos nodales, ver la figura 3.4:

ELEMENTO

NODO REGION

a) _b)

Figura 3.4 Discretización del continuo: a) Regiones; b) Elementos

Las funciones de interpolación son escogidas para aproximar la variación o distribución de los desplazamientos reales de cada elemento finito. También son llamadas funciones de desplazamiento o modelos de desplazamientos, así la solución final permitirá obtener los desplazamientos aproximados en las ubicaciones discretas del cuerpo que son los puntos nodales de acuerdo a la figura 3.5:

Magnitud del desplazamiento en el nodo j Magnitud del desplazamiento en el nodo k Nodo j Nodo k Magnitud del desplazamiento en el nodo i Nodo i

Figura 3.5 Vista en isométrico de un elemento lineal triangular con sus desplazamientos nodales

En el caso del presente trabajo se empleara ANSYS 5.3. Este paquete fué desarrollado a principios de los años 70’s por el Dr. Swanson [3.21], siendo actualmente un programa de elemento finito de aplicación general y difusión en la industria en general. Este programa es utilizado por organismos de investigación científica tanto nacional como internacional. El paquete permite realizar análisis en dos y en tres dimensiones en las siguientes áreas:

Estructural Análisis estático, dinámicos (transitorios, frecuencia natural, respuesta armónica, vibración aleatoria, espectros de respuesta), cinemática y pandeo

Térmica En estado estable, transitorio, cambios de fase, análisis térmico estructural.

Campos magnéticos Análisis estacionario y transitorio

Flujo de fluidos En tuberías, visualización, distribución de presiones

Acústica

Análisis combinados Magnético -estructural, fluido estructural, piezométrico, etc.

Electromagnetismo Análisis electromagnético estático de baja frecuencia, electrostático, conducción de corriente, simulación de circuito, y simulación acoplada circuito electromagnetismo

La versión que se utilizara en el presente trabajo es la 5.3, incluye los últimos avances en el MEF [3.21], como son el modelado a través de interfaces gráficas con menú tipo “Windows”, manejo de geometrías primitivas y álgebra Booleana, generación automática de la malla, amplia capacidad de graficación que incluye animación, cortes, contornos, visualización en tres dimensiones, trazos de flujo de partículas, gráficas XY para presentaciones, modelado de fenómenos no lineales, análisis de fractura y de fatiga, refinamiento adaptativo de malla, entre otras opciones.

3.3 Cálculo de los parámetros de fractura con el Método del Elemento Finito