Análisis numérico tridimensional de grietas circunferenciales en ductos

I N S T I T U T O P O L I T E C N I C O N A C I O N A L

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO

E INVESTIGACIÓN

ANÁLISIS NUMÉRICO TRIDIMENSIONAL DE

GRIETAS CIRCUNFERENCIALES EN DUCTOS

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIAS

CON ESPECIALIDAD EN

INGENIERÍA MECÁNICA

PRESENTA

ING:GABRIEL G. VÁZQUEZ MONTES DE OCA

DIRIGIDA POR: DR. LUIS HECTOR HERNÁNDEZ GÓMEZ

Al Instituto Mexicano del Petróleo (IMP) por su apoyo para la formación de especialistas.

Al Instituto Politécnico Nacional (IPN)

A la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación (SEPI) de la ESIME-IPN

Al Dr. Luis Héctor Hernández Gómez, por su valiosa dirección, consejos y sugerencias durante la realización de este trabajo.

Al Ing. Pablo Ruiz López, por el apoyo en la realización de este trabajo.

A todos los sinodales, por su valiosa revisión y comentarios para la mejora de este trabajo.

A todos mis profesores de la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación, por su valiosa motivación al estudio de la ciencia y la tecnología, con el ejemplo de entrega del

espíritu a la investigación que tanto influyo en mi formación profesional.

A mis compañeros del IMP y de estudio por su apoyo moral

DEDICATORIAS

A mi esposa:

María Irene Pérez Cerón

y

A mi padre:

Alfonso Vázquez Hernández

Por todo el apoyo incondicional que siempre me brindan, por estar siempre conmigo. Por ayudarme en la realización de mis metas.

A mis hijos:

Gabriel

Gustavo

y

Tonatiuh

A mis hermanos : María, Juanita, Leticia , Fernando, Lucila, Elisa y Alfonso

A mis familiares y amigos

RESUMEN

En este trabajo se desarrolla una metodología de Análisis Numérico de Fractura Elástico y Elastoplástico en tres dimensiones de grietas circunferenciales en ductos, utilizando el Método del Elemento Finito implementado en el programa ANSYS versión 5.3 para ordenadores personales. El análisis se efectúa tomando en cuenta primero el efecto de presión interna, después el caso de carga axial, y finalmente cuando la estructura agrietada esta a flexión.

Para tal efecto, el estudio se inicia con la revisión de los antecedentes históricos de la mecánica de la fractura, mencionando el desarrollo que ha tenido en los últimos 50 años a raíz de las fallas sucedidas a los buques Liberty construidos durante la Segunda Guerra Mundial. Asimismo, se visualiza el campo de aplicación de la mecánica de la fractura en las diferentes áreas, mencionando en especial su aplicación a ductos. Después se continua con una descripción de los principios fundamentales de la mecánica de la fractura.

Como siguiente aspecto se desarrolla la metodología general de análisis de fractura en tres dimensiones de elementos agrietados, la cual se valida con los analisis de placas sometidas a tensión con una grieta pasante. Se hace la distinción de análisis de fractura elástico y análisis elastoplástico. Una vez probada la metodología, esta se aplica a los casos de interés en particular como son grietas circunferenciales no pasantes internas en ductos, sometidas a diversas cargas antes citadas.

ABSTRACT

The objective of this work is development a methodology for a Fracture Mechanics Analysis circumferential part through of cracks in pipelines. For this purpose, The Finite Element Method is used and the calculations were obtained using the ANSYS 5.3 code case.

For this goal, the study is begun with the review of historical antecedents of Fracture Mechanical in the last 50 years. The initial point is the failure cases of the Liberty Ships during World War II. The development of the knowledge in this field is discussed. Besides it is review the application of Fracture Mechanical meanly in pipeline flaws

In second chapter, the fundamental aspects of Fracture Mechanical are discussed, since Elastic Fracture Mechanical to Plastic Fracture Mechanical points of view.

The proposed methodology of fracture analysis in 3D is developed in chapter 3. This methodology is applied to the case of through thickness cracks in flat plates under tension. It is separated analyzed separately the elastic, and after in elastoplastic range.

Once the methodology has been validated, it is applied the analyses in circunferencial flaws in piping. First it is considered the case that the flawed pipe is under internal pressure, after that is applied to the case of axial tension, and finally it is analyzed the loading case related with a bending moment.

OBJETIVO

Desarrollar una metodología para evaluar la integridad de ductos agrietados mediante la Mecánica de la Fractura desde un punto de vista numérico, mediante el uso el método del elemento finito, a partir de un planteamiento en tres dimensiones del problema. Para este efecto también se considera en la solución el carácter elástico y plástico del problema.

JUSTIFICACION

Es importante mantener en operación los campos productores de gas y crudo, dada la dependencia que tienen de este producto la industria básica y la petroquímica.

Los campos más importantes de gas se encuentran en el Noreste del País (Reynosa, Tamaulipas), así como en el Sureste (Villahermosa, Tabasco). El energético que se produce en estos sitios se tiene que transportar a los centros de refinación y petroquímica que están a lo largo del Golfo de México. Además una vez procesado se transporta a los centros de consumo y a las zonas industriales más importantes del País localizadas en el centro y en el norte. El consumo del gas en estas zonas representa el 47 % del consumo total de toda la República Mexicana ahí la importancia de mantener un flujo ininterumpido.

Por otro lado, para suministrar la demanda de las ciudades localizadas sobre la costa del Océano Pacifico se realiza a través de buques-tanque pero parten de la terminal Marítima de Salina Cruz Oax., de ahí que se requiera de otro sistema que suministre continuamente gas a este centro de distribución. Es claro que el problema de suministro tiene varios aspectos a considerar, entre los cuales se pueden mencionar que debe tener un elevado índice de confiabilidad, debe ser económico, y debe llegar a todos los puntos donde se requiera. Los ductos presentan estas ventajas, además de que resulta mas barato que realizar esta operación por otros medios como pueden ser el transporte por carrotanque o por ferrocarril. Para este efecto el País cuenta con una red de ductos que esta formado por los siguientes sistemas:

Sistema Troncal de Ductos del Norte Sistema Troncal de Ductos del Golfo Sector Troncal de Ductos Sur Centro Sistema Troncal de Ductos Centro

que permita determinar la severidad del defecto. El problema tiene su carácter elástico, como plástico. De ahí la necesidad de realizar un análisis tridimensional no lineal.

La demanda de gas ha aumentado año con año en proporción directa del desarrollo industrial. De los estados de República Mexicana que más sobresalen por su desarrollo industrial y por lo tanto por la demanda de gas son los del norte. Para satisfacer esta demanda se ha creado una infraestructura en función de los yacimientos encontrados ligándolos con los centros de consumo. En la figura I.1 se muestran los yacimientos de gas encontrados a la fecha en la República mexicana

Figura I.1 Campos de producción de gas en la República Mexicana [I.1]

Los campos más importantes de gas se encuentran en el Noreste del País (Reynosa, Tamaulipas), así como en el Sureste (Villahermosa, Tabasco). Este energético se tiene que transportar a los centros de refinación y petroquímica que están a lo largo del Golfo de México. Además, una vez procesado se transporta a las zonas industriales más importantes del País localizadas en el centro y norte del País. El consumo del gas en estas zonas representa el 47 % del consumo total en toda la República Mexicana. También cabe mencionar que Petróleos Mexicanos es el principal consumidor de gas en el Sureste para sus actividades propias de producción. En la figura I.2 se muestra la distribución del consumo en la República Mexicana.

Figura I.2 Consumo de gas natural en la República Mexicana, 1994 [I.2]

A la fecha PEMEX cuenta con una red intensa de ductos a través de toda la república mexicana enlazando los principales centros de producción con los centros de almacenamiento distribución y refinación ver figura I.3.

El transporte de hidrocarburos por medio de ductos se inicia en los campos de producción terrestres y marítimos, de aquí se lleva el crudo y el gas a las plantas de deshidratación y desulfuración, de ahí a los centros de embarque o refinación. Algunos recorridos son muy grandes que requieren de estaciones de compresión y rebombeo intermedias.

La importancia de este sistema de transportación de hidrocarburos y productos derivados se muestra por el hecho de que en 1998 [I.5] el crudo entregado a través de ductos a las diversas refinerías del país, fue de 1154500 barriles diarios, 1738000 para la exportación, y 164400 para plantas petroquímicas. En ese mismo año el gas seco de los yacimientos y el residual de las plantas de tratamiento transportado por la red nacional de gasoductos, para ventas interiores y consumo propio de PEMEX fue de 3609 millones de pies cúbicos diarios. Este gas se distribuyó de la siguiente manera 1789 millones de pies cúbicos para ventas internas, 1788 millones de pies cúbicos para consumo propio de PEMEX, y 32 millones de pies cúbicos para exportaciones [I.4].

Monterrey-Torreon (309 Km.); Chihuahua-Cd. Juárez (375 Km.); Torreón Chihuahua (443 Km.); Cananea –Hermosillo –Guaymas (610 Km.); y Torreón –Durango (250 Km.)

Figura I.3 Infraestructura de la Industria Petrolera Mexicana [I.5]

En el sistema Troncal de Ductos del Golfo, los de Cactus- San Fernando (1,102 Km.); Minatitlan – Salina Cruz (256.7 Km.); los de Nuevo Teapa-Salina Cruz (272 Km.); y Cd. Madero-Cadereyta (470 Km.).

En el Sector Troncal de Ductos Sur Centro los de Minatitlan – Venta de Carpio (540 Km.); CD. PEMEX -Venta de Carpio L1 (780.4 Km.) -C. PEMEX Venta de Carpio L2 (780.4 Km.); Cd. PEMEX Campeche (336 Km.); y Nuevo Teapa-Venta de Carpio (575 Km.); Además en el Sistema Troncal de Ductos Centro el de Poza Rica- Estación Tepetitlan (248 Km); ver figura I.2.

Con una red actual de ductos superior a 40 mil kilómetros, PEMEX transporta diariamente el total de su producción de crudo, gas, parte de petrolíferos y algunos petroquímicos. Para el desplazamiento de tan considerables volúmenes trabajan 65 estaciones de compresión y bombeo, con 238 máquinas instaladas que alcanzan una potencia de 950 mil 600 caballos de fuerza [I.3].

un accidente, o la aparición de un fenómeno natural que obliga a parar temporalmente, como puede ser un sísmo o huracán de cierta magnitud que pone en riesgo las instalaciones. La interrupción del servicio a menudo trae grandes consecuencias, ya que se ve afectada la cadena de producción que depende del suministro y como resultado grandes pérdidas económicas. Por lo que es deseable prevenir que estos paros no sucedan.

Figura I.4 Red de ductos y centros procesadores de gas en la República Mexicana [I.4]

Debido a esto es de vital importancia conocer el estado que guardan los ductos para evitar en un momento que aparezca una falla que provocaría pérdidas económicas y de vidas. Para prevenir estas fallas, PEMEX tiene implementado programas de inspección y mantenimiento periódico que les permite detectar daños en las líneas.

esta manera una falla catastrófica a futuro. Es importante hacer notar que este tipo de estudios, demandan al analista un conocimiento profundo de la aplicación del Método del Elemento Finito. La razón de esto, es que se debe modelar adecuadamente la singularidad del campo de esfuerzos en la punta de la grieta y a partir de esto se determinan los parámetros de fractura que establecen la integridad estructural del elemento agrietado. El presente trabajo da una metodología de análisis numérico tridimensional por el método del elemento finito para evaluar los parámetros de fractura de grietas circunferenciales internas no pasantes. Dicha metodología se aplica a casos de estudio. Para este efecto la presente tesis se ha dividido en cuatro capítulos.

El capítulo uno contiene un bosquejo histórico de la mecánica de la fractura, donde se menciona como fue cobrando importancia en los últimos 50 años de nuestra época a medida que ocurrían fallas en las diferentes estructuras sin alguna explicación inmediata. Después como estas investigaciones fueron desarrollándose hasta formar la teoría clásica de la Mecánica de la Fractura elástica, y posteriormente la teoría de la fractura Elastoplástica. Asimismo, se establece como estas investigaciones comenzaron a aplicarse a la industria de la construcción de estructuras, su tendencia actual y futura. Por ultimo la aplicación de la mecánica de la fractura a ductos

En el capítulo dos se describen los diferentes tipos de fractura que puede haber, los principios fundamentales de la mecánica de la fractura comenzando con la teoría de Griffith, el analisis de esfuerzos desde del punto de vista del campo de esfuerzos en la vecindad de la punta de la grieta, el enfoque energético de disipación de la energía y la integral J como parámetro que gobierna el crecimiento inestable de la grieta.

El capítulo tres describe la metodología de análisis numérico de grietas en tercera dimensión utilizando el programa de análisis numérico de elemento finito ANSYS versión 5.3. Dicha metodología es validada en el caso de una placa sometida a tensión con una grieta pasante.

En el capítulo cuatro se utiliza la metodología ya probada para el análisis de grietas circunferenciales elípticas no pasantes a los siguientes casos de estudio:

(1) Ducto sometido a presión interna. En este caso se realiza un análisis de fractura lineal elastico a diferentes formas de construir el modelo, para ver como varia el Factor de Intensidad de Esfuerzos cuando variamos la forma de construir la parte complementaria de la grieta.

(2) Ducto con grieta circunferencial sometido a carga axial. Para este caso se realiza un análisis lineal elastico y otro elastoplástico para conocer los diferentes valores del factor de intensidad de esfuerzos

En todos los casos se utiliza el programa de analisis numérico ANSYS versión 5.5.1 Research

También en el capítulo cuatro se da un análisis de los resultados, comparándolos con los resultados que se obtienen utilizando métodos aproximados obtenidos en diferentes investigaciones que se han hecho para resolver el mismo tipo de problemas.

Al último se dan las conclusiones y recomendaciones para trabajos futuros

Este trabajo se encuentra dentro del proyecto de investigación financiado por el Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología, y DEPI No.964921 denominado “Análisis de Estabilidad de Propagación de Grietas en Componentes Mecánicos el cual esta dentro del programa “Aplicación de la Mecanica de la Fractura al Análisis de Vida Remanente en Componentes Mecánico y Estructurales

Es importante mencionar que El Instituto Mexicano del Petróleo, acorde al plan de capacitación de sus empleados en las áreas que requiere mayor atención, apoyó al titular de la tesis becandolo por tiempo completo por un periodo de 2 años, para que cursara las materias del plan de estudios de la Maestría en Ingeniería Mecánica y elaborara el presente trabajo de tesis en la Sección de Graduados de la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica.

Referencias

[I.1] Canadian Energy Research Institute, 1995 [I.2] Anuario Estadístico de Pemex, 1994 [I.3] Revista 102, Pemex, 1983

CAPÍTULO 1

CAMPO DE APLICACIÓN DE LA MECÁNICA

DE LA FRACTURA

Se da un bosquejo de las principales aplicaciones de la mecánica de la fractura, se menciona los antecedentes históricos así como la secuencia en sucesos que ha motivado su desarrollo y las tendencias actuales, por último se menciona el campo de aplicación de la mecánica

1.1 Generalidades

Durante la revolución industrial se tuvo un incremento en el uso de los metales (hierro y acero) para aplicaciones estructurales. Desafortunadamente en esa época ocurrieron muchos accidentes en los cuales hubo pérdida de vidas humanas y cuantiosas pérdidas materiales por la falla de dichas estructuras. Algunas de ellas se debieron a diseños inapropiados, pero también se ha descubierto que algunos fueron por grietas preexistentes que pudieron haber iniciado el agrietamiento y posteriormente la fractura.

Posteriormente a mediados de este siglo, se incremento el uso de materiales nuevos y técnicas nuevas de construcción para unir estos materiales que durante su servicio se fueron conociendo sus desventajas, mientras causaron algunos accidentes, ejemplos típicos tenemos los navíos Liberty [1.1] que durante 1943 y al finalizar la Segunda Guerra Mundial comenzaron a tener fallas. Un caso notorio fue el de un buque que al pasar por la zona de glaciares durante la travesía en los mares entre Siberia y Alaska, se partió en dos y otros mas tuvieron pérdidas irreparables. Estudiando los restos, encontraron que la causa fué las contracciones del metal que originaron concentraciones de esfuerzos tan grandes que produjeron la fractura. Los navíos Liberty fueron construidos con la técnica más moderna de aquella época que consistía en unir las placas por medio de soldadura, contrario a lo tradicionalmente utilizado que era remachado, por lo que los navíos que aun podían repararse se reforzaron con placas de acero remachadas en las zonas agrietadas observando que tienen mejor comportamiento en la disminución de esfuerzos por temperatura que las estructuras soldadas.

Otras fallas ocurrieron en la industria de la aviación, en la cual encontraron que las ventanas se rompían. La falla era en las esquinas, lo que hizo que cambiaran estas a vértices redondeados.

Otro suceso fue el de la explosión de una línea de gas doméstica de plástico. Al estudiar la causa encontraron que esta se originaba en una pequeña muesca que aparecía cuando se unían los tramos de tubería. Dicha muesca con el tiempo se convertía en grieta hasta que finalmente sucedía la falla.

En la actualidad esta situación es aun más crítica debido a la complejidad de las estructuras modernas, y a la severidad de las cargas de operación. Afortunadamente los avances en el campo de la mecánica de la fractura han ayudado a la prevención de posibles desastres. El conocimiento adquirido, a través de los años de cómo fallan los materiales, ha permitido prevenirlas y esto se ha incrementado desde la Segunda Guerra Mundial.

1.1.1 Antecedentes Históricos

Leonardo de Vinci [1.2] encontró algunos indicios sobre las posibles causas por fractura, midió la resistencia de alambres de acero y encontró que la resistencia varia inversamente proporcional con su longitud, deduciendo que los defectos del material disminuyen la resistencia, así un alambre del mismo espesor tiene mas probabilidad de contener defectos entre mayor sea su longitud. Los fundamentos teóricos para analizar estos tipos de falla aun no estaban propuestos y tuvieron que pasar varios años para conocer las causas.

Al principio del siglo XX Inglis C.E. en 1913 [1.3] realizó el primer análisis de esfuerzos en un agujero elíptico. Posteriormente Griffith en 1920 [1.4] apoyándose en el trabajo de Inglis, y realizando pruebas con el vidrio, publicó un trabajo donde formula una teoría de propagación de falla. Para este efecto relaciona el tamaño del defecto con el esfuerzo de fractura aplicando la primera ley de termodinámica, basada en un simple balance de energía. De acuerdo a esta teoría, un defecto comienza a ser inestable, y entonces ocurre la falla cuando el cambio de energía de distorsión da un crecimiento del defecto suficientemente mayor que la energía de superficie del material. Sin embargo esta teoría solamente era aplicable a materiales frágiles como el vidrio, consecuentemente no fue aplicable a otros materiales como el acero hasta el año de 1948.

Westergaard [1.6], en 1938, empleó una técnica semi-inversa para analizar los esfuerzos y deformaciones en la punta de la grieta. En 1956, Irwin [1.5] junto con un grupo de investigadores de mecánica de la fractura, en el Laboratorio de Investigación Naval pudieron extender los trabajos antes mencionados al análisis de falla a metales, mediante la inclusión de la energía de disipación por flujo plástico local. Irwin utilizó la aproximación de Westergaard para demostrar que los esfuerzos y deformaciones cerca de la punta de la grieta pueden ser descritos por una constante simple, la cual esta relacionada con la proporción de energía liberada. Este parámetro que caracteriza el campo de esfuerzos en la punta de la grieta, mas tarde comenzó a ser conocido como el Factor de Intensificación de Esfuerzos (FIE).

Posteriormente Wells [1.7], trabajando en la British Welding Research Association, aplicó la Mecánica de Fractura Lineal Elástica (MFLE) a aceros estructurales de mediana resistencia. El análisis mostró que estos eran demasiado dúctiles para caracterizarse con la MFLE, descubriendo que las caras se separaban con deformaciones plásticas, esto le permitió desarrollar el parámetro que ahora conocemos como “Desplazamiento en la Punta de la Grieta (CTOD por sus siglas en ingles Crack Tip Opening Displacement)” los cuales son los inicios de la Mecánica de Fractura Elasto Plástica (MFEP).

se contaba con relaciones similares hasta que Shih y Hutchinson [1.9] proponen una evaluación basada en la integral J. Posteriormente el Instituto de Investigación en Potencia Eléctrica “ EPRI” toma la metodología de Shih y Hutchinson para publicar un manual para diseño contra fractura [1.10]. Al mismo tiempo, en el Reino Unido estaban utilizando el parámetro CTOD propuesto por Wells para el análisis de fractura de estructuras soldadas. En 1971, Burdekin y Dawes [1.11] aplicaron varios de los desarrollos de Well [1.12] para proponer la curva de diseño a la fractura CTOD, la cual es una metodología semi empírica para estructuras de acero soldadas. La industria de energía nuclear del Reino Unido [1.13], por su parte desarrollo sus propios análisis de diseño de fractura basados en el modelo de “strip yield” de Dugdale [1.14] y Barenblatt [1.15]

Es importante mencionar que el procedimiento para determinar la tenacidad de la fractura de un material basados en la integral J fué desarrollado en Estados Unidos, y la metodología CTOD fué planteada en la Gran Bretaña. Estos han comenzado a fusionarse en años recientes, combinando aspectos importantes para mejorar el análisis de cedencia en la normativa aplicable.

1.1.2 Mecánica de la Fractura en la evaluación del diseño estructural

La Mecánica de la Fractura es la disciplina que nos permite establecer si un componente o estructura puede tolerar la presencia de una grieta, defecto o daño. Este conocimiento nos permite decidir si podemos seguir utilizando la estructura o si se requiere reparar. Un ejemplo son las tuberías en la industria de transporte hidrocarburos. El diseño e implementaron de programas de inspección y mantenimiento preventivo depende fundamentalmente del conocimiento de:

-Los mecanismos de acumulación de daño y fractura de la estructura -Los criterios de fractura y resistencia residual en la estructura -La velocidad de propagación del defecto

El conocimiento de estos 3 aspectos nos permite calcular el tamaño máximo tolerable del defecto, y el tiempo en que se alcanza dicho tamaño (vida remanente). Es decir, la Mecánica de la Fractura establece la relación entre varios criterios ingenieriles como son: comportamiento del material, nivel de esfuerzos, condiciones de carga, condiciones de operación, procedimientos de inspección no destructivos, y la combinación de todo lo anterior nos permite establecer la integridad estructural.

FIGURA 1.1 Aspectos a considerar en el análisis de un daño en una estructura [1.2].

1.2 Tendencias recientes de la mecánica de la fractura

Un aspecto importante en la mecánica de la fractura es la determinación de la tenacidad de la factura, ya que es una propiedad del material. Para esto la sección XI del código ASME [1.43] incluye curvas de referencia que dan estimaciones un poco conservadoras de tenacidad de la fractura con respecto al tiempo, también se dan los lineamientos para el cálculo de KI aplicado a recipientes a presión. Para este efecto se toma en cuenta la

determinación de la tenacidad a la fractura en placas de acuerdo a la norma ASTM E399[1.44].

En cuanto a métodos de análisis simplificados, en la actualidad se ha generalizado el empleo de una serie de curvas o diagramas desarrolladas a partir de diferentes conceptos de mecánica de la fractura para la estimación de la integridad de una estructura, como la curva de diseño CTOD, desarrollada en 1971 por Burdekin y Dawes [1.11]. En 1980 dicha curva de diseño fue incorporada al documento de estándares británico PD 6493 [1.16]. Es importante observar que en las estructuras reales se presentan grietas complejas, que estan sometidas a esfuerzos de flexión y de membrana. Estas condiciones están tomadas en cuenta en el presente documento.

Los materiales que tienen una suficiente tenacidad pueden no ser susceptibles a que se presente una fractura frágil, pero puede darse el caso de que se genere el colapso plástico si existe una sobrecarga. Para determinar cual seria el comportamiento en un momento dado Dowling y Townley [1.17], y por otra parte Harrison [1.13] introdujeron el Diagrama de Estimación de Falla (FAD-Failure Assesment Diagram), para describir la interacción entre la fractura frágil y el colapso plástico. Si la tenacidad de la fractura es muy grande el material fallara por colapso plástico.

para grietas circunferenciales localizadas en componentes estructurales de geometría compleja y sujeta a cargas arbitrarias.

En cuanto a soluciones analíticas, que estan relacionadas con el presente trabajo se puede mencionar problema de grietas axiales en recipientes cilíndricos el cual ha sido investigado por Folias [1.19], Copley y Sanders [1.20], y Erdogan y Kibler [1.21] entre otros. El análisis de un recipiente a presión agrietado es fundamentalmente diferente al de una placa plana. En un recipiente agrietado, debido a la combinación de la presión interna y geometría, se presenta en la región alrededor de la grieta esfuerzos de membrana y esfuerzos de flexión. Budiman [1.22] comprobó que el abultamiento del recipiente en la región de la grieta causa una amplificación del factor de intensidad de esfuerzos.

Con respecto a los métodos numéricos, el empleo de, método del elemento finito de componentes a presión de geometrías complejas podemos mencionar a Porowski [1.23], quien analiza el efecto de los esfuerzos primarios y secundarios en el diseño de recipientes a presión mediante el empleo del programa de elementos finitos ANSYS. En este trabajo compara los resultados que se obtienen al utilizar el análisis lineal elástico y plástico y determina que las cargas máximas admisibles considerando la plasticidad son de un orden de 30 % mayores que las determinadas del análisis lineal elástico

Desde el punto de vista elastoplástico la integridad estructural y análisis de seguridad de recipientes cilíndricos de plantas de energía nuclear puede evaluarse con el “Criterio de Fuga Antes de Ruptura, FAR (LBB Leak Before Break)” [1.24].

Otro aspecto importante es el crecimiento de la grieta por fatiga, para tal efecto se han desarrollado algunos modelos numéricos para predecir el crecimiento de la grieta [1.26, 1.27]. En este último caso se emplea la mecánica de fractura probabilística.

La tendencia actual es el estudio del comportamiento de los materiales no lineales con respecto el tiempo, como la viscoplasticidad y la viscoelasticidad, esto motivado por la necesidad de trabajar con materiales de mayor tenacidad, materiales resistentes a altas temperaturas, el uso de materiales compuestos que mejoran en algunas características a los tradicionalmente utilizados, así como el incremento de aplicaciones de plasticidad en estructuras.

Otra línea de investigación que se esta desarrollando es el estudio de la mecánica de la fractura utilizando análisis fractal aplicado a grietas [1.28]. Este se puede considerar como un enfoque microscópico de la Mecánica de la Fractura.

1.3 Aplicación de la mecánica de la fractura a Ductos

Daños de superficie Estrías

Ranuras Socavaciones

Picaduras por corrosión Quemaduras de arco

De las normas antes referidas es importante mencionar que el ANSI /ASME B31.8[1.29] es un poco más riguroso cuando se trata de gasoductos que cuando se trata de oleoductos ASME B31.4[1.30].

Para ductos submarinos construidos en el Mar del Norte, el código que regula el tamaño máximo admisible de daño es Det Norske Veritas [1.31]. Para la Unión Americana el código API RP-14 E [1.32] y el API-RP-1111 [1.33] de acuerdo si el ducto se encuentra en la plataforma marina o si se encuentra sobre el lecho marino. Finalmente para tuberías de proceso dentro de plantas petroquímicas y /o refinación el ANSI B31.3 [1.34].

Para evaluar los daño debidos a corrosión interna se desarrollo una metodología en el código ANSI B31.G [1.35]. El marco teórico esta fundamentado en análisis de Mecánica de la Fractura.

Los criterios de evaluación de presión de seguridad para ductos con corrosión que se aplican en los códigos mencionados en su parte fundamental se basan en los mismos fundamentos de la mecánica de fractura aplicada a ductos, lo que los diferencia son los coeficientes de seguridad que aplican en cada código. En el caso de gasoductos se manejan altas presiones y una fuga de gas a la atmósfera puede causar accidentes muy severos. Por otra parte, en las tuberias de plantas de proceso se manejan diversos fluidos tóxicos, o volátiles o inflamables, a varias temperaturas bajo presiones moderadas por lo que también una fuga seria de grandes consecuencias.

1.3 Planteamiento del Problema

Zahoor [1.36] en 1989 desarrollo unos manuales para evaluar los parámetros de fractura auspiciado por la Electric Power Research Institute (EPRI) para evaluar grietas en tubería. Estos documentos consideran grietas longitudinales y circunferenciales, como tambien grietas no pesantes y grietas pasantes. Con estas formulaciones se evalúan los parámetros geométricos y de fractura con comportamiento lineal elástico o plástico para una relacion de radio a espesor de 10, esto en cilindros de pared delgada.

Por otro lado se han realizado estudios de mecánica de la fractura para aplicación general por varios investigadores. Paris and Tada [1.37] desarrollaron un manual de evaluación de parámetros de fractura para diferentes configuraciones geométricas, en donde incluye grietas en cilindros, bajo consideraciones elásticas.

para grietas en placas planas pero afectándola con una factor de forma para que sea aplicable a cilindros, obteniendo resultados que varían entre un 5 y un 10 % de los resultados con la solución real, considerándolas una muy buena aproximación.

A nivel nacional La Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica con el apoyo brindado por CONACYT y la Comisión Nacional de Seguridad Nuclear y Salvoguardas, se ha llevado a cabo investigaciones sobre mecánica de la fractura aplicados a tubería. Es así como el trabajo de tesis de Guardado [1.38], desarrolla una metodología para evaluación de grietas longitudinales en tuberías sujetas a presión basandose en las formulaciones desarrolladas por Raju-Newman [1.25], también aplica la metodología del código ASME Sección XI [1.39, 1.40] y el procedimiento simplificado por Ruiz [1.45].

Por otro lado en el trabajo de tesis desarrollado por Tovar [1.41], propone una metodología para evaluar los factores de intensificación de esfuerzos en grietas de tuberías, fundamentada en trabajos de diferentes autores.

Continuando con esta línea de investigación Martínez [1.42], presenta en su tesis de maestría una metodología para el analisis elastoplástico de elementos agrietados, considerando la interacción entre la falla por fractura y por colapso plástico. Asimismo, muestra la aplicación de los diagramas de evaluación de falla.

En todos los casos anteriores, se puede considerar que los métodos de solución son simplificados y que son aplicables a un rango de problemas establecidos, en donde le material no ha envejecido. Sin embargo, a medida que transcurre el tiempo, las propiedades mecánicas del material varían. Asimismo, se tienen problemas que caen fuera del rango de aplicación de los métodos antes descritos. A esto se debe agregar que el problema es no lineal.

Partiendo de los anterior, se establece que se debe analizar numéricamente este tipo de problemas con el método del elemento finito. En este caso se puede generar la geometría requerida. Esto le da una amplia flexibilidad al analista. Asimismo, se pueden integrar las propiedades mecánicas reales. Finalmente, se puede hacer un análisis no lineal, con lo cual se puede evaluar con una mayor exactitud los parámetros de fractura.

1.4 Referencias

[1.1] Bannerman, D. B. y Young, R. T., “Some Improvements Resulting from Studies of Welded Ship Failures “ Welding Journal, Vol. 25, 1946

[1.2] Anderson, T. L, “Fracture Mechanics, Fundamentals and Applications” CRC

Press U.S.A. 1995

[1.3] Inglis, C. E. “Stresses in a Plate Due to the Presence of Cracks and Sharp Corners” Transactions of the Institute of Naval Architects, Vol. 55, pp.

219-241,1913.

[1.4] Griffith A.A., Philos. Trans. Royal Society of London, Ser. A 221, 163, 1920

[1.5] Irwin, G.R. “Fracture Dynamics” Fracturing of Metals, American Society for

Metals, Cleveland,pp. 147-166, 1948

[1.6] Westergaard, H. M., “Bearing Pressures and Cracks”. Transactions, ASME, Journal of Applied Mechanics, A, 49, June 1939

[1.7] Wells, A. A., “The Condition of Fast Fracture in Aluminum Alloys with Particular Reference to Comet Failures” British Welding Research Association Report, April 1955

[1.8] Rice, J.R. “A Path Independent Integral and the Approximate Analysis of Strain Concentration by Notches and Cracks, Journal of Applied Mechanics, Vol. 35,

pp. 379-386, 1968.

[1.9] Shih, C.F. and Hutchinson, J.W., “Fully Plastic Solutions and Large-Scale Yielding Estimates for Plane Stress Crack Problems.” Journal of Engineering Materials and Technology, Vol.98, pp. 289-295, 1976.

[1.10] Kumar, V., German, M.D., y Shih, C.F., “An Engineering Approach for Elastic Plastic Fracture Analysis.” EPRI Report NP-1931, Electric Power

Research Institute, Palo Alto, CA, 1981.

[1.11] Burdekin F. M. y Dawes, M.G., “Practical Use of Linear Elastic and Yielding Fracture Mechanics with Particular Reference to Pressure Vessels”.

Proceedings of the Institute of Mechanical Engineers Conference, London, pp.

38-37, May 1971.

[1.12] Wells, A. A., “Application of Fracture Mechanics at and Beyond General Yielding” British Welding Journal, Vol. 10, pag. 563-570, 1963.

[1.13] Harrison, R.P., Loosemore, K., Milne, I., y Dowling, A.R., “Assessment of the Integrity of Structures Containing Defects“, CEGB Report R/H/R6-Rev 2,

[1.14] Dugdale D.S., Yielding of steel sheets containing slits, Journal of Mechanics and Physics of Solids, Vol. 8 pp. 100-104, 1960

[1.15] Barenblatt, G.I., D.S., “The Mathematical Theory of Equilibrium Cracks in Brittle Fracture”, Advances in Applied Mechanics, Academic Press ,Vol. VII

pp. 52-129, 1962

[1.16] PD 6493: 1980, “Guidance on some Methods for the Derivation of Acceptance

Levels for Defects in Fusion Welded Joints”, British Standard Institution,

March 1980

[1.17] Dowling, A. R. y Townley, C.H.A., “The Effects of Defects on Structural Failure: Two Criteria Approach”, International Journal of Pressure Vessel and Piping,Vol. 3 pp. 77-107, 1975

[1.18] Chaaban, A. y Chaarani, A., “A Proposed KI Solution for Long Surface

Cracks in Complex Geometries”, Transaction of The ASME, Journal of Pressure Vessel Technology, February 1991

[1.19] Folias, E. S. , “An Axial Cracks in Pressurized Cylindrical Shells”,

International Journal of Fracture Mechanics,Vol. 1 No. 2 pp. 104-113, 1965

[1.20] Copley, L.G. y Sanders, J.L., “A Longitudinal Cracks in Cylindrical Shells Under Pressure”, International Journal of Fracture Mechanics,Vol. 5 No. 2 pp.

117-131, 1969

[1.21] Erdogan, F. y Kibler, J.J. Sanders, J.L., “Cylindrical and Spherical Shells with Cracks”, International Journal of Fracture Mechanics,Vol. 5 No. 3 pp.

229-237, 1969

[1.22] Budiman, H.T. y Lagace, P.A.,“Nondimensional Parameters for Geometric Nonlinear Effects in Pressurized Cylindrical with Axial Cracks ”, Transaction of ASME, Journal of Applied Mechanics, Vol. 67, June 1997

[1.23] Porowski, J.S., O Donell, W.J. y Reid, R.H., “Weight Saving Plastic Design of Pressure Vessels”, Transaction of the ASME, Journal of Pressure Vessel Technology, May 1997

[1.24] Public Comment on “Standard Review Plan, Section 3.6.3 Leak Before Break

Evaluations Procedures”, Federal Register,Vol. 52, No 167, Notices pag. 32626 - 32635, August 1987

[1.26] Paris, P.C. y Erdogan, F., “A Critical Analysis of Cracks Propagation Flaws”, Journal of Basic Engineering, Vol 85, pp. 528-534, 1960

[1.27] Simonen, F.A. y Khaleel, M.A., “A Model for Predicting Vessel Failure in

Probabilities Due To Fatigue Crack Growth”, Fatigue and Fracture Mechanics Pressure Vessel and Piping, ASME, 1995

[1.28] Cherepanov, G.P., Balankin, A.S. e Ivanova, V.S., “Fractal Fracture Mechanics”,

Engineering Fracture Mechanics,Vol. 51 pp. 997-1033, 1995

[1.29] ANSI/ASME Code B31.8, “Gas Transmission and Distribution Piping Systems”, 1994

[1.30] ANSI Code B31.4, “Liquid Petroleum Transportation Piping Systems”, 1992

[1.31] Det Norske Veritas, “Rules for Submarine Pipelines”, 1996

[1.32] API RP-14E “Práctica recomendada para el diseño e instalación de sistemas de tubería en plataformas de producción ”, 1992

[1.33] API-RP-1111, “Práctica recomendada para ductos que transportan hidrocarburo fuera de costa”, 1993

[1.34] ANSI Code B31.3, “Chemical Plant and Petroleum Refinery Piping”, 1990

[1.35] ANSI Code B31.G, “Determinación de presión de seguridad en ductos con espesor reducido por corrosión”, 1990

[1.36] Zahoor, A., “Ductile Fracture Handbook, Volume 2: Semi-elliptical Part-throughwall Flaw.” EPRI Report NP-6301-D, Electric Power Research Institute,

Palo Alto, CA, 1989.

[1.37] Tada, H., Paris, P.C., e Irwin, G.R., “The Stress Analysis of Cracks Handbook” (2nd. Ed.) Paris Productions, Inc, St. Louis, 1985.

[1.38] Guardado, J. F., “Evaluación de la Integridad Estructural de Recipientes Cilíndricos Agrietados Sometidos a Presión Interna”, Tesis para obtener el grado de maestro en ciencias, SEPI-ESIME, 1998

[1.39] ASME, Cases of ASME Boiler and Pressure Vessel Code, Case N-463,“Evaluation Procedures and Acceptance Criteria for Flaws Class 1 Ferritic Piping that Exceed the Acceptance Standards of IWB-3514.2”, Section XI, Division 1, ASME, November 30, New York, 1988.

[1.41] Tovar, C., “Determinación de Factores de Intensidad de Esfuerzos en Componentes Mecánicos”, Tesis para obtener el grado de maestra en ciencias, SEPI-ESIME, 1999

[1.42] Martínez, J., “Análisis Elastoplástico de Estructuras Agrietadas”, Tesis para obtener el grado de maestro en ciencias, SEPI-ESIME, 2000

[1.43] Código ASME Boiler and Pressure Vessels Section XI, Div. 1, Edición 1986 [1.44] ASTM, Designation: E399-90, Standard Test Method for Plane-Strain Fracture

Toughness of Metallic Materials, 1990

CAPÍTULO 2

MECÁNICA DE LA FRACTURA

Se puede definir la fractura como la culminación del proceso de falla, la cual se manifiesta como la separación o fragmentación de un cuerpo sólido en dos o más partes, bajo la acción de un estado de cargas, donde se crean nuevas superficies de fractura. En términos generales, esta se presenta en condiciones frágiles y con poca deformación plástica. De ahí que el análisis se haga desde el punto de vista elástico, con lo que lleva a tomar las consideraciones de que el material es homogéneo, continuo, isotrópico, lineal y elástico.

2.1 Fractura Frágil, Dúctil, y Elastoplástica

Fractura frágil es aquella en la cual la fisura se propaga con muy poca deformación plástica en su vértice, ésta es controlada por el esfuerzo de tensión que es perpendicular al plano de la grieta. También es característico de una falla frágil, el inicio de la inestabilidad con esfuerzos mucho menores a los requeridos para llevar el elemento a un estado de fluencia generalizado.

Fractura dúctil es aquella cuyo comportamiento se caracteriza porque el material ante cargas iguales al límite de fluencia presenta deformaciones plásticas apreciables en el vértice de la grieta antes de que suceda el colapso. Normalmente está controlada por el esfuerzo cortante máximo, como ejemplo tenemos en general el comportamiento de materiales metálicos de tenacidad intermedia.

Fractura elasto-plástica es aquella donde el material presenta una combinación de comportamiento frágil y dúctil ante cargas un poco mayores al límite de fluencia. En otras palabras, primero el material presenta deformaciones plásticas después un comportamiento elástico y finalmente el colapso, como ejemplo se encuentra la mayor parte de los metales los cuales dependiendo de la magnitud de las cargas siguen un comportamiento elastoplástico.

Fractura Frágil

Esfuerzo de falla menor al de cedencia

Fractura Dúctil Fractura fibrosa con “cuello” Las partes unen

perfectamente

Fractura Elastoplástica Zona plástica

pequeña en la punta de la grieta

2.2 Fractura a Nivel Microscópico

La fractura en el ámbito molecular sucede cuando un esfuerzo aplicado es capaz de romper las uniones entre átomos. La siguiente figura muestra la energía potencial relacionada con la separación entre átomos

d

σ

σ

REPULSION

ENERGIA POTENCIAL

ATRACCION

DISTANCIA

ENERGIA DE UNION

DISTANCIA ESFUERZO

APLICADO

ENERGIA DE UNION TENSION

COMPRESION

FUERZA DE COHESION MAXIMA

λ/ 2

DISTANCIA ENTRE ATOMOS

d

σσtsen

σ σ

π

_λ

σ

Figura 2.2 Energía potencial y esfuerzo como función de la separación entre átomos

De la figura 2.2 se observa que el esfuerzo sigue un comportamiento gobernado por la siguiente función senoidal:

σ σ π

λ

x = variación de la distancia interatómica

λ= distancia entre átomos

σt = esfuerzo de cohesión entre átomos

La pendiente de la curva es igual a:

d d x x t t σ π σ λ π λ π σ λ

= 2 ⎛_⎝⎜cos2 ⎞_{⎠⎟ =} 2 (2.2)

En la última simplificación tómese en cuenta que para valores de x muy pequeños se puede considerar el coseno igual a 1, por otra parte de la ley de Hooke tenemos:

σ = E⎛_⎝⎜x⎞_{⎠⎟ ⇒} σ =

d

d dx

E

d (2.3) Igualando (2.2) con (2.3) y despejando λ⁄π

λ π

σ

= 2 td

E (2.4)

Partiendo del hecho de que se requiere un esfuerzo de tensión para incrementar la separación entre átomos, entonces la energía para romper los enlaces es igual a:

π λ σ λ π σ λ t t dx x

W=

∫

2

0

Sustituyendo el valor de la ecuación (2.4)

W d E d E t t t

=σ ⎛_⎝⎜2σ ⎞_{⎠⎟ =} 2σ 2

La energía de superficie por unidad de área δs, es igual a la mitad de la energía de fractura,

esto es debido a que se han creado dos superficies cuando el material se fractura por lo que podemos igualar:

s

t d t

E d E

γ

2 2 2

Resolviendo para el esfuerzo máximo de tensión σt:

σ_t Eγs d

= (2.5)

2.3 Fractura en Metales

La fractura en metales y aleaciones se presenta comúnmente con los siguientes tres mecanismos, nucleación de vacíos, fractura transgranular y fractura intergranular (una cuarta sería la fatiga).

Fractura Dúctil. Esta normalmente sigue el mecanismo de nucleación de vacíos, el cual consiste en que estos espacios interactúan en inclusiones (forman un hueco). Después continúan creciendo, y cuando alcanzan el tamaño crítico interactúan con los microvacíos cercanos apareciendo deformaciones plásticas las cuales se concentran a lo largo del plano de los microvacíos formando cuellos. Cuando éstos se unen, desarrollan la inestabilidad plástica entre los vacíos, ocurriendo finalmente la falla [2.1].

Inclusiones en una matriz dúctil Nucleación de microvacíos

Crecimiento de microvacíos _{Localización de deformaciones entre vacíos}

formación de cuellos entre microvacíos unión de microvacíos y fractura

Figura 2.3 Nucleación de microvacíos, crecimiento, y unión en el mecanismo de fractura de

metales dúctiles

figura 2.4a), pero si la densidad de inclusiones o vacíos preexistentes sobre la frontera de granos es mayor dentro de los granos, entonces la ruta de fractura puede seguir las fronteras dando una fractura intergranular fibrosa (ver figura 2.4b). No hay una explicación simple para la fractura intergranular, mas bien, hay una variedad de situaciones que pueden ocasionar el agrietamiento sobre la frontera de los granos como son:

(1) Precipitación de la fase frágil sobre la frontera de grano. (2) Corrosión intergranular.

(3) Cavitación (formación de burbujas de aire) en las fronteras de granos y agrietamiento en altas temperaturas.

(4) Incrustamiento de hidrógeno en el metal. (5) Corrosión ambiental asistido con agrietamiento.

a) Fractura transgranular (Clivaje)

b) Fractura intergranular

Figura 2.4 Micromecanismos de fractura en metales

largo de un determinado plano cristalográfico. El clívaje por lo general es frágil, pero puede ir en ocasiones precedido por un flujo plástico y el crecimiento dúctil de la grieta. El clívaje preferido son aquellos planos con densidad menor de empacamiento y mayor número de vacíos, y ésta sucede una vez que se han roto los ligamentos que son cuando la distancia entre átomos es mayor que la máxima permitida para haber cohesión. La propagación de la grieta cambia de dirección cada vez que cruza una frontera de grano, ver la figura 2.4 a. La fractura frágil llega a suceder ocasionalmente en el mecanismo de nucleación de vacíos en materiales donde las partículas en segunda fase y las inclusiones están bien unidas a la matriz. La nucleación de vacíos ocurre súbitamente después de que se han formado sin una deformación plástica apreciable. La orientación nominal de la grieta por clívaje es perpendicular al esfuerzo principal máximo. La susceptibilidad de la fractura por clívaje está relacionada con cualquier factor que incrementa la resistencia a la fluencia, como: baja temperatura, estado de esfuerzo triaxial, radiación, alta proporción de deformación unitaria entre otros. El tamaño de refinación del grano, aumenta la resistencia de la fluencia del material, pero en este caso, también aumenta el valor del esfuerzo de fractura. Existen algunas razones para entender el efecto del tamaño del grano, en aceros dulces el reducir el tamaño del grano nos reditúa en aumentar el área de frontera del grano, lo cual permite un tamaño de fronteras de grano menor en el carbono y por lo tanto un incremento en el valor del esfuerzo de fractura.

Por otro lado, en la prueba de tensión axial de un metal dúctil, el material algunas veces alcanza la inestabilidad en el punto donde la deformación permite una pérdida de la sección transversal y se forma el cuello mas allá de la carga máxima. Teóricamente, en un material de muy alta pureza, el espécimen en tensión forma el cuello en forma aguda, resultando deformaciones plásticas extremadamente largas cercanos al 100% de reducción en el área ver figura 2.5.

Esfuerzo de Ingeniería

Deformación unitaria

Formación del cuello

Material de Ingeniería

Material puro

Material de Ingeniería

Material puro

Figura 2.5 Deformaciones a tensión uniaxial en materiales dúctiles

Transición de fractura frágil a dúctil. La tenacidad de la fractura en aceros ferríticos,

el acero es frágil y falla por clívaje. Alternativamente, en temperaturas altas, el material es dúctil y falla por coalición de microvacíos. La fractura dúctil inicia en un determinado valor de tenacidad a la fractura, como se indica en la línea punteada de la figura 2.6. La grieta crece cuando la carga se incrementa. En la región de transición entre el comportamiento frágil y dúctil, ambos mecanismos pueden ocurrir al espécimen. Por otra parte, en la región de baja temperatura, el mecanismo de fractura es puro clívaje, pero la tenacidad se incrementa rápidamente con la temperatura. En la región superior, la grieta se inicia por la coalición de microvacíos, pero en el último momento la falla ocurre por clívaje. En la carga inicial en la región de transición superior, el clívaje no ocurre porque no hay partículas críticas cerca de la punta de la grieta.

TENACIDAD A LA

FRACTURA

TEMPERATURA Colapso plástico

o inestabilidad dúctil

Iniciación del rompimiento dúctil

Clivaje

Rompimiento clivaje-dúctil

Figura 2.6 Transición de Fractura frágil a dúctil en los aceros ferríticos.

2.4 Análisis energético de fractura

2.4.1 Planteamiento de Griffith

Inglis [2.2] determinó la intensificación de esfuerzos en agujeros elípticos, donde el esfuerzo es aplicado perpendicularmente al eje mayor de la elipse 2a, el ancho de la placa

es mucho mayor que 2a (2a<<w) y la altura de la placa es mas grande que el semieje

menor de la elipse 2b (ver figura 2.7).Elesfuerzo en el plano del eje mayor está dado por:

σA σ _ρ a

=2 (2.6)

Inglis demostró que la ecuación (2.6) da una buena aproximación para evaluar la concentración de esfuerzo en una muesca que no es elíptica, excepto en la punta. Además, predice un esfuerzo infinito en una grieta infinitamente aguda cuando “ρ “ es cero, este resultado causó consternación, porque no hay material capaz de sostener un esfuerzo infinito, ya que un material con una grieta tan aguda fallaría con la mínima carga aplicada. Esto condujo a Griffith [2.3] a desarrollar una teoría de fractura basada en el balance de energía para evaluar un incremento del área de la grieta. El aplicó la primera ley de la termodinámica para encontrar los esfuerzos en la punta de la grieta, notó que cuando una grieta es introducida en una placa con material elástico sometida a esfuerzos, un balance energético puede ser establecido entre el decremento de la energía potencial (relacionada con el relajamiento o energía elástica almacenada) y el incremento de la energía de superficie resultante debido a la presencia de la grieta (el trabajo hecho por el movimiento de cargas externas). De alguna manera, una grieta existente crecería por algún aumento adicional de energía que fuese suministrada por el sistema. Esta energía superficial resulta del hecho de que hay un desequilibrio entre los átomos más cercanos. Griffith estimó el término energía superficial, estableciendo que es el producto del área total de las áreas proyectadas de la grieta 2(2a*t) y la energía superficial γs (de la figura 2.7):

(

)

U_γ =2 2aγ _s t

2a

A

2a 2b

A t

σ σ

Figura 2.7 Grieta pasante a través de una placa grande

Griffith usó el análisis de Inglis para el caso de una placa larga infinita conteniendo una grieta central elíptica, para obtener el decremento de la energía potencial Ue de la placa

agrietada como:

U a

E e =

π σ2 2

La energía total U de la placa agrietada es:

U= Uo+Ue+Uγ-F

La variación de energía debido a un incremento del área de la grieta bajo las condiciones de equilibrio, puede ser expresada de la siguiente forma:

0 2 4 4 2 0 2 2 = − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = E t a t U E t a t a a a U _t s t s σ π γ πσ γ ∂ ∂ ∂ ∂ Donde:

F = Trabajo desarrollado por las fuerzas externas (F = carga x desplazamiento), la

cual se sustrae de la ecuación porque no forma parte de la energía (potencial) interna de la placa

U = Energía almacenada total de la placa con grieta σt = Esfuerzo de tensión

a = Semilongitud de la grieta

E = Módulo de elasticidad del material Uo = Energía potencial de la placa sin grieta γs = Energía específica de superficie

Uo es una constante, y al incrementarse la longitud de la grieta no cambia, por lo

tanto dU da

0 _{es cero.}

Por otra parte, la primera ley de la termodinámica establece que la energía no se crea ni se destruye solo se transforma, con lo cual se plantea que al crecer la grieta, la variación de energía dU

da es igual a cero por lo tanto despejando σt queda:

σ_{t π}Eγs a = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 2 (2.7)

El problema de aplicación del planteamiento de Griffith fue la enorme dificultad de evaluar experimentalmente la energía de superficie, sin embargo aportó lo siguiente:

• -La ecuación de Griffith provee una relación entre el esfuerzo de fractura, el tamaño de la grieta y el tipo de esfuerzo aplicado

2.4.2 Evaluación deG, razón de la energía liberada

Irwin, en 1956 [2.4] propuso un criterio energético aproximado para la fractura, el cual es equivalente al modelo de Griffith, con excepción que este criterio es mas apropiado para resolver los problemas de ingeniería. Irwin definió como G a la razón de energía liberada

para iniciar la propagación de la grieta, la cual está relacionada mediante un balance energético de la energía elástica, con el trabajo realizado por las fuerzas en la frontera de la placa agrietada. Para entender el significado de estos dos términos, se analizará un cuerpo conteniendo una grieta de longitud “a “ sujeta a una carga de tensión como se muestra en la

figura 2.8.

a

d a dδ

P

P P

δ

dδ P₁

P2

P1'

M1

M₂

0

Figura 2.8 Respuesta Carga -Deflexión de una placa agrietada

De la figura 2.8, para el caso donde la grieta aumenta a “ da ” 0P2 representa la condición

de agrietamiento bajo desplazamiento constante y 0P1’ es el agrietamiento de la condición

bajo carga constante.

La cantidad de energía elástica de deformación está dada por:

V P o P

M

= 1 2

1 2

2

1

δ (2.8)

donde: V = energía de deformación almacenada

P = carga aplicada

δ= desplazamiento de la carga

M1 = rigidez de cuerpo para la grieta de longitud a

Si la longitud de la grieta se incrementa en “da”, la energía superficial adicional es obtenida

del trabajo realizado por las fuerzas externas “Pdδ ”, y del cambio de energía potencial

G = d U da P d da dV da

= δ − (2.9)

Si el cuerpo está rígidamente sujeto, el incremento de energía resultará en un decremento de la carga de P1 a P2, o si el arreglo de la carga fue hecho para que la extensión de la grieta

resulte en un desplazamiento δ del punto de aplicación de la carga, la rigidez de la placa M decaerá. Obsérvese que para el caso de la sujeción rígida, tanto P como M disminuirán pero P/M se mantendrá igual:

δ = P =

M P M 1 1 2 2 (2.10)

El rango de liberación de energía elástica a desplazamiento constante será:

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ δ U a P M P

a P a M

⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = ⎡ + ⎛_⎝⎜ ⎞_⎠⎟ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ 1 2

2 ₂ 1

(2.11)

Por diferenciación de la ecuación (2.10) obtenemos:

1 1

0

M P

a P a M

∂ ∂

∂ ∂

+ ⎛_⎝⎜ ⎞_{⎠⎟ =}

Sustituyendo el resultado en la ecuación (2.11)

∂ ∂ ∂ ∂ δ U

a P a M

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠

⎟ = − 1 ⎛_⎝⎜ ⎞_⎠⎟ 2

1

2 _(2.12)

Nótese que en ambas condiciones, la relación de la energía elástica liberada es la misma (solo el símbolo es invertido), reflejando que G es independiente del tipo de carga aplicada. Entonces en inestabilidad, la energía de deformación critica es igual a:

G _C P m a x

a M = ⎛_⎝⎜ ⎞_⎠⎟ 2 2 1 ∂

∂ (2.13)

Donde 1/M representa la flexibilidad C, la cual depende del tamaño de la grieta. Una vez que la relación de la flexibilidad contra longitud de la grieta se establezca para un cierta muestra, puede obtenerse GC. Esta es la medida de la tenacidad de la fractura en estas

2.5 Análisis del campo de esfuerzos en la vecindad de la punta de la grieta

2.5.1 Modos de Carga

Antes de hacer un análisis del campo de esfuerzos, es importante plantear los distintos modos en que puede ser cargada una grieta.

Modo I. Modo de apertura o de tensión. La carga es aplicada perpendicularmente al plano de la grieta y sus superficies se separan. Este es el modo de carga más común en los problemas de ingeniería, ya que se requiere una carga mínima para propagar la grieta. Por lo tanto el que se le ha prestado mas atención desde el punto de vista analítico, como experimental ver la figura siguiente:

Y

X

Z

Modo I

Y

X

Z

Modo II

Y

X

Z

Modo III

Figura 2.9 Modos básicos de carga mostrando las diferentes superficies de deslizamiento

Modo II. Deslizamiento o modo cortante. Las cargas se aplican perpendiculares al borde de la grieta. Las superficies de fractura se deslizan una sobre la otra. Este modo es poco común y en la práctica se encuentra, en combinación con el modo I. Como ejemplo se tiene cuando hay grietas inclinadas, ésto ocasiona un modo mixto de cargas (figura 2.10).

β

2a

y

x z

KI=σsen β πa

2

KII=σsenβ πa

Modo III. Desgarramiento. Las cargas se aplican paralelamente al borde de la grieta,y las superficies de fractura se mueven una sobre la otra y paralelas. Este caso puede ser un problema de cortante puro involucrando una muesca en una barra a torsión. De los tres modos este se puede considerar como el menos severo

2.5.2 Esfuerzos en la vecindad de la punta de la grieta

La fractura de componentes agrietados puede ser determinada por análisis de esfuerzos basados en conceptos de teoría de elasticidad. Irwin [2.4], en la década de los cincuenta, desarrolló soluciones para los modos de carga mostrados en la figura 2.9, partiendo de la teoría lineal elástica, y de los trabajos desarrollados por Westergaard [2.5]. Para el caso de una grieta rectilínea en el plano X-Z, el campo de esfuerzos puede determinarse con las siguientes ecuaciones, siguiendo la nomenclatura de la figura 2.11, y tomando en cuenta un sistema de coordenadas polares (r,θ) con origen en el vértice de la grieta:

Para el modo I

σ π θ θ x I K r = ⎛_⎝⎜ − ⎞_⎠⎟

2 2 1 2

3 2

cos sen sen θ (2.14 )

σ π θ θ y I K r = ⎛_⎝⎜ + ⎞_⎠⎟

2 2 1 2

3 2

cos sen sen θ (2.15 )

τ π θ θ θ xy I K r = ⎛_⎝⎜ ⎞_⎠⎟

2 2 2

3 2

sen cos cos (2.16)

donde:

KI = σ π a

θ τyz σzz τxy r X Y Z σyy τyx τzx σxx τ_xz τzy

Para el modo II: σ π θ θ x II K r = − ⎛_⎝⎜ + ⎞_⎠⎟

2 2 2 2

3 2

sen cos cos θ (2.17)

σ π θ θ θ y II K r = ⎛_⎝⎜ ⎞_⎠⎟

2 2 2

3 2

sen cos cos (2.18)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 2 3 sen 2 sen 1 2 cos 2 θ θ θ π τ r K_II

yx (2.19)

donde

KII = τ π a

Para el modo III τ π θ x z III K r = −

2 sen2 (2.20)

2 cos 2 θ π τ r K_III z

y = + (2.21)

donde

KIII = τ π a

Los parámetros KI, KII, y KIII son los factores de intensidad de esfuerzos para los modos de

carga I, II, y III.

Es importante observar que las ecuaciones de esfuerzos presentan una singularidad del tipo 1/r0.5 en la punta de la grieta. Esto implica que los esfuerzos tienden al infinito. Bajo este contexto, no es posible determinar la severidad del campo de esfuerzos.

Los factores de intensidad de esfuerzos toman en cuenta la magnitud del esfuerzo y la longitud de la grieta. Este parámetros si permite establecer la severidad del campo de esfuerzos y se puede comparar con la tenacidad de la fractura para determinar si una grieta se propagará.

2.6 Equivalencia entre la razón de energía liberada y el factor de intensidad de esfuerzos

Irwin demostró que los esfuerzos en la vecindad del frente de la grieta se dan de la siguiente forma:

( )

π θ

ij i j

K

r f

= +

2 . . .

es un parámetro asociado a la magnitud del campo de esfuerzos elástico. A éste último se le llama factor de Intensidad de esfuerzos. Un análisis dimensional demuestra que K es un

parámetro que está relacionado directamente con la magnitud del campo de esfuerzos y con la raíz cuadrada de la longitud de la grieta. Una forma general del Factor de Intensidad de Esfuerzos está dado por la expresión:

K a f a

w

= σ π • ⎛_⎝⎜ ⎞_⎠⎟

Donde f(a/w) es un parámetro adimensional que depende de la geometría de la pieza y de la

grieta. Las relaciones para evaluar este parámetro han sido establecidos para diferentes geometrías por diversos investigadores.

Por otra parte, el Factor de Intensidad de Esfuerzos crítico, KIC, es la condición en la cual

una grieta inicia su propagación. En estas condiciones se puede establecer una equivalencia con la GIC, la razón de energía liberada critica para el modo I. La interpretación física para

este último parámetro es que en el cuerpo agrietado, cuente con la suficiente energía para que la grieta inicie su propagación. De está forma, el parámetro que gobierna la fractura puede así mismo ser establecido como un Factor de Intensidad de Esfuerzos crítico KIC, en

vez de un valor de energía crítica GIC. Para cargas en tensión (modo I) las relaciones entre KIC y GIC son las siguientes donde ν es la relación de Poisson:

: G K E IC IC = 2

Esfuerzo plano; (2.22)

(

)

1 ν Deformación plana (2.23)

Irwin y Orowan [2.4, 2.6] extendieron la aplicación de la teoría de Griffith a materiales dúctiles, al tomar en cuenta el comportamiento plástico encontrado en la punta de la grieta. Postularon que la resistencia verdadera de la grieta a propagarse es igual a la suma de la resistencia de la energía de superficie elástica γe y la disipación plástica o trabajo plástico γp

que la acompaña, dando la siguiente expresión:

(

)

σ = 2E γ_π+γ

a

e p

(2.24)

La solución de Griffith-Irwin, cuando se considera el proceso plástico y elástico, puede ser escrita de la siguiente forma:

(

)

(

)

σ π a = 2E γ_e +γ_p = EG = K

En este caso γp es la energía necesaria para la deformación plástica. Además el criterio de

σ π a ≥ σ π_c a = KIC (2.25)

Como en el principio de Griffith, el uso de un Factor de Intensidad de Esfuerzos crítico indica que la propagación de la grieta ocurre cuando el factor σ πa alcanza un valor crítico, el cual puede determinarse experimentalmente por la medición de esfuerzo de fractura para dimensiones conocidas de una placa agrietada.

2.7 La integral J

El primero en introducir el concepto de la integral J fue Rice [2.7], el cual está

fundamentado en el principio de balance de energía:

U= Uo+Ua+Uy-F

Sin embargo, una consecuencia importante de la universalidad de esta ecuación, es que bajo ciertas restricciones como comportamiento elástico no lineal, puede usarse para un análisis del comportamiento de tipo plástico del material, mientras no se descargue. Cuando la ecuación es válida se puede derivar una condición de inestabilidad, donde:

(

)

d

da F U

dU

da a

− ≥ γ

y se puede definir una equivalencia elástica no lineal de G y J a partir de:

J d

(

)

da F Ua

= −

Una interpretación en términos de un balance energético de la energía potencial (Up) puede

darse como sigue:

Up= Uo+Ua –F

Dado que Uo es constante, entonces el cambio en la energía potencial es:

(

)

(

)

dU

da d

da U F

d

da F U

p

a a

= − = − −

J dU

da p

= −

J Wdy TdU ds ds

=

∫

Γ

Donde:

Γ es una trayectoria cualquiera alrededor del frente de la grieta (Fig. 2.12).

W es la energía de deformación elástica

T es el vector de tracción sobre un elemento diferencial ds en la trayectoria cerrada U es la energía de deformación almacenada por el sistema.

C

C’

x y

Γ₁

Γ2

ds

T

Figura 2.12 Contorno arbitrario Γ, alrededor del frente de la grieta

La energía de deformación elástica está dada por: W =

∫

ε

0

Rice también demostró que el cambio de energía alrededor de una grieta debido a una extensión de ésta, bajo carga constante, puede escribirse como:

J

a _PdP

=

∫

ε _∆

0

Y para una condición de desplazamiento (∆) constante:

J P

a d

= −

∫

∆ ∆

0

De la figura 2.13 se puede deducir que J equivale al área A entre las curvas carga

desplazamiento de un elemento con grieta longitudinal a y la misma con una extensión ∆a.