6. Perturbaciones de espacio-tiempos de altas dimensiones
6.3. Conexiones modificadas
Como dijimos hacia el final de la sección 6.1, estamos interesados en mo- dificar la forma de conexión GHP χ por medio de agregarle una 1-forma
go-valuada ζ := (B, C) ∈ T∗M ⊗go, con tal de analizar si las ecuaciones
tipo Teukolsky en altas dimensiones admiten una estructura tipo onda. De- finimos las 1-formas Ba y Ca con valores en R y so(d−2) respectivamente
como
Ba := (d2−ρ2)na−τimia, (6.21)
Caij :=−τimja+τ j
mia. (6.22)
Veremos una interpretación de estas 1-formas en la sección 6.6. Con la 1- forma ζ = (B, C)introducimos una derivada covariante modificada sobre los fibrados vectoriales E(b,s),
6.3. Conexiones modificadas 131
donde π(b,s) es la representación de go = R⊕so(d−2) dada en (6.15). La
acción explícita de esta derivada sobre un campo escalar GHP ηi1...is de tipo
{b, s}es
Daηi1...is = Θaηi1...is +bBaηi1...is +Cai1
k
ηk...is +...+Cais
k
ηi1...k. (6.24) Por supuesto, proyectando Da sobre el vielbein {eaa} obtenemos las deriva-
das direccionales modificadas eþ = `aDa, eþ0 = naDa, y eði = maiDa. Puede
chequearse que, sobre una cantidad ηi de tipo {b,1} por ejemplo,
eþηi =þηi+ (d2−ρ2)bηi, (6.25) e
þ0ηi =þ0ηi, (6.26)
eðkηi =ðkηi−bτkηi−τiηk+δikτjηj (6.27)
(el operador eþ0 de hecho coincide con el usual para un campo GHP de cual-
quier tipo {b, s}, como consecuencia de las definiciones (6.21), (6.22)).
6.3.1.
Operadores de onda con peso
Veamos ahora la construcción de operadores de onda con peso, que serán adecuados para el tratamiento de las perturbaciones en las secciones siguien- tes. En primer lugar, el operador de onda GHP se construye naturalmente como
(b,s) :=gabΘaΘb, (6.28)
y actúa sobre campos tensoriales pesados de tipo {b, s}. En particular, no- temos que (0,0) = . En términos de las derivadas direccionales con peso, puede chequearse que
(b,s) = (þ+ρ)þ0 + (þ0+ρ0)þ+ (ðk−τk−τ0k)ðk. (6.29)
Por otro lado, naturalmente asociado a la derivada (6.23) tenemos el operador de onda modificado
T(b,s):=gabDaDb. (6.30)
Notemos que, nuevamente,T(0,0) =. En términos de las derivadas direccio- nales modificadas, tenemos
T(b,s) = (eþ+ 2
(d−2)ρ)þ
0
+ (þ0+ρ0)eþ+ (eðk−(d−2)τk−τ0k)eðk. (6.31)
Es útil notar aquí que el adjunto del operadorT(b,s) con respecto al producto interno
hΦ,Ψi=
Z
M
ΦΨ, (6.32)
está dado por
hΦ,T(b,s)Ψi=hT(b0,s0)Φ,Ψi, (6.33) donde Ψ y Φ son campos escalares GHP de tipo {b, s} y {b0, s0} respectiva- mente, y debemos recordar que, para que el producto interno sea un número real, debe tenerse b0 =−b and s0 =s.
Para la clase Kundt, se tiene ρij ≡ 0 y las derivadas direccionales mo-
dificadas eþ y eþ0 coinciden con las usuales. En este caso es útil conmutar las
derivadas þþ0, a fin de (como veremos a continuación) obtener las fórmulas co- nocidas en la literatura. En particular, el operador de onda modificado (6.31) sobre un espacio-tiempo Einstein-Kundt, actuando en un campo escalar GHP de tipo {b,1}, es:
T(b,1)ηi =2þ0þηi +ðkðkηi+ρ0þηi−2(b+ 1)τkðkηi+ 2[τkði−τiðk]ηk
+h(b2−1)τkτk− (d−21)(bdΛd−2)
i
ηi−(d−4)τiτkηk, (6.34)
mientras que sobre un escalar GHP de tipo {b,2} simétrico ηij =η(ij) T(b,2)ηij =2þ0þηij +ðkðkηij+ρ0þηij −2(b+ 1)τkðkηij + 4[τkð(i −τ(iðk]ηj)k +h(b2−2)τkτk− (d−21)(bdΛd−2) i ηij −2(d−2)τkτ(iηj)k + 2τiτjδkl+δijτkτl ηkl. (6.35)
Notemos que, poniendo b = 1 en (6.34) y b = 2 en (6.35), los términos de derivadas coinciden exactamente con los de las ecuaciones (6.1) y (6.2) respec- tivamente; la diferencia entre estos operadores y dichas fórmulas constituirá entonces términos de “potencial”, análogamente a las ecuaciones de Teukolsky 4-dimensionales. De esta manera demostramos que las ecuaciones (6.1) y (6.2) tienen en efecto una estructura tipo onda, generalizando los resultados de [22, 1] a dimensiones arbitrarias. En particular, puede entonces aplicarse el Teorema 1.2.2 y obtener existencia, unicidad y estabilidad de Cauchy para el sistema de Teukolsky en altas dimensiones.
6.3.2.
El operador de Laplace-de Rham modificado
Recordar la definición de formas diferenciales con valores tensoriales de la sección 4.4.3. Siguiendo la notación de dicha sección, sea ωa1...alb1...bk =
ωa1...al[b1...bk] ∈Vl,kunak-forma conlvalores tensoriales. Recordemos también
los operadores derivada covariante exterior y su adjunto:
(Dω)a1...alb1...bk+1 =(k+ 1)∇[b1ω|a1...al|b2...bk+1], (6.36)
(D†ω)a1...alb1...bk−1 =− ∇
c
ωa1...alcb1...bk−1. (6.37) La composición de estas derivadas conduce al operador de Laplace-de Rham generalizadoDD†+D†D. Modificamos ahora estos operadores por la adición de una 1-formaAa (de tipo {0,0}), dada por4
Aa :=−(d−ρ2)na− ρ
0
(d−2)`a+τim
i
a. (6.38)
En la sección 6.6 daremos una interpretación de esta 1-forma. Consideremos un número entero positivo s(que jugará el rol del spin de los campos). Defi- nimos los siguientes operadores:
(Dsω)a1...alb1...bk+1 :=(k+ 1)(∇[b1 −2sA[b1)ω|a1...al|b2...bk+1], (6.39)
(D?sω)a1...alb1...bk−1 :=−(∇
c−
2sAb1)ω
a1...alcb1...bk−1. (6.40) 4en [10] utilizamos la 1-formaγa ≡ −Aa.
6.3. Conexiones modificadas 133
Observamos que D?s no es el adjunto de Ds; éstos están relacionados por
D?
s =D
†
−s. Por otro lado, notemos queD0 =D, con lo cual tenemosD†=D?. Introducimos entonces un operador Vl,k →Vl,k dado por
DsD?+D?sD. (6.41) En vista de su apariencia similar al operador de Laplace-de RhamDD†+D†D, en lo que sigue llamaremos a (6.41) como “operador de Laplace-de Rham modificado de spin s”. En notación de formas diferenciales, el mismo puede escribirse como
(D−2sA∧)D†+ (D†−2sA#y)D, (6.42) donde A# es el campo vectorial sharp obtenido de la 1-forma A, y los pro- ductos exterior∧e interior yactúan sobre los índices de formas diferenciales. Resulta instructivo ver algunos ejemplos. En las secciones siguientes estu- diaremos campos electromagnéticos y gravitacionales. Los campos de Maxwell tienen spin s= 1, y su curvatura es representada por una 2-forma ordinaria, por lo tanto tenemos s= 1, l = 0 y k = 2. Entonces
−[(D1D?+D?1D)F]ab = 2(∇[a−2A[a)∇cF|c|b]+ 3(∇c−2Ac)∇[aFbc]. (6.43) Por otro lado, el campo gravitacional tiene spin s = 2, y su curvatura es representada por una 2-forma con 2 índices tensoriales extra; entoncess= 2,
l = 2, y k = 2. Luego
−[(D2D?+D?2D)C]abcd = 2(∇[c−4A[c)∇eC|abe|d]+ 3(∇e−4Ae)∇[eC|ab|cd]. (6.44)
6.3.3.
Identidades de Bianchi y ecuaciones de Einstein
Veamos ahora cómo conectar off shell las identidades de Bianchi con las ecuaciones de Einstein en altas dimensiones. Necesitaremos esto para poder tomar ecuaciones adjuntas al tratar perturbaciones gravitacionales y de este modo reconstruir la métrica, al estilo de como hicimos en el capítulo 3, ver sec- ción 3.4.3. A continuación damos la generalización a dimensiones arbitrarias del resultado del lema 3.4.1.
Recordar que la identidad de Bianchi para el tensor de Riemann, dada por
∇[eRab]cd = 0, es una identidad geométrica independientede las ecuaciones de
campo, por lo tanto nos permite relacionar off shell derivadas de los tensores de Riemann, Weyl y Ricci. Consideremos ahora el operador de Laplace-de Rham modificado de spin 2, (6.44), aplicado al tensor de Weyl. La identidad de Bianchi implica que
3∇[eCab]cd =−(d−22) h 2g[c|[a∇eRb]|d]−(d−11)gc[a∇eR gb]d i , (6.45) y contrayendo con gde, ∇dC abcd = (d−−22) h −(d−3)∇[aRb]c−gc[a∇dRb]d+ (d−11)gc[a∇b]R i . (6.46)
Ahora aplicamos el operador Piabcd1...isD?2 a (6.45), y Piabcd1...isD2 a (6.46), donde
Pabcd
i1...is es un tensor de tipo {b, s} que tiene las simetrías P
abcd i1...is = P [ab]cd i1...is = Piab[cd] 1...is = P cdab
i1...is. Consideremos primero el caso en el cual P
abcd
i1...is es libre de
traza, Pabcd
i1...isgbc= 0. Entonces es sencillo mostrar que, off shell,
Piabcd1...is[(D?2D+D2D?)C]abcd = 4Piabcd1...is(∇d−4Ad)∇a(Gbc+λgbc) (6.47)
donde hemos usado el hecho de quePabcd
i1...is es libre de traza para reemplazar el
tensor de Ricci por el tensor de Einstein, y el término de la constante cosmo- lógica puede agregarse libremente ya que ∇a(λgbc) = 0. Considerando (6.47)
para una familia monoparamétrica de espacio-tiempos gab(ε), y linealizando
esta ecuación alrededor de un espacio Einstein, i.e. tal que(Gbc+λgbc)|ε=0 = 0, obtenemos el operador G˙bc[h] +λhbc, el cual es autoadjunto como funcional
lineal sobre hab = ˙gab. Para el caso en que Piabcd1...is no es libre de traza, diga-
mos Pad
i1...is := P
abcd
i1...isgbc 6= 0, podemos descomponerlo en su parte sin traza
y Piad1...isgbc. Usando el hecho de que Piad1...is = Pi(1ad...i)s, puede mostrarse que
Pad i1...isg
bc[(D?
2D+D2D?)C]abcd ≡ 0; entonces podemos usar el mismo argu-
mento que antes.