6. Perturbaciones de espacio-tiempos de altas dimensiones
6.2. El formalismo GHP en dimensiones arbitrarias
En esta sección repasaremos las bases del formalismo GHP en dimensiones arbitrarias, desarrollado en [52], detallando algunos aspectos de la geometría asociada (que no se encuentran en [52]) desde el punto de vista de la teoría de conexiones sobre espacios fibrados.
Sea (M, g) un espacio-tiempo d-dimensional, con d ≥4. Al igual que en el formalismo GHP 4-dimensional estándar, queremos adaptar un marco de trabajo a un par de direcciones nulas `a, na. Por lo tanto consideramos en cada espacio tangente un vielbein {ea
a}= {ea0 =`a, e1a =na, eai =mai}, donde
i= 2, ..., d−1, los vectores`ay na son nulos, y los vectoresmai son espaciales. La base dual es {eaa} ={e0a =na, e1a =`a, eia =mia}. La métrica en esta base
es
gab = 2`(anb)+δijmiam j
b, (6.3)
los únicos productos no-triviales son `ana = 1 y maimja = δij. Los índices
internos i, j, k, ... serán subidos y bajados usando δij y δ ij.
Bajo una elección de direcciones nulas, el SO(d−1,1)-fibrado ortonormal es reducido a un fibrado principalB con grupo de estructuraGo, dondeGo es
el subgrupo deSO(d−1,1)que preserva las direcciones nulas. Este subgrupo es2 G
o=R××SO(d−2), donde su acción en el vielbein {eaa} está dada por
`a →λ`a, na →λ−1na, mai →Xijmaj (6.4)
2denotamos
6.2. El formalismo GHP en dimensiones arbitrarias 127
con λ∈R× y X ∈SO(d−2)(ambosλ y X dependen del punto del espacio-
tiempo). Las componentes de un campo tensorial T obtenidas al proyectarlo sobre el vielbein {ea
a} transforman de cierta manera bajo (6.4); en otras pa-
labras, la acción (6.4) define una representación de Go dada por
Ti1...is 7→(Π(b,s)(λ, X)T)i1...is =λ bX i1 j1...X is jsT j1...js (6.5)
para algunos númerosb∈Z,s ∈N0. Decimos que los elementos que transfor- man bajo esta representación soncantidades de tipo{b, s}, o equivalentemente tienen peso de boost b y peso de spin s3. Notemos que
Π(b,s) ≡Πb⊗Πs, (6.6)
donde Πb es la representación de R× dada por (Πb(λ)T)i1...is = λ
bT
i1...is, y
Πs = Π⊗1s, con Π1 la representación de spin 1 del grupo de rotaciones SO(d−
2). En cada punto del espacio-tiempo, las cantidades de un tipo bien definido
{b, s}forman un espacio vectorial V (el espacio de la representación (6.5) de
Go); las cantidades de todos los tipos juntos forman un álgebra graduada (lo
cual implica que el producto de una cantidad de tipo{b, s}con otra cantidad de tipo{b0, s0}es de tipo{b+b0, s+s0}). Uncampo escalar GHPde tipo{b, s}
es una sección del fibrado vectorial asociado E(b,s) :=B×Π(b,s)V.
Sea ωaab = eab∇aebb la 1-forma de conexión en el SO(d−1,1)-fibrado P.
El comportamiento de las distintas componentes de ωaab bajo el subgrupo
GHPGo da origen, por un lado, a los así llamados coeficientes de spin, y por
otro lado, a la 1-forma de conexión en el fibrado reducido B, lo cual permite definir una derivada covariante sobre cantidades GHP. Más específicamente, las partes de ωaab que transforman covariantemente bajo Go son ωa0i =:
−mbiNba y ωa1i =:−mbiLba, donde gemos adoptado la notación de [52]:
Lab :=∇b`a, Nab :=∇bna, Miab :=∇bmia. (6.7)
Notemos que, proyectando sobre el vielbein{ea
a}, obtenemos las componentes
Lab =eaaebbLab, Nab = eaaebbNab y Miab =eaaebbM
i
ab. Los coeficientes de spin
GHP son entonces definidos como Nia := eaambiNba y Lia := eaambiLba, y la
notación específica para cada a = 0,1, i está dada en la tabla 6.1 (ver [52] para la interpretación de los coeficientes). Notemos que en el caso en que `a
es geodésico, tenemos κi ≡ 0. Por otro lado, es útil notar también que la
cantidad GHPρij puede descomponerse del siguiente modo:
ρij =σij +(d−ρ2)δij +ρ[ij], (6.8) donde σij = σ(ij), ρ y ρ[ij] representan el shear, la expansión y el twist de la congruencia, respectivamente. Relaciones análogas valen paranareemplazan-
do las correspondientes cantidades por sus versiones primadas.
Ahora, las partes de ωaab que no transforman covariantemente bajo Go
definen la 1-forma de conexión inducida χ en el fibrado reducido B. Como 3no confundir la notación GHP {b, s} de este capítulo con la notación GHP{p, q} de
Componente Notación boost b spin s Lij ρij 1 2 Lii ρ=δijρij 1 0 Li0 κi 2 1 Li1 τi 0 1 Nij ρ0ij −1 2 Nii ρ0 =δijρ0ij −1 0 Ni1 κ0i −2 1 Ni0 τi0 0 1
Tabla 6.1: Notación para los coeficientes de spin GHP [52].
es usual, χ toma valores en el álgebra de Lie go = R⊕so(d −2), por lo
que podemos descomponerla como χ = (β,Σ), donde β ∈ T∗M ⊗R y Σ ∈
T∗M ⊗so(d−2). No es difícil mostrar que estas componentes son
βa=ωa11, Σaij =ωaij (6.9)
ya que las mismas transforman bajo Go como
βa →λ∇aλ−1+βa, (6.10)
Σaij →Xik∇aXjk+XikΣaklXjl, (6.11)
lo cual corresponde a la ley de transformación de una 1-forma de conexión. Explícitamente:
βa=−L1aeaa =−L10na−L11`a−L1kmka, (6.12)
Σaij =−Mijaeaa =−M i
j0na−Mij1`a−Mijkmka. (6.13)
Con estos elementos podemos ahora introducir la derivada covaiante sobre los fibrados asociados E(b,s):
ΘaTi1...is =∇aTi1...is + (π(b,s)(χa)T)i1...is, (6.14)
donde π(b,s) : go →gl(V) es la representación del álgebra de Lie go inducida
por (6.5). En vista de (6.6), la estructura de π(b,s) es π(b,s) =πb⊗I+I⊗πs
(conI el mapa identidad en el espacio correspondiente) y su acción está dada por
(π(b,s)(a, x)T)i1...is =baTi1...is +xi1
kT
ki2...is +...+xis
kT
i1...k (6.15) donde a∈R y x∈so(d−2). Por lo tanto, la forma explícita de (6.14) es
ΘaTi1...is =∇aTi1...is +bβaTi1...is + Σai1
kT
ki2...is+...+ Σais
kT
i1...k. (6.16) La generalización de los operadores thorn y eth 4-dimensionales þ,þ0,ð,ð0 a altas dimensiones está dada simplemente por las derivadas direccionales a lo largo de los vectores del vielbein {ea
a} usando la conexión GHP:
6.2. El formalismo GHP en dimensiones arbitrarias 129 Componente Notación Boost Spin Identidades
C0i0j Ωij +2 2 Ωij = Ωji, Ωii = 0
C0ijk Ψijk +1 3 Ψijk =−Ψikj, Ψ[ijk]= 0
C010i Ψi +1 1 Ψi = Ψkik
Cijkl Φijkl 0 4 Φijkl = Φ[ij][kl]= Φklij, Φi[jkl] = 0
C0i1j Φij 0 2 Φ(ij) ≡ΦSij =−12Φikj k C01ij 2ΦAij 0 2 ΦAij ≡Φ[ij] C0101 Φ 0 0 Φ = Φii C1ijk Ψ0ijk −1 3 Ψ 0 ijk =−Ψ 0 ikj, Ψ 0 [ijk]= 0 C101i Ψ0i −1 1 Ψ 0 i = Ψ 0 kik C1i1j Ω0ij −2 2 Ω 0 ij = Ω 0 ji, Ω 0 ii = 0
Tabla 6.2: Componentes del tensor de Weyl en altas dimensiones [53].
Su acción sobre un escalar GHP de tipo {b, s} se deduce de (6.16) y (6.12), (6.13):
þTi1...is =DTi1...is −bL10Ti1...is +M
k i10Tki2...is +...+M k is0Ti1...k (6.18) þ0Ti1...is =D 0T i1...is −bL11Ti1...is +M k i11Tki2...is+...+M k is1Ti1...k (6.19) ðjTi1...is =δjTi1...is −bL1jTi1...is +M
k
i1jTki2...is+...+M
k
isjTi1...k, (6.20) donde D = `a∇
a, D0 = na∇a y δj = maj∇a son derivadas de Newman-
Penrose tradicionales. Estas fórmulas coinciden por supuesto con las dadas en la literatura, ver e.g. [52]. Para expresiones explícitas de los conmutadores entre derivadas GHP nos referimos al artículo [52].
6.2.1.
Clasificación del tensor de Weyl
Repasaremos brevemente lo básico de la clasificación del tensor de Weyl en dimensiones arbirtarias, que es la generalización de la clasificación de Pe- trov de espacio-tiempos 4-dimensionales dada en 2.2.4, y fue originalmente desarrollada en [28]. Seguiremos, no obstante, las convenciones de [53], donde los espacio-tiempos algebraicamente especiales son definidos de manera lige- ramente distinta. La notación para las componentes del tensor de Weyl de altas dimensiones está dada en la tabla 6.2. Para las componentes del tensor de Riemann utilizaremos las mismas letras griegas mayúsculas pero con tilde (notemos que las identidades de traza en la tabla 6.2 no valen en general para el tensor de Riemann).
Un campo vectorial nulo `a se diceWeyl Aligned Null Direction(WAND)
si todas las componentes con peso de boost b = +2 del tensor de Weyl se anulan en todos lados en un vielbein que contenga a `a, i.e. Ω
ij ≡ 0. Esta
condición es independiente de la elección del resto de los vectores del vielbein. End= 4, la condición de WAND es equivalente a la condición de PND, pero para d > 4 esto ya no es cierto. Una WAND `a se dice múltiple si todas las
Tipo algebraico Definición O Cabcd ≡0
N Ωij ≡Ψijk ≡Φijkl ≡Ψ0ijk≡0
III Ωij ≡Ψijk ≡Φijkl ≡0
II Ωij ≡Ψijk ≡0
I Ωij ≡0
G No existe una WAND.
Tabla 6.3: Tipos algebraicos del tensor de Weyl en altas dimensiones (clasifi- cación primaria), de acuerdo a [52].
i.e. Ωij = Ψijk ≡ 0. En d = 4, esta condición es equivalente a que `a sea una
PND repetida. Decimos entonces que un espacio-tiempo es algebraicamente especialsi admite una WAND múltiple. En la tabla 6.3 resumimos los distintos tipos algebraicos de acuerdo a la existencia de WANDs múltiples.
Esta clasificación se dice primariaporque sólo se enfoca en elegir el vector
`a de manera que se anulen tantas componentes de mayor boost como sea posible. Una vez que `a está fijo, uno puede tratar de elegir el otro vector
nulona de modo que se anulen tantas componentes demenorboost como sea
posible, lo cual define una clasificación secundaria. Esto da origen a la defi- nición de un espacio-tiempo tipo D en altas dimensiones: un espacio-tiempo se dice tipo D si ambas direcciones nulas `a y na son WANDs múltiples. En
un vielbein adaptado, tenemos Ωij = Ψijk = Ω0ij = Ψ0ijk ≡0.
Varias soluciones de agujeros negros en altas dimensiones son de tipo alge- braico D. Por ejemplo, agujeros negros de Schwarzschild-Tangherlini, Myers- Perry y Kerr-(A)dS, y también métricas de cuerdas/branas negras, pertene- cen todos a este tipo algebraico para toda dimensiónd. Existen otros objetos negros, no obstante, que no son tipo D, por ejemplo el anillo negro (ver [115]).