NÚMEROS REALES
1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS CONJUNTO
Definición: Un conjunto es una colección de objetos bien determinados. A tales objetos se
le llaman elementos del conjunto.
Determinación de un conjunto
Existen dos maneras de determinar a un conjunto: por extensión y por comprensión.
Por Extensión: Un conjunto queda determinado por extensión cuando se conocen individualmente a todos sus elementos.
Ejemplo 1.1
𝐴𝐴 = {𝑎𝑎, 𝑛𝑛, 𝑙𝑙, 𝑖𝑖, 𝑠𝑠} , 𝐵𝐵 = {−5, 0, 3, −7,1}
Por Comprensión: Un conjunto queda determinado por comprensión, cuando este se define por medio de una propiedad de la cual deben satisfacer cada uno de los elementos del conjunto.
Si denotamos por 𝑥𝑥 a un elemento cualquiera del conjunto A y por P la propiedad característica, entonces el conjunto A se escribe así:
𝐴𝐴 = {𝑥𝑥 ; 𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑙𝑙𝑐𝑐 𝑃𝑃}
Ejemplo 1.2 𝐴𝐴 = {𝑥𝑥 ; 𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑛𝑛𝑎𝑎 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑐𝑐𝑎𝑎𝑙𝑙 } ; 𝐵𝐵 = {3𝑥𝑥 + 2; 𝑥𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑥 < 5}
Los conjuntos numéricos que estudiaremos son:
1. Los Números Naturales (ℕ). Es el conjunto de números que utilizamos para contar.
ℕ = {1, 2, 3, . . . } Además, denotamos como: ℕ0= ℕ ∪ {0}
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CAPÍTULO I
NÚMEROS REALES
“Si comenzase de nuevo mis estudios, seguiría el consejo de Platón y comenzaría con matemáticas.” Galileo Galilei
En el presente capítulo se abordará el estudio de los números reales y específicamente la resolución de inecuaciones polinomiales, racionales, con radicales y con valor absoluto, que nos proporcionará las habilidades y destrezas necesarias para el buen desempeño en el siguiente capítulo.
1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS CONJUNTO
Definición: Un conjunto es una colección de objetos bien determinados. A tales objetos se
le llaman elementos del conjunto.
Determinación de un conjunto
Existen dos maneras de determinar a un conjunto: por extensión y por comprensión.
Por Extensión: Un conjunto queda determinado por extensión cuando se conocen individualmente a todos sus elementos.
Ejemplo 1.1
𝐴𝐴 = {𝑎𝑎, 𝑛𝑛, 𝑙𝑙, 𝑖𝑖, 𝑠𝑠} , 𝐵𝐵 = {−5, 0, 3, −7,1}
Por Comprensión: Un conjunto queda determinado por comprensión, cuando este se define por medio de una propiedad de la cual deben satisfacer cada uno de los elementos del conjunto.
Si denotamos por 𝑥𝑥 a un elemento cualquiera del conjunto A y por P la propiedad característica, entonces el conjunto A se escribe así:
𝐴𝐴 = {𝑥𝑥 ; 𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑙𝑙𝑐𝑐 𝑃𝑃}
Ejemplo 1.2 𝐴𝐴 = {𝑥𝑥 ; 𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑛𝑛𝑎𝑎 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑐𝑐𝑎𝑎𝑙𝑙 } ; 𝐵𝐵 = {3𝑥𝑥 + 2; 𝑥𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑥 < 5}
Los conjuntos numéricos que estudiaremos son:
1. Los Números Naturales (ℕ). Es el conjunto de números que utilizamos para contar.
ℕ = {1, 2, 3, . . . } Además, denotamos como: ℕ0= ℕ ∪ {0}
2. Los Números Enteros (ℤ). Es el conjunto formado por los números naturales, los
negativos de los naturales y el cero.
ℤ = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . . } Además, denotamos como:
ℤ+ = {1, 2, 3, . . . . }
ℤ− = {. . . , −3, −2, −1}
ℤ0+ = {0, 1, 2, 3, . . . . }
3. Los Números Racionales (ℚ). Es el conjunto cuyos elementos son el cociente de dos
números enteros. ℚ = {𝑎𝑎𝑏𝑏 ; 𝑎𝑎 ∈ ℤ, 𝑏𝑏 ∈ ℤ, 𝑏𝑏 ≠ 0} Si 𝑏𝑏 = 1, entonces 𝑎𝑎 1= 𝑎𝑎 Ejemplo 1.3 −3 5 = − 3 5 = −0,6 ; 7 −2 = − 7 2 = 3,5 ; 2 3 = 0,666 … = 0, 6̂; 712 = 0,58333 … = 0,583̂; 81 = 8
4. Los Números Irracionales (𝕀𝕀). Es el conjunto de números que se expresan como
decimales interminables con dígitos no repetidos, por lo que no puede representarse como el cociente de dos números enteros.
Ejemplo 1.4
𝕀𝕀 = {−√53 , 𝜋𝜋, 𝑒𝑒, √75 , 2,32845691 … , √2, … } donde 𝜋𝜋 = 3,141592. . . , 𝑒𝑒 = 2,718281. . ..
5. Los Números Reales (ℝ). Es el conjunto de números formado por todos los números
racionales e irracionales, es decir ℝ = ℚ ∪ 𝕀𝕀.
Ejemplo 1.5
𝐸𝐸 = {−5,638 ; √𝜋𝜋 ; 107 ; √63
; 𝑒𝑒3}
6. Los Números Complejos (ℂ). Es el conjunto de números que se pueden representar
de la forma 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏, donde 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 son números reales e 𝑏𝑏 = √−1 es la unidad imaginaria. ℂ = {𝑧𝑧; 𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏, 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ; 𝑏𝑏 = √−1 }
Si 𝑎𝑎 = 0 y 𝑏𝑏 ≠ 0 entonces 𝑧𝑧 es un número imaginario puro.
Si 𝑎𝑎 ≠ 0 y 𝑏𝑏 = 0 entonces 𝑧𝑧 es un número real.
Esquema de los Conjunto Numéricos
Representación Geométrica de los Números Reales
Se establece una correspondencia biunívoca entre los puntos sobre una línea recta y los números reales, esto es, que a cada punto le corresponde un número real y recíprocamente a cada número real le corresponde exactamente un punto de la recta.
Operaciones entre Conjuntos
Recordemos algunas operaciones que se pueden realizar entre conjuntos.
1. Unión (𝑨𝑨 ∪ 𝑩𝑩). La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por la agrupación
de todos los elementos de A con todos los elementos de B; se define por: 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = {𝑥𝑥 ; 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 ∨ 𝑥𝑥 ∈ 𝐵𝐵}
2. Intersección (𝑨𝑨 ∩ 𝑩𝑩). La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por
los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez; se define por: 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = {𝑥𝑥 ; 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 ∧ 𝑥𝑥 ∈ 𝐵𝐵}
NUMEROS COMPLEJOS
NUMEROS REALES IMAGINARIOS PUROS NUMEROS
NUMEROS
RACIONALES IRRACIONALES NUMEROS NUMEROS ENTEROS
ENTEROS NEGATIVOS CERO NUMEROS NATURALES
NUMERO REAL PUNTOS SOBRE LA RECTA CORRESPONDENCIA BIUNÍVOCA 0 -2 -3
e
π
1 2 3 -1 0.547
Análisis Matemático I con Geometría Analítica 47
Si 𝑎𝑎 ≠ 0 y 𝑏𝑏 = 0 entonces 𝑧𝑧 es un número real.
Esquema de los Conjunto Numéricos
Representación Geométrica de los Números Reales
Se establece una correspondencia biunívoca entre los puntos sobre una línea recta y los números reales, esto es, que a cada punto le corresponde un número real y recíprocamente a cada número real le corresponde exactamente un punto de la recta.
Operaciones entre Conjuntos
Recordemos algunas operaciones que se pueden realizar entre conjuntos.
1. Unión (𝑨𝑨 ∪ 𝑩𝑩). La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por la agrupación
de todos los elementos de A con todos los elementos de B; se define por: 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = {𝑥𝑥 ; 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 ∨ 𝑥𝑥 ∈ 𝐵𝐵}
2. Intersección (𝑨𝑨 ∩ 𝑩𝑩). La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por
los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez; se define por: 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = {𝑥𝑥 ; 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 ∧ 𝑥𝑥 ∈ 𝐵𝐵}
NUMEROS COMPLEJOS
NUMEROS REALES IMAGINARIOS PUROS NUMEROS
NUMEROS
RACIONALES IRRACIONALES NUMEROS NUMEROS ENTEROS
ENTEROS NEGATIVOS CERO NUMEROS NATURALES
NUMERO REAL PUNTOS SOBRE LA RECTA CORRESPONDENCIA BIUNÍVOCA 0 -2 -3
e
π
1 2 3 -1 0.53. Diferencia (𝑨𝑨 − 𝑩𝑩). La diferencia de dos conjuntos A y B (en dicho orden) es el conjunto
formado por los elementos de A que no pertenecen a B: se define por: 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 = {𝑥𝑥 ; 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 ∧ 𝑥𝑥 ∉ 𝐵𝐵}
4. Diferencia Simétrica (𝑨𝑨 △ 𝑩𝑩). La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto
formado por los elementos que pertenecen a A ó B, pero no a ambos; se define por: 𝐴𝐴 △ 𝐵𝐵 = {𝑥𝑥 ; 𝑥𝑥 ∈ (𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵) ∧ 𝑥𝑥 ∉ (𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)}
o también:
𝐴𝐴 △ 𝐵𝐵 = (𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵) − (𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) 𝐴𝐴 △ 𝐵𝐵 = (𝐴𝐴 − 𝐵𝐵) ∪ (𝐵𝐵 − 𝐴𝐴)
5. Complemento (𝑨𝑨′). El complemento de un conjunto A es el conjunto formado por los
elementos que pertenecen al conjunto universal U, pero no a A. Se denota por: 𝐴𝐴′, 𝐶𝐶(𝐴𝐴), 𝐴𝐴𝑐𝑐,
y se define por:
𝐴𝐴′ = {𝑥𝑥 ; 𝑥𝑥 ∈ 𝑈𝑈 ∧ 𝑥𝑥 ∉ 𝐴𝐴}
Ejemplo 1.6 Dados los conjuntos:
𝐴𝐴 = {(6 − 𝑥𝑥2 ) ∈ ℤ; 𝑥𝑥 ∈ ℕ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 4} ;2 𝐵𝐵 = {(𝑥𝑥 + 3) ∈ ℚ; 3𝑥𝑥4 3+ 2𝑥𝑥2− 𝑥𝑥 = 0} y 𝐶𝐶 = {𝑥𝑥 ∈ ℝ; (𝑥𝑥2+ 4)(𝑥𝑥2− 5)(𝑥𝑥2− 3𝑥𝑥 + 2) = 0} Halle: (𝐴𝐴 △ 𝐶𝐶) − (𝐵𝐵 △ 𝐶𝐶) Solución: i) En el conjunto A, se tiene: 𝑥𝑥 ∈ ℕ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 4 , por tanto 𝑥𝑥: 1; 2; 3; 4 −𝑥𝑥2: − 1; −4; −9; −16 6 − 𝑥𝑥2: 5; 2; −3; −10 6 − 𝑥𝑥2 2 ∶ 5 2 ; 1; − 3 2 ; −5 Cómo (6 − 𝑥𝑥2 ) ∈ ℤ, entonces: 𝐴𝐴 =2 { 1; −5 } ii) En el conjunto B, se tiene:
3𝑥𝑥3+ 2𝑥𝑥2− 𝑥𝑥 = 0 ↔ 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1)(3𝑥𝑥 − 1) = 0 𝑥𝑥: 0; −1; 13 4 𝑥𝑥 + 3 ∶ 4 3 ; 2 ; 6 5 Cómo (𝑥𝑥 + 3) ∈ ℚ, entonces: 𝐵𝐵 = {4 43 ; 2 ; 65} iii) En el conjunto C, se tiene:
(𝑥𝑥2+ 4)(𝑥𝑥2− 5)(𝑥𝑥2− 3𝑥𝑥 + 2) = 0 ↔ (𝑥𝑥2+ 4)(𝑥𝑥2− 5)(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 2) = 0 𝑥𝑥: 2𝑖𝑖 ; −2𝑖𝑖 ; √5 ; −√5 ; 1 ; 2 Cómo 𝑥𝑥 ∈ ℝ, entonces ∶ 𝐶𝐶 = {√5 ; −√5 ; 1 ; 2} iv) Luego: 𝐴𝐴 △ 𝐶𝐶 = (𝐴𝐴 ∪ 𝐶𝐶) − (𝐴𝐴 ∩ 𝐶𝐶) = {1; −5; √5 ; −√5 ; 2 } − {1} = {−5; √5 ; −√5 ; 2 } 𝐵𝐵 △ 𝐶𝐶 = (𝐵𝐵 ∪ 𝐶𝐶) − (𝐵𝐵 ∩ 𝐶𝐶) = {43 ; 2 ; 65 ; √5 ; −√5 ; 1 } −{2} = {43 ; 65 ; √5 ; −√5 ; 1 } Finalmente: (𝐴𝐴 △ 𝐶𝐶) − (𝐵𝐵 △ 𝐶𝐶) = {−5; 2 }