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ANÁLISIS MATEMÁTICO
I
ElbEr rogElio VEra rodriguEz - ana María zEla apaza
Análisis Matemático I con Geometría Analítica Lima: 2020; 250 p.
© Elber Rogelio Vera Rodriguez © Ana María Zela Apaza
© Universidad Nacional Agraria La Molina Av. La Molina s/n La Molina
Derechos reservados
ISBN digital: N° 978-612-4387-56-2 Primera edición: agosto de 2020 Diseño y diagramación:
Daniella Luna Barrios
Queda terminantemente prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, químico, óptico, incluyendo sistema de fotocopiado, sin autorización escrita del autor.
Todos los conceptos expresados en la presente obra son responsabilidad de los autores. UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA
Ph.D. ENRIqUE RICARDO FLORES MARIAzzA
Rector
Ph.D. JORGE ALFONSO ALARCóN NOVOA
Vicerrector Académico
DRA. CARMEN ELOíSA VELEzMORO SáNChEz
Vicerrectora de Investigación
JOSé CARLOS VILCAPOMA
Jefe del Fondo Editorial
PRÓLOGO
Este interesante texto trata de los principios del Análisis Matemático. Sus autores son los experimentados docentes del Departamento Académico de Matemática de la Universidad Nacional Agraria La Molina la Mg. Ana María Zela Apaza y el Mtro. Elber Vera Rodríguez, quiénes cuentan con una amplia experiencia docente en nuestro centro de labores.
He recibido el honor de redactar estas líneas, de parte de los autores, lo cual para mí me llena de mucho orgullo.
En el primer capítulo, se presentan los temas principales que se emplean en el desarrollo de los Números Reales, que son fundamentales para comprender posteriormente los demás conceptos.
En el segundo capítulo, se tratan a las Funciones, con una adecuada presentación en sus definiciones y en sus gráficas.
En el tercer capítulo, se ven los temas sobre Límites y Continuidad, dando inicio al análisis matemático propiamente dicho.
En el cuarto capítulo, se analizan los temas sobre Derivadas, concepto fundamental en la formación de todo estudiante de ciencias e ingeniería.
Además, cuenta al inicio con una breve introducción a la geometría analítica plana, muy adecuado para una rápida revisión.
Todos los temas se exponen con suma fluidez y claridad, sus ejemplos, son sumamente entendibles, y se dan una serie de problemas propuestos de forma gradual.
Este libro será de mucha ayuda para los estudiantes molineros.
Mg. José Oscar Vargas García Ex-Profesor Principal del Departamento Académico de Matemática Facultad de Ciencias. UNALM
PRÓLOGO
Este interesante texto trata de los principios del Análisis Matemático. Sus autores son los experimentados docentes del Departamento Académico de Matemática de la Universidad Nacional Agraria La Molina la Mg. Ana María Zela Apaza y el Mtro. Elber Vera Rodríguez, quiénes cuentan con una amplia experiencia docente en nuestro centro de labores.
He recibido el honor de redactar estas líneas, de parte de los autores, lo cual para mí me llena de mucho orgullo.
En el primer capítulo, se presentan los temas principales que se emplean en el desarrollo de los Números Reales, que son fundamentales para comprender posteriormente los demás conceptos.
En el segundo capítulo, se tratan a las Funciones, con una adecuada presentación en sus definiciones y en sus gráficas.
En el tercer capítulo, se ven los temas sobre Límites y Continuidad, dando inicio al análisis matemático propiamente dicho.
En el cuarto capítulo, se analizan los temas sobre Derivadas, concepto fundamental en la formación de todo estudiante de ciencias e ingeniería.
Además, cuenta al inicio con una breve introducción a la geometría analítica plana, muy adecuado para una rápida revisión.
Todos los temas se exponen con suma fluidez y claridad, sus ejemplos, son sumamente entendibles, y se dan una serie de problemas propuestos de forma gradual.
Este libro será de mucha ayuda para los estudiantes molineros.
Mg. José Oscar Vargas García Ex-Profesor Principal del Departamento Académico de Matemática Facultad de Ciencias. UNALM
PRÓLOGO
Este interesante texto trata de los principios del Análisis Matemático. Sus autores son los experimentados docentes del Departamento Académico de Matemática de la Universidad Nacional Agraria La Molina la Mg. Ana María Zela Apaza y el Mtro. Elber Vera Rodríguez, quiénes cuentan con una amplia experiencia docente en nuestro centro de labores.
He recibido el honor de redactar estas líneas, de parte de los autores, lo cual para mí me llena de mucho orgullo.
En el primer capítulo, se presentan los temas principales que se emplean en el desarrollo de los Números Reales, que son fundamentales para comprender posteriormente los demás conceptos.
En el segundo capítulo, se tratan a las Funciones, con una adecuada presentación en sus definiciones y en sus gráficas.
En el tercer capítulo, se ven los temas sobre Límites y Continuidad, dando inicio al análisis matemático propiamente dicho.
En el cuarto capítulo, se analizan los temas sobre Derivadas, concepto fundamental en la formación de todo estudiante de ciencias e ingeniería.
Además, cuenta al inicio con una breve introducción a la geometría analítica plana, muy adecuado para una rápida revisión.
Todos los temas se exponen con suma fluidez y claridad, sus ejemplos, son sumamente entendibles, y se dan una serie de problemas propuestos de forma gradual.
Este libro será de mucha ayuda para los estudiantes molineros.
Mg. José Oscar Vargas García Ex-Profesor Principal del Departamento Académico de Matemática Facultad de Ciencias. UNALM
PRÓLOGO
Este interesante texto trata de los principios del Análisis Matemático. Sus autores son los experimentados docentes del Departamento Académico de Matemática de la Universidad Nacional Agraria La Molina la Mg. Ana María Zela Apaza y el Mtro. Elber Vera Rodríguez, quiénes cuentan con una amplia experiencia docente en nuestro centro de labores.
He recibido el honor de redactar estas líneas, de parte de los autores, lo cual para mí me llena de mucho orgullo.
En el primer capítulo, se presentan los temas principales que se emplean en el desarrollo de los Números Reales, que son fundamentales para comprender posteriormente los demás conceptos.
En el segundo capítulo, se tratan a las Funciones, con una adecuada presentación en sus definiciones y en sus gráficas.
En el tercer capítulo, se ven los temas sobre Límites y Continuidad, dando inicio al análisis matemático propiamente dicho.
En el cuarto capítulo, se analizan los temas sobre Derivadas, concepto fundamental en la formación de todo estudiante de ciencias e ingeniería.
Además, cuenta al inicio con una breve introducción a la geometría analítica plana, muy adecuado para una rápida revisión.
Todos los temas se exponen con suma fluidez y claridad, sus ejemplos, son sumamente entendibles, y se dan una serie de problemas propuestos de forma gradual.
Este libro será de mucha ayuda para los estudiantes molineros.
Mg. José Oscar Vargas García Ex-Profesor Principal del Departamento Académico de Matemática Facultad de Ciencias. UNALM
PRÓLOGO
Este interesante texto trata de los principios del Análisis Matemático. Sus autores son los experimentados docentes del Departamento Académico de Matemática de la Universidad Nacional Agraria La Molina la Mg. Ana María Zela Apaza y el Mtro. Elber Vera Rodríguez, quiénes cuentan con una amplia experiencia docente en nuestro centro de labores.
He recibido el honor de redactar estas líneas, de parte de los autores, lo cual para mí me llena de mucho orgullo.
En el primer capítulo, se presentan los temas principales que se emplean en el desarrollo de los Números Reales, que son fundamentales para comprender posteriormente los demás conceptos.
En el segundo capítulo, se tratan a las Funciones, con una adecuada presentación en sus definiciones y en sus gráficas.
En el tercer capítulo, se ven los temas sobre Límites y Continuidad, dando inicio al análisis matemático propiamente dicho.
En el cuarto capítulo, se analizan los temas sobre Derivadas, concepto fundamental en la formación de todo estudiante de ciencias e ingeniería.
Además, cuenta al inicio con una breve introducción a la geometría analítica plana, muy adecuado para una rápida revisión.
Todos los temas se exponen con suma fluidez y claridad, sus ejemplos, son sumamente entendibles, y se dan una serie de problemas propuestos de forma gradual.
Este libro será de mucha ayuda para los estudiantes molineros.
Mg. José Oscar Vargas García Ex-Profesor Principal del Departamento Académico de Matemática Facultad de Ciencias. UNALM
PRÓLOGO
Este interesante texto trata de los principios del Análisis Matemático. Sus autores son los experimentados docentes del Departamento Académico de Matemática de la Universidad Nacional Agraria La Molina la Mg. Ana María Zela Apaza y el Mtro. Elber Vera Rodríguez, quiénes cuentan con una amplia experiencia docente en nuestro centro de labores.
He recibido el honor de redactar estas líneas, de parte de los autores, lo cual para mí me llena de mucho orgullo.
En el primer capítulo, se presentan los temas principales que se emplean en el desarrollo de los Números Reales, que son fundamentales para comprender posteriormente los demás conceptos.
En el segundo capítulo, se tratan a las Funciones, con una adecuada presentación en sus definiciones y en sus gráficas.
En el tercer capítulo, se ven los temas sobre Límites y Continuidad, dando inicio al análisis matemático propiamente dicho.
En el cuarto capítulo, se analizan los temas sobre Derivadas, concepto fundamental en la formación de todo estudiante de ciencias e ingeniería.
Además, cuenta al inicio con una breve introducción a la geometría analítica plana, muy adecuado para una rápida revisión.
Todos los temas se exponen con suma fluidez y claridad, sus ejemplos, son sumamente entendibles, y se dan una serie de problemas propuestos de forma gradual.
Este libro será de mucha ayuda para los estudiantes molineros.
Mg. José Oscar Vargas García Ex-Profesor Principal del Departamento Académico de Matemática Facultad de Ciencias. UNALM
v Análisis Matemático I con Geometría Analítica
Introducción
Conceptos básicos de la geometría analítica: punto, recta, circunferencia y cónicas
1. Números reales
1.1 Conjuntos numéricos
1.2 Definición axiomática del sistema de los números reales 1.3 Inecuaciones polinomiales y racionales
1.4 Inecuaciones con radicales 1.5 Inecuaciones con valor absoluto Ejercicios propuestos
2. Funciones
2.1. Definición de función y gráfica. Dominio y rango
2.2. Funciones especiales: polinómicas (constante, lineal, identidad, cuadrática, cúbica), función racional, función valor absoluto, función raíz cuadrada, función signo
2.3. Función inyectiva. Función inversa
2.4. Funciones trigonométricas directas e inversas. Función exponencial y logarítmica
2.5. Álgebra de funciones 2.6. Composición de funciones
2.7. Ecuaciones paramétricas y gráfica 2.8. Ejercicios y problemas propuestos
3. Límites
3.1 Límite de funciones reales de variable real, definición. Límites laterales 3.2 Teoremas relativos a los límites
3.3 Límites al infinito 3.4 Límites infinitos
3.5 Límites trigonométricos
3.6 Límites de funciones exponenciales y logarítmicas 3.7 Continuidad, discontinuidad: casos
3.8 Ejercicios propuestos vii 1 45 75 45 75 49 54 61 77 114 131 160 109 127 127 153 64 89 120 140 170 72 94 122 148 177
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN
Es sabido que la matemática juega un rol fundamental en la formación de los estudiantes universitarios, especialmente en los de ciencias e ingeniería, por lo que se incide mucho en que comprendan los conceptos y definiciones matemáticos, así como desarrollar la habilidad de poder aplicarlo a la realidad.
Con este fin, esta obra busca coadyuvar en lograr este propósito, presentando los temas de una forma entendible, didáctico, con ejemplos y ejercicios y problemas propuestos con respuesta, para el logro del aprendizaje.
Este libro fue escrito para ayudar a entender los temas del curso de Análisis Matemático I, que corresponde al primer curso de matemática que llevan los alumnos ingresantes a la UNALM y que está comprendido en la malla de los Estudios Generales de la Universidad. Asimismo, se incorpora una parte introductoria referida a la Geometría Analítica, que permitirá sintetizar y nivelar estos conceptos en los estudiantes, ya que son un requisito fundamental para un mejor desempeño en el curso.
En el capítulo I, se estudian principalmente las inecuaciones polinomiales, racionales, con radicales y con valor absoluto. Se dan los principales teoremas y se resuelven una serie de ejercicios combinados.
En el capítulo II, se aborda el estudio de las funciones, los tipos, sus gráficos y las operaciones que se pueden realizar con ellas.
En el capítulo III, se estudia uno de los pilares del análisis matemático que es el límite de una función. Es el tema que da inicio a la matemática superior. Se estudia principalmente, como calcular los diversos tipos de límites de una función y como determinar la continuidad de una función.
En el capítulo IV, se estudia otro concepto fundamental del análisis matemático, como es la derivada de una función. Su interpretación geométrica y la determinación de la derivabilidad de una función en cualquier punto. Asimismo, se hallará la derivada de diversos tipos de funciones, tanto en forma explícita como implícita, y también se hallarán derivadas de orden superior.
Esperamos que esta modesta obra pueda ayudar a los alumnos de Estudios Generales en su camino de aprendizaje y formación profesional. Es nuestro anhelo como docentes y educadores comprometidos en la enseñanza aprendizaje de nuestros alumnos.
Muchas gracias por su atención.
Los autores
4. Derivada de una función
4.1 Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto. Ecuación de la recta tangente y normal
4.2 Derivada por definición de una función 4.3 Derivadas laterales. Derivada y continuidad 4.4 Derivada de funciones algebraicas
4.5 Derivada de funciones trigonométricas directas
4.6 Derivada de la composición de funciones. Regla de la cadena 4.7 Derivada de funciones implícitas
4.8 Derivada de la función inversa
4.9 Derivada de funciones trigonométricas inversas 4.10 Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas 4.11 Derivada de orden superior
4.12 Derivada de ecuaciones paramétricas 4.13 Ejercicios y problemas propuestos
Referencias bibliográficas 211 196 228 181 191 222 181 214 200 234 185 217 203 236 242
vii Análisis Matemático I con Geometría Analítica
INTRODUCCIÓN
Es sabido que la matemática juega un rol fundamental en la formación de los estudiantes universitarios, especialmente en los de ciencias e ingeniería, por lo que se incide mucho en que comprendan los conceptos y definiciones matemáticos, así como desarrollar la habilidad de poder aplicarlo a la realidad.
Con este fin, esta obra busca coadyuvar en lograr este propósito, presentando los temas de una forma entendible, didáctico, con ejemplos y ejercicios y problemas propuestos con respuesta, para el logro del aprendizaje.
Este libro fue escrito para ayudar a entender los temas del curso de Análisis Matemático I, que corresponde al primer curso de matemática que llevan los alumnos ingresantes a la UNALM y que está comprendido en la malla de los Estudios Generales de la Universidad. Asimismo, se incorpora una parte introductoria referida a la Geometría Analítica, que permitirá sintetizar y nivelar estos conceptos en los estudiantes, ya que son un requisito fundamental para un mejor desempeño en el curso.
En el capítulo I, se estudian principalmente las inecuaciones polinomiales, racionales, con radicales y con valor absoluto. Se dan los principales teoremas y se resuelven una serie de ejercicios combinados.
En el capítulo II, se aborda el estudio de las funciones, los tipos, sus gráficos y las operaciones que se pueden realizar con ellas.
En el capítulo III, se estudia uno de los pilares del análisis matemático que es el límite de una función. Es el tema que da inicio a la matemática superior. Se estudia principalmente, como calcular los diversos tipos de límites de una función y como determinar la continuidad de una función.
En el capítulo IV, se estudia otro concepto fundamental del análisis matemático, como es la derivada de una función. Su interpretación geométrica y la determinación de la derivabilidad de una función en cualquier punto. Asimismo, se hallará la derivada de diversos tipos de funciones, tanto en forma explícita como implícita, y también se hallarán derivadas de orden superior.
Esperamos que esta modesta obra pueda ayudar a los alumnos de Estudios Generales en su camino de aprendizaje y formación profesional. Es nuestro anhelo como docentes y educadores comprometidos en la enseñanza aprendizaje de nuestros alumnos.
Muchas gracias por su atención.
CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA:
PUNTO, RECTA, CIRCUNFERENCIA Y CÓNICAS
“El gran objetivo del aprendizaje no es el conocimiento, sino la acción.” Herbet Spencer
PAR ORDENADO
Es un conjunto que tiene dos elementos (no necesariamente diferentes) en el cual interesa el ordenamiento de estos elementos también llamados componentes y se denota por (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) donde 𝑎𝑎 es la primera componente y 𝑏𝑏 es la segunda componente.
Propiedades del par ordenado
1. Dos pares ordenados son iguales si y solo si sus respectivos elementos son iguales. (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = (𝑐𝑐, 𝑑𝑑) si y solo si, 𝑎𝑎 = 𝑐𝑐 y 𝑏𝑏 = 𝑑𝑑
2. Como en un par ordenado, se toma en cuenta el orden entonces se cumple: (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = (𝑏𝑏, 𝑎𝑎) si y solo si 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 (no es conmutativo)
PRODUCTO CARTESIANO
Sean A y B dos conjuntos no vacíos, definimos el producto cartesiano de A y B, denotado por 𝐴𝐴 × 𝐵𝐵 en ese orden, al conjunto formado por todos los pares ordenados (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) tal que las primeras componentes pertenecen al conjunto A y las segundas componentes pertenecen al conjunto B. Esto es:
𝐴𝐴 × 𝐵𝐵 = {(𝑎𝑎, 𝑏𝑏); 𝑎𝑎 ∈ 𝐴𝐴 𝑦𝑦 𝑏𝑏 ∈ 𝐵𝐵}
Ejemplo 1 Sean los conjuntos 𝐴𝐴 = {1, 2, 3} y 𝐵𝐵 = {4, 6} , halle 𝐴𝐴 × 𝐵𝐵 y 𝐵𝐵 × 𝐴𝐴.
Solución:
𝐴𝐴 × 𝐵𝐵 = {(1, 4); (1, 6); (2, 4); (2, 6); (3, 4); (3, 6)} 𝐵𝐵 × 𝐴𝐴 = {(4, 1); (4, 2); (4, 3); (6, 1); (6, 2); (6, 3)} De esto, tenemos que 𝐴𝐴 × 𝐵𝐵 ≠ 𝐵𝐵 × 𝐴𝐴.
Propiedad: Sean los conjuntos A y B no vacíos y finitos, se cumple que:
𝐴𝐴 × 𝐵𝐵 ≠ 𝐵𝐵 × 𝐴𝐴 de donde:
𝐴𝐴 × 𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 × 𝐴𝐴 si y solo si 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 𝑛𝑛(𝐴𝐴 × 𝐵𝐵) = 𝑛𝑛(𝐴𝐴). 𝑛𝑛(𝐵𝐵)
1
CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA:
PUNTO, RECTA, CIRCUNFERENCIA Y CÓNICAS
“El gran objetivo del aprendizaje no es el conocimiento, sino la acción.” Herbet Spencer
PAR ORDENADO
Es un conjunto que tiene dos elementos (no necesariamente diferentes) en el cual interesa el ordenamiento de estos elementos también llamados componentes y se denota por (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) donde 𝑎𝑎 es la primera componente y 𝑏𝑏 es la segunda componente.
Propiedades del par ordenado
1. Dos pares ordenados son iguales si y solo si sus respectivos elementos son iguales. (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = (𝑐𝑐, 𝑑𝑑) si y solo si, 𝑎𝑎 = 𝑐𝑐 y 𝑏𝑏 = 𝑑𝑑
2. Como en un par ordenado, se toma en cuenta el orden entonces se cumple: (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = (𝑏𝑏, 𝑎𝑎) si y solo si 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 (no es conmutativo)
PRODUCTO CARTESIANO
Sean A y B dos conjuntos no vacíos, definimos el producto cartesiano de A y B, denotado por 𝐴𝐴 × 𝐵𝐵 en ese orden, al conjunto formado por todos los pares ordenados (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) tal que las primeras componentes pertenecen al conjunto A y las segundas componentes pertenecen al conjunto B. Esto es:
𝐴𝐴 × 𝐵𝐵 = {(𝑎𝑎, 𝑏𝑏); 𝑎𝑎 ∈ 𝐴𝐴 𝑦𝑦 𝑏𝑏 ∈ 𝐵𝐵}
Ejemplo 1 Sean los conjuntos 𝐴𝐴 = {1, 2, 3} y 𝐵𝐵 = {4, 6} , halle 𝐴𝐴 × 𝐵𝐵 y 𝐵𝐵 × 𝐴𝐴.
Solución:
𝐴𝐴 × 𝐵𝐵 = {(1, 4); (1, 6); (2, 4); (2, 6); (3, 4); (3, 6)} 𝐵𝐵 × 𝐴𝐴 = {(4, 1); (4, 2); (4, 3); (6, 1); (6, 2); (6, 3)} De esto, tenemos que 𝐴𝐴 × 𝐵𝐵 ≠ 𝐵𝐵 × 𝐴𝐴.
Propiedad: Sean los conjuntos A y B no vacíos y finitos, se cumple que:
𝐴𝐴 × 𝐵𝐵 ≠ 𝐵𝐵 × 𝐴𝐴 de donde:
𝐴𝐴 × 𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 × 𝐴𝐴 si y solo si 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 𝑛𝑛(𝐴𝐴 × 𝐵𝐵) = 𝑛𝑛(𝐴𝐴). 𝑛𝑛(𝐵𝐵)
En el caso que los conjuntos sean 𝐴𝐴 = ℝ y 𝐵𝐵 = ℝ tenemos el producto cartesiano ℝ × ℝ, que es el conjunto formado por los pares ordenados (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) tal que 𝑥𝑥 ∈ ℝ y 𝑦𝑦 ∈ ℝ, esto es:
ℝ × ℝ = ℝ2 = {(𝑥𝑥, 𝑦𝑦); 𝑥𝑥 ∈ ℝ , 𝑦𝑦 ∈ ℝ}
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
Se puede introducir un sistema coordenado cartesiano en un plano euclideano, considerando dos rectas perpendiculares que se intersecan en un punto llamado origen. La recta horizontal se llama eje 𝑋𝑋 o eje de las abscisas, la recta vertical se llama eje 𝑌𝑌 o eje de las ordenadas; estos ejes se denominan ejes coordenados y el plano 𝑋𝑋𝑌𝑌 .
Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro partes: I cuadrante, II cuadrante, III cuadrante y IV cuadrante.
Todo punto del plano pertenece a algún cuadrante y si este punto está contenido en un eje coordenado, se dice que no pertenece a ningún cuadrante.
La ubicación de un punto 𝑃𝑃 en el plano 𝑋𝑋𝑌𝑌 se dá a través de un par ordenado (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) donde 𝑥𝑥 es la distancia dirigida desde el eje 𝑌𝑌 al punto P, e 𝑦𝑦 es la distancia dirigida desde el eje 𝑋𝑋 al punto P. En el gráfico se tiene ubicado un punto de coordenadas (−2,1), esto significa que se encuentra a dos unidades a la izquierda del eje Y y a una unidad arriba del eje X.
Existe una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano 𝑋𝑋𝑌𝑌 y los pares ordenados (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ ℝ × ℝ = ℝ2, tal que, a cada punto 𝑃𝑃 del plano 𝑋𝑋𝑌𝑌 le corresponde un único par
ordenado (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ ℝ × ℝ = ℝ2 y a cada par ordenado (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ ℝ × ℝ = ℝ2 le corresponde un
único punto 𝑃𝑃 del plano 𝑋𝑋𝑌𝑌.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 X Y I Cuadrante II Cuadrante
III Cuadrante IV Cuadrante
(x,y)=(-2,1)
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Dados dos puntos 𝐴𝐴 y 𝐵𝐵 en el plano cartesiano 𝑋𝑋𝑋𝑋, la distancia del punto 𝐴𝐴 al punto 𝐵𝐵 está dada por la longitud del segmento de recta que las une.
Teorema. La distancia entre dos puntos 𝑃𝑃1 (𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1) y 𝑃𝑃2 (𝑥𝑥2, 𝑦𝑦2) está dada por
𝑑𝑑(𝑃𝑃1; 𝑃𝑃2) = √(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1)2 + (𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1)2
Ejemplo 2 Halle la distancia entre los puntos 𝐴𝐴(−2; 1) y 𝐵𝐵(4; 6).
Solución:
𝑑𝑑(𝐴𝐴; 𝐵𝐵) = √(4 + 2)2+ (6 − 1)2= √36 + 25 = √61 LA LÍNEA RECTA
Angulo de inclinación de una recta
Es el menor ángulo (𝛼𝛼) medido en sentido antihorario desde el eje positivo de las abscisas hasta la recta 𝐿𝐿. La variación de 𝛼𝛼 es 0° ≤ 𝛼𝛼 < 180°.
Pendiente de una recta
La pendiente 𝑚𝑚 o coeficiente angular de una recta L no paralela al eje 𝑋𝑋, es la tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación, es decir:
𝑚𝑚𝐿𝐿 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝛼𝛼) ; 𝑚𝑚 ∈ ℝ
de donde se deduce que 𝛼𝛼 = 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑚𝑚𝐿𝐿), donde 𝛼𝛼 es medido en radianes o en grados
sexagesimales.
Ejemplo 3 La pendiente de una recta L es 3, significa que la tangente del ángulo de inclinación
de la recta L es 3, es decir
𝑚𝑚𝐿𝐿 = 3 ⇔ 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝛼𝛼) = 3 ⇒ 𝛼𝛼 = 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(3)
Interpretación de la pendiente de una recta:
𝑚𝑚 > 0 ⇔ 0° < 𝛼𝛼 < 90° 𝑚𝑚 < 0 ⇔ 90° < 𝛼𝛼 < 180°
𝑚𝑚 = 0 ⇔ 𝛼𝛼 = 0° ∨ 𝛼𝛼 = 180° (la recta es paralela al eje 𝑋𝑋) 𝑚𝑚 → ±∞ ⇔ 𝛼𝛼 = 90° (la recta es paralela al eje 𝑋𝑋)
Cálculo de la pendiente de una recta cuando se conocen dos puntos de paso de esta:
i) Sean 𝑃𝑃1 (𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1) y 𝑃𝑃2 (𝑥𝑥2, 𝑦𝑦2) dos puntos de una recta 𝐿𝐿.
α
X
Y
3
Análisis Matemático I con Geometría Analítica 3
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Dados dos puntos 𝐴𝐴 y 𝐵𝐵 en el plano cartesiano 𝑋𝑋𝑋𝑋, la distancia del punto 𝐴𝐴 al punto 𝐵𝐵 está dada por la longitud del segmento de recta que las une.
Teorema. La distancia entre dos puntos 𝑃𝑃1 (𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1) y 𝑃𝑃2 (𝑥𝑥2, 𝑦𝑦2) está dada por
𝑑𝑑(𝑃𝑃1; 𝑃𝑃2) = √(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1)2 + (𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1)2
Ejemplo 2 Halle la distancia entre los puntos 𝐴𝐴(−2; 1) y 𝐵𝐵(4; 6).
Solución:
𝑑𝑑(𝐴𝐴; 𝐵𝐵) = √(4 + 2)2+ (6 − 1)2= √36 + 25 = √61 LA LÍNEA RECTA
Angulo de inclinación de una recta
Es el menor ángulo (𝛼𝛼) medido en sentido antihorario desde el eje positivo de las abscisas hasta la recta 𝐿𝐿. La variación de 𝛼𝛼 es 0° ≤ 𝛼𝛼 < 180°.
Pendiente de una recta
La pendiente 𝑚𝑚 o coeficiente angular de una recta L no paralela al eje 𝑋𝑋, es la tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación, es decir:
𝑚𝑚𝐿𝐿 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝛼𝛼) ; 𝑚𝑚 ∈ ℝ
de donde se deduce que 𝛼𝛼 = 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑚𝑚𝐿𝐿), donde 𝛼𝛼 es medido en radianes o en grados
sexagesimales.
Ejemplo 3 La pendiente de una recta L es 3, significa que la tangente del ángulo de inclinación
de la recta L es 3, es decir
𝑚𝑚𝐿𝐿 = 3 ⇔ 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝛼𝛼) = 3 ⇒ 𝛼𝛼 = 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(3)
Interpretación de la pendiente de una recta:
𝑚𝑚 > 0 ⇔ 0° < 𝛼𝛼 < 90° 𝑚𝑚 < 0 ⇔ 90° < 𝛼𝛼 < 180°
𝑚𝑚 = 0 ⇔ 𝛼𝛼 = 0° ∨ 𝛼𝛼 = 180° (la recta es paralela al eje 𝑋𝑋) 𝑚𝑚 → ±∞ ⇔ 𝛼𝛼 = 90° (la recta es paralela al eje 𝑋𝑋)
Cálculo de la pendiente de una recta cuando se conocen dos puntos de paso de esta:
i) Sean 𝑃𝑃1 (𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1) y 𝑃𝑃2 (𝑥𝑥2, 𝑦𝑦2) dos puntos de una recta 𝐿𝐿.
α
X
Y
ii) Se forma un triángulo rectángulo con 𝑃𝑃3 (𝑥𝑥2, 𝑦𝑦1) en donde se cumple que: 𝑚𝑚𝐿𝐿 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝛼𝛼) =𝑃𝑃3𝑃𝑃2 ̅̅̅̅̅̅ 𝑃𝑃1𝑃𝑃3 ̅̅̅̅̅̅ =𝑦𝑦𝑥𝑥22− 𝑦𝑦− 𝑥𝑥11= 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑡𝑡𝐷𝐷𝐷𝐷𝑡𝑡 𝑑𝑑𝐷𝐷 𝑜𝑜𝐷𝐷𝑑𝑑𝐷𝐷𝑡𝑡𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡𝑜𝑜 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝑡𝑡𝐷𝐷𝐷𝐷𝑡𝑡 𝑑𝑑𝐷𝐷 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑜𝑜𝐷𝐷𝐷𝐷𝑜𝑜𝑡𝑡𝑜𝑜 LA RECTA
La línea recta L, es el conjunto de aquellos puntos del plano cartesiano, tales que al ser tomados dos puntos diferentes cualesquiera para calcular su pendiente (𝑚𝑚), este valor resulta siempre constante.
Angulo entre dos rectas
Sean dos rectas no verticales 𝐿𝐿1 y 𝐿𝐿2 que se intersecan en un punto P con ángulos de
inclinación 𝛼𝛼1, 𝛼𝛼2 (𝛼𝛼2> 𝛼𝛼1) y con pendientes 𝑚𝑚1 y 𝑚𝑚2 respectivamente, entonces el ángulo
entre dos rectas medido a partir de 𝐿𝐿1 se define por:
𝜃𝜃 = 𝛼𝛼2− 𝛼𝛼1 , 𝛼𝛼2> 𝛼𝛼1
Tomando tangente a ambos lados tenemos:
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝛼𝛼2− 𝛼𝛼1)
Y
L
α
P2 P1 P3X
x1 x2 y1 y2α
2Y
L
2X
α
1L
1θ
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 =1 + 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝛼𝛼𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝛼𝛼2− 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝛼𝛼1 2. 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝛼𝛼1 y como 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝛼𝛼1= 𝑚𝑚𝐿𝐿1 y 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝛼𝛼2= 𝑚𝑚𝐿𝐿2, tenemos: 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 = 𝑚𝑚𝐿𝐿2− 𝑚𝑚𝐿𝐿1 1 + 𝑚𝑚𝐿𝐿2. 𝑚𝑚𝐿𝐿1En general, para cualquier ángulo 𝜃𝜃 y considerando el sentido antihorario, se tiene: 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 =1 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿− 𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿
𝐿𝐿𝐿𝐿. 𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿
donde:
𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿: pendiente del lado inicial (recta 𝐿𝐿1) del ángulo 𝜃𝜃.
𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿: pendiente del lado final (recta 𝐿𝐿2) del ángulo 𝜃𝜃.
Observaciones:
1. Si 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 > 0 entonces el ángulo 𝜃𝜃 entre 𝐿𝐿1 y 𝐿𝐿2 es agudo.
2. Si 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 < 0 entonces el ángulo 𝜃𝜃 entre 𝐿𝐿1 y 𝐿𝐿2 es obtuso.
3. Si 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 = 0 entonces el ángulo 𝜃𝜃 entre 𝐿𝐿1 y 𝐿𝐿2 mide 0° o 180°, es decir las rectas 𝐿𝐿1 y
𝐿𝐿2 son coincidentes o paralelas.
4. Si 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 → ∞ entonces el ángulo 𝜃𝜃 entre 𝐿𝐿1 y 𝐿𝐿2 mide 90°, es decir las rectas 𝐿𝐿1 y 𝐿𝐿2 son
perpendiculares.
5. Cuando se desconoce qué recta es la inicial o final se emplea la siguiente expresión: 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 = | 𝑚𝑚𝐿𝐿1− 𝑚𝑚𝐿𝐿2
1 + 𝑚𝑚𝐿𝐿1. 𝑚𝑚𝐿𝐿2
|
Rectas paralelas y rectas perpendiculares
Sean 𝐿𝐿1 y 𝐿𝐿2 dos rectas con pendientes 𝑚𝑚1 y 𝑚𝑚2 respectivamente.
Diremos que estas dos rectas son paralelas si sus ángulos de inclinación son iguales, por tanto:
𝛼𝛼1= 𝛼𝛼2 ⟹ 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝛼𝛼1= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝛼𝛼2 ⟹ 𝑚𝑚1= 𝑚𝑚2
Entonces, la condición necesaria y suficiente para que dos rectas 𝐿𝐿1 y 𝐿𝐿2 sean paralelas es
que tengan igual pendiente.
Diremos que estas dos rectas son perpendiculares si el ángulo que forman entre ellas mide 90°, por tanto: 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 =1 + 𝑚𝑚𝑚𝑚2− 𝑚𝑚1 1. 𝑚𝑚2→ ∞ ⟹ 1 + 𝑚𝑚1. 𝑚𝑚2 = 0 𝑚𝑚1. 𝑚𝑚2= −1 ⟹ 𝑚𝑚1 =−1𝑚𝑚 2 ∨ 𝑚𝑚2 = −1 𝑚𝑚1
Entonces, la condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean perpendiculares (𝐿𝐿1⊥
5
Análisis Matemático I con Geometría Analítica 5
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 =1 + 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝛼𝛼𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝛼𝛼2− 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝛼𝛼1
2. 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝛼𝛼1
y como 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝛼𝛼1= 𝑚𝑚𝐿𝐿1 y 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝛼𝛼2= 𝑚𝑚𝐿𝐿2, tenemos:
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 = 𝑚𝑚𝐿𝐿2− 𝑚𝑚𝐿𝐿1
1 + 𝑚𝑚𝐿𝐿2. 𝑚𝑚𝐿𝐿1
En general, para cualquier ángulo 𝜃𝜃 y considerando el sentido antihorario, se tiene: 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 =1 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿− 𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿
𝐿𝐿𝐿𝐿. 𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿
donde:
𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿: pendiente del lado inicial (recta 𝐿𝐿1) del ángulo 𝜃𝜃.
𝑚𝑚𝐿𝐿𝐿𝐿: pendiente del lado final (recta 𝐿𝐿2) del ángulo 𝜃𝜃.
Observaciones:
1. Si 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 > 0 entonces el ángulo 𝜃𝜃 entre 𝐿𝐿1 y 𝐿𝐿2 es agudo.
2. Si 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 < 0 entonces el ángulo 𝜃𝜃 entre 𝐿𝐿1 y 𝐿𝐿2 es obtuso.
3. Si 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 = 0 entonces el ángulo 𝜃𝜃 entre 𝐿𝐿1 y 𝐿𝐿2 mide 0° o 180°, es decir las rectas 𝐿𝐿1 y
𝐿𝐿2 son coincidentes o paralelas.
4. Si 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 → ∞ entonces el ángulo 𝜃𝜃 entre 𝐿𝐿1 y 𝐿𝐿2 mide 90°, es decir las rectas 𝐿𝐿1 y 𝐿𝐿2 son
perpendiculares.
5. Cuando se desconoce qué recta es la inicial o final se emplea la siguiente expresión: 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 = | 𝑚𝑚𝐿𝐿1− 𝑚𝑚𝐿𝐿2
1 + 𝑚𝑚𝐿𝐿1. 𝑚𝑚𝐿𝐿2
|
Rectas paralelas y rectas perpendiculares
Sean 𝐿𝐿1 y 𝐿𝐿2 dos rectas con pendientes 𝑚𝑚1 y 𝑚𝑚2 respectivamente.
Diremos que estas dos rectas son paralelas si sus ángulos de inclinación son iguales, por tanto:
𝛼𝛼1= 𝛼𝛼2 ⟹ 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝛼𝛼1= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝛼𝛼2 ⟹ 𝑚𝑚1= 𝑚𝑚2
Entonces, la condición necesaria y suficiente para que dos rectas 𝐿𝐿1 y 𝐿𝐿2 sean paralelas es
que tengan igual pendiente.
Diremos que estas dos rectas son perpendiculares si el ángulo que forman entre ellas mide 90°, por tanto: 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝜃𝜃 =1 + 𝑚𝑚𝑚𝑚2− 𝑚𝑚1 1. 𝑚𝑚2→ ∞ ⟹ 1 + 𝑚𝑚1. 𝑚𝑚2 = 0 𝑚𝑚1. 𝑚𝑚2= −1 ⟹ 𝑚𝑚1=−1𝑚𝑚 2 ∨ 𝑚𝑚2= −1 𝑚𝑚1
Entonces, la condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean perpendiculares (𝐿𝐿1⊥
FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA
La ecuación de una recta se puede presentar de diversas formas, dependiendo de cómo se ha obtenido y/o en qué forma se necesita tenerla, veamos:
I. FORMA PUNTO PENDIENTE
La recta que pasa por un punto dado 𝑃𝑃1(𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1) y tiene una pendiente dada como 𝑚𝑚, tiene por
ecuación:
𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑚𝑚(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1)
Prueba:
Sea 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) un punto genérico de la recta (representa a cualquier punto de la recta) y con el punto que nos dan 𝑃𝑃1(𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1), se debe cumplir, por definición de recta, que:
𝑚𝑚 =𝑦𝑦 − 𝑦𝑦𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1
1 ⟹ 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑚𝑚(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1)
Observaciones:
1. Si 𝑚𝑚 = 0 entonces la recta es horizontal y todos los puntos que la conforman tienen la misma ordenada. Su ecuación será:
𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 0 ⟹ 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦1
2. Si 𝑚𝑚 → ∞ entonces la recta es vertical y todos los puntos que la conforman tienen la misma abscisa. Su ecuación será:
𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1 = 0 ⟹ 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥1
3. De acuerdo a lo anterior, las ecuaciones de los ejes coordenados serán: 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑋𝑋 ∶ 𝑦𝑦 = 0 , 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑌𝑌 ∶ 𝑥𝑥 = 0
II. RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS
La recta que pasa por dos puntos dados 𝑃𝑃1(𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1) y 𝑃𝑃2(𝑥𝑥2, 𝑦𝑦2), tiene por ecuación:
𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1=𝑦𝑦𝑥𝑥2− 𝑦𝑦1 2− 𝑥𝑥1(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1) ∨ 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦2= 𝑦𝑦2− 𝑦𝑦1 𝑥𝑥2− 𝑥𝑥1(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2)
α
2Y
L
2X
α
1L
1m
1= m
2α
2Y
L
2X
α
1L
1m
1. m
2= -1
Prueba:Sea 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) un punto genérico de la recta; por definición de pendiente y de la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta, se tiene:
∗ 𝑃𝑃1(𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1) ∧ 𝑚𝑚 =𝑦𝑦𝑥𝑥2− 𝑦𝑦1 2− 𝑥𝑥1 ⟹ 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑦𝑦2− 𝑦𝑦1 𝑥𝑥2− 𝑥𝑥1(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1) ∗∗ 𝑃𝑃2(𝑥𝑥2, 𝑦𝑦2) ∧ 𝑚𝑚 =𝑦𝑦𝑥𝑥2− 𝑦𝑦1 2− 𝑥𝑥1 ⟹ 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦2= 𝑦𝑦2− 𝑦𝑦1 𝑥𝑥2− 𝑥𝑥1(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2)
III. FORMA PENDIENTE Y ORDENADA EN EL ORIGEN
La recta que tiene pendiente 𝑚𝑚 y ordenada en el origen 𝑏𝑏, (la ordenada del punto de intersección 𝐵𝐵(0, 𝑏𝑏) de la recta con el eje Y, se le conoce como ordenada en el origen), tiene por ecuación:
𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 Prueba:
Sea 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) un punto genérico de la recta, el punto de intersección que nos dan 𝐵𝐵(0, 𝑏𝑏) y con la pendiente dada 𝑚𝑚, se tiene de la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta:
𝑦𝑦 − 𝑏𝑏 = 𝑚𝑚(𝑥𝑥 − 0) ⟹ 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑏𝑏
Observaciones:
Si 𝑏𝑏 = 0 entonces 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 , la recta pasa por el origen de coordenadas. Si 𝑚𝑚 = 0 entonces 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏 , la recta es horizontal.
IV. ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA O FORMA COORDENADA EN EL ORIGEN
La recta cuyas intersecciones con los ejes X e Y son los puntos 𝐴𝐴(𝑎𝑎, 0) y 𝐵𝐵(0, 𝑏𝑏), con 𝑎𝑎 ≠ 0 y 𝑏𝑏 ≠ 0, (la abscisa 𝑎𝑎 del punto 𝐴𝐴 se le conoce como abscisa en el origen), tiene por ecuación:
𝑥𝑥 𝑎𝑎 +
𝑦𝑦 𝑏𝑏 = 1 Prueba:
Sea 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) un punto genérico de la recta, diferente de 𝐴𝐴 y 𝐵𝐵, y de la forma de la ecuación de una recta cuando pasa por dos puntos dados, se tiene:
𝐴𝐴(𝑎𝑎, 0) ∧ 𝑚𝑚 =𝑏𝑏 − 00 − 𝑎𝑎 ⟹ 𝑦𝑦 − 0 =𝑏𝑏 − 00 − 𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)
𝑦𝑦 = −𝑎𝑎𝑏𝑏(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) ⟹ 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑥𝑥(
1 𝑎𝑎𝑎𝑎)
⇒ 𝑥𝑥𝑎𝑎 +𝑦𝑦𝑏𝑏 = 1
V. FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA
La ecuación de una recta, en cualquiera de sus formas anteriores, es una ecuación lineal de dos variables, que se puede llevar a su forma general:
7
Análisis Matemático I con Geometría Analítica 7
Prueba:
Sea 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) un punto genérico de la recta; por definición de pendiente y de la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta, se tiene:
∗ 𝑃𝑃1(𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1) ∧ 𝑚𝑚 =𝑦𝑦𝑥𝑥2− 𝑦𝑦1 2− 𝑥𝑥1 ⟹ 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑦𝑦2− 𝑦𝑦1 𝑥𝑥2− 𝑥𝑥1(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1) ∗∗ 𝑃𝑃2(𝑥𝑥2, 𝑦𝑦2) ∧ 𝑚𝑚 =𝑦𝑦𝑥𝑥2− 𝑦𝑦1 2− 𝑥𝑥1 ⟹ 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦2= 𝑦𝑦2− 𝑦𝑦1 𝑥𝑥2− 𝑥𝑥1(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2)
III. FORMA PENDIENTE Y ORDENADA EN EL ORIGEN
La recta que tiene pendiente 𝑚𝑚 y ordenada en el origen 𝑏𝑏, (la ordenada del punto de intersección 𝐵𝐵(0, 𝑏𝑏) de la recta con el eje Y, se le conoce como ordenada en el origen), tiene por ecuación:
𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 Prueba:
Sea 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) un punto genérico de la recta, el punto de intersección que nos dan 𝐵𝐵(0, 𝑏𝑏) y con la pendiente dada 𝑚𝑚, se tiene de la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta:
𝑦𝑦 − 𝑏𝑏 = 𝑚𝑚(𝑥𝑥 − 0) ⟹ 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑏𝑏
Observaciones:
Si 𝑏𝑏 = 0 entonces 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 , la recta pasa por el origen de coordenadas. Si 𝑚𝑚 = 0 entonces 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏 , la recta es horizontal.
IV. ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA O FORMA COORDENADA EN EL ORIGEN
La recta cuyas intersecciones con los ejes X e Y son los puntos 𝐴𝐴(𝑎𝑎, 0) y 𝐵𝐵(0, 𝑏𝑏), con 𝑎𝑎 ≠ 0 y 𝑏𝑏 ≠ 0, (la abscisa 𝑎𝑎 del punto 𝐴𝐴 se le conoce como abscisa en el origen), tiene por ecuación:
𝑥𝑥 𝑎𝑎 +
𝑦𝑦 𝑏𝑏 = 1 Prueba:
Sea 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) un punto genérico de la recta, diferente de 𝐴𝐴 y 𝐵𝐵, y de la forma de la ecuación de una recta cuando pasa por dos puntos dados, se tiene:
𝐴𝐴(𝑎𝑎, 0) ∧ 𝑚𝑚 =𝑏𝑏 − 00 − 𝑎𝑎 ⟹ 𝑦𝑦 − 0 =𝑏𝑏 − 00 − 𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)
𝑦𝑦 = −𝑏𝑏𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) ⟹ 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑥𝑥(
1 𝑎𝑎𝑎𝑎)
⇒ 𝑥𝑥𝑎𝑎 +𝑦𝑦𝑏𝑏 = 1
V. FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA
La ecuación de una recta, en cualquiera de sus formas anteriores, es una ecuación lineal de dos variables, que se puede llevar a su forma general:
en donde 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 y 𝐶𝐶 son números reales, con 𝐴𝐴 y 𝐵𝐵 no nulos simultáneamente. Se pueden presentar los siguientes casos:
1. Si 𝐴𝐴 ≠ 0, 𝐵𝐵 ≠ 0 y 𝐶𝐶 ≠ 0, entonces en (𝛼𝛼), se tiene:
𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 = 0 ⟹ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = −𝐴𝐴𝐴𝐴 − 𝐶𝐶 ⟹ 𝐵𝐵 = (−𝐴𝐴𝐵𝐵) 𝐴𝐴 + (−𝐶𝐶𝐵𝐵) que presenta la forma 𝐵𝐵 = 𝑚𝑚𝐴𝐴 + 𝑏𝑏, de donde se tiene que:
𝑚𝑚 = −𝐴𝐴 𝐵𝐵 ∧ 𝑏𝑏 = − 𝐶𝐶 𝐵𝐵 2. Si 𝐴𝐴 ≠ 0, 𝐵𝐵 ≠ 0 y 𝐶𝐶 = 0, entonces en (𝛼𝛼), se tiene: 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 = 0 ⟹ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = −𝐴𝐴𝐴𝐴 ⟹ 𝐵𝐵 = −𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐴 que presenta la forma 𝐵𝐵 = 𝑚𝑚𝐴𝐴 , es decir que la recta pasa por el origen.
3. Si 𝐴𝐴 ≠ 0, 𝐵𝐵 = 0 y 𝐶𝐶 ≠ 0, entonces en (𝛼𝛼), se tiene:
𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐶𝐶 = 0 ⟹ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = −𝐶𝐶 ⟹ 𝐴𝐴 = −𝐶𝐶𝐴𝐴 que presenta la forma 𝐴𝐴 = ℎ , ℎ ∈ ℝ , es decir que la recta es vertical.
4. Si 𝐴𝐴 = 0, 𝐵𝐵 ≠ 0 y 𝐶𝐶 ≠ 0, entonces en (𝛼𝛼), se tiene:
𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 = 0 ⟹ 𝐵𝐵𝐵𝐵 = −𝐶𝐶 ⟹ 𝐵𝐵 = −𝐵𝐵𝐶𝐶 que presenta la forma 𝐵𝐵 = 𝑘𝑘 , 𝑘𝑘 ∈ ℝ , es decir que la recta es horizontal.
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
La distancia de un punto 𝑃𝑃0(𝐴𝐴0, 𝐵𝐵0) a una recta 𝐿𝐿: 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 = 0, es la longitud de la
perpendicular trazada desde el punto a la recta y está dada por: 𝑑𝑑(𝑃𝑃0; 𝐿𝐿) =|𝐴𝐴𝐴𝐴0+ 𝐵𝐵𝐵𝐵0+ 𝐶𝐶|
√𝐴𝐴2+ 𝐵𝐵2
DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS
La distancia entre las rectas paralelas
𝐿𝐿1: 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶1= 0 ∧ 𝐿𝐿2: 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶2= 0
es la longitud de la perpendicular trazada desde cualquier punto de una recta a la otra, y está dada por:
𝑑𝑑(𝐿𝐿1; 𝐿𝐿2) = |𝐶𝐶2− 𝐶𝐶1|
√𝐴𝐴2+ 𝐵𝐵2
Ejemplo 4 Una recta 𝐿𝐿1, que pasa por el origen de coordenadas y tiene un ángulo de
inclinación de 150°, se interseca con otra recta 𝐿𝐿2 que tiene ordenada en el origen igual a 2, y
forman entre sí un ángulo de 60°. Determine el punto de intersección de ambas rectas.
Solución:
i. Hallamos la ecuación de 𝐿𝐿1: como conocemos un punto de paso que es el origen (0,0) y su
pendiente que es igual a 𝑚𝑚 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 150° = −√31, y de acuerdo a la forma punto-pendiente de una recta, tenemos:
𝐿𝐿1: 𝑦𝑦 − 0 = − 1
√3(𝑥𝑥 − 0) → 𝑥𝑥 + √3𝑦𝑦 = 0
ii. De 𝐿𝐿2 solo conocemos su ordenada en el origen que es igual a 2, por tanto:
𝐿𝐿2: 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 2
iii. Además, 𝐿𝐿1 y 𝐿𝐿2 forman entre sí un ángulo de 60° , por lo que se cumple:
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 60° = | 𝑚𝑚𝐿𝐿1− 𝑚𝑚𝐿𝐿2 1 + 𝑚𝑚𝐿𝐿1. 𝑚𝑚𝐿𝐿2| ⟹ √3 = | −1 √3− 𝑚𝑚 1 + (−1 √3) 𝑚𝑚 | √3 = |−1 − √3𝑚𝑚 √3 − 𝑚𝑚 | ⟹ √3 = −1 − √3𝑚𝑚 √3 − 𝑚𝑚 ∨ −√3 = −1 − √3𝑚𝑚 √3 − 𝑚𝑚 3 − √3𝑚𝑚 = −1 − √3𝑚𝑚 ∨ −3 + √3𝑚𝑚 = −1 − √3𝑚𝑚 3 = −1 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∨ 2√3𝑚𝑚 = 2 ⟺ 𝑚𝑚 = 1 √3 entonces: 𝐿𝐿2: 𝑦𝑦 = 1 √3𝑥𝑥 + 2 ⟺ 𝑥𝑥 − √3𝑦𝑦 + 2√3 = 0
iv. Para hallar el punto de intersección de 𝐿𝐿1 y 𝐿𝐿2, resolvemos el sistema formado por ambas
ecuaciones:
Y
L
P
0d (P
0; L)
X
Y
L
2L
1d (L
1; L
2)
X
9
Análisis Matemático I con Geometría Analítica 9
Ejemplo 4 Una recta 𝐿𝐿1, que pasa por el origen de coordenadas y tiene un ángulo de
inclinación de 150°, se interseca con otra recta 𝐿𝐿2 que tiene ordenada en el origen igual a 2, y
forman entre sí un ángulo de 60°. Determine el punto de intersección de ambas rectas.
Solución:
i. Hallamos la ecuación de 𝐿𝐿1: como conocemos un punto de paso que es el origen (0,0) y su
pendiente que es igual a 𝑚𝑚 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 150° = −√31, y de acuerdo a la forma punto-pendiente de una recta, tenemos:
𝐿𝐿1: 𝑦𝑦 − 0 = − 1
√3(𝑥𝑥 − 0) → 𝑥𝑥 + √3𝑦𝑦 = 0
ii. De 𝐿𝐿2 solo conocemos su ordenada en el origen que es igual a 2, por tanto:
𝐿𝐿2: 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 2
iii. Además, 𝐿𝐿1 y 𝐿𝐿2 forman entre sí un ángulo de 60° , por lo que se cumple:
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 60° = | 𝑚𝑚𝐿𝐿1− 𝑚𝑚𝐿𝐿2 1 + 𝑚𝑚𝐿𝐿1. 𝑚𝑚𝐿𝐿2| ⟹ √3 = | −1 √3− 𝑚𝑚 1 + (−1 √3) 𝑚𝑚 | √3 = |−1 − √3𝑚𝑚 √3 − 𝑚𝑚 | ⟹ √3 = −1 − √3𝑚𝑚 √3 − 𝑚𝑚 ∨ −√3 = −1 − √3𝑚𝑚 √3 − 𝑚𝑚 3 − √3𝑚𝑚 = −1 − √3𝑚𝑚 ∨ −3 + √3𝑚𝑚 = −1 − √3𝑚𝑚 3 = −1 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∨ 2√3𝑚𝑚 = 2 ⟺ 𝑚𝑚 = 1 √3 entonces: 𝐿𝐿2: 𝑦𝑦 = 1 √3𝑥𝑥 + 2 ⟺ 𝑥𝑥 − √3𝑦𝑦 + 2√3 = 0
iv. Para hallar el punto de intersección de 𝐿𝐿1 y 𝐿𝐿2, resolvemos el sistema formado por ambas
ecuaciones:
Y
L
P
0d (P
0; L)
X
Y
L
2L
1d (L
1; L
2)
X
{ 𝐿𝐿1: 𝑥𝑥 + √3𝑦𝑦 = 0
𝐿𝐿2: 𝑥𝑥 − √3𝑦𝑦 + 2√3 = 0 ⟹ 2√3𝑦𝑦 − 2√3 = 0 ⟹ 𝑦𝑦 = 1 ∧ 𝑥𝑥 = −√3
∴ 𝑃𝑃(−√3 , 1)
Ejemplo 5 En un triángulo de vértices 𝐴𝐴(2, −2), 𝐵𝐵 y 𝐶𝐶, se traza desde vértices diferentes una
mediana y una altura, que están contenidas en las rectas 𝐿𝐿1: 12𝑥𝑥 − 7𝑦𝑦 + 13 = 0 y 𝐿𝐿2: 2𝑥𝑥 +
𝑦𝑦 + 2 = 0, respectivamente. Halle las coordenadas de los vértices 𝐵𝐵 y 𝐶𝐶.
Solución:
i. Por el vértice A pasa un lado del triángulo (supongamos 𝐴𝐴𝐵𝐵), que es perpendicular a la altura 𝐿𝐿2, así hallamos la pendiente de 𝐴𝐴𝐵𝐵:
𝐿𝐿𝐴𝐴𝐴𝐴 ⊥ 𝐿𝐿2∶ 𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 = −𝑚𝑚1 𝐿𝐿2= − 1 −2 = 1 2
y con el punto de paso 𝐴𝐴(2, −2), de la forma punto-pendiente de una recta, hallamos la ecuación que contiene a 𝐴𝐴𝐵𝐵:
𝐿𝐿𝐴𝐴𝐴𝐴: 𝑦𝑦 + 2 =12(𝑥𝑥 − 2) ⟺ 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 − 6 = 0
ii. El vértice B se obtendrá intersecando las rectas 𝐿𝐿𝐴𝐴𝐴𝐴 y 𝐿𝐿1:
{ 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐴𝐴𝐴𝐴: 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 − 6 = 0 1: 12𝑥𝑥 − 7𝑦𝑦 + 13 = 0 ⟺ { 𝐿𝐿𝐴𝐴𝐴𝐴: − 12𝑥𝑥 + 24𝑦𝑦 + 72 = 0 𝐿𝐿1: 12𝑥𝑥 − 7𝑦𝑦 + 13 = 0 17𝑦𝑦 + 85 = 0 ⟹ 𝑦𝑦 = −5 ; 𝑥𝑥 − 2(−5) − 6 = 0 ⟹ 𝑥𝑥 = −4 𝐵𝐵(−4, −5)
iii. El vértice 𝐶𝐶(𝑥𝑥𝐶𝐶, 𝑦𝑦𝐶𝐶) está contenido en la altura 𝐿𝐿2, y el punto medio de 𝐴𝐴𝐶𝐶 (llamémosle 𝑀𝑀)
está contenido en la mediana 𝐿𝐿1.
𝐶𝐶(𝑥𝑥𝐶𝐶, 𝑦𝑦𝐶𝐶) ∈ 𝐿𝐿2: 2𝑥𝑥𝐶𝐶+ 𝑦𝑦𝐶𝐶 + 2 = 0 … . (𝛼𝛼) 𝑀𝑀(𝑥𝑥𝑀𝑀, 𝑦𝑦𝑀𝑀) = 𝑀𝑀 (2 + 𝑥𝑥2 ,𝐶𝐶 −2 + 𝑦𝑦2 𝐶𝐶) ∈ 𝐿𝐿1: 12 (2 + 𝑥𝑥2 ) − 7 (𝐶𝐶 −2 + 𝑦𝑦2 𝐶𝐶) + 13 = 0 X Y L1 L2 60° 12 + 6𝑥𝑥𝐶𝐶+ 7 −72 𝑦𝑦𝐶𝐶+ 13 = 0 ⟺ 6𝑥𝑥𝐶𝐶−72 𝑦𝑦𝐶𝐶+ 32 = 0 … . (𝛽𝛽) Resolviendo (𝛼𝛼) y (𝛽𝛽): { 6𝑥𝑥2𝑥𝑥𝐶𝐶+ 𝑦𝑦𝐶𝐶+ 2 = 0 𝐶𝐶−72 𝑦𝑦𝐶𝐶+ 32 = 0 ⟺ { 7𝑥𝑥𝐶𝐶+72 𝑦𝑦𝐶𝐶+ 7 = 0 6𝑥𝑥𝐶𝐶−72 𝑦𝑦𝐶𝐶+ 32 = 0 13𝑥𝑥𝐶𝐶+ 39 = 0 ⟹ 𝑥𝑥𝐶𝐶 = −3 ; 2(−3) + 𝑦𝑦𝐶𝐶 + 2 = 0 ⟹ 𝑦𝑦𝐶𝐶 = 4 ∴ 𝐶𝐶(−3 ,4)
Ejemplo 6 Las rectas 𝐿𝐿1 (de ordenada en el origen igual a 5) y 𝐿𝐿2 son paralelas a la recta
𝐿𝐿: 5𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 − 12 = 0. Determine las ecuaciones de las rectas 𝐿𝐿1 y 𝐿𝐿2, si la distancia entre ellas
es igual a la mitad de la distancia del punto 𝐴𝐴(2, 4) a la recta 𝐿𝐿.
Solución:
i. Como: 𝐿𝐿1 // 𝐿𝐿2 // 𝐿𝐿 entonces se cumple que: 𝑚𝑚𝐿𝐿1= 𝑚𝑚𝐿𝐿2= 𝑚𝑚𝐿𝐿=53 y 𝑏𝑏1= 5 :
𝐿𝐿1: 𝑦𝑦 =53 𝑥𝑥 + 5 ⟺ 5𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 + 15 = 0
ii. Como 𝐿𝐿1 // 𝐿𝐿2 entonces:
𝐿𝐿2: 5𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 + 𝐶𝐶 = 0 iii. De la condición: 𝑑𝑑(𝐿𝐿1, 𝐿𝐿2) =12 𝑑𝑑(𝐴𝐴, 𝐿𝐿) | 𝐶𝐶 − 15 | √52+ (−3)2= 1 2 | 5(2) − 3(4) − 12 | √52+ (−3)2 ⟺ | 𝐶𝐶 − 15 | = 1 2|−14| X Y L1 L2 A(2,-2) X Y L1 L2 A(2,-2) B(-4,-5) C(-3,4) Altura Mediana
11
Análisis Matemático I con Geometría Analítica 11
12 + 6𝑥𝑥𝐶𝐶+ 7 −72 𝑦𝑦𝐶𝐶+ 13 = 0 ⟺ 6𝑥𝑥𝐶𝐶−72 𝑦𝑦𝐶𝐶+ 32 = 0 … . (𝛽𝛽) Resolviendo (𝛼𝛼) y (𝛽𝛽): { 6𝑥𝑥2𝑥𝑥𝐶𝐶 + 𝑦𝑦𝐶𝐶+ 2 = 0 𝐶𝐶−72 𝑦𝑦𝐶𝐶+ 32 = 0 ⟺ { 7𝑥𝑥𝐶𝐶+72 𝑦𝑦𝐶𝐶+ 7 = 0 6𝑥𝑥𝐶𝐶−72 𝑦𝑦𝐶𝐶+ 32 = 0 13𝑥𝑥𝐶𝐶+ 39 = 0 ⟹ 𝑥𝑥𝐶𝐶 = −3 ; 2(−3) + 𝑦𝑦𝐶𝐶 + 2 = 0 ⟹ 𝑦𝑦𝐶𝐶 = 4 ∴ 𝐶𝐶(−3 ,4)
Ejemplo 6 Las rectas 𝐿𝐿1 (de ordenada en el origen igual a 5) y 𝐿𝐿2 son paralelas a la recta
𝐿𝐿: 5𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 − 12 = 0. Determine las ecuaciones de las rectas 𝐿𝐿1 y 𝐿𝐿2, si la distancia entre ellas
es igual a la mitad de la distancia del punto 𝐴𝐴(2, 4) a la recta 𝐿𝐿.
Solución:
i. Como: 𝐿𝐿1 // 𝐿𝐿2 // 𝐿𝐿 entonces se cumple que: 𝑚𝑚𝐿𝐿1= 𝑚𝑚𝐿𝐿2= 𝑚𝑚𝐿𝐿=53 y 𝑏𝑏1= 5 :
𝐿𝐿1: 𝑦𝑦 =53 𝑥𝑥 + 5 ⟺ 5𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 + 15 = 0
ii. Como 𝐿𝐿1 // 𝐿𝐿2 entonces:
𝐿𝐿2: 5𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 + 𝐶𝐶 = 0 iii. De la condición: 𝑑𝑑(𝐿𝐿1, 𝐿𝐿2) =12 𝑑𝑑(𝐴𝐴, 𝐿𝐿) | 𝐶𝐶 − 15 | √52+ (−3)2= 1 2 | 5(2) − 3(4) − 12 | √52+ (−3)2 ⟺ | 𝐶𝐶 − 15 | = 1 2|−14| X Y L1 L2 A(2,-2) X Y L1 L2 A(2,-2) B(-4,-5) C(-3,4) Altura Mediana
𝐶𝐶 − 15 = 7 ⟹ 𝐶𝐶 = 22 ∨ 𝐶𝐶 − 15 = −7 ⟹ 𝐶𝐶 ′ = 8 iv. Luego las ecuaciones serán:
𝐿𝐿2: 5𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 + 22 = 0 ∨ 𝐿𝐿2′: 5𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 + 8 = 0
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Los vértices de un rectángulo de área igual a 21 𝑢𝑢2 son 𝐴𝐴(−5, 5), 𝐵𝐵, 𝐶𝐶 y 𝐷𝐷. Además, uno
de sus lados está contenido en la recta 𝐿𝐿1: 3𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = 0. Halle las ecuaciones de las rectas
que contienen a los otros lados del rectángulo.
Rpta.: 𝐿𝐿2: 3𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 + 35 = 0 ; 𝐿𝐿3: 4𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 + 5 = 0 ; 𝐿𝐿4: 4𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 + 20 = 0 ;
𝐿𝐿4′: 4𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 − 10 = 0
2. La recta 𝐿𝐿1, con ordenada en el origen positiva, es paralela a la recta 𝐿𝐿2: 3𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 6 = 0 y
dista de ella √13 unidades. Determine la distancia del punto 𝑃𝑃(1, 9) a la recta 𝐿𝐿1.
Rpta.: √1314 𝑢𝑢 3. Los lados de un triángulo están sobre las rectas de ecuaciones 𝑥𝑥3+𝑦𝑦4= −1 ; 𝑥𝑥 = 0 ; 𝑦𝑦 = 4. Determine las coordenadas de un punto interior al triángulo, tal que equidiste de sus lados y calcule esta longitud.
Rpta.: 𝑃𝑃 (−2, 2); 2 𝑢𝑢 4. Dos de los vértices opuestos de un rombo 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷, son los puntos 𝐴𝐴(3, 0) y 𝐶𝐶(−1, 2). Si la
longitud de la altura trazada desde 𝐴𝐴 es igual a 8/√5 u, halle los vértices 𝐵𝐵 y 𝐷𝐷.
Rpta.: 𝐵𝐵 (73,113) , 𝐷𝐷 (−13 ,−53) 5. Halle la ecuación de la recta que equidista de las rectas 𝐿𝐿1: 12𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 + 3 = 0 y 𝐿𝐿2: 24𝑥𝑥 −
10𝑦𝑦 − 12 = 0. Rpta.: 12𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 −92= 0 X Y L L1 A(2,4) L2 ' L2 LA CIRCUNFERENCIA
Definición: La circunferencia es el conjunto de puntos 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) del plano cartesiano tales que
se conservan siempre a una distancia constante de un punto fijo 𝐶𝐶(𝑥𝑥, 𝑦𝑦), llamado centro de la circunferencia. La distancia constante se llama radio y se denota por 𝑟𝑟 .
ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA I) Ecuación Ordinaria de la Circunferencia
La circunferencia cuyo centro es el punto 𝐶𝐶(ℎ, 𝑘𝑘) y cuyo radio es la constante 𝑟𝑟, tiene por ecuación:
𝒞𝒞: (𝑥𝑥 − ℎ)2+ (𝑦𝑦 − 𝑘𝑘)2= 𝑟𝑟2
Prueba:
i) Sea 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) un punto genérico de 𝒞𝒞 y 𝐶𝐶(ℎ, 𝑘𝑘) el centro de 𝒞𝒞. ii) Por definición de 𝒞𝒞:
𝑑𝑑(𝑃𝑃, 𝐶𝐶) = 𝑟𝑟
√(𝑥𝑥 − ℎ)2+ (𝑦𝑦 − 𝑘𝑘)2= 𝑟𝑟
iii) Elevando al cuadrado:
(𝑥𝑥 − ℎ)2+ (𝑦𝑦 − 𝑘𝑘)2= 𝑟𝑟2
Observación. Si el centro de la circunferencia está en el origen 𝐶𝐶(0, 0), la ecuación recibe el
nombre de forma canónica de la circunferencia. 𝒞𝒞: 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2= 𝑟𝑟2
II) Ecuación General de la Circunferencia
Si se desarrolla la ecuación ordinaria y se reordena: (𝑥𝑥 − ℎ)2+ (𝑦𝑦 − 𝑘𝑘)2= 𝑟𝑟2 X Y k h C(h,k) P(x,y) r (x-h)² + (y-k)² = r ²
ECUACIÓN ORDINARIA DE UNA CIRCUNFERENCIA
X Y C(0,0) P(x,y) r
ECUACIÓN CANÓNICA DE UNA CIRCUNFERENCIA x² + y² =r ²
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Análisis Matemático I con Geometría Analítica 13
LA CIRCUNFERENCIA
Definición: La circunferencia es el conjunto de puntos 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) del plano cartesiano tales que
se conservan siempre a una distancia constante de un punto fijo 𝐶𝐶(𝑥𝑥, 𝑦𝑦), llamado centro de la circunferencia. La distancia constante se llama radio y se denota por 𝑟𝑟 .
ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA I) Ecuación Ordinaria de la Circunferencia
La circunferencia cuyo centro es el punto 𝐶𝐶(ℎ, 𝑘𝑘) y cuyo radio es la constante 𝑟𝑟, tiene por ecuación:
𝒞𝒞: (𝑥𝑥 − ℎ)2+ (𝑦𝑦 − 𝑘𝑘)2= 𝑟𝑟2
Prueba:
i) Sea 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) un punto genérico de 𝒞𝒞 y 𝐶𝐶(ℎ, 𝑘𝑘) el centro de 𝒞𝒞. ii) Por definición de 𝒞𝒞:
𝑑𝑑(𝑃𝑃, 𝐶𝐶) = 𝑟𝑟
√(𝑥𝑥 − ℎ)2+ (𝑦𝑦 − 𝑘𝑘)2= 𝑟𝑟
iii) Elevando al cuadrado:
(𝑥𝑥 − ℎ)2+ (𝑦𝑦 − 𝑘𝑘)2= 𝑟𝑟2
Observación. Si el centro de la circunferencia está en el origen 𝐶𝐶(0, 0), la ecuación recibe el
nombre de forma canónica de la circunferencia. 𝒞𝒞: 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2= 𝑟𝑟2
II) Ecuación General de la Circunferencia
Si se desarrolla la ecuación ordinaria y se reordena: (𝑥𝑥 − ℎ)2+ (𝑦𝑦 − 𝑘𝑘)2= 𝑟𝑟2 X Y k h C(h,k) P(x,y) r (x-h)² + (y-k)² = r ²
ECUACIÓN ORDINARIA DE UNA CIRCUNFERENCIA
X Y C(0,0) P(x,y) r
ECUACIÓN CANÓNICA DE UNA CIRCUNFERENCIA x² + y² =r ²
𝑥𝑥2− 2ℎ𝑥𝑥 + ℎ2+ 𝑦𝑦2− 2𝑘𝑘𝑦𝑦 + 𝑘𝑘2= 𝑟𝑟2 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2+ (−2ℎ)⏟ 𝐷𝐷 𝑥𝑥 + (−2𝑘𝑘)⏟ 𝐸𝐸 𝑦𝑦 + (ℎ⏟ 2+ 𝑘𝑘2− 𝑟𝑟2) 𝐹𝐹 = 0 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2+ 𝐷𝐷𝑥𝑥 + 𝐸𝐸𝑦𝑦 + 𝐹𝐹 = 0 … . (∗)
Ahora ¿Toda ecuación escrita como (∗) representará siempre a una circunferencia?
Por ejemplo, la ecuación 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2+ 4𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 + 10 = 0, tiene la misma forma que (∗), entonces
¿representará a una circunferencia? o ¿existirán algunos criterios que nos permitan discernir si corresponde o no a una circunferencia? Veamos:
Si en (∗) completamos cuadrados y le damos forma, obtenemos:
𝑥𝑥2+ 𝐷𝐷𝑥𝑥 +𝐷𝐷2 4 + 𝑦𝑦2+ 𝐸𝐸𝑦𝑦 + 𝐸𝐸2 4 + 𝐹𝐹 − 𝐷𝐷2 4 − 𝐸𝐸2 4 = 0 (𝑥𝑥2+ 𝐷𝐷𝑥𝑥 +𝐷𝐷2 4 ) + (𝑦𝑦2+ 𝐸𝐸𝑦𝑦 + 𝐸𝐸2 4 ) = 𝐷𝐷2 4 + 𝐸𝐸2 4 − 𝐹𝐹 (𝑥𝑥 +𝐷𝐷 2) 2 + (𝑦𝑦 +𝐸𝐸 2) 2 =𝐷𝐷2+ 𝐸𝐸2− 4𝐹𝐹 4 … (#) Si comparamos (∗) y (#) tendremos:
1. Si 𝐷𝐷2+ 𝐸𝐸2− 4𝐹𝐹 > 0 entonces (#) representa la ecuación de una circunferencia con centro
en 𝐶𝐶 (−𝐷𝐷2, −𝐸𝐸2) y radio igual a 𝑟𝑟 =12√𝐷𝐷2+ 𝐸𝐸2− 4𝐹𝐹.
2. Si 𝐷𝐷2+ 𝐸𝐸2− 4𝐹𝐹 = 0 entonces (#) representa un punto de coordenadas (−𝐷𝐷 2, −
𝐸𝐸 2) .
3. Si 𝐷𝐷2+ 𝐸𝐸2− 4𝐹𝐹 < 0 entonces (#) no representa la ecuación de una circunferencia ni
ninguna curva real.
Ahora, del ejemplo 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2+ 4𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 + 15 = 0, calculamos:
𝐷𝐷2+ 𝐸𝐸2− 4𝐹𝐹 = 42+ 62− 4(15) < 0
entonces esta ecuación no representa ninguna circunferencia.
Eje radical
Es el conjunto de puntos del plano cartesiano tales que, si desde un mismo punto trazamos rectas tangentes a dos circunferencias no concéntricas, la longitud de estas será la misma. Sean dos circunferencias, tales como:
𝒞𝒞1: 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2+ 𝐷𝐷1𝑥𝑥 + 𝐸𝐸1𝑦𝑦 + 𝐹𝐹1= 0 ∧ 𝒞𝒞2: 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2+ 𝐷𝐷2𝑥𝑥 + 𝐸𝐸2𝑦𝑦 + 𝐹𝐹2= 0
Su eje radical será la recta:
ℒ𝐸𝐸𝐸𝐸: (𝐷𝐷1− 𝐷𝐷2)𝑥𝑥 + (𝐸𝐸1− 𝐸𝐸2)𝑦𝑦 + (𝐹𝐹1− 𝐹𝐹2) = 0
Posiciones relativas de dos circunferencias y de su eje radical
Sean dos circunferencias 𝒞𝒞1 y 𝒞𝒞2, con centros 𝐶𝐶1 , 𝐶𝐶2, y radios 𝑟𝑟1 , 𝑟𝑟2 respectivamente, y sea
𝑑𝑑 = 𝑑𝑑(𝐶𝐶1, 𝐶𝐶2) la distancia entre sus centros, entonces se pueden presentar los siguientes
casos:
A. Circunferencias Secantes:
𝑑𝑑 < 𝑟𝑟1+ 𝑟𝑟2 B. Circunferencias Exteriores
𝑑𝑑 > 𝑟𝑟1+ 𝑟𝑟2
C. Circunferencias Tangentes Exteriores
𝑑𝑑 = 𝑟𝑟1+ 𝑟𝑟2 𝒞𝒞1 𝒞𝒞2 𝐶𝐶1 𝐿𝐿𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐶𝐶2 𝑑𝑑 𝑟𝑟1 𝑟𝑟2 𝒞𝒞1 𝒞𝒞2 𝐶𝐶1 𝐿𝐿𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐶𝐶2 𝑑𝑑 𝑟𝑟1 𝑟𝑟2 𝒞𝒞1 𝒞𝒞2 𝐶𝐶1 𝐿𝐿𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐶𝐶2 𝑑𝑑 𝑟𝑟1 𝑟𝑟2
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Análisis Matemático I con Geometría Analítica 15
Posiciones relativas de dos circunferencias y de su eje radical
Sean dos circunferencias 𝒞𝒞1 y 𝒞𝒞2, con centros 𝐶𝐶1 , 𝐶𝐶2, y radios 𝑟𝑟1 , 𝑟𝑟2 respectivamente, y sea
𝑑𝑑 = 𝑑𝑑(𝐶𝐶1, 𝐶𝐶2) la distancia entre sus centros, entonces se pueden presentar los siguientes
casos:
A. Circunferencias Secantes:
𝑑𝑑 < 𝑟𝑟1+ 𝑟𝑟2 B. Circunferencias Exteriores
𝑑𝑑 > 𝑟𝑟1+ 𝑟𝑟2
C. Circunferencias Tangentes Exteriores
𝑑𝑑 = 𝑟𝑟1+ 𝑟𝑟2 𝒞𝒞1 𝒞𝒞2 𝐶𝐶1 𝐿𝐿𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐶𝐶2 𝑑𝑑 𝑟𝑟1 𝑟𝑟2 𝒞𝒞1 𝒞𝒞2 𝐶𝐶1 𝐿𝐿𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐶𝐶2 𝑑𝑑 𝑟𝑟1 𝑟𝑟2 𝒞𝒞1 𝒞𝒞2 𝐶𝐶1 𝐿𝐿𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐶𝐶2 𝑑𝑑 𝑟𝑟1 𝑟𝑟2
D. Circunferencias Tangentes Interiores:
𝑑𝑑 = 𝑟𝑟1− 𝑟𝑟2 ; 𝑟𝑟1> 𝑟𝑟2
Ejemplo 7 Halle la ecuación ordinaria de la circunferencia que pase por los puntos 𝑃𝑃(1, 2),
𝑄𝑄(3, 6) y 𝑅𝑅(5, −2).
Solución:
i. Para hallar la ecuación ordinaria de una circunferencia se necesita conocer su centro y su radio. Ahora, si asociamos los puntos de paso de la circunferencia con los tres vértices de un triángulo 𝑃𝑃𝑄𝑄𝑅𝑅, entonces tendríamos que hallar el circuncentro (que es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo) y luego calcular la distancia desde este punto a cualquiera de los vértices.
ii. Hallamos 𝑀𝑀 y 𝑁𝑁, que son los puntos medios de 𝑃𝑃𝑄𝑄 y 𝑄𝑄𝑅𝑅 respectivamente, y luego trazamos las rectas 𝐿𝐿1 y 𝐿𝐿2 que pasan por estos puntos y son mediatrices de 𝑃𝑃𝑄𝑄 y 𝑄𝑄𝑅𝑅.
𝑀𝑀 (1 + 32 ,2 + 62 ) = 𝑀𝑀(2, 4) ∧ 𝑁𝑁 (3 + 52 ,6 + (−2)2 ) = 𝑁𝑁(4, 2)
𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 =6 − 23 − 1 = 2 ⇒ 𝑚𝑚𝐿𝐿1= −2 ∧ 𝑚𝑚1 𝑃𝑃𝑄𝑄 =−2 − 65 − 3 = −4 ⇒ 𝑚𝑚𝐿𝐿2=14
𝐿𝐿1: 𝑦𝑦 − 4 = −12(𝑥𝑥 − 2) ⟺ 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 10 = 0
𝐿𝐿2: 𝑦𝑦 − 2 =14(𝑥𝑥 − 4) ⟺ 𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 + 4 = 0
iii. El circuncentro es el centro 𝐶𝐶(ℎ, 𝑘𝑘) de la circunferencia circunscrita al triángulo 𝑃𝑃𝑄𝑄𝑅𝑅. 𝐶𝐶(ℎ, 𝑘𝑘) ∈ 𝐿𝐿1∩ 𝐿𝐿2∶ { 𝐿𝐿𝐿𝐿1: 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 10 = 0 2: 𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 + 4 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = 16 3 ∧ 𝑦𝑦 = 7 3 ⇒ 𝐶𝐶 ( 16 3 , 7 3 ) iv. El radio será la distancia desde este punto 𝐶𝐶 a cualquiera de los vértices:
𝑟𝑟 = 𝑑𝑑(𝐶𝐶, 𝑃𝑃) = √(163 − 1)2+ (73 − 2)2= √(133 )2+ (13)2= √1709 v. Finalmente: 𝒞𝒞: (𝑥𝑥 −16 3 ) 2 + (𝑦𝑦 −7 3) 2 =170 9 𝒞𝒞1 𝒞𝒞2 𝐶𝐶1 𝐿𝐿𝐸𝐸𝑄𝑄 𝐶𝐶2 𝑑𝑑 𝑟𝑟1 𝑟𝑟2
Ejemplo 8 Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto 𝐴𝐴(7, 15) y es tangente
a la circunferencia 𝒞𝒞: 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2− 2𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 − 20 = 0 en el punto 𝐵𝐵(4, 6). Solución:
i. Sea 𝒞𝒞𝐴𝐴 la circunferencia pedida. El radio de 𝒞𝒞𝐴𝐴 es igual a:
𝑟𝑟𝐴𝐴= 𝑑𝑑(𝐶𝐶𝐴𝐴, 𝐴𝐴) = 𝑑𝑑(𝐶𝐶𝐴𝐴, 𝐵𝐵)
√(ℎ − 7)2+ (𝑘𝑘 − 15)2= √(ℎ − 4)2+ (𝑘𝑘 − 6)2
ℎ2− 14ℎ + 49 + 𝑘𝑘2− 30𝑘𝑘 + 225 = ℎ2− 8ℎ + 16 + 𝑘𝑘2− 12𝑘𝑘 + 36
6ℎ + 18𝑘𝑘 − 222 = 0 ⟺ ℎ + 3𝑘𝑘 − 37 = 0 … (1)
ii. La recta que une los centros de las circunferencias 𝒞𝒞 y 𝒞𝒞𝐴𝐴 pasa por su punto de tangencia
𝐵𝐵(4, 6). 𝒞𝒞: 𝐶𝐶 (−𝐷𝐷 2 , − 𝐸𝐸 2) = 𝐶𝐶 (− −2 2 , − −4 2 ) = 𝐶𝐶(1, 2) 𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶: 𝑦𝑦 − 2 =6 − 24 − 1(𝑥𝑥 − 1) ⟺ 4𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 + 2 = 0 𝒞𝒞𝐴𝐴: 𝐶𝐶𝐴𝐴(ℎ, 𝑘𝑘) ∈ 𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶 4ℎ − 3𝑘𝑘 + 2 = 0 … (2)
iii. Resolviendo (1) y (2) se obtiene:
{ ℎ + 3𝑘𝑘 − 37 = 04ℎ − 3𝑘𝑘 + 2 = 0 ⇒ ℎ = 7 , 𝑘𝑘 = 10 ⇒ 𝐶𝐶𝐴𝐴(7,10) 𝑟𝑟𝐴𝐴= 𝑑𝑑(𝐶𝐶𝐴𝐴, 𝐴𝐴) = √(7 − 7)2+ (15 − 10)2= 5 ∴ 𝒞𝒞𝐴𝐴: (𝑥𝑥 − 7)2+ (𝑦𝑦 − 10)2= 25 X Y C(16/3, 7/3) P (1,2) Q (3,6) R (5,-2) L1 L2
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Análisis Matemático I con Geometría Analítica 17
Ejemplo 8 Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto 𝐴𝐴(7, 15) y es tangente
a la circunferencia 𝒞𝒞: 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2− 2𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 − 20 = 0 en el punto 𝐵𝐵(4, 6). Solución:
i. Sea 𝒞𝒞𝐴𝐴 la circunferencia pedida. El radio de 𝒞𝒞𝐴𝐴 es igual a:
𝑟𝑟𝐴𝐴 = 𝑑𝑑(𝐶𝐶𝐴𝐴, 𝐴𝐴) = 𝑑𝑑(𝐶𝐶𝐴𝐴, 𝐵𝐵)
√(ℎ − 7)2+ (𝑘𝑘 − 15)2= √(ℎ − 4)2+ (𝑘𝑘 − 6)2
ℎ2− 14ℎ + 49 + 𝑘𝑘2− 30𝑘𝑘 + 225 = ℎ2− 8ℎ + 16 + 𝑘𝑘2− 12𝑘𝑘 + 36
6ℎ + 18𝑘𝑘 − 222 = 0 ⟺ ℎ + 3𝑘𝑘 − 37 = 0 … (1)
ii. La recta que une los centros de las circunferencias 𝒞𝒞 y 𝒞𝒞𝐴𝐴 pasa por su punto de tangencia
𝐵𝐵(4, 6). 𝒞𝒞: 𝐶𝐶 (−𝐷𝐷 2 , − 𝐸𝐸 2) = 𝐶𝐶 (− −2 2 , − −4 2 ) = 𝐶𝐶(1, 2) 𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶: 𝑦𝑦 − 2 =6 − 24 − 1(𝑥𝑥 − 1) ⟺ 4𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 + 2 = 0 𝒞𝒞𝐴𝐴: 𝐶𝐶𝐴𝐴(ℎ, 𝑘𝑘) ∈ 𝐿𝐿𝐶𝐶𝐶𝐶 4ℎ − 3𝑘𝑘 + 2 = 0 … (2)
iii. Resolviendo (1) y (2) se obtiene:
{ ℎ + 3𝑘𝑘 − 37 = 04ℎ − 3𝑘𝑘 + 2 = 0 ⇒ ℎ = 7 , 𝑘𝑘 = 10 ⇒ 𝐶𝐶𝐴𝐴(7,10) 𝑟𝑟𝐴𝐴= 𝑑𝑑(𝐶𝐶𝐴𝐴, 𝐴𝐴) = √(7 − 7)2+ (15 − 10)2= 5 ∴ 𝒞𝒞𝐴𝐴: (𝑥𝑥 − 7)2+ (𝑦𝑦 − 10)2= 25 X Y C(16/3, 7/3) P (1,2) Q (3,6) R (5,-2) L1 L2
