Tiempo de acoplamiento Durante el proceso de acoplamiento, cada eje ejerce un par torsor sobre el otro, que finalmente transmite el embrague o freno a
11. Consideraciones para el diseño de embragues y frenos 53
través de fuerzas de fricción. Las fuerzas de rozamiento sobre ambos elementos del embrague o freno deben ser iguales y de sentido opuesto, por lo que el par que ejerce un eje sobre el otro es igual y de distinto signo al que ejerce el segundo sobre el primero. Si además la fuerza de accionamiento es constante durante todo el proceso, este par será también constante.
Las ecuaciones diferenciales que rigen el rozamiento de ambos ejes son: I1θ¨1= −T ; I2θ¨2= T.
Integrando con respecto al tiempo y tomando como origen de tiempos el momento de accionar el acoplamiento, se tiene:
˙ θ1= − T I1 t+ ω1; θ˙2= − T I2 t+ ω2.
El proceso finalizará cuando ˙θ1= ˙θ2, con lo que el tiempo de acoplamiento será:
ta =
I1I2
I1+ I2 ·
ω1− ω2
T .
Para el caso particular de un freno, ω2 = 0 e I2 → ∞, por lo que el tiempo de
frenado hasta la detención sería: tf a=
I1ω1
T ,
y, si el freno no se acciona hasta la parada, sino que actúa durante un tiempo t0< ta, la velocidad final resultante sería:
ω10= ˙θ1(t0) = −
T I1
t0.
La velocidad de rotación de ambos ejes, una vez finalizado el proceso de acoplamiento, será: ω= I1 I1+ I2 ω1= − I1+ I2 ω 2.
Energía disipada en el acoplamiento y elevación de la temperatura La po- tencia instantánea disipada durante el proceso de acoplamiento será la perdida por el eje 1 menos la ganada por el 2, y se puede expresar como:
U = T ˙θ1− ˙θ2 = T (ω1− ω2) − T I1+ I2 I1I2 t .
La energía disipada en el proceso de acoplamiento será la integral de la potencia, extendida al intervalo de tiempo que dura el acoplamiento, i.e.,
E= Z ta 0 T (ω1− ω2) − T I1+ I2 I1I2 t dt= T (ω1− ω2)ta− T2 I1+ I2 I1I2 · t2a 2,
54 12. Rodamientos
y, teniendo en cuenta que T ta =II11+II22(ω1− ω2)
2 , se tiene: E= 1 2 I1I2 I1+ I2 (ω1− ω2)2.
En el caso de un freno accionado hasta la detención, la energía disipada sería Ef = 12I1ω12.
Esta disipación de energía ocasionará una elevación de la temperatura en el embrague o freno, que vendrá dada por: ∆T = E
Cm. Una vez producido el
calentamiento, el proceso de enfriamiento se rige por la ecuación diferencial: mCdT
dt = −uA(T − T0),
donde u es el coeficiente global de transmisión, A el área de transferencia de calor y T0 la temperatura ambiente. Si se integra esa ecuación, resulta que la
temperatura en un instante posterior a la finalización del acoplamiento vendrá dada por:
T(t) − T0= (Ti− T0)e−
Au mCt.
Estas consideraciones tienen importancia para el diseño por el hecho de que los materiales de fricción pierden sus propiedades —al menos parcialmente— si la temperatura sobrepasa ciertos límites. Cojinetes de rodadura
12.
Rodamientos
Tipos de rodamientos Los cojinetes de contacto rodante, también llamados cojinetes de rodadura o rodamientos, son elementos de soporte de ejes de trans- misión que presentan la característica de que el movimiento relativo entre el eje y la bancada de la máquina se realiza a través de elementos que se mueven respecto de los anteriores con movimiento de rodadura, en principio sin desliza- miento. La fricción en este tipo de rodamientos es muy pequeña, despreciable en la práctica.
Los rodamientos constan de tres elementos fundamentales: los anillos in- terno y externo y los elementos rodantes —bolas o rodillos—. Los anillos interno y externo van fijados al eje y a la bancada de la máquina. Ambos tienen prac- ticadas unas ranuras, llamadas pistas de rodadura, por las que ruedan las bolas o rodillos. Con frecuencia, incorporan también unos separadores que impiden el contacto entre ellos.
Atendiendo al tipo de elemento rodante, los rodamientos pueden ser de bolas o de rodillos. En este último caso, pueden ser de rodillos cilíndricos o cónicos. Cuando los rodillos son de muy pequeño diámetro, se llaman cojinetes de agujas. Pueden también tener más de una fila de bolas o rodillos.
Según la función para la que están concebidos, los rodamientos pueden ser radiales o de empuje. Los primeros están pensados para soportar carga radial y los últimos para soportar carga axial. Los cojinetes de bolas, no obstante, son
12. Rodamientos 55
capaces de soportar cierta carga axial, a diferencia de los rodillos cilíndricos, que no soportan carga de empuje alguna. Los cojinetes de rodillos cónicos soportan siempre carga radial y de empuje; para ello están concebidos.
Duración y fiabilidad Durante el funcionamiento de un cojinete de rodadura, y por efecto de la carga a la que está sometido, se producen esfuerzos de con- tacto entre las pistas de rodadura y los elementos rodantes. Este tipo de carga es origen del fenómeno conocido como picadura, que consiste en el desprendi- miento de pequeñas partículas de material, en forma de conos. La picadura es decida a la fatiga del material causada por las tensiones de cortadura que se presenta en zonas próximas a la superficie y que, tras cierto número de ciclos de carga, originan una grieta que se propaga hasta la superficie, causando el desprendimiento del material.
El fallo por picadura no es catastrófico: la pieza puede seguir trabajando después de picada; no obstante, empeora el contacto —lo que se traduce en un descenso del rendimiento de la transmisión— y, en el caso de los rodamientos, aparece un golpeteo de las bolas o rodillos con las pistas de rodadura, que induce niveles de ruido y vibración que pueden llegar a ser inadmisibles. Se considera que se ha producido el fallo cuando aparece dañada un área de 6,5 mm2.
La duración o vida útil de un cojinete se define como el número total de revoluciones del eje que soporta el cojinete hasta la aparición del fallo por pica- dura; se expresa en millones de ciclos o revoluciones. A veces, la duración viene indicada en horas de funcionamiento a un determinado régimen de giro del eje, en cuyo caso se designa por N . En cualquier caso, dos cojinetes idénticos some- tidos a la misma carga no durarán, en general, el mismo número de ciclos. Si se repitiera un mismo ensayo para un número significativo de cojinetes iguales, se obtendría una distribución de duraciones hasta el fallo. En otras palabras, un cojinete de la serie tendrá una determinada probabilidad de supervivencia para un cierto número de ciclos de carga, y otra probabilidad de supervivencia para el mismo número de ciclos. Por tanto, para que una duración tenga sig- nificado, hay que saber a qué probabilidad de supervivencia se refiere. Por eso, al símbolo L con el que se designa la duración de un rodamiento se le añade un subíndice numérico r. Por ejemplo, si la vida L6 de un tipo de rodamientos
ante determinadas condiciones de carga es de 10 Mrev, cabe esperar que, tras esos 10 millones de revoluciones, haya fallado por picadura el 6 por ciento de los rodamientos y haya sobrevivido el 94 por ciento. De este modo, la duración Lr de un rodamiento determinado es la duración para una fiabilidad:
R= 1 − r 100.
A la duración L10 se le llama duración nominal y a la L50 duración mediana o
promedio.
La duración y la fiabilidad estarán relacionadas por una distribución estadís- tica que se ha de determinar mediante ensayos. Se comprueba que corresponde a una distribución de Weibull que se puede expresar mediante la siguiente ecuación: para una vida nominal de L10 Mrev, la fiabilidad correspondiente a
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una duración de LrMrev es:
ln R = − 1 u Lr L10 − r w ,
donde u, v y w son los parámetros de Weibull.
Carga en rodamientos Las tensiones de contacto que aparecen entre la pista de rodadura y los elementos rodantes no son fáciles de expresar mediante ecua- ciones porque, al no corresponder al caso de contacto entre dos cilindros, no se pueden aplicar las ecuaciones que se presentaron anteriormente. Además, la carga no es perfectamente cíclica, pues a cada revolución del eje le corresponde una revolución del anillo que está fijo a él, pero las bolas o rodillos no habrán dado exactamente una vuelta, ni sobre sí mismos ni alrededor del eje.
Para relacionar la carga radial sobre el cojinete y la duración se emplea una ecuación obtenida mediante experimentación. Esta ecuación establece que si para una carga radial FAun rodamiento tiene una duración (para una fiabilidad
R) LrA, para otra carga radial FB tendrá una duración (relativa a la misma
fiabilidad R) LrB que verifica:
LrA LrB = FB FA a ,
donde a es un coeficiente que depende del tipo de rodamiento. Esta ecuación, que relaciona cargas y duraciones, corresponde a lo que sería el diagrama de fatiga para el caso de rodamientos. Este enfoque permite también determinar el factor de seguridad sustituyendo la fuerza radial correspondiente al segundo estado de carga por la fuerza radial prevista multiplicada por el factor de seguridad.
Como ya se ha mencionado, par el cálculo de rodamientos no se manejan valores de tensiones y resistencias debido a la dificultad que entraña establecer, en forma de ecuaciones, un modelo representativo del estado tensional en los distintos elementos del rodamiento. Para realizar cálculos de resistencias y du- raciones, se precisa de un valor límite de la fuerza radial con el que se pueda comparar. A ese valor se le conoce como capacidad de carga del rodamiento, y se define como el valor máximo de la fuerza radial que puede soportar, en unas condiciones de duración y fiabilidad determinadas.14
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Con cierta frecuencia, las capacidades de carga tabuladas por los fabricantes se refieren a un millón de revoluciones y a una fiabilidad del 90 %. En este caso, la capacidad de carga se denomina capacidad básica de carga, y se representa por C. De todos modos, no se pue- de afirmar que un rodamiento sometido a una fuerza radial igual a su capacidad básica de carga asegure una vida L10 de un millón de revoluciones. Esto es debido a que un millón de revoluciones es una duración muy pequeña para un rodamiento, lo que supone un valor muy elevado de la capacidad básica de carga, de manera que una fuerza radial de ese valor produciría deformaciones permanentes en los elementos del rodamiento, dejándolo inservible tras un número de revoluciones del eje muy inferior al millón.