CAPÍTULO 3. Mecánica bohmiana, entidades y tridimensionalismo
3.2 El enfoque del potencial cuántico
3.2.1 Consistencia del enfoque del potencial cuántico
En su artículo seminal de 1952, Bohm explicita el camino que le llevó de la teoría cuántica a su propia teoría de variables ocultas. Si la función de onda se escribe en la forma polar (2.4) (pág.13) y se introduce en la ecuación de Schrödinger, mediante manipulaciones algebraicas elementales puede llegarse al siguiente par de ecuaciones diferenciales que involucran las funciones R y S (el módulo y veces la fase de la función de onda respectivamente):
(3.3)
2 2 2 S R S V 2m 2m R k k k k k k t
(3.4) 2 2 S R R 0 m k k k k t
La primera de estas ecuaciones es formalmente idéntica a la ecuación de Hamilton- Jacobi de la mecánica clásica excepto por un nuevo término que no es otro que el potencial cuántico (3.2).39 Es por este motivo que la ecuación (3.3) es denominada por algunos como la «ecuación de Hamilton-Jacobi cuántica» [QHJ en sus siglas en inglés]. Puesto que la ecuación de Hamilton-Jacobi constituye un balance energético, la analogía con la mecánica clásica llevó a Bohm a interpretar (3.2) como un término de energía potencial y a postular la segunda ley de Newton generalizada (3.1) como la ecuación del movimiento de las partículas.
De acuerdo con la teoría de Hamilton-Jacobi, el gradiente de la función principal de Hamilton S es igual al momento de la partícula. Así pues, la analogía formal entre (3.3) y ecuación de Hamilton-Jacobi también condujo a Bohm a asumir como hipótesis que el momento de las partículas viene dado por el gradiente de la fase de función de onda,
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Debemos notar que el uso que sugerimos es, además, perfectamente consistente con el de Bohm y muchos de sus seguidores quienes, en numerosas ocasiones, se refieren a su propuesta como el enfoque del potencial cuántico. A este respecto puede verse, por ejemplo, los títulos de Bohm y Hiley (1984), Bohm et al. (1985) y Philippidis et al. (1979).
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Para una discusión de la teoría de Hamilton-Jacobi, véase Goldstein (1950, Cap. 10) o Holland (1993, Cap.2).
obteniendo la ecuación guía (2.5) o la “asunción especial” (2) de la cita de la pág. 35. Nótese, además, que una vez admitida la relación vk kS / mk, la ecuación (3.4) se convierte en una ecuación de continuidad para el módulo al cuadrado de la función de onda garantizando, por tanto, que R2 es una cantidad conservada y que, en consecuencia, es consistente interpretar dicha cantidad como una densidad de probabilidad.
Puesto que el enfoque del potencial cuántico postula la segunda ley de Newton generalizada como la ecuación del movimiento de las partículas pero incorpora también la ecuación guía como “asunción adicional especial”, pudiera en principio parecer que dicho enfoque dispone de dos ecuaciones diferentes para realizar exactamente el mismo trabajo −esto es, suministrar las trayectorias de las partículas. Si esto fuera cierto, no sólo se estaría violentando el más elemental sentido de la economía postulacional sino que, además, se arriesgaría la propia consistencia del enfoque. A continuación mostraremos que no existe conflicto lógico entre la ecuación guía y la segunda ley de Newton generalizada, para luego elucidar el distinto desempeño de ambas hipótesis dentro del enfoque del potencial cuántico.
La segunda ley de Newton generalizada puede ser derivada si se toman como premisas la ecuación de Schrödinger y la ecuación guía.40 Así pues, la relación lógica entre la ecuación guía y la segunda ley de Newton generalizada es análoga a la que se da entre las premisas y la conclusión de un argumento deductivo. Ahora bien, en un argumento deductivo las premisas siempre son más restrictivas (o, si se quiere, más informativas) que la conclusión. En consecuencia, la ecuación guía es más restrictiva que la segunda ley de Newton generalizada. Y, en efecto, puede comprobarse a este respecto que todas las soluciones de la ecuación guía son, a su vez, soluciones de la segunda ley de Newton generalizada, pero no todas las soluciones de la segunda ley de Newton generalizada son soluciones de la ecuación guía. Esto significa que el conjunto de movimientos permitidos por la ecuación guía es un conjunto propio del conjunto (más extenso) de movimientos permitidos por la segunda ley de Newton generalizada. Esta situación puede ser apreciada intuitivamente si se considera la forma de las dos ecuaciones en juego. Por simplicidad, supondremos que estamos manejando un sistema de una sola partícula. La segunda ley de Newton generalizada suministra la aceleración de dicha partícula en términos de los potenciales clásico y cuántico. Puesto que la aceleración es la derivada segunda de la posición respecto del tiempo, nos encontramos ante una ecuación diferencial de segundo orden. En consecuencia, para hallar la trayectoria de la partícula tenemos que suministrar dos condiciones de contorno −típicamente, la posición y la velocidad de la partícula en un tiempo inicial.
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Por el contrario, la ecuación guía suministra directamente la velocidad de la partícula en términos de la función de onda. Puesto que la velocidad es la derivada primera de la posición respecto del tiempo, para hallar la trayectoria de la partícula basta con suministrar un solo parámetro –típicamente, la posición en algún instante inicial.
Así, dados la posición inicial de la partícula y el campo cuántico, la ecuación guía determina completamente la velocidad de la partícula y su trayectoria. Sin embargo, la posición inicial de la partícula, el campo cuántico y la segunda ley de Newton generalizada no permiten fijar la velocidad inicial de la partícula ni, por consiguiente, su trayectoria. Puede concluirse, pues, que la velocidad de la partícula es contingente desde la perspectiva de la segunda ley de Newton generalizada mientras que no lo es desde la perspectiva de la ecuación guía.
Supongamos que, al abordar un problema concreto, resolvemos la ecuación de Schrödinger y obtenemos que la función de onda de la partícula es ( )t . Supongamos que, para averiguar su trayectoria, decidimos integrar la ecuación guía y obtenemos que si la posición inicial de la partícula es X0, entonces su velocidad inicial es V0 y su trayectoria T.
Ahora imaginemos que consideramos la segunda ley de Newton generalizada –y no la ecuación guía– como la ecuación fundamental del movimiento. Dado el mismo campo cuántico ( )t , si escogemos X0 y V0 como la posición y la velocidad iniciales de la partícula, respectivamente, entonces la segunda ley de Newton generalizada sanciona que la trayectoria de la partícula es T. Así pues, ambas ecuaciones son consistentes. Sin embargo, la segunda ley de Newton generalizada permite escoger otros muchos pares de condiciones iniciales que también contienen X0 como, por ejemplo, (X0,V ), (X0 0,V ), 0
(X0,V ), etc. Dicha ecuación asociará, en general, una trayectoria diferente a cada uno 0
de dichos pares –digamos T,T,T, etc. Nótese que ninguna de estas trayectorias está permitida por la ecuación guía.
A la vista de esta situación, se ve claramente que si se considera la segunda ley de Newton generalizada como la ley fundamental que suministra la trayectoria de la partícula, la ecuación guía no debe interpretarse, a su vez, como una ecuación dinámica sino más bien como una regla de selección que restringe y descarta como imposibles algunas de las trayectorias permitidas por la primera. Es precisamente por este motivo que Bohm se refiere a v S( ) / mx como una restricción al final de la cita que hemos reproducido en la pág. 35. (Bohm es aún más explícito a este respecto en la cita que reproducimos más adelante, en la pág.45)
La ecuación guía interpretada como regla de selección es absolutamente necesaria para la adecuación empírica y la consistencia de la teoría, puesto que las trayectorias seleccionadas por dicha ecuación son las únicas compatibles con el postulado estadístico. Sin embargo, una vez que la ecuación guía se incluye entre los postulados
de la teoría, la segunda ley de Newton generalizada no añade nada en relación con los movimientos accesibles al sistema.
Llegamos, por tanto, a la siguiente conclusión. En primer lugar, la segunda ley de Newton generalizada no permite prescindir de la ecuación guía, que sigue siendo necesaria para obtener predicciones empíricamente adecuadas. En segundo lugar, la ecuación guía interpretada propiamente como una ecuación dinámica es suficiente para generar dichas predicciones. ¿Por qué entonces no deshacerse de la segunda ley de Newton generalizada desde el principio, como abogan los partidarios del enfoque de guía? ¿Y por qué Bohm y tantos otros autores no sólo utilizan dicha ecuación sino que, además, declaran que ésta es la ley fundamental de la teoría?