Construcción de Curvas de Variación Paleosecular

En las secciones anteriores hemos abordado el problema de cómo conocer el comportamiento del campo a nivel global. Ahora nos interesa saber cómo podemos obtener una representación de la evolución temporal del campo magnético terrestre a escala local, mediante la construcción de una PSVC. Como ya mencionamos en el Capítulo 2, la reconstrucción local del CMT a partir de la construcción de una PSVC es

62 posible en zonas con alta densidad de datos arqueomagnéticos, que se encuentren distribuidos uniformemente tanto espacial como temporalmente y bien datados. En esta tesis actualizamos la PSVC direccional de Iberia gracias a los nuevos datos direccionales disponibles para el primer milenio antes de Cristo que describiremos en detalle en el Capítulo 4 (Osete et al., 2016; Osete et al., in press; Palencia-Ortas et al., in prep.) y los nuevos datos publicados de los dos últimos milenios.

3.2.3.1. Relocalización de los datos

El primer paso para generar estas curvas es trasladar los datos del yacimiento arqueológico original a un punto común (la localización de referencia). En nuestro caso la localización de referencia será Madrid (40.4º N, 3.7º O). La relocalización se lleva a cabo asumiendo un campo magnético dipolar usando el método de conversión vía polo (Nöel & Batt, 1990). Esta hipótesis no es, obviamente, cierta, dado que las componentes no dipolares presentan una contribución importante al campo total. Por esta razón, la aproximación sólo es válida para regiones donde el área no sea mayor de 106 _km2 _{(Tarling, 1983; Núñez et al.,}

2000; Núñez, 2005; Casas & Incoronato, 2007), lo que es equivalente a un casquete esférico de radio aproximadamente igual a 800 km centrado en la localización de referencia.

Figura 3.5. Esquema del método de conversión vía polo desde un yacimiento arqueológico in situ (S) a la localización de

referencia (R). De Pavón-Carrasco (2010).

La Figura 3.5 muestra un esquema del procedimiento de relocalización de los datos direccionales arqueomagnéticos (D, I). Para trasladar los datos direccionales in situ, declinación (DS) e inclinación (IS), primero

necesitamos conocer la colatitud geomagnética del dato 𝛾 y la colatitud geográfica del Polo Geomagnético Virtual (VGP por sus siglas en inglés, Virtual Geomagnetic Pole) 𝜃𝑃

tan 𝛾 = 2

tan 𝐼_𝑆, [3.34]

𝜃𝑃= cos−1(cos 𝜃𝑆𝑐𝑜𝑠𝛾 + sen 𝜃𝑆sen 𝛾 cos 𝐷𝑆), [3.35]

donde 𝜃𝑆 es la colatitud geográfica del yacimiento arqueológico. La longitud del VGP depende de la posición del yacimiento como

𝜆_𝑃= {𝜆_𝜆𝑆+ 𝛼 , 𝑠𝑖 cos 𝛾 ≥ cos 𝜃𝑆cos 𝜃𝑃

𝑆+ 𝜋 − 𝛼 , 𝑠𝑖 cos 𝛾 < cos 𝜃𝑆cos 𝜃𝑃, [3.36] donde

63 sen 𝛼 =sen 𝛾 sen 𝐷𝑆

sen 𝜃_𝑃 . [3.37]

Finalmente, y usando las coordenadas geográficas de la localización de referencia (R), la declinación 𝐷𝑅 y la inclinación 𝐼𝑅 relocalizadas son dadas por las ecuaciones

𝐼_𝑅 = tan−1₍ 2

tan 𝜁), [3.38]

𝐷_𝑅= cos−1₍cos 𝜃𝑃− cos 𝜁 cos 𝜃𝑅

sen 𝜁 sen 𝜃_𝑅 ), [3.39]

donde el ángulo 𝜁 es la colatitud geomagnética de la localización de referencia 𝜁 = cos−1_{(cos 𝜃}

𝑅cos 𝜃𝑃+ sen 𝜃𝑅sen 𝜃𝑃cos(𝜆𝑃− 𝜆𝑅)). [3.40]

Para las intensidades, hay dos métodos diferentes de relocalización atendiendo a la información direccional disponible. Cuando no hay datos direccionales asociados a la intensidad 𝐹𝑆, el proceso de relocalización se realiza asumiendo un campo dipolar geocéntrico axial (GAD por sus siglas en inglés, Geocentric

Axial Dipole). Igualando el VADM calculado de [3.32] en el sitio del yacimiento y en la localización de referencia,

la expresión de la intensidad relocalizada 𝐹𝑅 será

𝐹𝑅= 𝐹𝑆√ 1 + 3 cos2_𝜃 𝑅 1 + 3 cos2_𝜃 𝑆. [3.41]

Si por el contrario hay información de la inclinación, se puede utilizar un modelo de campo dipolar inclinado para trasladar el dato de intensidad mediante el cálculo del VDM a partir de [3.33]. La intensidad relocalizada quedaría entonces

𝐹_𝑅= 𝐹_𝑆√1 + 3 cos2𝜁

1 + 3 cos2_𝛾. [3.42]

3.2.3.2. Construyendo la PSVC

Para construir la versión actualizada de la PSVC direccional para Iberia de los últimos 3000 años usaremos una metodología diferente a la que se empleó en la construcción de la actual PSVC de la Península (ver Capítulo 2 y Gómez-Paccard et al., 2006b para más detalles). En lugar de la estadística Bayesiana (Lanos, 2004; Lanos et al., 2005), usaremos el método bootstrap propuesto por Thébault & Gallet (2010).

Se parte de un conjunto de datos de entrada, en este caso los valores de declinación e inclinación que se encuentren a una distancia r de la localización de referencia,

𝑓 = {𝑓𝑖}, 𝑖 = 1 … 𝑁, [3.43]

donde cada uno de estos valores estará asociado a una época 𝑡 = {𝑡𝑖}, y a dos conjuntos adicionales de datos 𝜖𝑓 _{= {𝜖}

64 A partir de estos datos construimos una curva 𝑓̂(𝑡) cuya primera y segunda derivada temporal sea continua, y la expresamos en términos de una base de B-splines cúbicos con puntos fijos (knot points) uniformemente espaciados (De Boor, 2001). El problema a resolver se expresaría como

𝑓̂(𝑡) = 𝑆(𝛼, 𝑡), [3.44]

donde α = {αp}, p = 1…P, es el vector de parámetros que define la función S(α,t). Para problemas sobre-

dimensionados (N ≥ P) con información adicional de las incertidumbres asociadas a las medidas y el tiempo, se resuelve el problema inverso por mínimos cuadrados pesados y regularizados (RWLS por sus siglas en inglés,

Regularized Weighted Least‐Squares) (Menke, 1989)

𝛼̂ = (𝐴𝑇_{𝐴 + 𝜆𝐷)}−1_𝐴𝑇_{𝑓, [3.45]}

donde A es la matriz que contiene los coeficientes que representan la base de B-splines y D es la matriz de regularización con λ un escalar determinado por la solución intermedia entre el error cuadrático medio (entre el dato original y el estimado a partir de la curva solución de la inversión) y la regularización aplicada. En ausencia de un modelo físico más plausible sobre la evolución direccional del CMT, se asume que las variaciones temporales deben ser relativamente suaves, para lo cual se penaliza la segunda derivada temporal de la solución como

𝐷 = ∫ 𝜕_𝑡2_𝑓̂(𝑡)

𝑡 𝑑𝑡.

[3.46]

Dada la amplia dispersión e incertidumbre de los datos direccionales de Iberia, se desarrolla un algoritmo

bootstrap para investigar la variabilidad de la solución obtenida. Un conjunto de 5000 PSVCs para la declinación y

para la inclinación, respectivamente, son generadas siguiendo el método descrito más arriba, a partir de la creación de datos sintéticos con dos distribuciones de probabilidad diferentes: 1) para los datos direccionales, una función de probabilidad Gaussiana aleatoria centrada en el valor del dato original y con una desviación estándar igual a la incertidumbre del dato direccional (𝜖𝑓= α65f); y 2) para el tiempo, una distribución aleatoria homogénea con

amplitud igual al error de la edad a 1σ (𝜖𝑡). La PSVC direccional final se calcula como el promedio de las 5000 curvas junto con su desviación estándar (al 95% de nivel de confianza).

65