5. Contracciones de sistemas superintegrables
5.6. Ejemplos de contracci´ on de sistemas integrables
5.6.2. Contracci´ on de los sistemas de su(1, 1)
Vamos a ver a continuaci´on la contracci´on de sistemas asociados a una sub´algebra diferente a la Cartan compacta. Como sabemos para u(1, 1) existen dos sub´algebras abelianas maximales aparte de la Cartan compacta que ser´an objeto de estudio.
Para todos los casos consideraremos la m´etrica K =1 0
0 κ
(5.33) Sub´algebra de Cartan no compacta
Un representante de esta clase en la m´etrica (5.33) est´a generado por el elemento no compacto Y0= i 0 0 i , Y1 =0 i κ i 0
Las coordenadas (s0, s1) y las (y0, y1) est´an relacionadas mediante
y0 = ei x0(s0Cκ(x1) + i κ s1Sκ(x1) )
126 Contracciones de sistemas superintegrables con lo que el hamiltoniano obtenido mediante reducci´on resulta ser
H = c 1 2(κ p 2 s0 + p2s1 + V (s) , V (s) = κ c 2 0+ c21− 4 c0c1s0s1 1− 4 κ (s0)2(s1)2 ,
con la ligadura (s0)2+κ (s1)2= 1. Parametrizando como en casos anteriores
con el ´angulo φ obtenemos
H = 12p2φ+ V (φ), V (φ) = κ c 2 0+ c21− 2 κ c0c1Sκ(2 φ) C2 κ(2 φ) . Si hacemos el l´ımite κ→ 0 obtenemos que
H = 1 2p
2 φ+ c21.
No obstante podemos obtener un resultado menos trivial si permitimos que las constantes que aparecen en el hamiltoniano dependan del par´ametro κ y a˜nadimos una constante h(κ) tambi´en dependiente del mismo. De esta forma tendr´ıamos H = 1 2p 2 φ+ κ c2 0(κ) + c21(κ)− 2 κ c0(κ) c1(κ) Sκ(2 φ) C2 κ(2 φ) + h(κ) . Si consideramos por ejemplo
c0(κ) = c0 κ, c1(κ) = c1, h(κ) =− c2 0 κ , y tomamos el l´ımite κ→ 0 resulta el hamiltoniano
H = 12p2φ+ (2 c0φ− c1)2,
el cual corresponde con el de un oscilador arm´onico. Sub´algebra nilpotente
Tomemos como representante de la sub´algebra de u(1, 1) las siguientes matrices Y0 =i 0 i , Y1 = √ −κ −κ −1 −√−κ
Teniendo en cuenta la relaci´on entre las coordenadas y0 = ei x0 (1 + i√−κ x1) s0− i κ x1s1 y1 = ei x0 −i x1s0+ (1− i√−κ x1) s1 ,
5.6 Ejemplos de contracci´on de sistemas integrables 127 con lo que el hamiltoniano resultante es
H = 1 2(κ p 2 s2 0 + p 2 s2 1) + V (s), V (s) = 2√−κ c0c1 (s0+√−κ s1)2 − c2 1 (s0+√−κ s1)4 , o si utilizamos la coordenada φ H = 1 2p 2 φ+ c21e−4 √ −κ φ− 2√−κ c 0c1e−2 √ −κ φ,
donde vemos que si κ = −1 recuperamos el potencial de Morse y en el l´ımite κ → 0 el potencial se transforma en una constante. Vemos tambi´en que en la contracci´on κ → 0 las bases de las sub´algebras no compacta y nilpotente se transforman en la misma, una sub´algebra nilpotente del ´
Cap´ıtulo 6
Sistemas superintegrables
cu´anticos
En este cap´ıtulo vamos a obtener sistemas cu´anticos asociados a los hamiltonianos unidimensionales que fueron obtenidos en los cap´ıtulos 2 y 3. Existen diferentes aproximaciones al estudio de sistemas cu´anticos super- integrables en la literatura. Verdiev [136] en 1995 estudi´o sistemas cu´anticos asociados a los grupos U (1, 2) y Sp (1, 2). Zhdanov [143] estudi´o la sepa- raci´on de variables en la ecuaci´on de Schr¨odinger y Harnad [48] la cuanti- zaci´on de sistemas integrables en Rn, en la esfera y en el elipsoide.
Utilizaremos la simetr´ıa que poseen al estar relacionados con su(2) o su(1, 1) para construir el Casimir el cual estar´a relacionado con el operador hamiltoniano que vamos a considerar. La forma de este Casimir hace es- pecialmente adecuada la utilizaci´on del m´etodo de factorizaci´on ([57], [10], [36], [100]) para resolver el problema de valores propios que se plantea en cada caso.
Veremos la relaci´on entre los sistemas cu´anticos propuestos y los que se obtendr´ıan mediante la sustituci´on can´onica de la posici´on por el operador multiplicaci´on por la coordenada y del momento px por i ∂x.
6.1.
Sistemas cu´anticos asociados a su(2)
Consideremos la representaci´on matricial de su(2) dada por X1=i −i , X2 = 0 1 −1 0 , X3 =0 ii 0 , 129
130 Sistemas superintegrables cu´anticos siendo el Casimir del ´algebra [53] igual a
C =X12+X22+X32. (6.1) Como sabemos s´olo existe una sub´algebra abeliana maximal que es la Cartan compacta. Los generadores infinitesimales de la acci´on asociados a Xi, i = 1, 2, 3, son ξX1 =−i y0∂y0 − y1∂y1 ξX2 = y0∂y1 − y1∂y0 (6.2) ξX3 =−i y 0∂ y1 + y1∂y0
mediante las coordenadas para la sub´algebra de Cartan compacta dadas por yµ = sµei xµ
construimos los campos reales mediante la suma en (6.2) del complejo conjugado para obtener
ˆ X1=− ∂x0 + ∂x1 ˆ X2= cos(x0− x1) (s0∂s1 − s1∂s0) + sen (x0− x1) s0 s1 ∂x1 + s1 s0 ∂x0 ˆ X3 = sen (x0− x1) (s0∂s1− s1∂s0)− cos(x0− x1) s0 s1 ∂x1 + s1 s0 ∂x0 . Estos campos tienen unas relaciones de conmutaci´on de tipo su(2) cuan- do act´uan sobre funciones dependientes de las variables s0, s1, x0 y x1, es
decir
[ ˆX1, ˆX2] = 2 ˆX3, [ ˆX1, ˆX3] =−2 ˆX2, [ ˆX2, ˆX3] = 2 ˆX1.
Dado que el espacio de configuraci´on est´a caracterizado por la condi- ci´on s20+ s21 = 1 utilizaremos como parametrizaci´on de la circunferencia la habitual
s0= cos x, s1 = sen x ,
lo que nos permite transformar los campos en ˆ
X1 =− ∂x0 + ∂x1
ˆ
X2 = cos(x0− x1) ∂x+ sen (x0− x1) (tan x ∂x0 + ctg x ∂x1)
ˆ
6.1 Sistemas cu´anticos asociados a su(2) 131 Mediante esta realizaci´on diferencial el Casimir (6.1) puede ser escrito como
C = ∂x2+ 2 cot(2 x)∂x+ ∂2 ∂x2 0 cos2x+ ∂2 ∂x2 1 sen2x.
Para definir el hamiltoniano consideraremos la restricci´on de este oper- ador al espacio de funciones Ψk0,k1 que cumplen
−i ∂x0Ψk0,k1 = k0Ψk0,k1, i ∂x1Ψk0,k1 = k1Ψk0,k1, es decir H = ∂x2+ 2 cot(2 x)∂x− k02 cos2x − k21 sen2x, (6.3)
el cual puede ser considerado como un hamiltoniano unidimensional que act´ua sobre el espacio de funciones en la variable x.
Para resolver el problema del c´alculo de los valores y funciones propias vamos a utilizar la t´ecnica de la factorizaci´on [57], as´ı buscaremos expresar el hamiltoniano como H = A+A−+ λ. Para encontrar estos operadores
utilizaremos la informaci´on que conocemos del Casimir.
C = ( ˆX2+ i ˆX3) ( ˆX2− i ˆX3) + ˆX12+ 2 i ˆX1 =X+X−+ λ ,
donde encontramos que
X+≡ ˆX2+ i ˆX3 = ei(x0−x1) (∂x− i tan x ∂x0 − i cot x ∂x1)
X−≡ ˆX2− i ˆX3 = e−i(x0−x1) (∂x+ i tan x ∂x0 + i cot x ∂x1)
λ≡ ˆX12+ 2 i ˆX1= ∂x20+ ∂
2 x1− 2 ∂
2
x0,x1+ 2 i (∂x1 − ∂x0) .
Las expresiones de {A+, A−, λ} son las que se obtienen al restringir estos
operadores al espacio Ψk0,k1. De esta forma
A+= ei(x0−x1)[∂
x+ (k0− 1) tan x − (k1− 1) cot x]
A−= e−i(x0−x1)[∂
x− k0 tan x + k1cot x]
λ = − (k0+ k1)2+ 2 (k0+ k1) .
Nos resultar´a de utilidad en este punto la introducci´on de un ´ındice discreto n para construir una familia de operadores {Hn, A+n, A−n, λn} tal
132 Sistemas superintegrables cu´anticos queHn= A+nA−n+λndonde para n = 0 recuperemos (6.3). La expresi´on de
A+n , A−n y λnes la misma que para A+y A−pero admitiendo la dependencia
del ´ındice n en k0 y k1, que pasar´an a representarse por kn0 y kn1.
El objeto de esta familia de operadores es el poder calcular de una manera sencilla estados propios de
Hn= A+nA−n + λn= ∂x2+ 2 cot(2 x)∂x− (kn 0)2 cos2x − (kn 1)2 sen2x,
para cualquier n y ser capaces de traducirlos en estados propios deH0 =H
con un valor propio tambi´en conocido. Impondremos las condiciones iniciales k0
0 = k0 y k01 = k1, para que el
hamiltoniano que estamos estudiando sea precisamente H0 y tambi´en la
condici´on de que A+nA−n − A−
mA+m est´e relacionado exclusivamente con el
operador λ, lo cual nos servir´a como inmediatamente veremos para calcular los estados y valores propios de H0.
Se calcula sin dificultad que A+n A−n = ∂x2+ 2 cot(2 x)− (k n 0)2 cos2x − (kn 1)2 sen2x+ (k n 0 + k1n) (k0n+ kn1 − 2) A−mA+m= ∂x2+ 2 cot(2 x)−(k m 0 − 1)2 cos2x − (k1m− 1)2 sen2x − (k0m+ k1m) (km0 + km1 − 2) Se cumplir´a que A+nA−n − A−
mA+m es funci´on del operador λ siempre que
(kin)2= (kmi − 1)2 i = 0 , 1, resultando entonces
A+n A−n − Am−A+m= λm− λn.
Consideraremos, por simplicidad, nodos adyacentes en esta ecuaci´on en diferencias. Es decir, tomaremos m = n + 1 con lo que resulta
(kin)2= (kin+1− 1)2 = kin= kin+1− 1 → kni = ki+ n kin=−kin+1+ 1→ kni = ( ki n par 1− ki n impar (6.4)
6.1 Sistemas cu´anticos asociados a su(2) 133 2 4 6 8 2 4 6 8 kn 1 k0n (a, a) (a, b) (b, a) (b, b)
Figura 6.1: Puntos en el espacio kn i
Podemos ver la representaci´on de los puntos que se van obteniendo en el espacio (kn0, kn1) para las cuatro combinaciones posibles de kn0 y kn1 dadas en (6.4) para el caso k0 = k1 = −1 en la figura 6.1, donde en la leyenda
del gr´afico (a, b) denota que kn
0 toma la expresi´on de la primera soluci´on de
(6.4), representada por a y kn1 la segunda representada por b.
Vamos ahora a construir un estado propio para cada uno de los hamil- tonianos Hn de la familia que acabamos de definir y ver cu´al es su valor
propio asociado. La funci´on propia que definiremos ser´a el estado fundamen- tal para cada Hn, en el sentido de ser´a anulado por A−n cuando pongamos
Hn= A+nA−n + λn. Resolviendo la ecuaci´on diferencial obtenemos que
ψ0n= Cn cos−k
n
0 x sen−k1nx . (6.5)
Para construir estados y valores propios deH0 nos ser´a de utilidad el sigu-
iente teorema
Teorema 10. Sea ψn una funci´on propia de Hn con valor propio λ, es
decir
Hnψn= λ ψn,
entonces
1. A+n+1ψn es una funci´on propia deHn+1 con el mismo valor propio λ.
134 Sistemas superintegrables cu´anticos Prueba La primera parte se demuestra utilizando que cualquier hamil- toniano puede ser escrito como Hn= A+nA−n + λn con lo que
Hn+1[A+n+1ψ] = A+n+1A−n+1+ λn+1 A+n+1ψn
= A+n+1 A−n+1A+n+1+ λn+1 ψn
pero como se cumple que A+
nA−n − A−n+1A+n+1= λn+1− λn entonces
= A+n+1 A+nA−n + λn ψ = λnA+n+1ψn
En cuanto a la segunda basta con
Hn−1(A−n ψn) = A−nA+n + λn A−n ψn= A−nHnψn= λ A−nψn
De esta forma utilizando los operadores A+n con el ´ındice n adecuado vamos a ser capaces de transformar los estados fundamentales de Hn en
estados propios deH0con el mismo valor propio. N´otese que con esta forma
de escribir el hamiltoniano s´olo podemos avanzar, mediante la aplicaci´on del teorema 10 en sentido creciente de n, Hn → Hn+1 → Hn+2. . . ya que
si hacemos actuar un operador A−
n para recorrer Hn→ Hn−1 → Hn−2. . .
sobre un estado ψn
0 obtendremos siempre la funci´on nula, ya que esta era
la definici´on de los estados fundamentales. Como el hamiltoniano al que queremos llegar es siempreH0 esto implica que n debe ser negativa.
Si en (6.4) cambiamos kin → −kni, i = 0, 1, obtenemos tambi´en una factorizaci´on del hamiltoniano H0, debido a que en ´este tanto k0 como
k1 aparecen en forma cuadr´atica. Si dibujamos la sucesi´on de puntos que
obtendr´ıamos con estos cambios ver´ıamos reflexiones de los mostrados en la figura 6.1. Los operadores{A+
n, A−n, λn} son en este sentido equivalentes
y no los consideraremos aqu´ı.
Vamos a calcular expl´ıcitamente algunos de los estados propios deH0al
ser factorizado como A+n A−n+λnteniendo en cuenta las cuatro posibilidades
6.1 Sistemas cu´anticos asociados a su(2) 135 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 ψn0 x n = 0 n =−1 n =−2 n =−3 n =−4
Figura 6.2: Estados fundamentales Factorizaci´on (a,a)
Si hacemos que k0n = k0+ n y k1n = k1+ n entonces encontramos los
operadores
A+n = ∂x+ (k0+ n + 1) tan x− (k1+ n− 1) cot x
A−n = ∂x− (k0+ n) tan x + (k1+ n) cot x
λn=−(k0+ k1+ 2 n)2+ 2 (k0+ k1+ 2 n)
Como hemos indicado los estados fundamentales vienen dados por (6.5) en donde utilizaremos valores negativos para n. Podemos, no obstante, obtener los estados propios asociados a valores positivos de n de una forma sencilla. Para ello nos damos cuenta que si efectuamos la sustituci´on de k0→ −k0,
k1 → k1 y de n → −n encontramos que A+n → A−n+1, A−n → A+n+1 y
λn → λn+1. Por tanto, si aplicamos este cambio a la definici´on de los
estados fundamentales
A−nψ0n= 0→ A+n+1ψˆ0n= 0 ,
donde ˆψn0 son estados fundamentales del mismo hamiltoniano escrito en su forma alternativa Hn = A−n+1A+n+1+ λn+1. Por tanto, los nuevos estados
fundamentales son los resultantes de aplicar la sustituci´on en ψn0. Esto mismo sucede con los estados y valores propios de H0.
136 Sistemas superintegrables cu´anticos