En una resolución iterativa, o incluso en un paso de una resolución iterativa que incluya un resolvedor directo, las soluciones
k
que se obtengan no satisfarán las ecuaciones lineales perfectamente, ya sea porque la solución sólo incluye un número finito de pasos, o por errores de truncado.La diferencia entre el valor del segundo y primer miembros de la ecuación lineal es el residuo de esa celda:
, ,
u P Pvecinos
R i i k
a
S
a
. {9.41} La convergencia es el proceso por el cual la solución de las ecuaciones discretizadas se aproxima a la solución de las ecuaciones de transporte. Es posible demostrar que ambas soluciones tienden a confundirse para una grilla infinitamente fina. Sin embargo, para una grilla finita la solución de las ecuaciones discretizadas, por más que144 | Eduardo A. Brizuela
el residuo sea cero en todos los puntos, no será igual a la solución de las ecuaciones de transporte.
Hecha esta salvedad, se denomina más prácticamente convergencia a la reducción monotónica de residuos, lo que indica la bondad del conjunto de valores de las variables como solución del sistema de ecuaciones lineales.
La forma habitual de juzgar la convergencia es adoptar un valor absoluto de los residuos y observar su disminución, calculando
, ,
( , , )
Ref
i j kR i j k
N
. {9.42}El valor de referencia Ref puede ser un valor significativo de (máximo, mínimo, valor de entrada)
Usualmente la evolución del residuo total , ,
( , , )
i j k
R i j k
con elnúmero de iteraciones varía como lo ejemplifica la figura:
Figura 9.3: Residuos y convergencia
Si el programa de cálculo permite arrancar y parar, o bien si se almacena el residuo total, es aconsejable utilizar como valor de
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 145 referencia el primer residuo de la curva descendente, como indica la figura.
La curva debiera tender a cero. Si no lo hace (residuo irreducible) usualmente se debe a una o más de tres razones:
Hay un error de programación
Valores de frontera mal elegidos
No se ha respetado el principio de consistencia, que indica que a ambos lados de una cara de la celda debe utilizarse el mismo modelo de discretización
Si la curva desciende monotónicamente se continúa iterando
hasta que el valor de , ,
( , , )
Ref
i j kR i j k
N
haya descendido hasta un nivel preestablecido (10-4 o 10-5), cuando se considerará alcanzada la convergencia.
No obstante lo anterior es conveniente analizar los residuos individuales, al menos visualmente, para asegurar que no haya una o más celdas con residuos significativos o irreducibles.
Esto puede hacerse graficando a intervalos regulares el residuo por planos como superficie tridimensional:
146 | Eduardo A. Brizuela
Figura 9.4: Residuos en un plano
Durante el proceso de solución es común observar oscilaciones en los residuos, que debieran amortiguarse con la aproximación a la convergencia. Estas oscilaciones son normales y se deben a la naturaleza de las ecuaciones de transporte.
Por ejemplo, si se adopta la grilla de 3x3, la ecuación diferencial de transporte queda discretizada en una ecuación lineal que, a lo sumo, conecta los valores de tres celdas contiguas.
Luego, una corrección en una celda no afecta más allá de las dos adyacentes, hasta el próximo paso de iteración.
Si se barre por líneas y columnas, el residuo de una celda se va transfiriendo a razón de una línea/columna por iteración, proceso que puede observarse claramente en un gráfico por planos como el de la figura anterior. La figura siguiente ejemplifica esto:
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Figura 9.5: Residuos en dos pasos de iteración
Este proceso de barrido del error continúa (y se inicia) en las fronteras y sólo se reduce con el número de iteraciones a medida que disminuyen los residuos en general.
Sin embargo, es importante observar la evolución de los residuos para asegurarse que estos picos de error sean acotados y vayan siendo reducidos.
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En otros términos, el sistema de ecuaciones discretizadas actúa como un filtro pasabajos, atenuando rápidamente los errores de alta frecuencia (celda a celda) y mucho más lentamente los de baja frecuencia, mayor longitud de onda (varias celdas).
El error de más baja frecuencia (un valor de residuo constante en toda la grilla) sólo puede deberse a inconsistencia en las condiciones de frontera, y no debiera existir.
Los residuos de más baja frecuencia son los que más tardan en reducirse y consumen la mayor parte del esfuerzo de computación. Para reducirlos puede hacerse una de dos opciones:
Usar una grilla más gruesa
Usar un stencil más extenso
Ambas son indeseables, la primera porque atenta contra la exactitud de la solución, y la segunda porque requiere un mayor esfuerzo computacional y complica las condiciones de borde.
Sin embargo ambas opciones se utilizan normalmente. La primera, aplicando el método multigrilla ya visto, por el cual cada cierto número de iteraciones en la grilla fina se pasan todos los resultados a una grilla más gruesa y se realiza otro número de pases de iteración para reducir los residuos de baja frecuencia. Luego se vuelven a pasar todos los resultados a la grilla fina y se continúa resolviendo.
La segunda opción consiste en el uso de métodos de discretización de orden superior que involucran stenciles de 5x5, 7x7, etc., a veces combinados con métodos como Predictor/ Corrector, FCT, etc.
No es seguro que estos métodos reduzcan el esfuerzo computacional requerido, aunque pueden producir reducciones sustanciales del tiempo total de cómputo.
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Referencias al Capítulo 9
Chapra, S. C., and Canale, R. P.; Métodos numéricos para ingenieros; McGraw-Hill, 1992
Vanka, S. P., “Block-Implicit Calculation of Steady Turbulent Recirculating Flows,” International Journal of Heat and Mass Transfer, 28:11, 2093-2103, 1985.
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