Las grillas cartesianas y ajustadas al contorno ya vistas son grillas estructuradas, indicando con esto que son formadas por cuadriláteros en el plano o hexaedros en el espacio, de modo que un índice constante identifica un lado o cara.
El desarrollo de los métodos de elementos finitos ha proporcionado algoritmos y software muy eficientes, aptos para generar grillas no-estructuradas, formadas por triángulos o tetraedros. Estas grillas tienen la ventaja de permitir un fácil refinamiento local y pueden adaptarse al contorno tan bien o mejor que las estructuradas.
En el trabajo de Mavriplis se halla una completa revisión de las técnicas para generar y utilizar estas grillas para el modelado de escurrimientos. Una breve descripción se da en lo siguiente.
Para generar grillas no estructuradas existen dos métodos principales, el avance del frente y el método de Delaunay.
En ambos casos se dividen los bordes de frontera en segmentos; si se trata de un caso tridimensional, la grilla se genera inicialmente en la superficie de frontera, es decir, se comienza con un problema bidimensional, e igualmente se dividen los bordes de la superficie de frontera en segmentos.
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En el método de avance del frente frente a cada segmento de frontera se ubica un punto y se traza el triángulo correspondiente. Hecho esto se elimina del conjunto el segmento de frontera que se ha utilizado y se añaden a la frontera los dos nuevos lados del nuevo triángulo:
Figura 8.12: Método de avance de frente
El método es muy sencillo pero tiene un problema en que no hay un algoritmo robusto para decidir la ubicación del nuevo vértice; puede suceder que el nuevo vértice resulte ubicado demasiado cercano a otro vértice, generando un triángulo con pobre relación de aspecto (uno o más ángulos demasiado agudos). También puede suceder que el nuevo vértice resulte ubicado dentro de otro triángulo ya existente.
En el método de Delaunay se crea inicialmente una grilla gruesa (manualmente o con un algoritmo de avance de frente sencillo) y luego se añaden elementos refinando la grilla.
El principio se ejemplifica como sigue: dados tres triángulos consecutivos se trazan los círculos que los circunscriben. En la zona donde los tres círculos se superponen se ubica un punto, y luego se eliminan los tres triángulos; notar que, si los tres triángulos eran parte de la malla gruesa, sólo se eliminan algunos de los lados, ya que otros lados pertenecen a otros triángulos. Hecho esto con el nuevo punto se trazan cinco nuevos triángulos a los vértices que quedaron libres:
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 129 Figura 8.13: Método de Delaunay
Una vez generada la grilla sobre las superficies de frontera la grilla tridimensional de interior se puede generar por un procedimiento similar, si por el método de avance, ubicando un punto en el inerior, creando el tetraedro correspondiente y avanzando la superficie de frontera, si por el método de Delaunay, con una grilla interior gruesa, creando las superficies esféricas que circunscriben a los tetraedros, etc.
Una desventaja de las grillas no estructuradas es que requieren generar tablas y algoritmos para identificar sus partes, proceso denominado definir la conectividad. Es necesario identificar y detallar para cada celda sus vértices, su centro, sus áreas, el largo de sus aristas, la orientación espacial de caras y aristas, con qué otras celdas se conecta y qué elementos (vértices, aristas, caras) comparte. La colocación de las variables, como en el caso de las grillas estructuradas, puede hacerse en el centro de la celda o en los vértices. La discretización de las ecuaciones de transporte se puede realizar de manera similar a la ya vista, identificando un volumen de control y realizando las integrales de flujos sobre las áreas del volumen de control, como se indica en la figura:
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Figura 8.14: Grilla de vértices
El valor de una variable sobre la cara del volumen de control se obtiene por interpolación lineal, en el caso de la figura entre vértices. Si se utiliza el principio de colocar las variables en el centroide de las celdas el volumen de control puede coincidir con las caras de las celdas:
Figura 8.15: Grilla de centroides
Como se aprecia, las componentes de la velocidad en general no coinciden con las direcciones normales y/o tangentes a las caras del volumen de control lo que obliga a generar algoritmos para
Introducción al modelado numérico de flujos reactivos | 131 obtener los vectores normal y tangente y proyectar los flujos sobre éstos para proceder a integrar con las áreas. La discretización de los gradientes y en especial de los términos disipativos (derivadas segundas) puede resultar muy compleja.
La ecuación discretizada es muy similar a las ya vistas, salvo que ahora el número de vecinos varía según la plantilla de discretización que se utilice, y si se utiliza la colocación en vértices o centroides.
Referencias al Capítulo 8
Sorenson, R. L.; A computer program to generate two- dimensional grids about airfoils and other shapes by the use of Poisson equation, NASA TM-81198, 1980
Mavriplis, D. J.; Unstructured Grid Techniques; Annual Review of Fluid Mechanics, Vol. 29: 473-514, 1997
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