IV 21 ANALISIS MATEMATICO
1.4. CONVERGENCIA UNIFORME Y DERIVABILIDAD
En los apartados anteriores hemos visto que la convergencia uniforme de una sucesión de funciones (i,,) es suficiente para transmitir la continuidad o la integrabi lidad de las i" a la función límite. Sin embargo, el límite uniforme i de una sucesión de funciones derivables puede no ser derivable y, si lo es, puede ocurrir que la
sucesión de las derivadas (i�) no converja ni siquiera puntualmente a 1'. Ejemplos:
l. Sea (P,,) la sucesión de funciones polinómicas definida como sigue:
1 2 p¡ (x) = -x
2 y
Entonces, para cada n E N Y cada x E [ -1 , 1 ] se verifica
Para ver esto procederemos por inducción: Sea x E [ -1, 1 ]. Como
se verifica
1 2 - lxl 4 - lx12 Ixl - p¡ (x) = lxl -2IxI2 = Ixl ' 2 (2 + lxlJ '
2 1xl O :( lxl - p¡ (x) :(�-
2 + lxl
y las desigualdades se cumplen para n = l. Supongamos que se cumplen para n, es decir, supongamos que
Se tiene 2 1xl O :( lxl - P,,(x) :( . 2 + n lxl 1 = 2 [Ixl - P,,(x)] . [2 - lxl - P,,(x)].
Pero, por hipótesis es Ixl - P,,(x) ;;. O, luego P,,(x) :( lxl :( l y
2 - lxl - P,,(x) =(l - lxlJ +( 1 -P,,(x)) ;;' O
1; 1 2 ANALlSIS MATEMATICO I
y, por tanto,
Ixl - P,, + I(X)? O.
También se verifica por hipótesis
y de aquí resulta
y, por tanto.
1 1 [ 21xl ]
:2 [2 - Ixl - P,,(X)] � :2 2 - Ixl - Ixl + 2 + nlxl
= 1 - lxl + Ixl 2 + nlxl 2 + nlxl - 21xl - nlxl2 + Ixl 2 + nlxl Ixl - P (x) � 21xl 2 + (n - 1 ) lxl ,, + 1 2 + nlxl 2 + nlxl 21xl 2 +(n + 1) Ixl = 2 1xl [2 +(n + 1) Ixl] · [2 +(n - 1 ) Ixl] (2 + n IX!)2 (2 + n Ixlf - lxl2 (2 + n IX!)2
luego las desigualdades son también válidas para n + 1 .
Por consiguiente, para cada n E N Y cada x E [ - 1, 1 ] se verifica
y como para x # O es
ANALlSIS MATEMATICO 1
y para x = O también se cumple
se tiene 2 n 2 O ,,; Ixl - P,,(x) ,,; - . Il I I J
Esto prueba que la sucesión (P,,) converge uniformemente en [-1, 1J a la función f(x) = 14
Ahora bien, cada una de las P" es derivable en todo punto, mientras que f no es derivable en O.
2. La sucesión de funciones U;,) definida por f,,(x) =
para cada n E N Y cada x E Gll converge uniformemente en Gll a la función f(x) = O, puesto que
para todo n E N Y todo x E R
1 ¡f.,(x)l ,,; Jn
Pero como f'(x) = O para todo x E Gll Y f�(x) = Jn cos nx
para todo n E N Y todo x E Gll, la sucesión (f�) no converge ni siquiera puntualmente a f' pues, por ejemplo,
mientras que f'(0) =0.
lim f;,(O) =lim Jn = + 00 " n
Proposición: Sea Un) una sucesión de funciones derivables JI COIl derivada finita en (a, b) y supongamos que para un c E (a, b) la sucesión numérica (fic)) converge y que la sucesión de las derivadas (f�) converge uniformemente en (a, b). Entonces la sucesión de funciones Un) converge uniformemente en (a, b), su límite f es una función derivable en (a, b) y para cada x E (a, b) se verifica
f'(x) = lim f; (x). n
L I4 ANALlSIS MATE MATICO 1
Demostración: Sea x E (a, b) y sean m y n dos números naturales arbitrarios. Aplicando el teorema del valor medio a la función fm -f� en el intervalo de extremos e y x podemos escribir
fm(x) -f,,(x) -Um(e) -f�(c)) = (x - e) U:,,(y) -f�(y)) donde y es un número comprendido entre e y x y, por tanto,
If;,,(x) -J;,(x)1 � ¡[,"(e) -f,,(e)1 + Ix - el If:" (y) -f�(y)1 < < Ifm(e) -f�(c)1 + (b -a) If:" (y) = f�(y)l·
Sea t: > O. Como la sucesión numérica (j�(e)) converge, existe un n, E N tal que If�(e) -f�(c)1 < 0/2 para todo par de números naturales m, n myores que nI' Además, como la sucesión (f�) converge uniformemente en (a, b), existe un n2 E N tal que If:,,(x) -f�(x)1 < 8/2(b - a) para todo par de números naturales m, n mayores que n2 Y para todo x E (a, h) (en particular, esto se verifica para el punto y). Sea no=max{nl' /12 l. Entonces
B 8
If;,,(x) -f"(x)1 <Z+(b -a) 2(b _ a)
para todo par de números naturales m, n mayores que no y para todo x E (a, b). Por
consiguiente, la sucesión (f,,) converge uniformemente en (a, b) hacia una función f Sea ahora (g ,,) la sucesión de funciones de (a, b) en IR definida por
{
f"(1) -f"(x) g,,(t) = t - xf�(x)
SI t # x si t = x
para cada 11 E N y cada t E (a, b). Es evidente que cada g" es continua en x. Sean m y n dos números naturales arbitrarios. Si t # x, aplicando el teorema
del valor medio a la función fm -f" en el intervalo de extremos x y t podemos escribir
gm(t) - g"(t) fm(t) -f,,(t) -Um(x) -f"(x)) f�(z) -f�(z) t - x donde z es un número comprendido entre x y t. Por otra parte,
g m(x) -g "(x) = f;"(x) -f�(x)
De estas igualdades y teniendo en cuenta la convergencia uniforme de (f�) en (a, b)
resulta que la sucesión (g") converge uniformemente en (a, b) hacia una función g. Además, como cada g" es continua en x, también g es continua en x, es decir,
ANALISIS MATE MATICO 1
y como (Jn) converge a j; para t # x se tiene
y, por tanto, g(t)=lím gn(t)=lim ¡;,(t)-Jn(x) J(t)-f(x) TI n t-x t-x 1" 1m J(t)-j(x) g(x) t-x t-x luego J es derivable en x y f'(x)=g(x)=lim gn(x)=limj�(x)" n n 1/ 1 5 1 1 3
Ejercicios de autocomprobación
1 . Determinar, en cada caso, el límite puntual en el conjunto A de la sucesión de
funciones U;,) y estudiar si la convergencia es uniforme o no: a) b) c) d) j. x A = [O, 1], n(X) =-' x + n , X211 A = IR, jn(X) = 2 ' 1 + X n sen nx A = [O, JI], fn(x) =--. Il
2. Demostrar que la sucesión de funciones U�) definida por fn(x) = xn para cada n E N converge uniformemente en todo intervalo [O, a], O < a < 1 , pero no con verge uniformemente en [O, I l
3. Sea f una función continua en [O, 1] tal que f(I) = O. Probar que la sucesión de funciones (9n) de [0, 1 ] en IR definida por 9n(X) = x�r(x) para cada n E N Y cada
x E [O, 1] converge uniformemente en [O, Il
4. Sea U�) la sucesión de funciones de IR en IR definida por
fn(x) 2nx + sen6 nx n
Ijl8 A N A LlSIS MATEMATlCO 1
para cada IJ E N Y cada x E R Hallar la función límite puntual, estudiar SI la convergencia es uniforme o no y calcular
lim fn f,,(x) dx. " o
5. Determinar la función f limite puntual de la suceSlOn de funciones (i,,) de [O, 1[/2J en ¡¡:;¡ definida por f,,(x) =cos" x para cada 11 E N Y cada x E [O, 1[/2J Y estudiar si la convergencia es uniforme o no y si es cierta o no la relación
fni2 fnl2 o I=lim fn" " O
6. Probar que la sucesión (i,,) de funciones de [O, 1 J en ¡¡:;¡ definida por f.,(x) = =112 xe-,n' converge a una función integrable y que, sin embargo,
lim fl ¡;, = + 00 . " o
7. Determinar la función f limite puntual de la sucesión de funciones (I,,) de (-1, 1) en ¡¡:;¡ definida por
f,,(x) x
para cada 11 E N Y cada x E ( - 1, 1 ) Y estudiar SI la convergencia es uniforme o no y si es cierta o no la relación
f' =limf;· "
8. En el ejemplo 1 de 1.4 hemos demostrado que la sucesión de funciones polinó mIcas
converge uniformemente en [ - 1, lJ a la función f(x)=14 Dar otra demostra ción de este hecho utilizando el teorema de Dini.
Soluciones a los ejercicios de autocomprobación
1. a) Para cada x E [O, 1] es
Iim fn(x) = lim = O 11 n x+n
luego U;,) converge puntualmente a la [unción f: [O, 1]-->1Ri definida por j(x) = O para cada x E [O, 1}
Ahora bien, para todo n E f::j Y todo x E [O, 1] es I/;,(x) -j(x)1 = j;(x) y la [unción .1;, es continua en cl compacto [O, 1], luego
sup{lf .. (x)-f(x)l:x E [O, I]}=max{j;,(x):x E [O, 1]} y como
.1;, es creciente y su máximo en [O, 1] es /�(l)= 1/(1 + 11). Por consiguiente, 1
lim sup{lf .. (x)-j(x)l:x E [O, 1]}=lim
n n + n
y U;,) converge uniformemente en [O, 1] a la [unción nula.
b) Si Ixl < 1, entonces Iim x2 .. = O y, por tanto, lim f .. (x) = O. Si Ixl = 1, entonces
ANALlSIS MATEMATICO I 1;21
lím x2" = + OC; y, por tanto, lím f"(x) = 1 . Por consiguiente, la sucesión U,,) " "
converge puntualmente a la función f: IR!-> IR! definida por Ixl < 1
Ixl= 1 Ixl> 1
pero como cada una de las f., es continua en IR! y f no es continua en x = -1 ni en x = 1 , la convergencia no es uniforme.
c) Como para todo n E N Y todo x E [O, n] es 1 If,,(x)1 � n '
la sucesión U;,) converge uniformemente en [O, n] a la función .I(x)=O.
d) Como f,,(O) = 1 Y para x E (O, 2] es
lím .I;,(x) = lím e -"X = O,
" "
la sucesión U�) converge puntualmente a la función f: [O, 2] --> IR! definida por
{ SI
f(x) = O SI x=O
pero como cada una de las f" es continua en [O, 2] Y la función f no es continua en O, la convergencia no es uniforme.
2. Si O<a< 1 , la sucesión U�) converge puntualmente en [O, a] a la función nula, y como para cada n E N Y cada x E [O, a] es 1.I;(x) -01 =f,,(x) y f" es creciente en [O, a], se tiene
lím sup{lf,,(x)-OI:x E [O, a]}=lím {,,(a)=lím a"=O,
n n 11
luego la convergencia es uniforme.
Sin embargo, en [O, 1 ] la sucesión U�) converge puntualmente a la función X E [O, 1 )
1/22 ANALlSIS MATE MATICO 1
pero como cada una de las f;, es continua en [O, 1 ] Y la función f no es continua en 1 , la convergencia no es uniforme.
3. Como f es continua en [O, 1 J existe un M> O tal que l1(x)1 "" M para todo x E [O, I J, Y como para cada x E [O, 1 ) es lím x" = O, para cada 0 > 0 existe un
"
no E N tal que O "" x" < o/ M para todo n � /lo Y todo x E [O, 1 ). Por consiguiente, 19,,(x)1 = Ix"f(x)1 "" Mx" < t;
para todo n � no y todo x E [O, 1 ), Y como 9,,(1) = f( 1 ) = O, también 19 n( l )1 < E. En
resumen, para cada 8 > 0 existe un /lo E N tal que 19n(x)1 <E para todo n � /lo y todo x E [O, 1 ] , luego la sucesión (9n ) converge uniformemente en [O, lJ a la función nula.
4. Para todo n E N Y todo x E IR se verifica
sen6 nx 1 1 f,,(x) - 2xl = ,," - n n
y de aquí resulta que U�) converge uniformemente en IR a la función f(x) = 2x. Como la convergencia es uniforme,
lím fn f,,(X)dx =fn 1(X)dx =fn 2xdx = 1[2
/1 o o o
5. Como f,,(O) = 1 y para cada x E (0, 1[/2] es O<cosx< 1 , la sucesión U;,) converge
puntualmente en [O, 1[/2J a la función
1(X) ={
� ::
x=O X E (O, 1[/2Jpero como cada una de las f;, es continua en [O, 1[/2J Y f no es continua en O, la convergencIa no es uniforme.
Por otra parte,
fni2 o 1(x)dx = 0 y para cada F. E (O, 1[/2) existe un m E N tal que
AN ALiSIS MA TEMATICO I
para todo 11 � m, luego
O,,; f'/2 /,,(x)dx = f'/2 cos" x dx + f'/2 cos" x dx,,; o o c¡2
para todo 11 � m y, por tanto,
,,; f'/2 dx + fnl2 cos" �dx < o f:)2 ¡; n ¡; <-+-cos"-< 2 2 2 f'/2 lím j;,(x) <Ix = ° " o
y se verifica la igualdad del enunciado. 6. Para cada x E [O, 1 J se tiene
lím n2 xe -J1\ ' = O, "
1,23
luego el límite puntual de la sucesión U�) es la función f: [O, lJ-->1R definida por /(x)=O para cada x E [O, lJ, que evidentemente es una [unción integrable en
[O, lJ Y L /=0.
Por otra parte, haciendo el cambio de variable 11 X2 = t resulta
y, por tanto,
lím fl j�(x) dx = + CIJ " o
Esto nos dice que la convergencia de la sucesión (f,,) a la función j(x)=O no es uniforme en [O, 1]. También podíamos haber comprobado esto directamente. En efecto, como
sup{lf;,(x)-f(x)l:x E [O, lJ}=máx{!,,(x):x E [O, 1J}=
1;24 ANALlSIS MATEMATICO I
se tiene
lím sup{lf,,(x)-f(x)l:x E [O, IJ}= + x,
"
7. El límite puntual de la sucesión (f,,) es la función f:( - 1 , I)---+IR definida por f(x) = O para cada x E ( - 1 , 1 ). Además,
y
sup {lj�(x)-f(x)l:x E ( - I , 1)}=f"G)=2In ' luego
lím sup {If,,(x)-f(x)l:x E ( - I, I)}=O
"
y la convergencia es uniforme.
Sin embargo, para cada x E ( - 1 , 1) es f'(x)=O y 1 -n2 X2 lím = lím 2 ( 1 +n2x2) 11 /1 y no se verifica la relación f' =lím f;,. x=O
(Obsérvese que la sucesión de las derivadas (f;,) no converge uniformemente en ( - 1 , 1 ): Su límite puntual no es una función continua en O, mientras que cada f� sí lo es.)
8. Por inducción se prueba que
O",; P ,,(x)"'; Ixl para todo n E N Y todo x E [ - 1, IJ y, por tanto,
luego para cada x E [ -1 , 1 J la sucesión numérica ( P ,,(x)) es creciente, y como está acotada por Ixl, tiene límite. Sea j(x) dicho límite. Pasando al límite en la igllaldad
ANALISIS MATEMATICO I 1/25
se obtiene
y como es P,,(x) � O para todo n E N, también será f(x) � O, luego f(x) = Ixl
y la sucesión de funciones continuas (p") converge uniformemente en [ - 1, 1J a la función continua f en virtud del teorema de Dini.
TEMA II
Series de funciones
Esquema/resumen
2.1. Series de fúnciones. 2.2. Criterio de Weierstrass.
2.3. Criterios de Dirich/et y de Ahe/.
Una serie de funciones converge puntualmente a una función F en un con junto A cuando la sucesión de sus sumas parciales converge puntualmente a F en A.
El conjunto A suele llamarse campo de convergencia de la serie.
Una serie de funciones converge absolutamente en un conjunto A cuando la sene de los valores absolutos converge puntualmente en A.
Una serie de funciones converge uniformemente a una función F en un conjunto A cuando la sucesión de sus sumas parciales converge uniformemente a F en A.
Las proposiciones sobre la continuidad, integrabilidad y derivabilidad de la función límite uniforme de una sucesión de funciones se traducen inmediatamente en proposIcIones sobre la continuidad, integrabilidad y derivabilidad de la función suma de una serie de funciones (2.1.2.).
Una condición suficiente para la convergencia absoluta y uniforme de una serie de funciones es que dicha serie esté mayorada por una serie numérica conver gente (criterio de Weierstrass).
En 2.2.2 se construye una función continua en todo punto y no derivable en nmguno.
Los criterios de Dirichlet y de Abel dan condiciones suficientes para la convergencia uniforme de una serie de funciones. Ambos se deducen de la fórmula de sumación parcial de Abe!.