Libro II Análisis Matemático.pdf

07121 X •• UNIVERSIDAD. NAC10NAL DE EDUCACION A DISTANCIA •• ••••• 5 • • • • • _{L----LJ!:=:!...�----L_---L-_} _-=.d-J ••••• ANÁLISIS MATEMÁTICO I 2

UNIDADES DIDÁCTICAS (0107121 UD01 A04) ANÁLISIS MATEMÁTICO 1

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Cuarta edición: julio de 1991

Undécima reimpresión: diciembre de 2009 Impreso por: Femández Ciudad S.L.

Coto de DO/lana, JO. 28320 Pinto (Madrid) Impreso en Espa/la - Pril1ted in Spain

JESÚS FERNÁNDEZ NOVOA

, ,

ANALISIS MATEMATICO 1 Unidad Didáctica /4

Tema 1

Integrales iunpropias

Esqueuna/Resuunen

1 . 1 . Integrales impropias de primera especie. 1.2. Criterios de comparación.

1.3. Convergencia absoluta.

1.4. Integrales impropias de segunda especie.

Sea f una función integrable en todo intervalo [a, a], a,?a, y sea F la

función que a cada a,? a hace corresponder la integral de f en el intervalo [a, al El

par de funciones er, F) se llama integral impropia de f en el intervalo [a, + _<Xl] Y se

designa por _I+ .,. f.

Se dice que la integral impropia f: oc f es convergente cuando existe y es

finito el limite de F en + <Xl, Y si este límite es igual a I( E �), se dice que I es el

valor de la integral impropia. Cuando el límite anterior no existe o es infinito, se dice que la integral impropia es divergente.

De manera análoga y para fL;nciones f integrables en todo intervalo [a, a], a,s; a, se definen las integrales impropias de la forma f� � f

a E � las dos integrales impropias Sea ahora f una función inte

r

f+x.

integral impropia _ oc f es convergente y su valor es, por definición, la suma de las

1/2 ANALlSIS MATEMATICO 1

dos integrales impropias anteriores. En otro caso, se dice que la integral impropia f:: f es divergente.

Estas integrales impropias en las que el intervalo de integración 1 no es

acotado y el integrando es una función acotada e integrable en todo intervalo

cerrado contenido en 1 se llaman integrales impropias de primera especie.

En 1 .2 Y en 1.3 se establecen algunos criterios de convergencia para integra­

les impropias de primera espeCIe.

En 1 .4 se estudian las integrales impropias de segunda especie, es decir, las

integrales en intervalos acotados de funciones no acotadas, y las integrales impro­

1.1. INTEGRALES IMPROPIAS DE PRIMERA ESPECIE

Sea f: [a, + CXl)->1R una función integrable en todo intervalo _[a, a], a:;._a y

sea F : [a, + CXl)->1R la función definida por F (a)= f:f(X) dX

para cad" a:;. a. El par de funciones (1, F) se llama integral impropia de f en el

intervalo [a, + CXl) Y se designa por f: � _f o por I+ � _{f(x) dx.}

Se dice que la integral

finito el límite impropia

f+

a

convergente

y SI este límite es igual a l (E IR), se escribe

f+OC

y se dice que l es el valor de la integral impropia

fa+

cuando existe y es

Cuando el límite anterior no existe o es infinito, se dice que la integral impropia

f:

1;4 ANALlSIS MATEMATlCO I

De manera anúloga y para funciones .f :( - CIJ, a]-;IR integrables en todo

intervalo [IX, a], lX!(a, se definen las integrales impropias de la forma f� xl

Sea ahora .f : IR-; IR una función integrable en todo intervalo cerrado. Si para algún a E IR las dos integrales f� �f y t+"' f son convergentes, se dice que la

integral impropia f:: f es convergente y su valor es, por definición,

En otro caso, se dice que la

Ejemplos:

f+X f" f+x f= f+ f

-fL -XJ u

f+ "' integral impropia _ oc f es 1. Sea a> O. La integral

f+X dx x' "

es convergente SI r> 1 y divergente SI r!( 1 puesto que

1 ( 1 1 1 SI r dx = r _{- 1 a'} -1 -IX' -1 I x' IX _SI " log -a y, por tanto, di vergente. r� 1 r= 1 SI r> 1 lím 2 ... + 'l (r-I)a' ₁ +CIJ SI r!(l

ANA LISIS MATE MATICO I

3. La integral

f+-�. dx � l +X2

con verge y su valor es n, puesto que por ser

y se tiene y, por tanto, fo dx n lím - 2 = lím (-arc tg IX) =:2 CJ: ... -x (X l +x Q/. ... -tL fp dx n lím --2 = lím arc tg f3 = -2 ' {J ... +L o l +x fJ ... +oc f+� dx _{_�.} l +x _�. 2=fO l + dx f+� dx X2 + o 1 + X2 = n. 4. La integral f+� _� cosxdx es divergente puesto que para todo a E � es

f: cosxdx=senlX-sena y no existe lím (sen IX -sen a) J: ... + c(", Observaciones: 1/5

1. Sea{: [a, + 'XJ)->� una [unción integrable en todo intervalo [a, IX], IX:;' a. Si

1/6 _{ANALlSIS MATEMA Tieo} 1

es b > a, las integrales

r

• a • r+� f convergen o divergen b simultáneamente,

pues-to que

J:f= J:f+ f> para todo ex � a.

Anúlogamente, si f:( -00, a]-+IR es una función integrable en todo intervalo

[ex, a], ex � a y es b < a, las dos integrales f�", f y f� '" f tienen el mismo carácter.

Sea ahora f: IR-+ IR una función integrable en todo intervalo cerrado. Se ha

definido que la integral r+" f es convergente cuando y sólo cuando existe un a E IR

tal que las dos integrale; r� f y r+ � f son convergentes. Pues bien, el carácter de

la integral r+ � f no dep;n�: del �:nto a elegido y lo mismo ocurre con el valor

de la integ;allfcuando sea convergente.

r+ac fes

2. Cuando la integral . -� convergente, su valor es el límite

Sin embargo, este limite puede existir sin que la integral sea convergente. Tal ocurre, por ejemplo, con la función f(x) = 2x para la que se verifica

pero la integral f:: f diverge, pues para todo a E IR es

lím fa 2x dx = lím (ex2 _ a2) = + 00

Cl: ... +� a a-+oc,

ANALISIS MATE MATICO 1 1/7

f+CC

V. P. _ "" f al límite

cuando este límite existe y es finito. 1.2. CRITERIOS DE COMPARACION

conver

;

r

:

los criterios análogos para las integrales de la forma f� � f constituirá sin duda un

buen ejercicio para el lector.

Proposición: Sea f: [a, + coj--->IR una función no negativa e integrable en todo intervalo [a, a], a:;, a. Entonces la integral I+ '" f converge si y sólo si la función F: [a, + co)--->IR definida por F(a) = f:f está acotada superiormente.

Demostración: Como f es no negativa, F es creciente y tendrá límite finito o

infinito según que esté acotada superiormente o no.

Proposición. (Primer criterio de comparación): Sean f y g dos funciones de [a, + ex)) en IR integrables en todo intervalo [a, a J, a:;, a, y supongamos que existe un b > a tal que O �f(x) � g(xj para todo x:;,b. Si la integral I g es convergente, enton-ces la integral f: "" f es también convergente. Si la i�t:gral f: '" f es divergente,

entonces la integral f: � g es también divergente.

D f+�

g'","

�:::::'::"�:::;f?

�

::

��::�:

:�:

::�

:

,

:: :

::

todo x:;,b, la función G:[b, +co)--->IR definida por G(aj = J: g está acotada superior­

mente. Por ser f(xj � g(xj para todo x:;,b, la función F : [b, +co)--->IR definida por F(a) = J:f también está acotada superiormente, luego la integral f:'" f es

conver-gente y, por tanto, la integral f:� f es también convergente.

1/8 ANALlSIS MATEMA neo 1

Supongamos ahora que la integral f: 'L f es divergente, Entonces la integral

f: oc f es también divergente y la función F(a:) = f: f no está acotada superiormente,

Lo mismo ocurre con la función G(a:) = f: 9 y, PQr tanto, la integral f: _{oc 9} es

divergente, luego la integral f: x 9 es también divergente.

Proposición. (Segundo criterio de comparación): Sean f y 9 dos funciones de [a, + !Xl) en [f;¡ no negativas e integrables en todo intervalo [a, iX], a: ?o a, Y supongamos que

lím f(x) = I E [f;¡.

x� + ac g(x)

f+c< f+oc

Si 1 # 0, entonces las dos integrales a f y a 9 tienen el mismo carácter. Si 1 = 0 y

f+� f+oc

la integral a 9 es convergente, entonces la integral a f es también convergente.

Demostración: Si 1 # 0, existe un b ?o a tal que para todo x ?o b se verifica

y, por tanto,

1 3

21 9 (x) Q(x) ";21 9 (x)

y, para concluir, basta aplicar dos veces el primer criterio de comparación. (Obsér­

vese que por ser 1#0 las tres integrales

tienen el mismo carácter).

r+� r+�l g, _{2 I} 9 y

"' a .., a I+CL 3

-Ig

a 2

Si 1 = 0, existe un b?o a tal que para todo x ?o b se verifica y, por tanto,

ANA LIS I S MATE MATICO 1 1;9

Observaciones:

1. En el segundo criterio de comparación, si 1=0 Y la integral

r+

• a

divergente no se puede afirmar nada sobre el carácter de la integral •

r+ xI

ve considerando, por ejemplo, las funciones g(x)=x, 1¡{x) = l/x y 12(X)= l/x2 La

integral

r+

r+

� 1 v 1

integral

r+

• 1

2. Como las dos integrales

r+ x.

r+

x ( -f) tienen el

o.J a .... a

1(x)�O para todo x�a, para estudiar el carácter de la integral el carácter de la integral

r+

• a

mismo carácter, si es

r+x

3. Para poner en práctica los criterios de comparación debemos disponer de algunas integrales de carácter conocido. Uno de los tipos de integrales más utiliza­ dos para este objeto es el de las integrales de la forma

r+

r , a>O,

.., a X

que como sabemos convergen cuando r> I y divergen cuando r� 1. Ejemplos:

1. Del primer criterio de comparación se deduce que la integral

r+

• 1 •

es convergente puesto que para todo x � I se verifica

y la integral

es convergente.

sen2 x 1 O� 2 =(2 _{x x}

1/10 ANALISIS MATEMATICO I

2. Por el segundo criterio de comparación resulta que la integral

es convergente puesto que

y además, lím y la integral es convergente. 1 sen2� x --= 1 1 X2 1.3. CONVERGENCIA ABSOLUTA

Proposición: Sea f: [a, + 'Xl) --> IR una función integrable en todo intervalo

[ a, IX], IX?- a. Si la integral r H Ifl es convergente entonces la integral r+ � f es también

• L' a .., a

convergente.

Demostración: Para todo x?- a se verifica

� lf(x)1 4(x),s; [{(xli

y, por tanto,

O,s; lf(x)1 � f(x),s; 2 [{(xli

Entonces, como la integral r+ � lfI es convergente, por el primer criterio de compa­ ración la integral r+� (lfI�fia es también convergente y de la igualdad

ANALISIS MATE MATICO I 1/11

se sigue la convergencia de la integral r+"'f • a

Observación: La recíproca de la proposición anterior no es cierta en general.

Para ver esto consideremos la función J(x) = sen x/x, x;;' n. Entonces

r'''n '" rk" Isen xl 2" I r'" IJI= L -- dx;;' L -Isenxl 01 11: k=2..,¡k-l)1t X k=2 kn OIfk-l)1t 2 2" dx=- L k 1t k=2 2 [1 (1 1) (1 1 1 1) ( 1 1 )] > ¡¡ 2+ 4+4 + 8+8+8+8 + ... + 2" +"'+ 2" 2 (1 1 _I 1) _{2 n n} =¡¡ 2:+2:+2:+"'+2 = ¡¡ 2:= ; luego la función divergente.

F( a) = r" IJI no está acotada

. "

y, por tanto, la integral r+c.c, IJI es

. "

Sin embargo, integrando por partes, resulta

y como

se tiene

r" sen x d _ cos a cos n r" cos x d

x - ---+ --- -2- x .., 11: X ex n 0I 7t x y 1, 1m cos --a O = a---> + % ex y Icosx I _1 _X 2 ::s; _X 2 r+ '" cos x -2- dx con verge " x

y, por tanto, existe y es finito el límite

1m -- x l' r" senx d

(1---+ + ex, 01 TI: X

1/12 ANALlSIS MATEMATICO 1

Definición: Sea f: [a, + _{oo) --->1Rl una función integrable en todo intervalo [a, a],} f+c�

a;:. a. Se dice que la integral J es absolutamente convergente cuando la integral

f+� a IJI es convergente. Se dice que la integral .a f+z J es condicionalmente convergente

f+� .a f+�

O semiconvergente cuando la integral .., a J es convergente pero la integral .., a IJI es

divergente.

Según esto, la proposición anterior podría enunciarse diciendo que la conver­ gencia absoluta implica la convergencia.

1.4. INTEGRALES IMPROPIAS DE SEGUNDA ESPECIE

1.4.1. Sea J: [a, b) --->1Rl una función integrable en todo intervalo [a, a], a E [a, b) y sea F : [a, b)---> lRl la función definida por

F(a) = fa f{x) dx • a

para cada a E [a, b). El par de funciones (1, F) se llama integral impropia de J en el

intervalo [a, b) y se designa por J:- J o por J:-J(x) dx.

Se dice que la integral impropia fb -J es convergente cuando existe y es finito • a

el límite

y SI este límite es igual a I (EIRl), se escribe

fb-J(x) dx = 1 • a

y se dice que I es el valor de la integral impropia fb -f • a

Cuando el límite anterior no existe o es infinito, se dice que la integral impropia • fb a -J es divergente.

ANALISIS MATEMATICO 1 1; 1 J

Sea ahora f (a, b)---> � una función integrable en todo intervalo cerrado

contenido en (a, b). Si para algún e E (a, b) las dos integrales Jb _f y Jb -f son

a+ a

convergentes, se dice que la integral fb-f es convergente y su valor es, por

defini-ción, • u+

fb- f' fb-f= f+ f

.... a+ " a+ .., c:

En otro caso, se dice que la integral f' -f es divergente . • a+

Ejemplos:

1. La integral

es convergente SI r < l Y divergente si r;? 1 puesto que

f' dx • )b-x)' y, por tanto, 1 r f" dx (r-l)(b-a)' 1 SI 1m a�b-. a(b-x)' - 00 SI +00 SI

2. De manera análoga se ve que la integral Jb dx a+ (x-a)' es convergente SI r < 1 y divergente si r;? 1. SI r # 1 SI r= 1 r<1 r> 1 r=1

1.4.2. Las demostraciones de las cuatro proposIcIOnes siguientes son análo­ gas a las de 1.2 y 1.3.

Ll4 ANALlSIS MATE MATICO 1

Proposición: Sea f [a, b)-+iR una función no negativa e integrable en todo intervalo [a, a], a E [a, b). Entonces la integral

rb-

• a

F: [a, b)-+ iR definida por F (a) =

ra

. ,

Proposición. (Primer criterio de comparación): Sean f y g dos funciones de [a, b) en IR: integrables en todo intervalo [a, a], a E [a, b), y supongamos que existe un

e E [a, h) tal que O<;;f(x)<;;g (x) para todo x E [e, b). Si la integral

rb-

ge!lte entonces la integral

rb -

rb -

rb -

• a

• a

Proposición. (Segundo criterio de comparación): Sean f y g dos funciones de [a, b) en iR no negativas e integrahles en todo intervalo [a, a], a E [a, h), y supongamos que

Si 1 * O entonces las dos integrales

integral

rb -

rb -

rb -

. a . a

rb-entonces la integral f es también convergente • a

Proposición: Sea f: [a, b)-+iR una función integrable en todo intervalo [a, a], a E [a, h). Si la integral

rb -

rb -

v a v a

convergente.

Definición: Sea J: [a, b)-+iR una función integrable en todo intervalo [a, a], a E [a, b). Se dice que la integral

rb

. "

integral f:-111 es convergente. Se dice que la integral f:-f es condicionalmente convergente o semiconvergente cuando la integral

rb -

• a

rb -

Ejemplos:

ANA LISIS MATEMATICO 1

consideramos las dos integrales

f' log x log(l-x)dx y

• o _{. ,} f1-IOg x log(l-x)dx

donde e E (O, 1). La primera de ellas es convergente en virtud del segundo criterio

de comparación puesto que

l. log x log(l-x) 1m _-1

x->O+ X O

y la integral f" x dx es convergente. Asimismo, del segundo criterio de

compara-• 0+

ción se deduce que la segunda integral es también convergente, puesto que,

1, logx log(l -x)

1m _-1

x-1- (l-x) O

y la integral fl -(1 -x) dx es convergente. Por consiguiente, la integral

. ,.

fl-log x log(l-x)dx

• 0+

es convergente.

2. Del primer criterio de comparación se deduce que la integral fl- sen x dx

. -1�

es absolutamente convergente, puesto que

y la integral

es convergente.

I sen x I 1 � ";(I_ X)1/2

1.4.3. También es posible considerar integrales impropias de tipo mixto, tales como

_f+

1/1 6 ANALlSIS MATEMATICO I

rb r+�'

dos integrales f y f son con vergentes _y, en este caso, el valor de la integral

f+� .a+.b

a+

f+�' rb r+�

a+ ..,a+ "b

Ejemplo: Para determinar el carácter de la integral

consideramos las dos integrales

r+�

• 1

+

r+�

.b

donde b > 1. La primera de ellas es convergente en virtud del segundo criterio de

comparación, puesto que

y la integral lím (X_l)1/2 logx x-l

+

rb

es convergente, Asimismo, del segundo criterio de comparacÍón se deduce que la segunda integral es también convergente, puesto que

y la integral es convergente, 1, 3/2 log x 1m x x -+

+

Ejercicios de autocomprobación

1. Probar que la integral

r+� _{e -X cosxdx}

, o

es convergente y calcular su valor.

2. Determinar el carácter de las siguientes integrales:

a) b) c) r+'J� e - X senx ;-::--:, dx. , o vx+1 r1 1 _cos-dx. .., 0+ X r+�· dx ,0+ Jx(l + eX)

3. Probar que las integrales fn!2

1 = log sen x dx

0+ y

fn!2-J = o log cos x dx

convergen y son iguales y calcular sus valores.

1/18

4. Sabiendo que

f+ "" sen x dx = 1!.,

x 2

0+

probar las siguientes fórmulas: r+ OC! sen2 x _n --2-dx = -2 ' v O+ X 5. Calcular Ir xI nt lím - -tg--dt . x- + � x • 1 t 2t + l

ANA LISIS MATEMA neo I

r+ :v sen: x dx =�. . 0 + X 3

Soluciones a los ejercicios de autocomprobación

1. Sea (1 > O. Integrando por partes resulta

y, por tanto,

luego

fa e-Xcosxdx=[e-Xsenx]�+ fa e-Xsenxdx

� O � O

= [e-X sen xn + [ _e-X cosx]� - fa e-X cos x dx • o

-x sen C( cos rx 2 fa e cosxdx=---+ 1 ., o eCJ. ea. fa 1 (sen x cos (1 ) e-x cosxdx=- ---+ 1 2 eCJ. eCJ. • o

y pasando al límite cuando (1 tiende a + CJJ se deduce que la integral propuesta

es convergente y que 2. a) Para x � O se tiene

f+'" e-x cos xdx =2' 1

• o

1.21 ANA LISIS MATEMATICO 1

y como

la integral r+' e-X dx converge y, por el primer criterio de comparación, la

• o

integral propuesta converge absolutamente.

b) Sea !Y. E (O, 1). Haciendo el cambio de variable x = lit resulta

y como

la integral

r' _cos-dx= 1 rIla cos t -2- dt .., ex X .., 1 t Icos ₂ ti _� � ₂ t t y r+� 2 dt converge, • I t r+x cos t --dt _[2 • I

converge absolutamente, y pasando al límite cuando !Y.-+O+ en la igualdad

anterior se deduce que la integral propuesta es convergente. c) Sea a> O. Como

lím XI/2

lím

x---+O+ jx(1 +eX) x---> O +

y la integral ra X-112 dx converge, la integral

Jo+

también converge. Como

ra _;==.dx = . 0 + jx(l +e") 1 1 Ji lím lím

_j1;3

ANALlSIS MATEMATICO I

y la integral rb x-2dx converge,

• a la integral

también converge. Por tanto, la integral propuesta es convergente.

3. La integral

r"12

J, = -Iog sen x dx

• 0+

tiene el mismo carácter que J y su integrando es no negativo, y, como

-lag sen x lim X 1/2

x---+O+ x-o+ l. (cos x)/(sen x) im (1/2)x 312 lim (2� x 112 cos x) x--->o+ sen x = O 122

y la integral r"12 X112 dx converge, por el segundo criterio de comparación JI

• 0+

converge y, por tanto, J converge.

Sea C( E (O, n/2). Haciendo el cambio de variable x = n/2 -t resulta

r" log cos x dx = -r"12-0 log cos (n ) r2" -t dt = log sen t dt "12

..,0 .,1[/2 0)1t/2-a. y pasando al límite cuando C(--;n/2 - se obtiene J = J.

Sean ahora C( y {J dos números reales tales que 0 < C( < {J < n/2.

Se tiene

rp _{log sen x dx + log cos x dx = log} rp rp sen 2x -2-dx =

'" o: '" IX OJ a.

=(C(-{J) log 2 + r log sen 2xdx= . "

l _f2P

=(C(-{J) log 2+2" log sen t dt _2a

1;23

y pasando al límite cuando IX-->O+ y {J-->n/2 - resulta

n

¡frr--1 + J = --log 2 + - log sen _I di = 2 2.0+

n ¡ ¡

= ---log2+-I +-1 2 2

2-ANALlSIS MATE MATICO 1

(Este último paso puede verse haciendo el cambio de variable 1= n - u en la

última integral). En consecuencia, y, por tanto, n 1 = J = --log 2. 2

4. Sean _{IX y {J} dos números reales tales que _{0 < iJ. <} {J. Integrando por partes resulta

fp sen2 x [ sen2 xJP fP _{--2-dx= --- +} 2 sen x cosx _dx=

"' o: x X él ., a X

= sen2 iJ. _ sen2 {J + r2/J sen t dt iJ. {J • 2" t

y pasando al límite cuando iJ.-->O+ y {J--> + OC! se obtiene

r+'Lsen2x _ f+CJ.Jsent rr

--2- dx= - -dt=-.

• 0+ x .0+ t 2

ANALlSIS MATEMATICO I

se tiene

fp sen4 x fP senl x �� dx= �� dx-- --- dx= 1 fP senl 2x

Xl Xl 4 X2 a .., a .., a fp sen2 X 1 f2P sen2 t = --2- dx-- -2-dt a X 2 22 t . .

y pasando al límite cuando IX-->O+ y fl--> + CIJ resulta

Finalmente,

f+ ce sen4 X fhL sen 2 X 1 f+ x. sen22 t dt

___ " .

--2- dx= --,-

dx--.0+ X .0+ X 2.0+ t 4

fp sen4 x [sen4 xJP 4 fP sen3 x cosx _{�-4-dx= --3�3-} + -3 3 dx=

Ol a X X 2 Ol a X

1,..24

= [_ sen 4 x JP _ � [ sen 3 x cos X JP + � fP 3 sen 2 x cos 2 X -sen 4 x d X

3x3 3 Il 2x2 a 3 01 Il X2

y como

3 sen2xcos2 x-sen4x=3 sen2 x(l -sen2x)-sen4x=3 sen2 x-4sen4 x, resulta

�� dx= -�� -- + 2 �� dx-- � � dx

fPsen4x [sen4xJP 4 [sen3xcosxJP fPsen2x sfPsen4x _{x4 3x3 3 2X2 X2 3 Xl}

01 a a a .., a 01 Il

y pasando al límite cuando IX-->O + y fl --> + CIJ se obtiene

5. La función 1: [1, + CIJ)->IR definida por 1 rrt

f(t)=- tg � -t 2t + 1

para cada t;:;, 1 es positi va y como

. 1 (" rrt)l n J(t) = - ctg --� - =- ctg �-t 2 2t + 1 t 4t + 2 sen: x dx=�. _{x 3} 1 " t tg 4t + 2 2 5

1 25 se tiene lim f(t) = lim 1 I---+ + CL t- + CL n t tg 4t + 2 ANALlSIS MATEMATICO I 4 n

y por el segundo criterio de comparación, las integrales

r+ oc f(t) dt

• I

y

tienen el mismo carácter. Como la segunda es divergente, también lo es la primera y, por tanto,

Ix 1 nt

lim - tg -2 1 dt = + 00,

x- +;L . .., 1 t t +

Además, f es continua y, por el primer teorema fundamental del cálculo, la

función F : [1, + (0)--> IR definida por F(x) = ¡X f(t) dt es derivable y F'(x) =f(x)

• 1 _

para cada x � 1, Y el límite pedido puede calcularse aplicando la regla de I'Ho­

pital:

1, 1m F(x) --= l' 1m F '(x) = l' 1m j' (x) =-4

Tema 11

Las funciones eulerianas

Esq uemajResumen

2.1. La jilllCióll gamma de Euler.

2.2. La función heta de Euler.

2.3. A Igunas fórmulas notahles.

Muchos procesos de cálculo pueden abreviarse haciendo intervenir las fun­ cIOnes eulerianas. Dichas funciones vienen definidas por integrales impropias.

La función gamma de Euler es la función de (O, + ro) en IR definida por

r+x

r(p) =

- 0 +

para cada número real positivo p.

La función beta de Euler es la función de (O, + CXl) X (O, + CXl) en IR definida por fJ(p, q) = r1- xp- 1 (1 �X)q-l dx

_ 0+

para cada par de números reales positivos p y q.

Mediante una integración por partes se prueba que r(p + 1) = pr(p) para todo p > O. De esta relación resulta que r(p + l ) = p ! para todo número natural p.

Con el cambio de variable x ₌ sen 2 t se obtiene otra expresión útil de la

función beta:

fJ(p, q) = 2 rn/2- sen2p-1 xCOS2q-1 x dx

_ 0 +

11/2 _{ANALISIS MATEMATICO} 1

En 2.3 se enuncian otras dos propiedades importantes de las funciones gam­

ma y beta de Euler y, a partir de ellas, se obtienen algunos valores de estas

funciones.

Los ejercIcIOs de autocomprobación son ejemplos de cálculo de integrales mediante las funciones eulerianas.

2. 1. LA FUNCION GAMMA D E E U LER Proposición: La integral

es convergente si p> O.

Demostración: Probaremos que la integral

1 = fl xp-1 _{e -X} dx

• 0+

es convergente cuando p>O y que la integral

es convergente para todo p E _IR.

Si P':? 1 , 1 es convergente puesto que su integrando es una función contínua

y, por tanto, integrable en [O, 1]. Si O < p < 1 , como para todo x>O se verifica

y 1 - p < 1 , el pnmer criterio de comparación prueba que 1 es convergente.

Por otra parte, como

lím X 2

xp+1

lím �-= O

x- +oc, e" '

1l¡4 ANA LISIS MATEMA Tleo I

la convergencia de J se sigue del segundo criterio de comparación

Definición: La función gamma de Euler es la función r: (O, + CXl) ---+ IR definida por

para cada p E (O, + _CXl).

Proposición: Para todo p > O se verifica

Demostración: Sean a y {J dos números reales tales que O < a < {J. Integrando

por partes resulta

-w e - P + p rp xp- 1 e -X dx • a

y pasando al límite cuando a---+O + y {J---+ + CXl se obtiene

En particular, SI p E _!Y, f(P + 1 ) = p(p- l) ... 2. 1 . f(l) y como resulta r+ oc r(1 ) = e -x dx = lím ( l -e -P) = l , .., o p ... + oc,

2.2. LA FUNCION BETA D E EULER Proposición: La integral

ANALlSIS MATEMATICO 1

Demostración: Como

. xP-1(I_x)q- l

1 = hm _{( I - )q 1} x-l - X

por el segundo criterio de comparación las integrales

y

son convergentes SI y sólo si las integrales

fl/2 � _l-p

01 0+ X

y .112 fl- dx

( I _ X)1 q

lo son, y esto último ocurre cuando y sólo cuando p > O Y q> O.

11/5

Definición: La función beta de Euler es la fimción 13:(0, +Cú)x(O, +Cú)->Illi definida por

f3(p, q) = fl-xP-1( I _ x)Q - 1 dx • 0+

para cada par de números reales positivos p y q.

Proposición: Para cada par de números reales positivos p y q se verifica

f"12-f3(p, q) = 2 sen2p-lxcos2Q-lx dx

0+

Demostración: Sean � y '1 dos números reales tales que O < � < '1 < 1. Con el

cambio de variable x = sen2 t se obtiene

de donde, haciendo tender � a O por la derecha y '1 a 1 por la izquierda, se sigue el

resultado.

2.3. ALGUNAS FORMULAS NOTABLES

Otras propiedades importantes de las funciones gamma y beta de Euler que

admitiremos sin demostración son las siguientes:

11/6 f(p) f(q) 1. P(p, q)= f(p + q) , (p > O, pO) 2. f(p) r( l -_{p) =}

n

La propiedad 2 se conoce con el nombre de fórmula de los complementos.

resulta

En particular, como (

p

r·/2

n

n=p(� �)Jr(DJ [r(�)J2

y como rrp) > ° para todo p > 0,

y, por inducción, resulta que para todo p E N se verifica

(

n

(Con el símbolo (2p - l )!! se designa el semifactorial de 2p - l que, por definición, es

el producto (2p - 1) (2p -3) ... 5.J. 1 . Análogamente, el semifactorial de 2p es (2p)!! = (2p) (2p -2) ... 6.4.2.)

Ejercicios de autocomprobación

Calcular las siguientes integrales:

2. r1 x3 log x dx. • 0 + r2 3. sen" x dx n E N. • o 4 . rn/2 - dx • 0+ � rh dx 5. 1 +x6 • o r1- d 6 . • -1+ �(l+X)� (l-x) 33

Soluciones de los ejercicios de autocomprobación

1. Sea a > O. Haciendo el cambio de variable X2 = t resulta

y pasando al limite cuando a--+ 00 se obtiene

2. Sea a E (O, 1). Con el cambio log x = -t/4 se deduce

I x3 logx dx= -/6 f:410g, te-/ dt y pasando al limite cuando a--O + resulta

3. Se tiene

r1

.0+ 1 6 1 6

4. ANALlSIS MATEMATICO 1 Ahora bien, si n = 2k -1, y SI n=2k, luego �f3(n+1 _I)=�f3(k �)=� r(k)íG) 2 2 ' 2 2 ' 2 2 _í ( 1) k+-2 (k-1)! 2k-1 (2k-2)!! (2k-1)!! (2k-1)!! (n-1)!! = _n!! 1 (2k -I)!! n (2k -1)!! n = _{2" 2k. kl (2k)!! 2} (n-1)!! n _n" "2'

f

11;10 ANALlSIS MATEMATICO 1

5. Sea (X> o. Haciendo el cambio x3 = tg t se obtiene

y pasando al límite cuando (X-> + OC! resulta

n n n 3 6 sen(j

6. Sean ¿; y r¡ dos números reales tales que 0< ¿; < r¡ < 1. Haciendo el cambio de variable x = 2t -1 resulta

y pasando al límite cuando ¿;-> -1 + Y r¡-> 1- se obtiene

n 2n sen�= J3

Tema IH

Límites superior e inferior de una sucesión de números reales.

Esquema/Resumen

3.1. Subsucesiones.

3.2. Puntos de aglomeración. 3.3. Limites superior e inferior.

En este tema se estudian algunas cuestiones complementarias sobre sucesio­ nes de números reales que se utilizarán en los temas posteriores.

Cuatro son los nuevos conceptos introducidos en el tema: el de subsucesión o sucesión extraída de otra, el de punto de aglomeración de una sucesión y los de límite superior e inferior de una sucesión de números reales.

Se dice que una sucesión (bn) es una subsucesión o una sucesión extraída de otra (an) cuando existe una aplicación f de N _en N _{estrictamente creciente tal que}

bn = af'nl para cada n E N.

Se dice que un a E [J;\ es un punto de aglomeración de una sucesión (an) cuando existe una subsucesión (bn) de (an) que tiene por límite a.

El límite superior de una sucesión (an) de números reales es el límite de la suceSlOn (bn) definida por bn=sup {ak:k;;,n} para cada n E N _{en el caso de que la}

sucesión (an) esté acotada superiormente, y + CIJ en otro caso.

El límite inferior de una sucesión (an) de números reales es el límite de la suceSlOn (bn) definida por bn = inf{ak : k ;;' n } para cada n E N _{en el caso de que la}

sucesión (an) esté acotada inferiormente, y -CIJ en otro caso.

3.1. SUBSUCESIONES

Definición: Sean (an) y (bn) dos sucesiones de números reales. Se dice que (bn) es una subsucesión o una sucesión extraída de la (an) cuando existe una aplicación f: N--> N estrictamente creciente tal que bn = a¡,n) para todo n E N.

Ejemplo: Sea (an) la sucesión de números reales definida por an = ( -1)" para cada n E N. Las sucesiones (bn) y (cn) definidas, respectivamente, por bn = -1 Y cn = 1 para cada n E N son dos sub sucesiones de (an), pues para J(n) = 2n -1 Y g(n) = 2n

se tiene b n = a¡ln) Y cn = ag1n)·

Proposición: Si (an) es una sucesión de números reales tal que lim an = a E IR Y n

(bn) es una subsucesión de la (an) entonces lim _n bn = a.

Demostración: Sea f: N--> N una aplicación estrictamente creciente tal que bn = a¡,n) para cada n E N. Se tieneJ(1)�1 y, siJ(n-l)�n-l, entoncesJ(n» n-l, ya que J es estrictamente creciente. Por consiguiente, J(n) � n para todo n E N.

Además, para cada entorno N(a) existe un no E N tal que an E N(a) para todo n � no' Pero para todo n�no esJ(n)�n�no y, por tanto, bn = a¡ln) E N(a), luego,

efectivamente, lím _n bn = a.

Proposición: Sean (an) una sucesión de números reales, J y 9 dos aplicaciones de N en N estrictamente crecientes y tales que J(N) \) g(N) = N Y (bn) y (cn) las subsuce­ siones de (an) definidas, respectivamente, por bn = a¡,n) y cn = ag(n) para cada n E N. Si

lim _n bn =lim cn = a E IR,

n

111;4 ANALlSIS MATEMATlCO I

entonces

lim_, a,=a

Demostración: Para cada entorno N(a) existen dos números naturales n, y n2

tales que b, E N(a) para todo n;,n, y c, E N(a) para todo n ;' n2. Sea no=max{f(n_¡},

g(n2) } Y consideremos un n;,no. Como J(N) U g(N) = N existe un m E N tal que

n =J(m) o n = g(m). Si n =J(m) entonces J(m);,J(ntl y, por tanto, m ;' n" luego a,= bm E N(a). Análogamente, si n = g(m), entonces m;,n2 y, por tanto, a,=cm E N(a).

Por consiguiente, para cada entorno N(a) existe un no E N tal que a, E N(a) para

todo n;,no, luego, lim _, a,= a.

Ejemplo: Sea (a,) la sucesión de números reales definida por

r ljn

a,=_{) ljn2} SI _SI n es Impar n es par

y sean (b,) y (c,) las sub sucesiones de (a,) definidas, respectivamente, por

y

SiJ(n) = 2n - l y g(n) = 2n se tieneJ(N) ug(N)=N, y como Iím b,=lÍm c,=O, tam-_{, ,}

bién Iím _, a, = O.

Proposición: De toda sucesión de números reales se puede extraer una subsuce­ sión monótona.

Demostración: Sea (a,) una suceSlOn de números reales y sea A el conjunto

de los números naturales n tales que a. > am para todo m > n. Puede ocurrir que A

sea vacío, finito o infinito.

Si A es vacío o finito7 existe un n, E N mayor que todos los elementos de A.

Como n,rtA, existe un n2 > n, tal que a";,a,, Como n2rtA, existe un n3 > n2 tal que a";,a,, Continuando este proceso, se construye una sucesión (bk) = (a,J que es una

sub sucesión creciente de (a.).

Si A es infinito y n, < n2 < n3 < ... son los infinitos elementos de A, según la

definición de A se tiene a" > a,, > a,,, > ... , y (bk) = (a,,) es una subsucesión creciente de (a,).

Proposición: De toda sucesión acotada de números reales se puede extraer una subsucesión convergente.

ANALlSIS MATE MATICO I 111/5

3.2. PUNTOS D E AGLOMERACION

3.2. 1. Definición: Se dice que un a E IR es punto de aglomeración de una sucesión (a,) de números reales cuando existe una subsucesión (b,) de (a,) tal que

lim _, b, = a. Ejemplos:

1 . La suceSlOn (a,) definida por a, = ( - 1)" para cada n E N tiene como

puntos de aglomeración - 1 y 1 , puesto que

, , , n

2. La sucesión (a,) definida por a , = ( - 1)"n para cada n E N tiene como

puntos de aglomeración - ro y + ro, puesto que

lim aZ,_¡=lim _{, ,} - (2n - l) = - ro y Iim _, az, = Iim _, 2n = + ro.

Proposición: Si (a,) es una sucesión de números reales tal que lim _, a, = a E IR, entonces a es el único punto de aglomeración de (a,).

Demostración: Para toda subsucesión (b,) de (a,) se verifica lim _, b, = a. Proposición: Toda sucesión de números reales tiene al menos un punto de ag lomeración.

Demostración: De toda suceSlOn de números reales se puede extraer una

su bsucesión monótona que tendrá límite finito o infinito según esté acotada o no.

3.2.2. La siguiente proposición nos da una caracterización importante de los

puntos de aglomeración de una sucesión de números reales.

Proposición: Un a E IR es punto de aglomeración de una suceSlOn de números reales si y sólo si para cada entorno N(a) y cada número natural m existe otro número natural n � m tal que a, E N(a).

Demostración: Supongamos, en primer lugar, que a es punto de aglomeración

de (a,). Entonces existe una aplicación f : N ---> N estrictamente creciente tal que la

sucesión (bk) definida por bk= af(k) para cada k E N tiene por límite a, y, por tanto,

para cada entorno N(a) existe un ko E N tal que bk E N(a) para todo k� ko, y si m

es un número natural arbitrario y k=max{ko, m} el número n = f(k) verifica la

condición del enunciado, puesto que af(k) = bk E N(a) y f(k)�k�m.

Recíprocamente, supongamos que se verifica la condición del enunciado y,

para cada k E N, pongamos

1 II¡6

{

N,(a) = _{(k, + 00]} [ -00, k)

ANA LISIS MATEMATICO I

SI a E Ihl SI a = + oo

SI a = -oo

Sea n I un número natural tal que an¡ E N I(a). Por hipótesis, existe un número

natural n2 > n I tal que an, E N 2(a) y, por inducción, se obtiene una sucesión crecien­

te de números naturales (n,) tal que an, E N ,(a) para todo k E N. Es evidente que la

subsucesión (b,) = (anJ de (an) así obtenida tiene por límite a, luego a es punto de

aglomeración de (an).

3.3. LIMITES SUPERIOR E INFERIOR

3.3.1. _Sea (an) una sucesión de números reales y, para cada n _E N, conside­

remos el conjunto An ={a,:k;¡,n).

Si la sucesión (an) está acotada superiormente, existe sup An para todo n E N y como An+l e An se tiene supAn+.L,;;supAn, luego la sucesión (supAn) es decre­

ciente y, por tanto, tiene límite en _Ihl:

lim (supAn)=inf{supAn:n _n E N).

Este límite es un número real o - 00 según que la. sucesión (sup An) esté acotada

inferiormente o no.

Análogamente, si la sucesión (an) está acotada inferiormente, existe inf An

para todo n E N y la sucesión (inf An) es creciente y, por tanto, tiene límite en Ihl:

lim (inf An ) = sup {inf An: n E N }. n

Este límite es un número real o + 00 según que la sucesión (inf _An) esté acotada

superiormente o no.

Definición: Sea (an) una sucesión de números reales y, para cada n E N, consi­ deremos el conjunto A n = {a, : k ;¡, n}.

Se llama límite superior de la sucesión (an) y se designa por lim _{an al elemento}

n

de Ihl definido por

(sup An) si (an) está acotada superiormente en otro caso

ANALlSIS MATEMATlCO 1 11117

{ Iim (inf A.)

lim a = •

_ .

• -₀₀

si (a.) está acotada inferiormente en otro caso.

3.3.2. Si (a.) es una sucesión acotada superiormente, su límite superior pue­

de ser un número real o -oo.

Proposición: Sea (a.) una sucesión de números reales y sea a E Ihl. Entonces

Iím a. = a si y sólo si se verifican las dos condiciones siguientes:

•

1. Para cada x > a existe un m E N tal que a. < x para todo n;;.m.

2. Para cada y < a y cada número natural m existe otro número natural n;;. m tal que a. > y.

Demostración: Para cada n E N sea A. = {ak : k;;.n}.

Por definición de límite superior es Iim an = a E Ihl si y sólo si inf {sup An : n E N }

•

= a E Ihl, Y esto ocurre cuando y sólo cuando se verifican las dos condiciones siguientes:

a) Para cada x > a existe un m E N tal que sup Am < x.

b) Para cada y < a y para cada número natural m es y<sup Am'

Pero estas dos condiciones son, respectivamente, equivalentes a las dos con­ diciones del enunciado.

Proposición: Sea (a.) una sucesión de números reales. Entonces si y sólo si lím a. = - oo .

•

Iim _n a. = - oo Demostración: Para cada n E N sea A. = {ak : k;;.n}. Será Iím a . = -":fJ SI Y

•

sólo si la sucesión (sup A.) no está acotada inferiormente, es decir, si y sólo si para

cada e E Ihl existe un m E N tal que sup A m < e, y esto ocurre cuando y sólo cuando

para cada c E Ihl existe un m E N tal que a. < c para todo n;;. m, o sea, cuando y

sólo cuando Iím an = - oo .

•

3.3.3. De manera análoga se demuestran las dos proposIcIOnes siguientes: Proposición: Sea (a.) una sucesión de números reales y sea a E Ihl. Entonces

Iím a. = a si y sólo si se verifican las dos condiciones siguientes: -_•

1 . Para cada x > a y cada número natural m existe otro número natural n ;;' m tal que a. < x.

111/8 ANA LISIS MATEMATlCO I

2. Para cada y < a existe un m E N tal que a. > y para todo n � m.

Proposición: Sea (a.) una sucesión de números reales. Entonces lím a. = + 00 si

•

y sólo si Iím a. = + OO •

•

3.3.4. Proposición: Sea (a.) una sucesión de números reales Entonces a es el mayor de los puntos de aglomeración de (a.).

tal que lím a. = a .

•

Demostración: Si a = + 00, entonces (a.) no está acotada superiormente, luego

para cada c E IR Y para cada número natural m existe otro número natural n � m tal

que a. E (c, + 00) y por la proposición 3.2.2, + 00 es un punto de aglomeración de

la sucesión (a.) y, evidentemente, es el mayor.

Si a = - 00 entonces lím a. = - 00 y, por tanto, - 00 es el único punto ae

• aglomeración de (a.).

Finalmente, supongamos que a E IR y sean B > O y m E N. Como a + B > a,

existe un número natural no tal que a. < a + B para todo n � no y como a - B < a,

existe un número natural n � máx {m, no} tal que a. > a - B. Por consiguiente, existe

un número natural n � m tal que a. E (a - B, a + e) y, por la proposición 3.2.2, a es

un punto de aglomeración de (a.). Además, es el mayor, pues si (a.) tuviese otro

punto de aglomeración X > a, eligiendo un y E IR tal que X > y> a, por ser x punto

de aglomeración y ser X > y, para cada número natural m existiría otro número

natural n tal que a. > y, y por ser a punto de aglomeración y ser y> a, existiría un m E N tal que a. < y para todo n � m, y estas dos propiedades son incompatibles.

ces a

y

De manera análoga se demuestra la siguiente

Proposición: Sea (a.) una sucesión de números reales tal que es el menor de los puntos de aglol eración de (a.). Iím

a. = a. Enton

-•

3.3.5. Proposición: Sea (a.) una sucesión de números reales. Entonces

-• •

Iíma.=líma.=a si y sólo si Iíma.=a.

• • •

Demostración: El límite inferior y el límite superior de (a.) son, respectiva­

ANALlSIS MATEMATICO I 111/9

Si lím an = lím an = a, de las proposIcIOnes de 3.3.2 y 3.3.3 se deduce que si n n

a = + 00 (respectivamente, a = -00) entonces Iím an = + 00 (resp. Iím an = - 00) y que

n n

si a E IR entonces para cada e> O se tiene a -e < a < a + e y, por tanto, existe un m E N tal que a -e < an < a +e para todo n:;;,m, luego Iíman = a. _n

Finalmente, si Iím _n a n = a entonces a es el único punto de aglomeración de (an) y como el límite inferior y el límite superior de (an) son puntos de aglomeración

de (an), será Iím an = Iím an = a. n n

Ejercicios de autocomprobación

1 . Sea (a.) una suceSlOn de números reales, tal que las subsucesiones (az._¡), (az.) y (a3.) son convergentes. Probar que la sucesión (a.) es convergente. 2. Probar que la sucesión (a.) definida por

es convergente y calcular su límite.

3. Sea (a.) una sucesión de Cauchy de números reales y sea a un punto de

aglomeración de (a.). Probar que (a.) es convergente y que Iím a. = a . 4. Sea (a.) una sucesión de números reales. Probar que

Iím ( -a.) = _Iím a •.

• •

•

5. Sean (a.) y (b.) dos sucesiones de números reales. Probar que se verifican las

desigualdades

a) Iím a. +Iím b. ,¡;;lím (a. + b.) ,¡;;Iím a. + lím _b.

n n n n n

b) Iím a. + Iím _b.,¡;; Iím (a. + _bn),¡;; lím a. + lím bn

n n n n n

siempre que las sumas estén definidas.

6. Sea (a.) una sucesión de números reales positivos. Probar que

111, 1 2 ANALlSIS MATE MATICO 1

lím SI lím an>O lím n an -p- an n

+CO S I lím an=O

n

7. Sean (an) y (bn) dos sucesiones de números reales positivos. Probar que se

verifican las desigualdades

a) (lí�an) _{(lí:nbn)�lí�(a"bn)�(lí�an) (lí�bn)} b) (lí:nan) _{(lí:nbn)�lí:n(anbn)�(lí�an) (lí:nb")} siempre que los productos estén definidos.

8. Sea (an) una sucesión de números reales positivos. Demostrar las desigualdades

y

lím an+!,;: lím n �a

_ " an n "' _ y Un'

9. Hallar los límites superior e inferior de la sucesión (an) definida por

a) an=( -1)" (1 +�) b) an 2n+(_I)nn

3n+2

n:rc n:rc

c) an=n sen-₃ d) an=(- I)n+senT "

10. Sea (an) una sucesión de números reales positivos tal que lím (an + ¡jan) < 1.

n Probar que líman=O. _n

Soluciones a los ejercicios de autocomprobación

1. Toda subsucesión de una sucesión converge con límite a es también convergen­

te y tiene por límite a.

Las sucesiones (a2n-t) y (a3n) son convergentes. La sucesión (a6n-3) es una

subsucesión de cada una de ellas, luego es convergente y

Iím a2n-t = lím a6n-3 = lím a3n

n n n

Las sucesiones (a2n) y (a3n) son convergentes. La sucesión (a6n) es una subsuce­

sión de cada una de ellas, luego es convergente y

Por consiguiente, Iím a2n =lím a6n = Iím a3n n n n Iíma2n_t =líma2n _{n n}

y si a es el límite común de (a2n-t) y (a2n) y f (n) = 2n-l y g (n) = 2n,

como f ( N) u g ( N) = N,

Iíman=a n

2. Consideremos la subsucesión (a2n). Como a2 = 4 Y a4 = 1 3/4 se tiene a4 -a2 <O.

Supongamos que a2n + 2 -a2n < O. Entonces

1 1

a2n+4 -a2n +2 = 2" (a2n +2 +a2n+ 3) -2" (a2n +a2n+ t)

111 ( 1 5 3 1 1 =4 a2n+2-4(a2n+a2n+I)-4 a2n 3 1 =4 a2n+z-'2 Q2n+2-¡ aZn < o.

ANALlSIS MATE MATICO 1

Por tanto, la sucesión (a2n) es decreciente. Además, está acotada inferiormente (an > O para todo n E N), luego es convergente.

De manera análoga se prueba que la subsucesión (a2n-1) es creciente y está

acotada . superiormente, luego también es convergente. Sean a=lím a2n Y b=lím a2n-l. Como

n n

y

lím a2n_1 =b=líma2n_3, _n se tiene

a -b =lím(a2n -a2n_l) =0 _n

es decir, a=b. Pero para f(n)=2n y g(n)=2n-l es f(N) u g(N)=N y, por

tanto, la sucesión (an) es convergente y

lím an=a _n

Además, sumando miembro a miembro las igualdades

ANALlSIS ).1ATEMATICO I 1 11 1 6

y pasando al límite se obtiene 2a + a = 9, es decir, a = 3

3. Observemos en primer lugar que por ser (an) una suceslOn de Cauchy está

acotada y, por tanto, cualquier subsucesión extraída de ella también está aco­ tada, luego a E IR.

Por ser (Un) una sucesión de Cauchy, para cada 6 > O existe un no E N tal que IU", - unl < 6/2 para m, n ? no, y como U es un punto de aglomeración de (an)

existe un número natural m? no tal que am E (a - [;/2, u + [;/2). Por consiguiente,

para todo n ? no se verifica

luego

6 6 la - al ":: la - a 1 + la - al < - + - = 6 n -""::: n m m

2 2

-n

4. Si (an) está acotada inferiormente entonces ( - an) está acotada superiormente y

SI A n = {a k : k ? n} Y Bn = { - ak : k ? n}, se tiene sup Bn = -inf A n y, por tanto, n n n n

Si (un) no está acotada inferiormente, entonces lím an = -00 y (- an) no está

n

acotada superiormente, luego lím ( - an) = + 00 y también se verifica la

igual-n

dad del enunciado.

5. Si (an) y (hn) están acotadas superiormente y

entonces y, por tanto, n n n =lím (sup A n) + lím (sup Bn) n n n n

Si (an) o (bn) no están acotadas superiormente, entonces

Iím an +lím bn = + 00

n n

1 1 1 ; 1 7 ANALlSIS MATEMATICO 1

y también en este caso se verifica la segunda desigualdad de a).

La primera desigualdad de a) se deduce ahora aplicando el resultado del ejercicio anterior:

Iím a. = lím(a. + b. - b.) ,;; lím (a. + b.l + Iím ( - b.)

n n n n

= lím (a. + b.) - Iím b.

• •

De manera análoga se demuestran las desigualdades de b).

6. Si Iím a. > O entonces la sucesión (a.) está acotada inferiormente y, por tanto,

•

la sucesión (l/a.) está acotada superiormente, y si

se tiene sup B. = I/(inf A.) y, por consiguiente, -1' l l'

B ]' ( 1 ) l 1m -= 1m (sup .) = 1m :---f A =--.

n a" n n In n l' _{1m a"}

•

Si Iím a . = O, para cada k > O existe un n E N tal que a. < I/k, es decir, I/a. > k

•

y, por tanto, la sucesión (l/a.) no está acotada superiormente, luego - 1 _{Iím - = + 00}

• a.

7, Si (a.) y (b.) están acotadas superiormente y

entonces

y, por tanto,

sup C. ';;(sup A.)(sup C.)

Iím (a.bn) = lím (sup C.) ,;; lím (sup A.)(sup Bn)

n • n

ANALlSIS MATEMATICO 1

Si (an) o (bn) no están acotadas superiormente entonces (lím an)(lím bn) = + 00

n n

y también, en este caso, se verifica la segunda desigualdad de a).

1II/ 1 �

La primera desigualdad de a) se deduce ahora aplicando el resultado del eJerCICIO anterior: Si Iím b n - > O,

n

=[Ií�_{(anb,JJ lí� bn}

n

y si lím bn=O, la desigualdad es evidente.

-n

De manera análoga se demuestran las desigualdades de b).

8. Probaremos sólo la primera desigualdad. La segunda se demuestra de manera

análoga.

Sea a = lím (an+ I/an). Si a = _n + 00, no hay nada que demostrar. Supongamos

pues que a E lJ\Ii Y sea b > a. Entonces existe un m E lJ\Ii tal que an + dan < b para

todo n � m y, por tanto,

y por inducción resulta que

para todo k E N, o lo que es igual,

para todo n > m. Por consiguiente,

para todo n > m, y como

Iím_n y!_{amb m = 1,}

111/ 19 ANALlSIS MATEMATICO 1

se tiene

Como esto es cierto para todo b > a, resulta

9. a) 1 y - 1 ; b) 1 Y 1/3; e) + 00 y - 00; d) 2 Y -( 1 + I/fi).

lO. Sea a > ° un número real tal que

Entonces existe un m E N tal que an + l/an <a para todo n � m y, por tanto,

arn+ 1 <a Q,m

2 am+ 2 < a Qrn + l <a a,",

3 am+ 3 < a am + 2 <a Qm'

y por inducción resulta que

para todo k E N, es decir,

para todo n > m, y como lím an - m = O,

n

lím an = O n

TEMA IV

Series de números reales

Esquema/resumen

4. 1 . _{Series de nlÍmeros reales.} 4.2. _{Series alternadas.}

4.3. Series de términos no negativos.

Combinando la adición con el paso al límite se puede dar sentido a la suma de los términos de una sucesión de números reales. Si An es la suma de

los n primeros términos de la sucesión (an), el par de sucesiones ((an), (A n)) se

llama serie de término general an y se designa por L a .. El número real An se

llama suma parcial n-sima de la serie. Si la sucesión (An) tiene límite finito A,

se dice que la serie es convergente y el número A es, por definición, la suma

de la serie. En otro caso, se dice que la serie es divergente.

Un criterio elemental de convergencia para series de términos alternati­ vamente positivos y negativos es el criterio de Leibnitz.

Como la sucesión de las sumas parciales de una serie de términos no negativos es creciente, tendrá límite finito o infinito según que esté acotada superiormente o no. Por consiguiente, una serie de términos no negativos converge si y sólo si la sucesión de sus sumas parciales está acotada superior­ mente. De este hecho resultan dos criterios generales para decidir la conver­ gencia o divergencia de una serie de términos no negativos, los criterios de _{comparación.}

Por comparación con las series geométricas se deducen los criterios del cociente y de la raíz. Un criterio muy útil para las series de términos positivos _{decrecientes e3 el criterio integral.}

4. 1. SERIES DE N UMEROS REALES

Sea (an) una sucesión de números reales y sea (An) la sucesión definida por

para cada n E N. El par de sucesiones ((an), (An)) se llama serie de término general a" y se designa por L a .. El número real An se llama suma parcial n-sima de la serie

L an•

Se dice que la sene L an es convergente cuando existe y es finito el límite

límAn=lím(a¡ _{n n} + a2 + ···an)

y SI este límite es igual a A ( E IR), se escribe

y se dice que A es la suma de la serie L a ..

Cuando el limite anterior no existe o es infinito, se dice que la serie L an es divergente.

Una condición necesaria para la convergencia de una serie es que su término general tienda a cero.

Proposición: Si la serie L an es convergente, entonces lím an = O. n

Demostración: Sea A la suma de la serie y sea (An) la sucesión de sus sumas 57

lV¡4 ANALlSlS MATE MATlCO 1

parciales. Entonces Iím A. = A y como a. = A. - A. _ l'

•

lim a = A - A = O . .

•

Proposición. (Criterio de Cauchy): Una serie La. es convergente si y sólo si para cada E > O existe un número natural no tal que

siempre que n > m ;;' no.

Demostración: Basta tener en cuenta que la suceSlOn (A.) de las sumas par­

ciales de la serie L a. es convergente si y sólo si es una sucesión de Cauchy y que Ejemplos:

1 . La serie armónica L ( l/n) diverge, pues para todo m E N es

¡ 1 1 m ¡ am + l + a m + 2 + ··· +am + m =--¡ +--2 + ··· + -- > -2 = -2

m + m + m + m m

y la condición del criterio de Cauchy no se verifica para E ';;; 1/2.

Este ejemplo prueba que la condición lima. = O, necesana para la con

ver-•

gencia de la serie L a., no es suficiente.

oc

2. Sea r un número real. La serie geométrica I r· converge SI Irl < 1 Y

n = O

diverge si Irl ;;' 1 . En efecto: Su suma parcial n-sima es

y como lím r· + l = O si Irl < l, la sen e converge y tiene por suma 1/( l - r) cuando

•

Irl < 1 . En cambio, si Irl ;;' 1 la serie diverge, pues no se verifica la condición necesaria

de con vergencla.

Proposición: Sean L a. y L b. dos series convergentes. Entonces, para todo par de números reales a, {J, la serie L (aa. + {Jb.) es convergente y

00 oc 00

ANALlSIS MATEMATICO 1 IV¡5

m m

n= 1 n= 1 n = 1

y pasar al límite cuando m tiende a + CIJ.

Proposición: Si en una serie I, an se intercalan (respectivamente, se suprimen) un número finito de términos cuya suma es S, la serie obtenida tiene el mismo carácter, convergente o divergente, que la primera y si A es la suma de I, a., la nueva serie tiene por suma A + S (respectivamente, A - S).

Demostración: Supongamos que se han intercalado k términos. Designemos

por I, bn la serie obtenida y sea am el primer término de la serie dada posterior a

todos los intercalados. Si An Y Bn son las sumas parciales n-simas de I, an y I, bn

respectivamente, se tiene

para todo n ;¡, m - l , de donde se deduce que I, bn es convergente SI y sólo SI lo es

00 '"

I, an y que si ¿ an = A, entonces ¿ bn = A + S. n = 1 n = 1

La demostración para el caso de supresión de términos es análoga.

4.2. SERIES ALTERNADAS

Si (an) es una sucesión de números reales positivos, la sen e I, ( _ 1 )n an se

llama serie alternada.

Proposición. (Criterio de Leibnitz): Si (an) es una suceSlOn de números reales decreciente y con límite cero, entonces la serie alternada I, ( - 1 )" an es convergente.

Demostración: Sea (An) la sucesión de las sumas parciales de la serie L( _ 1)n an0 Como la sucesión (an) es decreciente, para cada n E N se verifican

y

luego la suceslOn (A2n) es decreciente y está acotada inferiormente y, por tanto,

tiene límite finito.

De manera análoga se ve que la sucesión (A2n - l) es creciente y está acotada

superiormente, luego también tiene límite finito.

Además, como la sucesión (an) tiene por límite cero,

lím_n (A2n - A2n_ 1) = lím _n a2n = O

IVj6 _{ANALISIS MATE MATICO 1}

y, por tanto, las dos sucesiones (A2") y (A2"_ I) tienen el mIsmo límite A, luego la

sucesión (A") tiene también por límite A.

4.3. SERIES DE TERMINOS NO N EGATIVOS

Proposición: Sea (a,,) una sucesión de números reales no negativos. Entonces la

serie L a" converge si y sólo si la sucesión (A") de sus sumas parciales está acotada superiormente.

Demostración: Como a" � O para todo n E N, la suceSlOn (A") es creciente y

tendrá límite finito o infinito según que esté acotada superiormente o no.

Proposición. (Primer criterio de comparación): Sean (a") y (b") dos sucesiones de números reales tales que O � a" � b" para todo n � m. Si la serie L b" es convergente, entonces la serie L a" es también convergente. Si la serie L a" es divergente, entonces la serie L b" es también divergente.

Demostración: Si ( A") Y (B") son las sucesiones de las sumas parciales de L a" y L b" respectivamente, se verifica

para todo n � m. De aquí resulta que si la sucesión (B") está acotada superiormente,

también lo está la sucesión (A,,) y que si la sucesión (A") no está acotada superior­

mente, tampoco lo está la (B").

Proposición. (Segundo criterio de comparación): Sean (a") y (b") dos sucesiones de números reales tales que a" � O Y b" > O para todo n E N Y supongamos que

lím a" =1 E IR. " b"

Si I i' O, entonces las dos series L a" y L b" tienen el mismo carácter. Si 1=0 _Y la serie L b" es convergente, entonces la serie L a" es también convergente.

Demostración: Si I i' O, existe un m E N tal que para todo n � m se verifica

y, por tanto,

ANALlSIS M ATEMATlCO I IV/7

Si 1 = 0, existe un m E 1\1 tal que para todo n ;;' m se verifica anlbn ,,;; 1 y, por

tanto, an < bn y el resultado se sigue también del primer criterio de comparación.

Observación: En el segundo criterio de comparación, si 1 = 0 y la serie L. b n es

divergente, no se puede afirmar nada sobre el carácter de la serie L. ano Si son an = O

y b,, = 1 para todo n E 1\1, es 1 = 0 y la serie L. an converge. Si son an = lln y bn = 1

para todo n E 1\1, es 1 = O y la serie L. a" diverge.

Proposición. (Criterio integral): Sea f: [ 1 , + w) -> IR una función posltwa y de­ creciente y, para cada n E 1\1, sea a" ₌ f(n). Entonces, la serie L an y la integral impropia r+ oc. f tienen el mismo carácter.

• 1

Demostración: Sea (An) la sucesión de las sumas parciales de la serie L ano Por

ser f decreciente, para cada k E 1\1 se verifica

es decir,

rk+ 1

f(k+l),,;; f,,;;j(k) • k

y sumando desde k = 1 hasta k = n estas desigualdades se obtiene

y de aquí resulta

integral impropia

r

Ejemplos:

1 . Sea p un número real. La serie L(llnP) es convergente si p > 1 y divergen­

te SI p ,,;; 1 puesto que la integral impropia r+� (1/xP) dx es convergente si p > 1 y

• 1

divergente si p ,,;; 1 .

2. Del primer criterio de comparación se deduce que la serie L(sen2 n)/n3 es

convergente, puesto que

sen2 n 1 0 ";; --3-:::;3 n n

para todo n E 1\1 y la sene L (lln3) es convergente.

IVjH ANALlSIS MATE MATICO I

3. Por el segundo criterio de comparación la sen e

es con vergen te, ya que

n L ---:----=-__=_ (n + l ) ( n + 2) (n + 3) . n hm n2. 1 n (n + l ) (n + 2) (n + 3) y la sen e L ( ljn2) es convergente.

Proposición. (Criterio del cociente): Sea (an) una sucesión de números reales positivos y sean

1, all + 1

éI.= lm -­ -_" an y

Si f3 < 1 entonces la serie L an converge. Si él. > 1 entonces la serie L an diverge. Demostración: Supongamos en primer lugar que f3 < 1 Y sea x un número real

tal que f3 < x < l . Entonces existe un m E N tal que

para todo n � m. En particular,

y para todo k E N,

luego para todo n � m se verifica

donde c=a",x- m, y la convergencia de L an se sigue del primer criterio de compara­

ción, pues al ser O < x < 1 , la serie geométrica L xn converge.

Supongamos ahora que él. > 1 . Entonces existe un m E N tal que an + [ > an

para todo n � m y no se cumple, por tanto, la condición lím_n an=O, necesaria para

la convergencia de L an"

ANALlSIS MATEM ATICO 1 _IV/9

Proposición. (Criterio de Raabe): Sea (a,,) una sucesión de números reales posi­ tivos y sean

el=lím n (1 � a" + l)

, a" y p=lím n (1 �

a" + I). " a"

Si el> 1 , entonces la serie L a" converge. Si P < 1 , entonces la serie L a" diverge. Demostración: Supongamos, en primer lugar, que el> 1 Y sea x un número

real tal que el> X > 1 . Entonces existe un m E N tal que para todo n � m se verifica

es decir, y, por tanto, luego y de aquí resulta con lo que n (l � a" + I» x a" (m � x) a m � n a,, + [ (m � x) a m am + l + ... + a,, < _{< '---';--'"} x � 1 x � 1 (m � x) am a l + ... + a,, « a l + ... + am) + 1 x �

y la serie L a" es convergente, porque la sucesión de sus sumas parciales está

acotada.

Supongamos ahora que P < 1 . Entonces, existe un m E N tal que para todo n > m se verifica

es decir,

(n � l ) a,, < n a" + 1

y, por tanto,