ANÁLISIS MATEMÁTICO UNIDAD N 2: COMPLEMENTO TEÓRICO F U N C I O N E S

Los matemáticos no se ocupan de objetos, sino de relaciones entre objetos, de esta manera tienen la libertad de reemplazar algunos objetos por otros, siempre y cuando las relaciones no se alteren. El contenido para ellos es irrelevante, se interesan únicamente en la forma.

Henri Poincaré – Matemático Francés (1854 – 1912)

1. Par Ordenado

Un Par Ordenado está formado por dos elementos (que pueden ser distintos o iguales) y un criterio de ordenación que establece cuál es el primer elemento y cuál es el segundo.

En el par ordenado: (a ; b) a es la primera componente y b es la segunda componente del par.

Luego: (a ; b)  (b ; a) a menos que a = b.

Pares ordenados iguales: (a ; b) = (c ; d)  a = c  b = d

2. Producto Cartesiano

El conjunto formado por todos los pares ordenados tales que su primera componente pertenece al conjunto A y su segunda componente pertenece al conjunto B se denomina Producto Cartesiano A X B.

A X B = (x ; y) / x  A  y  B

Ejemplo: Dados los conjuntos A = 1 , 2 , 3 y B = a , b efectuar A X B .

A X B = (1 ; a) , (1 ; b) , (2 ; a) , (2 ; b) , (3 ; a) , (3 ; b)

Recordar que se llama Cardinal de un Conjunto A al número de elementos que pertenecen a dicho conjunto, y se simboliza:  A.

Así en el ejemplo:  A = 3 ,  B =2 y  (A X B) = 3 X 2 = 6.

Veamos ahora B X A = (a ; 1) , (a ; 2) , (a ; 3) , (b ; 1) , (b ; 2) , (b ; 3) y su cardinal:  (B X A) = 2 X 3 = 6.

En general, el Producto Cartesiano de dos conjuntos no es conmutativo :

ANÁLISIS MATEMÁTICO

UNIDAD N° 2: COMPLEMENTO TEÓRICO

F U N C I O N E S

A X B  B X A

sin embargo A X B y B X A tienen el mismo cardinal, y se debe a que el producto numérico sí es conmutativo.

 Si A o B son conjuntos infinitos entonces: A X B es infinito.

 Si A =  y B es finito entonces A X B = .

Notas:

√ El producto cartesiano lo representamos mediante diagrama de Venn-Euler o en sistema de ejes cartesianos.

√ Realizar los ejercicios correspondientes del trabajo práctico 2.

3. Relaciones

R es una Relación de A en B si y sólo si R  A X B .

Sea A = 3 , 4 , 7 y B = 1 , 2 , 6 , 8 vamos a definir el siguiente conjunto:

R =  (x ; y) / (x ; y)  A X B  x > y  Que por extensión resulta:

R =  (3 ; 1) , (3 ; 2) , (4 ; 1) , (4 ; 2) , (7 ; 1) , (7 ; 2) , (7 ; 6) 

“ x > y ” es una propiedad que relaciona elementos de A con los elementos de B. Si se considera al conjunto de todos los pares ordenados de A X B tales que el primer elemento está vinculado con el segundo por alguna propiedad, el subconjunto de A X B, así obtenido, define una relación de A en B.

Ejemplo:

Sea N, conjunto de los números naturales, y la relación: “es menor que” definida de N en N. Entonces resulta:

R =  (x ; y) / (x ; y)  N X N  x < y 

Aquí la relación está definida entre elementos de un mismo conjunto: A = B = N, luego decimos que R es una relación en A.

Dominio e Imagen de una Relación

 Se llama Dominio de la relación R al conjunto formado por todos los primeros elementos de los pares ordenados que pertenecen a R.

D

R

=  x / x  A  (x ; y)  R 

 Se llama Imagen de la relación R al conjunto formado por todos los segundos elementos de los pares ordenados que pertenecen a R.

I

R

=  y / y  B  (x ; y)  R  Para la primera relación definida resulta:

D

R

=  3 , 4 , 7  e I

R

=  1 , 2 , 6 

Notas:

√ Representar la relación mediante diagrama de Venn-Euler y en sistema de ejes cartesianos.

√ Realizar los ejercicios correspondientes del trabajo práctico 2.

4. Funciones

La función es uno de los conceptos más importantes en la matemática. Por largo tiempo, los matemáticos y científicos buscaron una forma precisa de descubrir las relaciones entre dos variables. Resulta sorprendente que esta idea haya tardado tanto tiempo en cristalizar en un concepto claro y no ambiguo. Al matemático francés P. G.

Dirichlet (1805 – 1859) se le otorga el reconocimiento de la definición moderna de función.

Definición: Una Función definida de un conjunto A (llamado dominio ) en un conjunto B (llamado codominio ) es toda relación, vínculo o nexo entre ambos tal que se cumplan las siguientes condiciones:

1) Condición de Existencia: Todo elemento x del dominio tiene un elemento y que le corresponde en el codominio.

Se simboliza: y = f ( x )

Que se lee: “ y es la imagen de x ” Luego, “x es la preimagen de y”

Ejemplo:

2) Condición de Unicidad: La imagen de cada elemento del dominio debe ser única.

Así, en el ejemplo anterior, la única imagen de 2 es 4, y la única imagen de 5 es 17.

x . .

y=f(x)

A B

f

2 .

5 .

. ⁴ . ¹⁷

A B

f

4 = f ( 2 ) Se lee: 4 es la imagen de 2

17 = f ( 5 ) Se lee: 17 es la imagen de 5

En Síntesis: Cuando se define una función debe explicitarse cuál es el conjunto de partida o dominio A, el conjunto de llegada o codominio B, y la regla o fórmula que los vincula.

Se simboliza:

f : A B y = f ( x )

Conjunto Imagen: El conjunto formado por todos los elementos del codominio que son imágenes de los elementos del dominio, se denomina conjunto imagen.

Luego, el conjunto imagen de una función está incluído en el codominio de la misma.

Pueden o no ser conjuntos iguales.

Ejercicio 1: Determine cuáles de las siguientes gráficas corresponden a funciones definidas de A en B. Justifique sus resultados.

√ A tener en cuenta: Cuando una representación gráfica corresponde a una función al recorrer todo su dominio con rectas paralelas al eje y , éstas cortan al gráfico de la función en un solo punto. ( ¿ Por qué ? )

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

Nombre de

la función. Dominio

Codominio Imagen de x

0 x

A B

(b) y

(d)

0 A x

B y (c)

0 A x

B y

0 x

A B

y

(a)

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

Ejercicio 2: Determine cuáles de las siguientes gráficas corresponden a funciones definidas de reales en reales ( R en R). Justifique su respuesta.

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . A 0

B y (e)

A 0

B y (f)

0 y

x (a)

0 y

x (f)

0 y

x (c)

o o x

(h)

y

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

5. Funciones Inyectivas – Sobreyectivas – Biyectivas

Consideremos los siguientes diagramas que representan distintas funciones de A en B.

f2 f3







   

A B

f1







 

A B







  

A B

(1) (2) (3)

0 y

x (i)

0 x y (d)

0 y

x (j)

0 y

x

(e)

Y las siguientes gráficas que corresponden a funciones definidas de  en .

En las representaciones ( 1 ), ( 3 ), ( 4 ) y ( 6 ) observamos que distintos elementos del dominio tienen imágenes diferentes.

Cuando ello ocurre se dice que la función considerada es Inyectiva . Por lo tanto f

1

, f

3

, f

4

y f

6

son inyectivas; y no lo son f

2

y f

5

.

Formalmente:

   

, :

 x x

_{1 2}

 Df f x

₁

 f x

₂

 x

₁

 x

₂

o bien:

   

, :

 x x

_{1 2}

 Df x

₁

 x

₂

 f x

₁

 f x

₂

En las representaciones ( 2 ), ( 3 ), ( 5 ) y ( 6 ) observamos que todos los elementos del codominio son imágenes de elementos del dominio, o sea, el conjunto imagen es igual al codominio. If  Cf

Cuando ello ocurre se dice que la función es Sobreyectiva . Por lo tanto f

2

, f

3

, f

5

y f

6

son sobreyectivas; y no lo son f

1

, f

4

.

Por último, cuando una función es Inyectiva y Sobreyectiva simultáneamente , se dice que es Biyectiva ( existe una correspondencia uno a uno entre elementos del Dominio y el Codominio ) .

Así, de las seis funciones anteriores, sólo f

3

y f

6

resultan Biyectivas .

Ejemplo : Sean A = { 3 , - 2 , 0 } y B = { 1 , 7 , - 3 }

Escriba por extensión, grafique y clasifique la función:

f A :  B / f x ( )  2 x  1 Resulta:

f = { ( 3 ; 7 ) , (-2 ; -3) , ( 0 ; 1 ) }

X

₁

X

₂

X

₃

X

₁

X

₂

f

4

0 x

y (4)

0 x

y (5)

f

₅

0 x

y (6)

f

₆

X

₁

X

₂

o bien

f es inyectiva porque a distintos elementos del dominio corresponden distintas imágenes, es sobreyectiva porque el conjunto imagen coincide con el codominio o conjunto de llegada, luego por ser inyectiva y sobreyectiva simultáneamente f es biyectiva.

Ejercicio 3: Clasificar las funciones de los ejercicios uno y dos.

6. Función Inversa

Consideremos una función biyectiva, por ejemplo, la del ejercicio anterior:

f : A  B / f = { ( 3 ; 7 ) , (-2 ; -3 ) , ( 0 ; 1 ) }

Si las primeras componentes de los pares ordenados las transformamos en segundas componentes y recíprocamente, obtendremos una función, pero esta vez definida de B en A .

A esta nueva función la simbolizamos con f

^–1

y la denominamos función inversa de f.

f

^–1

: B A / f

^-1

= { ( 7 ; 3 ) , ( -3 ; -2 ) , ( 1 ; 0 ) }

Definición: Si f : A  B es biyectiva , entonces existe y es única una función f

^–1

: B  A que se denomina inversa de f , tal que:

( x , y )  f si y sólo si ( y ; x )  f

^1

Por definición, el dominio de f

^–1

es el conjunto imagen de f, y recíprocamente, el conjunto imagen de f

^–1

es el dominio de f.

Notas:

√ Existen funciones que no tienen función inversa.

√ Con un par de ejemplos analizar la definición de función en las relaciones inversas de funciones no biyectivas.

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . 3

-2 0

7 -3 1

A B

1 



3



-2

-3 7

0 y

x

¿Cómo se obtiene la regla o fórmula de la función inversa de una función dada?

La función del ejemplo anterior está definida mediante:

f : A B / f (x) = 2 x + 1 o bien f : A B / y = 2 x + 1

Si despejamos de esta fórmula la variable independiente x , que en la función inversa buscada pasa a ser variable dependiente, resulta:

  1 1 2 - 2

x y

Esta regla es la que le corresponde a la función inversa f

^–1

, siendo x la variable dependiente e y la variable independiente. Sin embargo, se acostumbra llamar x a la variable independiente e y a la variable dependiente, por lo tanto, hacemos un cambio de variables en la fórmula anterior, resutando:

  1  1 2 2

y x

Luego: f

^–1

: B  A /   1  1 2 2

y x

Otro ejemplo: Si deseamos obtener la función inversa de la función (racional homográfica):

^   ^{ }   ^{ }



3 4

2 3

2

: / ( ) x

f R R f x

x Procedemos de la siguiente manera:

1) Despejamos x:

 



  

  

  

  

 



3 4

2

2 3 4

2 3 4

3 2 4

3 2 4

2 4

3

( )

( )

y x x

y x x

y x y x

y x x y

x y y

x y y

2) Permutamos las variables:

 



2 4

3 y x

x Resultando:

   



    



1

2 4

3 2

3

: / ( ) x

f R R f x

x

Nota:

√ Las representaciones gráficas de dos funciones inversas entre sí cumplen la propiedad de resultar simétricas respecto de la recta y = x , función Identidad. Nos referiremos a esto, nuevamente, más adelante. Ver página 14.

7. Funciones Pares e Impares

A veces, conocer las condiciones de simetría de una función puede facilitar el trazado de su representación gráfica.

 Función Par: f es par   x  D

f

: f ( x ) = f ( -x ) . (A cualquier par de valores opuestos del dominio, les corresponde la misma imagen).

Esto sucede, por ejemplo, en la función: f :    / f ( x ) = x

²

x f (x)

-3 9 -2 4 -1 1 0 0

1 1

2 4 3 9

Verificación: No válido como demostración. ¿ Por qué ?

Demostración: Comprobación de la definición.

   

   

   

  

  

  

3 3 9

2 2 4

1 1 1

f f

f f

f f

 

   

 

   



  

 

 

2

2

2

f x x

f x x

f x x

f x f x

La representación gráfica de una función par es simétrica respecto del eje de ordenadas ( y ) .

 Función Impar: f es impar   x  D

f

: f (x) = - f (-x) ó - f (x) = f (-x). (A cualquier par de valores opuestos del dominio, le corresponden imágenes opuestas).

Esto sucede, por ejemplo, en la función: f :    / f ( x ) = x

³

x f (x)

-3 -27 -2 -8

-1 -1 0 0

1 1

2 8 3 27

y  x

³

Verificación: No válido como demostración. ¿ Por qué ?

Demostración: Comprobación de la definición.

   

   

   

   

   

   

3 27 3 27

2 8 2 8

1 1 1 1

f y f f y f f y f

 

   

 

   



  

  

  

3

3

3

f x x

f x x

f x x

f x f x

La representación gráfica de una función impar es simétrica respecto del origen de coordenadas, ( 0 ; 0 ).

Nota:

√ Hay funciones que no son pares ni impares.

Ejemplos:

   - - ;  



2

2

1 1

1

f x x ; Df=

x    - - ;  



3

2

2 2

4

f x x ; Df=

x

 

   

 

 

   

 

  

 

 



 



2

2

2

2

2

2

1

1

1 f x x

x f x x

x f x x

x

f x f x

f es par.

 

   

 

 

 

   

 

  

 

  



  



  



3

2

3

2

3

2

3

2

4

4

4

4 f x x

x f x x

x f x x

x f x x

x

f x f x

f es impar.

¿ Tiene sentido analizar la paridad de la función:   ^



2

2 f x x

x ? , ¿ Por qué ?

. . .

8. Funciones Numéricas o Escalares

f : A  B / y = f ( x ) es una función numérica si y sólo si A   y B   . Ejemplos:

  

 

 



1 1

3

2 2

3 3

2 1

2 4

: / ( )

: / ( )

: / ( )

f N N f x x

f Z Z f x x

f N R f x

x

A partir de aquí vamos a comenzar a graficar algunas funciones escalares y a analizar

sus particularidades.

Para ello vamos a tener en cuenta que:

√ La representación gráfica de una función escalar es el conjunto de puntos (x ; y) del plano cartesiano tal que y es imagen de x a través de f.

√ La intersección del gráfico de f con el eje y , si existe , es  ( 0 ; f ( 0 ) ) .

√ La intersección del gráfico de f con el eje x , si existe, es el conjunto de los x (ceros de la función) que anulan la función. Luego, determinar los ceros de f es encontrar el conjunto solución de la ecuación f ( x ) = 0 .

a) Función Constante : f es una función constante si y sólo si :

Ejemplo 1 : Ejemplo 2:

Observamos que cualquiera sea el valor de la variable independiente x , su imagen es siempre la misma. En el ejemplo 1 , la imagen es siempre 5 y en el ejemplo 2 , es –2 . De ahí el nombre de función constante.

La gráfica correspondiente es siempre una recta paralela al eje de abscisas.

¿Cuál es el conjunto imagen? . . . b) Funciones Polinómicas:

Decimos que f es una función polinómica de grado n , en una variable independiente x , si f es del tipo:



  

₁ ¹

 

₁



₀

: / ( )

_n ⁿ _n ⁿ

...

f R R f x a x a x a x a (con a

n

 0) o bien

 

: / ( ) ( )

f R R f x P x

Ejemplos:

   

  

   

3

1 1

2 2

2

3 3

13 12

2 4

6

: / ( )

: / ( )

: / ( )

f R R f x x x

f R R f x x

f R R f x x x

Observamos que los segundos miembros de las reglas correspondientes a estas funciones son polinomios en una variable.

Cuando ello ocurre, las funciones se denominan funciones Polinómicas .

y y

x

  5

: / ( )

f R R f x

  

: / ( )

f R R f x k k R

  2

: / ( )

f R R f x

 Función Lineal: Cuando el polinomio del segundo miembro de la regla de la función es de primer grado, a dicha función se la denomina lineal . , y su representación gráfica es una recta.

En general, las funciones lineales son de la forma:

f R :  R f x / ( )  a x a

₁



₀

con a

₁

 0 Usualmente: f R :  R f x / ( )  m x b  con m  0

Ejemplo:

  

2

: /

2

( ) 2 4

f R R f x x

Sabemos que todo punto del eje y es de la forma: (0 ; y). Luego el valor f

2

( 0 ) =4 recibe el nombre de ordenada al origen . Por el punto ( 0 ; 4 ) la recta cortará al eje y. (La ordenada al origen es igual al término independiente del polinomio de la regla de la función).

También sabemos que todo punto del eje x es de la forma (x ; 0). Luego para conocer el punto donde la recta cortará al eje x – abscisa al origen - , buscamos la raíz del polinomio resolviendo:

x x

  

 

2 4 0

2

Por el punto ( -2 ; 0 ) la recta cortará al eje x.

Conociendo la abscisa y la ordenada al origen, podemos trazar la gráfica de la función, sin necesidad de recurrir a otros puntos de la recta.

¿ Es biyectiva esta función ? Sí , f

2

es biyectiva y, por lo tanto, admite inversa.

¿ Cuál es la función inversa de f

2

? Es f

2 ^–1

definida de la siguiente manera:

¹



¹

 

2 2

1 2

2

: / ( )

f R R f x x

Fórmula que se obtiene según el procedimiento estudiado en la página 9.

Si en un sistema de coordenadas cartesianas trazamos las gráficas de f

2

y f

2 –1

veremos que dichas gráficas resultan simétricas con respecto a la recta que incluye a la bisectriz del primer cuadrante. Lo enunciado se puede observar en la siguiente figura:

y

ordenada al origen

abscisa al origen

x

Esta simetría siempre se presenta con la gráfica de una función y la de su inversa.

Conjunto de Ceros – Conjunto de Positividad – Conjunto de Negatividad

Antes de seguir adelante con el estudio de las gráficas de las funciones vamos a hacer referencia a ciertos conjuntos, incluidos en el dominio de la función, que nos proporcionan información importante en relación a su comportamiento. Ellos son:

 Conjunto de Ceros: C

⁰

es el conjunto formado por los ceros o raíces de la función.

   

   

0

/ 0

C x x Df f x

Estos valores de x , si existen, son las abscisas de los puntos de intersección de la gráfica de la función con el eje x.

 Conjunto de Negatividad: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función toma valores negativos

 ^x   

C x Df f x



    0

La gráfica de la función para estos valores de x se encuentra por debajo del eje x.

 Conjunto de Positividad: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función toma valores positivos.

 ^x   

C x Df f x



    0

La gráfica de la función para estos valores de x se encuentra por encima del eje x.

Ejemplo: Hallar e indicar los conjuntos C

⁰

, C y C

^{ }

correspondientes a la función

  

2

: /

2

( ) 2 4

f R R f x x

x y

4

-2

4

-2

f

2

f

₂ ^-1

Cálculo de : C

⁰

Cálculo de : C

^

Cálculo de : C

^

x

x

  

 

2 4 0

2

 

C

⁰

  2

x x x

  

  

 

2 4 0

2 4

2

 

C

^

  2 ;

x x x

  

  

 

2 4 0

2 4

2

 

C

^

   2 ;

 Función Cuadrática: Cuando el segundo miembro de la regla de una función es un polinomio de segundo grado, la función se denomina cuadrática , y su representación gráfica es una parábola.

En general, las funciones cuadráticas son de la forma:

f R :  R f x / ( )  a x

₂ ²

 a x a con a

₁



_{0 2}

 0 Usualmente: f R :  R f x / ( )  a x

²

 b x c con a   0

El estudio de la función cuadrática requiere de las siguientes consideraciones:

√ Para hallar los ceros de una función de segundo grado podemos usar la fórmula:

b b ac

x a

  



²

4

2

√ Solamente cuando el discriminante: ∆  b

²

 4 ac  0 , los ceros son reales.

√ Influencia del coeficiente principal y el discriminante en la parábola:

a > 0

 < 0

 = 0

x y

0 x

1

x

2

 > 0

x

1

 x

2

x y

0 x

1

= x

2

x

y

0 x

1

R x

2

R

a < 0

0 x

1

= x

2

 < 0

 = 0

x y

0 x

1

x

2

 > 0

x

₁

 x

₂

x y

0 x

y

x

1

R

x

2

R

Ejemplo 3: Estudiar y graficar la función: f

₃

: R  R f x /

₃

( )  x

²

  x 6

Intersección con el eje y:

 

f

₃

0   6 ( 0 ; -6 ) Intersección con el eje x:

 

f x  0

x

²

   x 6 0 x

;

    

 

1 2

1 1 24 1 5

2 2

x  2 y x   3 ( 2 ; 0 ) y ( -3 ; 0 ) Eje de Simetría:

Es la recta vertical que se calcula:

x x b

x o bien x

a

 

 



1 2

2 2

para el ejemplo es la recta de ecuación:

x   1 2

(todos sus puntos son de abscisa menos un medio)

Vértice:

Es la intersección de la parábola con su eje de simetría. Es decir, es el punto de abscisa  1

2 y ordenada f

³

^    ^    

1 25

2 4

V    ;   

 

1 25

2 4

Conjunto Imagen:

If

³

    ;     25

4 Conjunto de Ceros:

 

C

⁰

  3 2 ; Conjunto de Positividad:

   

C

^

    ; 3 2 ; 

Conjunto de Negatividad:

 

C

^

 3 2 ;

 Función Cúbica: Cuando el segundo miembro de la regla de una función es un polinomio de tercer grado, la función se llama cúbica .

En general, las funciones cúbicas son de la forma:

f R :  R f x / ( )  a x

₃ ³

 a x

₂ ²

 a x a con a

₁



_{0 3}

 0

Usualmente: f R :  R f x / ( )  ax

³

 b x

²

 c x d con a   0

La representación gráfica de las funciones polinómicas de tercer grado o más las estudiaremos en la unidad cinco.

En los casos particulares más sencillos se tiene:

y

V

25

 4

La función es inyectiva y sobreyectiva lo que hace que sea biyectiva y admita función inversa cuya fórmula será: f   x ^x

a

¹



³

Según el comportamiento del coeficiente principal a la función se moverá como se explica en el siguiente gráfico:

Se sugiere en este punto realizar las gráficas correspondientes a las fórmulas incompletas: f x     x ; g x

³

   1 x

³

2 2

c) Funciones Racionales:

Ejemplo 1 : ^{f R}   ^{R f x}   ^{x x}

:   /  x  



2

5 6

3 3

Ejemplo 2 : f R   R f x   ^{x x x}

x x

:   ;  /   

 

4 3 2

2

3 2 6

6

Ejemplo 3 : ^{f R}   ^{R f x}   ^x

: ; / x 

   



2

2 2 2

4

Observamos que los segundos miembros de las reglas de las funciones son expresiones algebraicas racionales. Por lo tanto, las funciones tienen por dominio al conjunto de los números reales, excepto aquellos que anulan a su correspondiente denominador.

Luego, decimos que las funciones racionales son del tipo:

x y

y a x3

Si a > 0

x y

y a x3

Si a < 0

x y

_yx³_{ a 1}

0 a

x

3

y

y x

a 

0 a ^ a 

   

P x  

f R A R f x

:   /  Q x con Q(x) distinto del polinomio nulo.

El dominio de la función es el conjunto de los números reales, excepto aquellos que son raíces del denominador Q(x) y elementos del conjunto A.

Para trazar la gráfica de una función racional:

√ Observamos si el numerador y el denominador tienen factores comunes. En tal caso, pueden simplificarse indicando la función con una nueva regla y aclarando el dominio correspondiente (es decir, la regla cambia pero por supuesto el dominio de la función, no).

Así, para el Ejemplo 1:

    ^{x x}

f R R f x

: / x  

  



2

5 6

3 3

o bien

   x 

f R : R / 

  3

3  x 

x

 

 2 3 Resulta:

   

f R :  3  R f x /   x 2 y su gráfica:

Atención: A la gráfica no pertenece el punto de abscisa 3 pues tal número no pertenece al dominio de la función.

¿Cuáles son los Conjuntos Imagen, de Ceros, de Positividad y de Negatividad?

. . .

Ejemplo 2:

    ^{x x x}

f R R f x

x x

: ; /  

   

 

4 3 2

2

3 2 6

6 o bien

    x  x 

f R : ; R f x /  

   

2

2

3 2   x  3 

 x  2    x  3 

Resulta:

   

f R :   3 2 ;  R f x /  x

²

x

y

Hacemos una tabla de valores y graficamos:

Atención: A la gráfica no pertenecen los puntos de abscisas -3 y 2 pues estos números no pertenecen al dominio de la función.

¿Es Biyectiva esta función? ¿Por qué? ¿Cuáles son los Conjuntos Imagen, de Ceros, de Positividad y de Negatividad?

. . .

Ejemplo 3:

    ^x

f R R f x

:   ;  /  x 



2

2 2 2

4 o bien

    ^x

f R : ; R f x / 

    2

2 2  x  2    x  2 

Resulta:

   

f R R f x

:   ;  /  x

 2 2 1

2 Hacemos una tabla de valores y graficamos.

Atención: A la gráfica no pertenecen los puntos de abscisas -2 y 2 pues estos números no pertenecen al dominio de la función.

¿Es Biyectiva esta función? ¿Por qué? ¿Cuáles son los Conjuntos Imagen, de Ceros, de Positividad y de Negatividad?

. . . y

x

y

x

En general llamaremos Funciones Homográficas a aquellas funciones racionales de la forma:

ax b

f Df If f x

:  / ( )  cx d 

 con c  0 y numerador de grado cero o uno.

La representación gráfica recibe el nombre de Hipérbola y :

 La recta de ecuación d

x ^{ } c es Asíntota Vertical del gráfico de la función pues:

si x d entonces y

  c   .

 La recta de ecuación c

y  resulta Asíntota Horizontal del gráfico de la función a

pues: a

si x entonces y

   c .

En la carpeta trabajaremos la representación gráfica de las funciones:

   

   

   

a) f f x (hipérbola equilátera)

x

b) f f x x

x

c) f f x ¿ Es homográfica ?

x

: / ( )

: / ( )

: / ( )

     

       

 

     

₂

0 0 1

2 1

3 2

3

0 0 1

d) Funciones Irracionales:

 

^{qp q p}

f D :  R f x /  x  x

En estas funciones el exponente al que está elevada la variable independiente es fraccionario.

Cuando el denominador de la fracción exponente, es par, el dominio es el conjunto de números reales que aseguran un radicando no negativo.

Ejemplo 1:

 

f R :

₀^

 R f x /  x f R :

₀^

 R f x /     x

x y

y  x

x y

y  x

¿Cuál es el Conjunto Imagen en cada caso? , y ¿Cuáles son los Conjuntos de Ceros, de Positividad y de Negatividad?

. . .

Ejemplo 2: f R :  R f x /   

³

x

Ceros

C⁰ 

 

0

Paridad Es una función impar

Intersección con

ejes (0 ; 0)

Inyectividad Es inyectiva. Justificar.

Sobreyectividad Es sobreyectiva. Justificar.

Biyectividad Es biyectiva.

Inversa y  x

³

e) Función Valor Absoluto o Módulo:

    x si x

f R R f x x o bien f x

x si x

: /  

      

0 0

La gráfica está formada por la bisectriz del primero y segundo cuadrante.

¿Cuál es el Conjunto Imagen? , y ¿Cuáles son los Conjuntos de Ceros, de Positividad y de Negatividad?

. . . Ejercicio: Realicen en la carpeta la gráfica de las funciones que se dan a continuación, escriban conclusiones, e indiquen en cada caso los Conjuntos Imagen, de Ceros, de Positividad y Negatividad.

       

f x  x  1 ; g x   x  1 ; h x  x  1 ; t x  x   2 1

f) Función Signo:

    x   si x

f R R f x o bien f x

x si x

: /  

       

1 0

0 1 0

y3x

x y

y

x

La gráfica está formada por dos semirrectas (sin origen) paralelas al eje de abscisas.

¿Cuál es el conjunto imagen?. . .

g) Función Parte Entera:

Escriban para cada igualdad la parte entera del número propuesto:

       

     

ent ent ent ; ent

ent ent ent

, ... ; , ... ; , ... ...

, ... ; , ... ; , ...

   

     

2 34 10 97 0 5 6

0 4 2 34 18 01

Elaboren una definición para parte entera de un número real:

. . . . . . . . . . . .

   

f R :  Z f x /  ent x

9. Funciones Trascendentes

Las funciones en cuya fórmula contienen expresiones exponenciales, logarítmicas o trigonométricas reciben el nombre de funciones trascendentes.

y

x 1

-1

a) Función Exponencial

Ejemplo 1: f R :  R f x / ( )  2

^x

Ejemplo 2:

x

g R :  R f x / ( )        1 2

Ejemplo 3: h R :  R f x / ( )  e

^x

Recordemos que e = 2,718281828 . . . es un número irracional.

Observamos en los ejemplos precedentes que:

√ El dominio de las funciones es el conjunto de los números reales.

√ En las fórmulas de las funciones figuran potencias donde la variable independiente es el exponente y la base es un número positivo pero distinto de 1.

A las funciones de este tipo, en general simbolizadas:

f R :  R f x / ( )  a (donde a

x

 0 y a  1 ) se las denomina funciones exponenciales y su comportamiento gráfico es:

x y

a > 1

x y

0 < a < 1

1 1

¿Cuál es, en todos los casos, el Conjunto Imagen? ¿Son Biyectivas las funciones exponenciales, según fueron definidas? ¿Por qué?

. . . Si la función la definimos de R en R

⁺

resulta Biyectiva y, por lo tanto, admite inversa.

A esta función inversa, se la denomina función logarítmica .

b) Función Logarítmica

Previamente al tratamiento de la función vamos a recordar la definición de logaritmo:

Se llama logaritmo de un número a ( siendo a > 0 ) respecto de la base b ( b > 0 y b  1 ) al número c al que hay que elevar a la base b para obtener el número a.

c b

a c b a

log   

Se lee: logaritmo de a en base b es c.

Ejemplos:

5

1 3

-1

pues 2 pues 8

pues 1 100 log

log

log

 

 

 

      

2

8

1 100

32 5 32

2 1 2

3

100 1 100

Notas:

√ Cuando la base es b = 10 , no se escribe.

√ Cuando la base es el número irracional e = 2.718..., la notación usual es ln en lugar de log

e

.

Ejemplo 1:

x f

y

f R :

^

 R f x / ( )  log

₂

x

Ejemplo 2:

g R :

^

 R g x / ( )  log

₁

x

2

Ejemplo 3:

h R :

^

 R h x / ( )  ln x

Observamos en los ejemplos precedentes que:

√ El dominio de las funciones es el conjunto de los números reales positivos.

√ En las fórmulas de las funciones figura un logaritmo de la variable independiente.

A las funciones de este tipo, que en general simbolizamos:

f R :

^

 R f x / ( )  log x (donde b y b )

b

 0  1 se las llama funciones logarítmicas y el comportamiento de su gráfica es:

¿Cuál es, en todos los casos, el Conjunto imagen? . Indique Conjuntos de Ceros, Positividad y Negatividad.

. . . x

y

Si b> 1

x y

Si 0<b<1

1 1

g

y

x

x

h

c) Funciones Trigonométricas

Repaso:

Recordemos que en la circunferencia trigonométrica, la que tiene centro 0 y radio 1;

si por cualquier punto p de la misma trazamos una perpendicular al eje horizontal que corta al mismo en un punto m denominamos:

sen pm y

cos om x

pm sen

Tg om

ˆ ˆ ˆ ˆ

cos ˆ





 



 

 

 

Representación gráfica:

En estas gráficas estamos representando a las funciones trigonométricas en un eje que mide el ángulo  en radianes donde la equivalencia es 180º =  (radianes); equivale entonces la circunferencia trigonométrica a 2 radianes.

 Función Seno

 ^{1 1}     

f R :   ; / f x  sen x

√ El dominio de la función y = sen(x) es el conjunto de los números reales.

√ El seno toma valores en el intervalo [-1 ; 1], es decir, su recorrido o conjunto imagen es el intervalo [-1 ; 1].

√ El valor del seno es el mismo para ángulos que se diferencian en valor un número entero de veces 360° o 2  .

Es decir, sen(x) = sen(x + n · 360°) con n  Z, por lo tanto la función y = sen(x) es una función periódica de período 2  .

√ Es una función impar . Simétrica con respecto al origen.

√ Intersección con el eje x en los puntos x   k  con k 

√ Intersección con el eje y es el origen (0,0).

√ Biyectiva pero sólo en el intervalo       2 ; 2    . Su inversa es y = arc sen (x).

 Sen 

0 1

-1 -

/2  -/2

 cos 

0 1

-1 -

/2  -/2

 tg 

0 /2

-/2

x y

0 m

p

x

 y

√ Grafíquela.

 Función Coseno

 ^{1 1}     

f R :   ; / f x  cos x

√ El dominio de la función y = cos(x) es el conjunto de los números reales.

√ El conjunto imagen es el intervalo [ -1 ; 1 ]

√ Intersección con el eje x en puntos de la forma x  k   con k

 2    1 

2

√ La intersección con el eje y es en el punto ( 0 ; 1 ).

√ Es par y biyectiva en el intervalo  ^{0 ; }  . Su función inversa es y = arc cos (x).

√ El valor del coseno es el mismo para ángulos que se diferencian en valor un número entero de veces 360° o 2  .

Es decir, cos(x) = cos(x + n · 360°) con n  Z, es decir, la función y = cos(x) es una función periódica de período 2  .

√ Grafíquela.

 Función Tangente

√ El dominio de la función y = tg(x) es el conjunto de los números reales, salvo aquellos valores de x que podemos expresar como x     k  con k 

2

√ El conjunto imagen es el de los números reales.

√ La intersección con el eje y es en el punto ( 0 ; 0 ).

√ Intersección con el eje x en puntos de la forma x   k  con k 

√ Es impar y biyectiva sólo en el intervalo      2 ;  2    .