Introducción Al Análisis Matemático II [Hebe T. Rabuffetti]

Introducción al

nnnusis ηιιιτηιιήιο

ÍCÁLCULO 2 !

Λ

Hebe T. Rabuffetti

INTRODUCCIÓN

AL ANÁLISIS MATEMÁTICO

(CÁLCULO 2)

HEBE T. RABUFFETTI

Quinta edición

LIBRERIA “EL ATENEO" EDITORIAL

517.1 Rabuffetti, Hebe t . · ‘

RAB lnlrqducc|(5n al análisis matemático: cálculo 2. - 5a. ed. Buenos Aires: El Ateneo, *1994.

440 p.; 2 2 x 15 cm. ISBN 950-02-5281-3

1. Título -1 . Cálculo Matemáfico

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El derecho de propiedad de esta obra comprende para su autoría facultad de disponer de ella, publicarla, traducirla, adaptarla o autorizar su traducción y reproduciria en cualc^ier forma, total o parcialmente, por medios electrónicos o mecánicos, incluyendo fotocopias, grabación magnetofónica y cualquier sistema de almacenamiento delnfonnadón. Porccnsigulente, nadie tiene facultad a ejercitar los derechos precitados sin permiso del autor y del editor, pór escrito.

Los Infractores serán reprimidos con las penas del artículo 172 y concordantes del Código Penal (arts. 2 ,9 ,1 0 ,7 1 ,7 2 ley 11.723). Queída hecho el depósito qua establece la ley N" 11.723.

0 1933,1984,1987,1992,1994, "EL ATENEO’ Ptídro García S. A.

Übrerfa, EdAoríal e Inmoblliaxia, Rorida 340, Buenos Airée. Fungete en 1912pordonPedroGaic{a.

ISBN 950-02-5201-3 (3· Bdición, revisada y corregida; 4* y 5" edición) ISBN 950-02-5203-1 (1*y 2· edición)

Imgreso en Grálica Anlonelli, Ba^VTÍbaso 948, Lanus Este, projrincia de Buenos Aires, el c|fa 25 de Junio de 1994. Tlrá'da: 3.000 ejemplares..

indice general

I. Distancia... II. Entorno y entorno reducido ... III. Intervalos ... IV. Conjunto acotado ... V. Punto de acumulación... VI. Punto in te rio r... VIL. Pünto aislado, exterior, frontera VIII. Algunas propiedades

1 4 6 7 9 12 14 17 2. VECTORES I. Espacio vectorial ... II. Dependencia lineal ... III. Álgebra vectorial... IV. Ángulos y cosenos directores...

V. Nociones de geometría analítica en VI. Representaciones gráficas en ... VIL Sistemas de coordenadas...

26 29 31 37 39 43 54 3. CAMPOS ESCALARES

I. Función de dos variables .... II. Curvas y superficies de nivel III. Límite funcional doble (simultáneo) IV. Límites sucesivos o reiterados__ V. Continuidad ... 59 63 66 75 84 4. DERIVADAS I. Derivadas parciales

II. Derivadas parciales sucesivas ... III. Derivada direccional... IV. Función diferenciable ... .

V. Plano tangente y recta normal a una superficie

94 102 105 117 127 V

5. FUNCIONES COMPUESTAS

I. Generalización del concepto de función... ... 137

II. Derivación de funciones compuestas... 142

III. Funciones definidas implícitamente... 150

IV. Funciones definidas implícitamente por sistemas de ecuaciones ... 157

V. Funciones homogéneas ... 164

6. MÁXIMOS Y MÍNIMOS I. Fónmula de Taylor... 170

[|. Extrerrios de un campo escalar... 175

III. Extremos condicionados... 187

7. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE I. Integral doble ... ... 198

II. Integral doble según Riemann ... ... 204

III. Integrales reiteradas (sucesivas o iteradas) ... 210

IV. Integración sobre regiones no rectangulares ... ... 218

V. Aplicaciones geométricas de la integral doble ... 240

VI. Integral trip le ... ... 248

8. LA INTEGRAL COMO LÍMITE I. La integral simple como límite ... 261

II. Integral doble y triple como lím ite... 268

III. Cambio de variables... 270

:' ly. Área desuna superficie en ... 280

V· Aplicaciones físicas ... ... 285

9. FUNCIÓN VECTORIAL I. Límite de una función vectorial... 292

II. Álgebra de funciones vectoriales... 294

III. Continuidad de una función vectorial ... 296

IV. Curvas ... ... 297

V. Derivada de una función vectorial... 301

VI. Versores principales ... ,... ... ... ... 305

Vil· Curvas rectificables ... 312

10. ÍKTEGRAL CURVILÍNEA f,· sobre uña curva plana ... ... ... 326

de Green ... ... ... 336

(fy ^ v ^ ^ n d e n c ia de la trayectoria ... 343

ÍV<' sobre una curva alabeada... ... 355

y rotor de un canipo vectorial ... 359

superficie ... ... 362

V I

11. ECUACIONES DIFERENCIALES

I. Nociones generales... 386

II. Ecuación diferencial de una.familia de cun/as ... ... 391

ill. Trayectorias ortogonales ... 393

IV. Variables separables ... 396

V. Ecuaciones homogéneas ... ... 398

VI. Ecuación diferencial lineal de primer orden... 403

VII. Ecuación diferencial total exacta... ... 408

VIII. Ecuación lineal de segundo orden incompleta ... 413

Este libro es la continuación de Cálculo 7, publicado por primera vez hace más de diézmanos. En ese tiempo he tratado-de reunir mis experiencias como profesora de la.materia en el niveLtercianay universitario, para completar los temas del cálculo diferenciàlve integralic0ri-un enf0que:ielèméntàliquev al mismo tiempo? pretende sér^^ riguroso y actualizado.:

-En Gá/cü/o S analizo; en. su mayor parte; cuestiones relacionadas con funciones = de dos.y tres variables realesí.TamOién presento; aunque de manera menos- detalla­ da, funciones r; vectoriales· · campos vectorialésíyí unavintrodücción· al terna de las ecuaciones-diferencíales:

·-He utilizado una notación que busca simplificar la escritura. En efecto, la mayo­ ría de los libros de Cálculo emplean símbolos en ‘‘negrita’’ para indicar funciones vectoriales o campos vectoriales. Esto no resulta práctico, en absoluto, ni para el profesor ni para los alumnos. Por eso, como algo trivial pero tal vez novedoso, he propuesto la siguiente notación para funciones: f si es función escalar, F si es campo escalar (con dominio incluido en R" ^ r a n a 2), f si es función vectorial (con recorri­ do incluido en R" para n > 2) y F para campo vectorial (con dominio incluido en R " para n > 2 y recorrido incluido en R*" para m > 2).

Cuando he considerado que alguna demostración puede obviarse, por ser de­ masiado extensa o presentar ciertas dificultades,- he antepuesto, igual que en el primer volumen, el símbolo ♦ .

No quiero concluir estas líneas sin agradecer profundamente a la profesora Asunción López Henríquez sus valiosos comentarios· y sugerencias al leer los origi­ nales y a la profesora María Teresa Figueroa su revisión de los trabajos prácticos. También mi reconocimiento a la Editorial “ El Ateneo" por haberme brindado un apo­ ye cálido y eficiente.

Rnairriente, quiero expresar mi deseo sincero de que este libro pueda ser útil, de alguna forma, a quién lo lea,, Ese fue el motivo qué me llevó a escribirlo.

1. ESPACIO MÉTRICO

És necesacio extender al plano, ai espacio y al espacio, n-dimensiona] las no­ ciones de intervalo, entorno, punto de acumulación; punto interior; etc:, dadas con referencia a la recta real. Para jxider hacerlo, debemos definir, eh primer lugar, una distancia entre puntos de un mismo espacio, así ^3omo en la recta real se define distancia entre dos puntos de la misma.

Todo conjunto no yacíOi o espacio, entre, cuyos elementos (llamados puntos) se défine una distancia, se denomina espacio métrico. A partir de la definición de distancia, puede darse, en cualquier espacio métrico, la noción de entorno y, de in­ mediato, la de punto de acumulación, punto interior, conjunto cerrado, conjunto abier­ to, etcétera.

1. Distancia

Es usual definir una distancia en cualquier espacio no vacío E. como una fun­ ción de E X E en el conjunto de los números reales, sujeta a determinadas exigen­ cias o axiomas. Al referirnos a una función de E^ en R, indicamos que a cada par de puntos de E le corresponde un único número real, llamado distancia entre ambos. De las nociones de geometría elemental surge que la distancia debe ser siempre un número positivo si los puntos son distintos.

Definición

La función d : E x E ^ R es una distancia en el conjunto E si y sólo si veri­ fica los siguientes axiomas:

1 ) VaVb: (aeE a beE => d(a;b)>0).

2) VaVb: [aeE a beE=> (d(a;b) = o « a = b)].

3) VaVb; (a€E a beE => d(a;b) = d(b;a)).

4) VaVbVc: (aeE a beE a ceE =» d(á;c)<d(a;b) + d(b;c)).

El axioma 1 indica í|ue la distancia entre cualquier par dé puntos del espacio ' es un número real no negativo. El axioma 2 afirma que la distancia solamente es nula cuando los dos puntos^xsinciden. Osea, si los puntos no coinciden la distancia

es siempre un número real positivo: E| axioma 3 da la condición de simetría, es de­ cir, que la distancia del punto a al punto b coincide con la distancia del punto b al punto a. Por ello, suele hablarse simplemente de la distancia entre los puntos a y b. El axioma 4 es conocido como la desigualdad triangular.

Es usual designar la distancia entre a y b de la siguiente manera: d(a;b) = |a-b|. Del axioma 4 puede probarse, por inducción completa:

V a , V a 2 - . V a „ : ( a ^ e E a a ^ e E a ... a a „ e E = » d ( a ^ ; a „ ) < d ( a , ; a 2 ) + . . . + d ( a „ _ i ; a „ ) ) .

n

0 sea, d(a,:a^)<2 d(^i-ií^i)> generalización de la propiedad triangular a n puntos

" i = 2 ~ '

del espacio.

El conjunto no vacío E y la función distancia d forman el espacio métrico (E,d). Veremos a continuación algunos ejemplos de espacios métricos.

Ejemplo 1

El conjunto R de los números reales y la distancia, definida como el valor ab­ soluto p módulo de la diferencia entre dos números reales, es un espacio métrico.

O sea, (R,d) espacio métrico si VaeRVbeR: d(a;b) = |a -b l.

Para verificarlo debemos probar que la función d: R^ -»■ R definida por la regla d(a;b) = |a -b | satisface los axiomas de distancia. Para ello recordamos primero la definición de valor absoluto de un número real x:

(jxl = x si x>0) a (1x1 = -X si x<0). Por lo tanto, (|a-b| = a -b si a>b) a (|a-b| = b -a si a<b).

Los axiomas de distancia corresponden a propiedades demostradas en su opor­ tunidad para el valor absoluto de un núnnero real (Cálculo 1 - cap. 1). Los axiomas 1 y 2 son consecuencias del Teorema 1: Va: (a#0 => |a|>0). El axioma 3 se verifica por el Teorema 2: |a|= |-a|. El axioma 4 corresponde al Teorema 7: ]a+b|<la|+|b|.

Ejemplo 2

También el conjunto de los números racionales con la distancia definida como el valor absoluto de la diferencia entre los números, es un espacio métnco.

O sea, (Q,d) espacio métrico si d(a;b) = |a-b|.

Ejémplo 3

Considérennos ahora el conjunto R" fonmado por todas las n-uplas de números reales.

R" = {x/x = (x,,'x2;...;x„) a Vi: (ieN a i:sn x.eR)}

Definimos como distancia en R" a la función d: R" x R "-» R. dada por la

regla siguiente; VáeF^VbeR"; d(á;6) = 6 = (b ,;b ,:...í,„). S ía -í» !)” L i = i donde á = (a,;a2;...;a„) y Es decir, d(á;b) = V ( a ,- b ,) 2+(a2- b 2)2+ ...+ (a „-b „)2.

Esta función, para la cual puede demostrarse que verifica los axiomas, es una distancia en R" llamada distancia euclídea. El espacio métrico (R",d) correspondien­ te, es el espacio métrico euclídeo n-dimensional.

En particular, si n = 1 es d(a;b) = \/(a -b )^ = |a-b|, o sea, es el espacio mé­ trico ya considerado en el ejemplo 1,

SI n = 2. á = b = (b^ib^) es d(á;b) = \ / ( i ; ^ ^ b / T ( v ^

En este caso, (R^,d) es el espacio métrico eucifdeo de dos dimensiones, y cada, uno de los elementos del espacio, que es un par ordenado de números reales, pue­ de considerarse como punto del plano; La propiedad triangular con'espónde a la pro­ piedad geométrica conocida; “ En todo triángulo, la longitud de un lado es menor que la suma de las longi^des de los otros dos”.

La expresión d(á;b) - V (a , -b,)^Tl-(a2- b 2)^ es la fórmula geométrica que da la distancia entre dos puntos por aplicación del teorema de Pitágoras.

Consideraciones análogas pueden hacerse para la distancia euclídea en el es­ pacio R^, cuya representación geométrica es el espacio iridimensiona!.

La distancia eudídea, a pesar de ser la más utilizada, no es la única función, que transforma a R" en un espacio métrico, como lo indican los ejemplos siguientes.

Ejemplo 4

En R" se define d(á;b) = máx {la¡-bJ/ieN a i:sn}.

O sea, la distancia propuesta es el mayor entre los números ja:,-b,|,la2- b 2l...., [a^-b^l· Puede verificarse que esta función satisface los axiomas de distancia (dis­ tancia de Minkowski).

E^mplo 5

En R" se define la función característica y puede verificarse que es una dis­ tancia;

(d(à;b) = 1 si á?tb) a (d(à;b) = 0 si à = b). =

. El espacio métrico se llama discreto.

Ejemplo 6

Sea el conjunto de todas las funciones escalares continuas definidas en el intervalo cerrado [0;1].

Es decir, = {f/f;[0 ;1 ]-> R A f continua}. La distancia puede darse mediante una integral definida:

-1

Vf6C[„.„VgeCp.,j : d(f;g) = |f(x)-g(x)|d)c

Jo

Puede verificarse que se satisfacen los axiomas y. por lo tanto, se confiere una métrica al espacio de funciones continuas elegido.

Fihalrnente^puedeiobservarseïque^cualquier.'subconjunto. no vacío'de un con­ junto É, es - espacio:métrico:.para la ; misma distancia que conforma el èspàcio métri­ co (E.d).

EJERCICIOS. .

1 ) Probar que d:(a;b) 1 si â îfrb; gg una distánciaen R^. . O SI a = b

2) Probar que d: (á;b)-> |a^-b^| + ¡a ^ -b j + já ^ -b j es una distancia en R3 si á = (a^.-ag.-ag) y 6 = (b.ib^ibg).

3) En Cp.^j se define; VfeCp.^jVgeC^j,.,^: d(f;g) = sup {|f(x)-g(x)|/xe[0;1]}. Verificar que d es una distancia.

II. Entorno y entorno reducido

La definición dada para entorno de centro a y radio positivo r en el conjunto de los números reales puede extenderse simplemente á otros espacios.

Así como se hizo en R, consideramos a R" como espacio métrico euclídeo, o sea, con la distancia euclídea.

Recordemos la definición estudiada en el conjunto R de los números reales: E(a.r) = {x/xeR A |x-a|<r).

O seai entornoide centro a y riadio ríesíel intervalo abierto (a -f;'a + r). En R2, dado el número positivo, r; entorno de centro á (a, la^) y radio r es el conjunto de puntos x == {x;y) interiores a| círculo de centroi (a^ - aj) y radio t.

Es deciri 'E (à;r)^{x/d(x;à)<r};^

Al considerar,: como se ha indicado,-la;distancia:eüclídeá; es d(x;à) = lx-à | =^

= donde x = (xy) y à = (a^iag). Por lo tanto.

Obsérvese que, al indicar puntos del espacio R^, lo hacernos colocando un guión sobre la letra minúscula que designa al punto. En general, haremos lo mismo aJ inr dicar puntos de R^ si n > 1.

La definición de entorno se extiende, síri ninguna dificultad; a R ^ donde está. representado por ei conjunto de los puntos interiores a una esfera.

Si á = (a,;a2;a3), es

E(á,r) = {x /lx -á l< r} = {(x;y:z)/\/(x-a,)2+ (y -a 2)^+(Z’ a3)2<r}

Es similar la definición de entorno en R" para cualquier número natural n > 3 pero, en este caso, no admite representación

geométrica-Si el centro no pertenece al entorno, se obtiene la definición de entomb reduci­ do, análoga a la definición sobre la recta.

En R se define entorno reducido de centrò a y radio positivo r, de la siguiente manera:

E'(a,r) = {x/xeR a 0< lx-a|< r}, que significa E'(a,r) = E(a,r)-{a}.

En R2: E'(á,r) = {x/xeR^ a 0< lx -á |< r} = E(á,r)-{á}.

.E '((a,,a2).r) = {(x;y)/0< V (x -a ,)2+ (y -a 2)2<r}. En R3; E'(á.r) = {x/xeR^ a 0 < |x-à l< r}.

SI X = (x;y;z) y à = (a,;a2;a3). es

E'((a,;a2:a3).r) = {(x;y;z)/0< V (x -a ,)2+ (y -a 2)2+ {z -a 3)^<r>. Finalmente, en R" vale la misma definición:

E'(à,r) = {x/xeR" a 0<|x-à|<r}.

III. Intervalos

Aunque en R", para n > 2, se utilizan casi generalmente los entornos (o esferas abiertas), puede recunirse también a esferas cen*adas y a inten/alós abiertos o ce­ rrados; n-dimensionales, extendiendo en forma lógica las definiciones conocidas^ en R.

Sea á = (a,;a2;...;a j y b = (b,;b2;...;b^) con á#b. Además. VkcN: (l:sk<n=> ==> a ,< b ,) y, X = {x,:x2;...;x„).

. Intervalo abierto (á;b) = {x7a^<x^<b^ si 1 .<k<n}. Intervalo cerrado [á;b] = {x/a^<x^<b^ si 1<k<n}.

En R2 para á = (a^iaj). b = con a,<b, y a2<b2, es (á;b) = {{x;y)/a^<x<b^ a a2< y < b 2>.

[á;b] = {(x;y)/a ,< xsb , a a^^yr^b^}.

Gráficamente, (á;b) es el interior de un rectángulo y, [á;b] es el rectángulo, in­ cluyendo los lados.

Obsérvese que un rectángulo abierto o cerrado es un intervalo, y se lo debe designarcon extremos en el vértice inferior izquierdo y en el vértice superior derecho. Por ejemplo, si queremos anotar como intervalo al conjunto A = {(x;y)/3<x<6 a A -2 < y < 0 }, para á = (3;-2) y b = (6;0), es A = (á;b).

En R3, el Intervalo corresponde a un paralelepípedo, incluyendo o no las caras, según sea abierto o cerrado. ^

(á;b) = {(x y ;z )/a i< x < b , a a2<y<b2 a a3<z<b3}. ^

[á;b] = {(x;y;z)/a,<x<b^ a a2^ y ^ b2a B g ^ z ^ b g } .

IV. Conjunto acotado

El conjunto C, incluido en R", está acotado si y sólo si existe un número real positivo k tal que Vx: (xeC lxl<k).

Obsérvese que |xj = |x-0( = V x i+ x |+ ...+ x ^ .

Es decir, un conjunto en R" está acotado si y sólo si puede incluirse en un en­ torno con centro en el origen.

De la definición surge de inmediato que cualquier conjunto acotado puede in­ cluirse también en un entorno cerrado y en algún intervalo abierto o cenado.

Definición

Diámetro de un conjunto acotado C, incluido en R", es el supremo del conjunto formado con todas las distancias entre pares de püntos pertenecientes a C.

Ejemplo 1

Consideremos el entorno plano de centro (2;2) y radio 1.

Se trata de ün conjunto acotado, pues está incluido, por ejemplo, en el entorno, centrado en el origen y radio 4.

Por lo tanto, k = 4 es una cota de! conjunto pues Vx; (xeE((0;0),l) => lxl<4). El entorno de centro en el origen y radio 1 + V 8 es el entorno de menor radio, centrado en el origen, que lo incluye.

El diámetro es el número 2, que es el supremo del conjunto de todas las dis­ tancias entre pares de puntos del mismo, pero no es su máximo ya que, al no per­ tenecer al entorno los puntos de ja circunferencia, no existe una distancia máxima entre pares de puntos del entorno.

Ejemplo 2

Sea A = {(x;y)/-1:sxá4 A -1 < y < 3 }.

El conjunto está acotado y puede incluírse en cualquier entorno centrado en el origen y radio mayor que 5. Obsén/ese que el entorno de centro (0;0) y radio 5 no incluye al conjunto pues el punto (4;3) e A y no pertenece al entorno.

En este caso, no existe ningún entorno con radio mínimo entre todos los que

incluyen al conjunto A. __

El diámetro del conjunto es el número ^5 ^+ 4^ = V41 que es el supremo del conjunto de todas las distancias entre pares de puntos del mismo. También es el máximo pues es la distancia entre dos vértices opuestos del rectángulo dado.

Ejemplo 3

B = {{x:y)/0<Vx2+y2<2 V (xy) = (4;0)}.

El conjunto está acotado y una cota, por ejemplo, es el número 5, pues B está incluido en el entorno de centro (0;0) y radio 5. No existe un entorno con radio mí­ nimo entre todos los que lo tncluyerf. Su diámetro es 6.

e je r c ic io s

1) Caracterizar los siguientes conjuntos:

1

%

2) Para cada uno de los conjuntos del ejercicio anterior ver si son acotados. Si lo son, dar el diámetro.

3) Graficar en el conjunto A = {(x;y)/0<Vx^+y^<2 v (x:y) = (4;1)}. Hallar su diá­ metro.

4) Para cada uno de los siguientes conjuntos, dar un entorno con centro en el ori­ gen, que lo incluya. Indicar én cada caso, si existe algurio de ellos con radio mínimo.

A = {{x:y)/(x-2)2+(y-4)2<1}.

B = {(x;y)/x = - —~ — a y = —^ a neN ameN};

n m2

C = {(x;y;z)/0<Vx^+y2+z2<3}.

V. Punto de acumulación

La definición de punto de acumulación se extiende de inmediato de R a F"(n>2) considerando, en cada espacio, las definiciones de punto y de entorno reducido co­ rrespondientes.

Sea GGR''. El punto á = (a^;a2:...;a j, que puede o no pertenecer a C, es punto de acumulación de C si y sólo si a todo entorno reducido, de centro á, pertenece, pór io merios, un punto del conjunto C.

O sea, á punto de acumulación de C <=> Ve>03xeC: x€CnE'(á,€).

Puede probarse, con la misma demostración dada en R, que en cualquier en­ torno de un punto de acumulación hay infinitos puntos del conjunto y que un conjun­ to finito no puede tener puntos de acumulación.

El conjunto formado por todos los puntos de acumulación del conjunto C es el conjunto derivado C'.

, Un conjunto es cerrado si y sólo sí le pertenecen todos sus puntos de acumu­ lación. Es decir, C cerrado « C 'c C (ver Cálculo 1 - cap. 2).

Ejemplo 1

Sea C = {(x;y)/lxl<1 A ly|s2}. Representarlo gráficamente. Jndicarsiés acotado' y, en talccaso. hállar su diámetro.' Hallar,C.' é indicar si el conjunto G es cerrado;

#

C es un conjunto acotado pues, por ejemplo, CCE(Ó,3). Su diámetro es 2v'5. ‘ C' = {(x;y)/lx)<1 a ly|^2}.Cno'escerradopues,porejemplo.(1;0)eC'A(1,0)^.

Ejemplo 2

B = {(xy)/0< V (x-1)2+ (y-2)2< 1}.

Se trata de un entorno reducido B = E'((1;2),1). Está acotado y su diámetro

es 2. ,

-B ' = {(x;y) /V ( x - 1)2+ ( y - 2)2< 1}. -B 'n o es cerrado pues, por ejeraplo.

( 1 ; 2 ) € B ' A ( 1 ; 2 ) ^ B .

Ejemplo 3

C = {(x;y)/x = — A y = a neN a meN}. n ■ m

1/2«

1/3,

1/4'

/

1/4 1/3

C es un conjunto acotado y su diámetro es y / í

C = {(x;y)/(x = O A y = - ^ A.meN)v(y = O a x = -^ a neN) v (x;y) = (0;0)}. C no es cerrado pues (0;0)eC' Á (0;0)jklí.

Ejemplo 4

Veamos el caso similar al anterior, en el espacio tridimensional. A = {(x;y;z)/x = 4 - A y = ~ A Z = 4 - A neN a meN a seN}.

n . m. s

A está acotado y su diámetro es y/3. El punto (0;0;0), por ejemplo, es punto de acumulación de A y no pertenece al conjunto. Por lo tanto, A no es cenado. También son puntos de acumulación los puntos cuyas coordenadas son del tipo siguiente:

(O fl;-!·). (O ^-O ), ( - iflio ) , ' ' ' '

Observemos, por ejemplo, el punto {0;0;1) que no pertenece al conjunto A Con­ sideremos un entorno reducido con centro en dicho punto y radio e = ^

1 1 100

dicho entorno pertenecen los puntos del conjunto ;1) c o n n > l00ym >10ü. 1 ^ n m

Para cualquier radio e, basta tomar n>— y m>— . Luego, (0:0;1) es punto de acumulación de A. Lo mismo sucede con los demás puntos indicados.

EJERCICIOS

1) Probar que la unión de dos conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. ídem para la intersección.

2) Para cada uno de los conjuntos siguientes, hallar el conjunto derivado y verificar si el conjunto Inicial es cerrado o no lo es. Previamente graficarlos, si es posible. A = {(xv)/9x2+4y2<16} B = {(x;y)/(x-y|<2}

C = ((x;y;z)/x^+y^+z^<9} D ~ {(xy)/x>0 a y < 2}

G = {(x;y)/0<V (x-1)^+(y+3)2<5}

H = {(x;y)/((x-1[s2 A ly+21-5) v(x;y) ^ (4;2)}

VI. Punto interior

Sea CCR". E( punto a € C es interior al conjunto C si y sólo si existe un entorno con centro en á, totalmente incluido en C.

Es decir, á interior a C 3E(á): E(á)CC.

Al conjunto de los puntos interiores al conjunto C, Jo designamos C¡. Un conjunto es abierto si y sólo si todos sus puntos son interiores. C abierto <=> ¡C = C (ver Cálculo 1 - cap. 2),

Ejemplo 1

A = {{xiy)/xy>0}:^

A está formado por. el primer y tercer cuadrantes* excluyendo ambos ejes ixxjr- denados. A¡ = A y A es un conjunto abiertO:v

Ejernplm2¡^

C = {(x;y)/x - — A y = ~ A neN A meN}.

n m

Ningún punto de C es interior al conjunto, pues, considerando cualquiera de sus puntos, en lodo entorno del mismo hay siempre algún punto que no pertenece

al conjunto. Ejemplo 3

B = {(x:y)/4<x2+y2<9}

i i

B¡ = {(xy)/4<x2+y2<9}.

8 ¿B¡. En efectO i el punto (3;0), por ejemplo, pertenece al conjunto y no es inte­

Ejemplo 4

D = E'((2;4;3),1). D es el entorno reducido, incluido en R^, cuyo centro es (2;4;3) y cuyo radio es 1.

D, como todo entorno, es un conjunto abierto pues todos sus puntos son inte­ riores.

Demostraremos esta propiedad.

Teorema

Un entorno es un conjunto abierto.

El teorema, válido eh R" para cualquier valor natural de n, será demostrado para n = 2. Recurrimos, para su clarificación, a un gráfico en el plano.

^ Demostración

Consideramos E(á,r), es decir, un entorno de centro.á y radio r>0. Por definición, es E(á,r) = {x/[x-á |< r}.

Para probar que es un conjunto abiertó debemos probar que cualquier punto del conjunto es interior al mismo. O sea, si x^, es un punto cualquiera que pertenece al entomo, hay que demostrar que existe E(xQ)CE(á,r).

Como X(3€E(á,r) es: |Xg-á|<r.

/ / / I I l \ \ \ \ K

Sea |Xo-á] = e. Probaremos que el entomo de centro x^ y radio r-e está inclui­ do en el entomo dado.

En efecto, si xcE(xQ,r-e), según lá propiedad triangular, es: lx-ál<|x-Xgl-(- |Xj,-áI, Como |x-Xo|<r>-€ y Ixjj-á l = €. resulta Ix -á l< (r-€ )+ € = r.

O sea, |x -á |< r y entonces X€E<i,r). Luego, Vx: (x6E(Xq, r-e ) => X€E(á,r)).

Por lo tanto, queda probado que. existe E(Xjj, r - c) incluido en E(á,r}¿, y x^ es in-; terior al conjunto E(á,r). Como x^ es un punto cúalquierá:del conjunto, éste es un conjunto abierto.

(En el gráfico puede observarse que cualquier entomo de centro x^ y radio po-' sitivo s < r-€ , también está incluido en el conjunto.)

EJERCICIOS

1) Demostrar que la unión de dos conjuntos abiertos es un conjunto abierto. ídem para la intersección.

2) Graficar cada uno de los siguientes conjuntos y hallar sus puntos interiores. In­ dicar si el corijunto inicial es abierto o no lo es.

A = {(x:y)/]2x-y|:<5}. B = {(x;y)/|x-H3y|>l}. c = «X;y)/(M <2 A |y|>1) v (x;y) = (0;0)}.

D = {(x;y)/x®+y2-6x+4y = 12}.

VII. Punto aislado, exterior, frontera

Punto aislado

Sea CCR". El punto áeC es aislado si y sólo si existe ün entomo reducido de á al cual no pertenece ningún punto de C.

O sea, à aislado en C <=> áeC a 3E'(á)/E'(á)nC = <f>:

En el conjunto- Á = {(xiy)/x a y = a meN a neN>, todos sus puntos

son aislados:

Punto exterior

Sea CCR". Un punto á es exterior al conjunto C si y sólo si existe un entorno de á al cual no pertenece ningún punto de C. O sea, existe un entorno de à incluido totalmente en el· complemento de C.

Es decir, á exterior a C <=> 3E(á)/E(á)nC = (f>.

Al conjunto de todos los puntos exteriores al conjunto C. lo designamos C^.

Punto frontera

Sea C cR ". Un puntó á es frontera del conjunto C si y sólo si à no es interior ni exterior al mismo.

Por lo tanto, en todo entomo de un punto frontera hay puntos que pertenecen al conjunto y también puntos que no le pertenecen.

La frontera de un-conjunto és el conjunto al cual pertenecen todos sus puntos frontera. La designamos C^.

Ejemplo. 1

Hallar puntos aislados y exteriores del -conjunto A. Dar también su frontera. A = Í(x;y)/x24-y2<i}.

El conjunto de puntos exteriores es = {(x;y)/x^+y2>l}. El conjunto A no tiene puntos aislados.

La frontera de A es la circunferencia con centro en el origen y radio 1. A^ = {(x ;y )^ + y ^ = 1}

Ejemplo 2

Analizar el conjunto siguiente: ·

B = {{x ;y )/(lx -2)<1 a I y - I l^ 2) v x = 4 v (x;y) = {5;2}} El conjunto B no está acotado. B' = {(x;y)/(1sxs3 a -l< y < 3 ) v x = 4}.

Obsérvese que los puntos dé la recta x = 4 son puntos de acumulación del con­ junto B eh pues verifican la definición.

B no es cerrado pues B '^B . Por ejemplo, (1;0)eB' a (1;0)^B.

El conjunto de puntos interiores es B¡ = {(x;y)/1<x<3 a - 1 < y < 3}. B no es abierto pues, por ejemplo, los puntos de la recta de ecuación x = 4 pertenecen al conjunto pero no son interiores al mismo.

B, = {(x;y )/(lx -2|> i v ly - il> 2) a x¥=4 a (xv)^(5;2)}. El punto (5;2) es un punto aislado.

i-a frontera

B, = {(x;y)/(x = 1 A -1 s y < 3 ) V (x ^ 3 A -1<yr<3) v.(y = -1 A 1:£xs3) v v (y = 3 A 1 ^x:s3) V x = 4 V (x;y) = (5‘,2)}.

Obsérvese que un punto aislado es siempre frontera pues no es interior ni ex­ terior al conjunto.

. Obsérvese también que a un conjunto abierto no puede pertenecerie ningún punto frontera. En cambio, un conjunto cerrado siempre incluye a su frontera. En­ tonces, si a un conjunto le pertenecen algunos de sus puntos frontera, pero no to­ dos, no es abierto ni cen-ado.

Conjunto compacto

Un conjunto es compacto si y sólo si es cerrado y acotado. Conjunto denso én sí

Un conjunto es denso en sí, si y sólo si todos sus puntos son de acumulación. Conjunto perfecto

Un conjunto es perfecto si y sólo si es cerrado y denso en sí.

El conjunto A del ejemplo, t .(pág. 14) ndves compacto pues, aunque está aco­ tado^ no: es;Gerradói,,Esvdenso'enssí^pueSítodosifSüs:^pijhtps::son;dej:acun^lación. El conjunto B, del ejémplo-2v.no; es<GOmpactOipues,;np· es cerrado ni estáLaco- tado. Tampoco es denso, en sí pues e).punt6. (5;2) !e pertenece y no es de acumu­ lación.

EJERCICIOS

1) Dados los siguientes conjuntos en R^: a) graficarlos; b) hallar el conjunto deri­ vado y el de sus puntos interiores; c) clasificar los conjuntos iniciales en abiertos o cerrados; d) hallar su frontera.

A = {(x:y)/|x-yN 4 a |y-4|<2}.

B = {(x;y)/x2+y2>8y-15 ay 2 -8 y < -1 2 -x 2 } .

C = Í(x;y)/x2+2x< y +3 a |x+ 2 | < 2 A y < 5}.

D = {(x;y)/y?<2x+4 A.2x+y2<4}.

2) Graficar los siguientes conjuntos en R^. Hallar puntos de acumulación, interiores, exteriores y frontera. Indicar si los conjuntos iniciales son cerrados, abiertos, com­ pactos, perfectos o densos en sí.

A = {(x;y)/x2+y2<1|. B = {(x;y)/x^+y^>l}- C = {(x;y)/x?+y2<4} - {(xy)/xsO a y = 0}.

D = {(x;y)/|x+yl^2}. E -{(x;y)/(x^+ y^-4)-(x2+ y2-9)> 0}: F = {(x;y)/0<xs1 ;A .Oi<y<1: A XT£=y}; ■

H = {(x;y)/(|x|<2. A x>y) (x;yX= (3;1 )}.w . ,

3) ídem en R? para;. ./ - ^ A = {(x;y:z)/x?+y2-+-z?^1):;- · B.= {(x;y;z)/x?>Fy?'+9z?<1}.r C = {(x;y;z)/lx|<2 A ¡y i^ l a |z|<2}:;

4) Analizar los siguientes conjuntos en R^: A = {(x;y)/jx+2y|>3 V |x-y| = O}. B - -{(x;y)/lx+2y|>3 v lx+2y| = 0}. C = E«2;3),4) D = E'<(-4;1),2)

VIII. Algunas propiedades

Pueden probarse, adecuando las demostraciones ya vistas en R, propiedades de conjuntos cerrados o abiertos en R".

La unión de dos conjuntos cerrados en R" es un conjunto^ cen-ado y también lo es su intersección. La propiedad puede extenderse a la unión de una familia finita de conjuntos cen’ados en .R" y a la intersección de una familia cualquiera de con­ juntos cerrados.

La unión de dos conjuntos abiertos en R" es un conjunto abierto y también lo es su intersección. La propiedad se extiende a la intersección de una familia finita de conjuntos abiertos y a la unión de cualquier familia de conjuntos abiertos.

Obsérvese que la propiedad de la unión de una familia de conjuntos cen-ados, así como la intersección de abiertos, se refiere exclusivamente a,fiarnilias finitas. Si la familia es infinita, la unión no. es necesariamente: un conjunto, cerrado nj la inter­ sección abierto.

Un ejemplo simple puede darse en R con ja siguiente faimilía dé conjuntos abiertos.

A, = A , = ( - .

VhcN: A. = ( - es un conjunto abierto.

ii n

.

Consideremos la Intersección de los infinitos intervalos. 3C

Es H a » = {0} y {0} no es un conjunto abierto.

Demostraremos algunas propiedades que utilizaremos en R^.

Teorema

Sea (A„) una sucesión de intervalos cerrados bidimensionales (rectángulos ce­ rrados de lados paralelos a los ejes). Si cada uno de ellos está incluido en el anterior y las longitudes de sus lados tienden simultáneamente §jcero, entonces la intersec­ ción de los infinitos rectángulos es un único punto.

(Este teorema corresponde al de intervalos encajados en R — Cálculo T. cap. El rectángulo A, es el intervalo cerrado bidimensional [a, ;b,].

Si = (a,;a') y 6.,= (b,;b'), el rectángulo, A^ es el conjunto Al = {(x,y)/a,<xsb^ a a ;< y< b ;}. Análogamente = {(x;y)/a2< xsb 2 a a'rsy^b^}.

b; b: y« a; t I 1 I a, a , a, ; b, b, Además, A ,dA ,dA ,d:..dA^d...dA^d... . A lim jb „ - a „ ) = 0 a lfm ^(b;-a^) = 0. ^

La proyección sobré el ejé x dèi rectángulo A^ es el intervalo cerrado [a ^;b j, la del rectángulo A^ es [a^.b^. etc. O sea, [a^;b^], [a2;b2],...[a^;bj... forman una suce­ sión de intervalos encajados, sobre el eje x, cuyas longitudes tienden a cero. De acuerdo con el teorema en una dimensión, su intersección es un único número .real Xq.

Considerando las proyecciones de los rectángulos sobre el eje y, obtenemos otro encaje de inter/alos cuyas longitudes tienden a cero:

[a ';b '], [a';b^,...,[a^:b|p..., que determinan, como intersección, un único núme­ ro real y^.

El punto á = (Xoiyo) verifica la tesis del teorema. En primer lugar, pertenece a todos los rectángulos, pues

«o = n [« h W 'I yo = n

h=l h=i

Además, ambos son únicos por el teorema de intervalos encajados en R. Luego; á = (x^iyo) es el único punto que pertenece a todos los rectángulos.

Teorema de BolzanorWéierstrass ; (en^R?) > .

Todo conjunto infinito y . acotado tiene un punto de acumulación. (El enunciado es el mismo que.en una dimensión y la .demostración que daremos puede extender­ se a cualquier dimensión.)

Consideramos un conjunto A tal que ACR^ y A infinito y acotado. Como es un conjunto acotado, se lo puede incluir en un entorno de radio k>0 y centro en él origen. Este entorno, a su vez, puede incluirse en un rectángulo ceirado, de lado 2k, centrado en el origen.

Subdividiendo este cuadrado en cuatro cuadrados, a uno de estos cuadrados - pertenecen infinitos elementos del conjunto A. Sea éste A.,. (Si cada.uno de los cua-, tro cuadrados tuviese solamente .un número finito de elementos de A, su unión, o sea, el cuadrado inicial A^ tendría solamente un número finito de élementos de A.)

Por lo tanto, A., es un cuadrado, cuya longitud de lado es k, al cual le pertene­ cen infinitos elementos del conjunto A.

Subdividiendo A, de la misma manera, sea A^ el cuadrado que tiene infinitos

1^

elementos de A y la longitud de su lado es . Análogamente, para A3 la lon- k

gitud de su lado es — y sucesivamente A es el cuadrado cuyo lado tiene

k

longitud---, que contiene infinitos elementos del conjunto A. gn—1

Se ha formado, entonces, una sucesión de rectángulos encajados, cuyos lados tienen longitudes que tienden a cero. Sea á la intersección de esos infinitos rectán­ gulos, según el teorema anterior. Probaremos que á es punto de acumulación del conjunto A.

Consideremos un entorno cualquiera de centro á y radio c> 0. En ese entorno puede incluirse un cuadrado A^ de la sucesión. Basta para ello que su diagonal sea menor que 2e y ello es posible porque las longitudes de las diagonales tienden a cero con las de los lados.

€ _/ / ' á

A ese cuadrado A^ pertenecen infinitos puntos de A, y por lo tanto, hay algún punto tal que xeA y xeE(á;e). Luego, á es punto de acumulación de Á .,

♦ Propiedad de Borel

El teorema de Borel también es válido en R". Definimos primero cubrimiento abierto de un conjunto A,

La familia F de conjuntos es un cubrimiento abierto de A si y sólo si: 1°) F = {F„} y VnéN: F„ es un conjunto abierto;

2°) cada uno de los puntos del conjunto A pertenece, por lo menos, a uno de los conjuntos F^. O sea, VxeA3F^eF tal que xeF^.

El cubrimiento es infinito si la familia F está formada por infinitos conjuntos y finito en caso contrario.

Teorema

Sea ACR", Si A es un conjunto cerrado y acotado (compacto), y F es un cu­ brimiento abierto de A, entonces existe un subconjunto finito de F que también re­ cubre a A. (La demostración es análoga a la.vista en CálculO-1 - cap. 2.)

RESPUESTAS A EJERGIGIO&i;

CAPÍTULO 1

Sección IV

1) A = {(x;y)/lx|:^y}. B = a

C = {(xy)/2x+5y<10}. D = {(x;y)/0<x<2 a 0<y<2 a Xí^y a x ^ 2 -y }. 2) diám. B = 2a diám. D = 2V T 3) díám. A = 2 + V Ì7

4) AcE((0;0),10). El entomo centrado en el origen y radio r = 1 + 2 \/5 es el de radio mínimo que incluye a A.

BCE((0;0),5) CCE((0;0;0),10). El mismo conjunto C es el de radio mínimo y cèntro en él origen que incluye al conjunto.

Sección V

2) A' = A A es cerrado B' = B B es cerrado. C' = {(x,7 ;z)/x^+y^+z2< 9}. C no es cerrado. D' = {(xy)/xs:0 A y ^2 }. D ¿no es cerrado. E' = {(x •y)/|x|>2. A ly|^3}: :. E no. es ;cen-adOi.v

F '= F F cen-ado . G "'= {(x;y)/(x^1)^+(y+3)2<25}: G no es cen-ado. H' = {(x;y)/|x-1j<2 A |y,+2|<5}. H, no es cerrado.

Sección VI

2) Aj = {(x;y)/l2x-yl<5}; A no es abierto. B¡ = B B es abierto.

= {(xy)/|x[<2 A |y|>1}. C no es abierto. P¡ = <f> D no es abierto.

Sección VII

1) A' = {(x ;y )/(x -y |< 4 a |y -4 |< 2 }. A no es cerrado. A¡ = {(x ,7 )/lx -y |< 4 A ly -4 [< 2 } A no es abierto.

A, = {(x;y)/(y = 2 a -2 < x < 6 ) v (y - 6 a 2<x<10) v (y = x -4 a 2<y<6) v V (y = x+4 A 2sy<6)}.

B' = {(x,7 )/x ^ + {y -4)2^1 A x2+(y-4)2:s4} B no es. cerrado.

B¡:= {{x;y)/x^+(y-4)2>1 a x2+(y-4)2<4} B no es abierto. Bf = {(x;y)/x^+(y-4)2 = 1 v x2+(y-4)2 = 4 }.,

C ' = {(x ;y )/y > x 2 + 2 x -3 a —^ ~ x < O A y < 5} C no es cerrado. Cj = {(x ;y )/y > x 2 + 2 x -3 a - 4 < x < O a y < 5} C no es abierto.

C , = { ( x y ) / ( y = 5 A - 4 <x< 0 ) V (x = o a - 3 < y < 5 ) v ( y = ( x + 1 ) 2 - 4 a

D' = {(x ;y )/^ y ^ -2 ^ x :s 2 - D no es cerrado. Dj = D D es abierto.

D , = { ( x ; y ) / ( x = j y " - 2 a - 2 < y < 2 ) V (X = 2 - - l y z A - 2 < y < 2 ) } .

2) A' = A A cerrado . A¡ = {(x;y)/x^+y^<i} ; > A no es abierto.

Á¿ ^ {(xy)/x^+y^> 1} A ,'= {(x;y)/x^+y2 = :1}‘ A es compacto, denso en s í. y. perfecto.

B' = {(x;y)/x^+y^^1} B no es cerrado B¡ = B B es abierto. Be = {(x;y)/x^+y^<1}· B, = {(x;y)/x2+y2 = 1}

B no es compacto ni perfecto. B es denso en sí. C' = {(xy)/x2+y2<4} C no es cerrado.

C¡ = C C;es abierto.

Cg = Í(x;y)/x^+y2>4} C, = {(x;y)/x^+y^ = 4} u {(x;y)/y = O a 0<x<2}. C no es compacto. Es denso en sí. No es perfecto.

D' = {(x;y)/lx+yl<2} D es cerrado. D, = {(x;y)/[x+y|<2} D no es abierto. De = {(x;y)/lx+yl>2} D, - {(x;y)/|x+yl = 2}. D no es compacto. D es denso en sí y perfecto.

E' == {(x;y)/(x^+y^-4) (x2-i-y2-9)>0} E no es cerrado. E¡ = E E es abierto E^ = {(x;y)/(x^+y2-4) (x2+y2-9)<0}. E, = {(x;y)/(x2+y2-4) (x^+y^-g) = 0}.

E no es compacto ni perfecto. Es denso en sí.

1%

F' = {(x;y)/0<x:<1 a O sy<1} F no es cerrado.

F. = F -{(x;y)/x = 1 } F no es abierto.

F j = { ( x - , y ) / ( 0 < x : < 1 A y = 0 ) V (0 :S X :< 1 A y = 1 ) v ( x = 0 A 0 < y : £ l ) V V (x = i A 0 < y s 1 ) V ( x = y a 0 <x< 1 ) } .

F no es compacto ni perfecto. Es denso en sí.

H' = {(x:y)/jxl:22 A x>y} H no es cerrado.

= H -{(3;1)} H no es abierto.

= {(x;y)/y> xv (|x|>2 a (x:y)?!=(3;1))}. (3;1) es un punto aislado.

H, = {(x;y)/(|x| = 2 a x s y )v (lx|<2 a x = y)} U {(3;1)}, H no es compacto ni denso en si. No es perfecto.

3) A '= A A es cerrado A¡ = {(x7 ;z)/x^+y^+z2> 1} A no es abierto. Ag = {(x;y;z)/x^+y2+z^<1} A, = {(x;y;z)/x^+y^+z^ = 1}.

A es denso en si y perfecto. No es compacto. B' = {(x|y;z)/x^+y^+9z^:s1} B no es cerrado. B, = B B es abierto B^ = {(x',γ,z)/x^+y'^+Qz^>^}.

= {(x;y*,z)/x^+y^+9z2 = ,1} : B no es compacto ni perfecto. Es denso en si.

C' = {(x;y;z)/|x|<2 a ly|¿1 a jz |< 2} C no es cerrado.

C. = {(x;y;z)/lx|<2 a |yl<1 a |z|<2} C no es abierito. Cg = {(x;y:z)/ixl>2 v |y|>1 v lz(>2}.

C, = {(x:y;z)/(|xl..=^2 A iy |< t a lzl<2):v:(|xl<2 À’ |yl = 1 :à |z|<2)•v (|xj<2 a A ly js l A |z| = 2)}. .

Es denso: en:si. No es perfecto ni compacto;! : 4) A ' = {(x;y)/(x-i-2y(>3:v x.= y} ■ A no:es cerrado.::

A¡ = {(x;y)/lx+2y|>3} A no es.abierto. . Ae = {(x;y)/lx+2y|<3 a Xi^y}.

A, = {(x:y)/lx+2y[ = 3 v (x = y a - K x < 1)}.

B ' = { ( x ; y ) / | x + 2 y | > 3 V X = - 2 y } B n o e s c e r r a d o . = { ( x ; y ) / l x + 2 y | > 3 } B n o e s a b ie r t o . Bg = { ( x ; y ) / l x + 2 y l < 3 a x ^ í = - 2 y } . B , = { { x ; y ) / l x + 2 y [ = 3 V x = - 2 y } . B n o e s c o m p a c t o n i p e r f e c t o . E s d e n s o - e n s í. C' = {(x y )/(x -2 )2 + (y -3 )2 < l6 }' C no es cerrado. C, = C Ces abierto = {(x;y)/(x-2f+(y-3)^>16}.

C, = {(xy)/(x-2)2+ (y-3)2 16} en sí.

C no es compacto ni perfecto. Es denso

D' = {(x;y)/(x+4)2+(y-1)2;s4} D no es cerrado. D. = D D es abierto = {(x;y)/(x+4)2+(y-1)2>4}.

= {{x;y)/(x+4)2+(y-1)2 = 4} U {(-4:1)}. Es denso en sí. No es compacto ni perfecto.

2. VECTORES

El material de este capítulo no corresponde,; de manera directa, al cálculo. Ge­ neralmente los alumnos ya.lo-conocen, por h ^ r io ,estudiado, en fomia mucho más. completa, en-álgebra lineal o en geometría

analítica.-He übióádo en este capítulo definiciones y propiedades que serán usadas erf.el. libro, en especial para el estudio de funciones vectoriales y campos véctoriáles.

Si el estudiante las tiene presentes, puede obviar la lectura de este capítulo y recurrir a él cuando necesite recordar algunas nociones vectoriales o de geometría analrtica que se utilizarán más adelante.

I. Espacio vectorial

Consideramos' primero la definición de la estructura de espacio vectorial para cualquier conjunto V, no vacío, respecto de un cuerpo conmutativo (K, +, ■).

Sean © y a dos operaciones.

(V, ©, K, □ ) es espacio vectorial si y sólo si se verifica; 1) (V, ©) es grupp conmutativo.

2) □ es una ley de composición externa con operadores o escalai-es éh K. O sea: a ;K x V -> V/Va€KVveV;aaveV.

3) la ley externa satisface la asociatividad, enunciada así; VaeKV^eKVveV; (a ./3)dv = anOaav).

4) la ley externa.es distributiva: respecto de. la adición en K. Propiedad enun­ ciada así;

VaeKVjSeKVveV; (q:+/3)gv = {aDv)@03av):

5) la ley externa es distributiva respecto de la adición en V. Propiedad que se indica:

VaeKVxeWyiEV; aa(x@y) = (¿□x)© (any). 6) la unidad del cuerpo es elemento neutro para la ley extema. O sea: VveV: iD v = v, donde 1 es la unidad en el cuerpo (K, +, ·)·

El conjunto K recibe el nombre de conjunto de escalares y cada uno de sus elementos es un escalar. El conjunto V es el conjunto de vectores y cada uno de sus elementos ^ un vector. ..

+ y - son las leyes ihtémas en eltcuerpo y se llaman adición y multiplicación de escalares. La ley interna 0 , definida én V, es la adición de vectores, y la ley ex­ terna □ es la multiplicación de escalar por vector.

Obsén/ese que la ley extema se define como función de KxV en V, y como el producto cartesiano no es conmutativo, no tiene sentido cambiar el orden y multi­ plicar vector por escalar.

El producto de un escalar por un vector es, como ya se ha indicado, un vector. El neutro para la adición en V es el vector nulo, que se designa Ó.

He usado símbolos diferentes para designar las operaciones en K y en V, con el objeto de clarificar las nociones iniciales que caracterizan la estructura abstracta de espacio vectorial. Si bien los símbolos diferentes pemniten aclarar dichas nocio­ nes, en el uso repetido complican y hacen muy tediosa la notación; Por eso, una vez comprendido su significado, prescindiremos de ellos al trabajar con el único modelo que nos interesa en este texto, que es R" con escalares en R. Es decir, al vector x@y lo designamos simplemente x+y, al vector ojDv lo indicamos av, etcétera.

Comenzamos con un modelo simple de espacio vectorial, considerando como conjunto de vectores al conjunto R^ y como conjunto de escalares al conjunto R de los números reales.

Para verificar que (R^, ©, R, o) es espacio vectorial, definimos las dos leyes de composición:

1) la adición de vectores es (a;b)©(c:d) = {a+c;b+d).

Obsérvese que la adición en el primer miembro es @ (en R^) y la que aparece en el segundo miembro es + (en R).

Puede verificarse de inmediato que R^, con ©, adquiere estructura de grupo conmutativo donde el vector nulo es (0;0).

2) la multiplicación de un escalar por un vector es o!a(a;b) = (a-a;a-b). Puede probarse ahora, en forma muy sencilla, que se satisfacen los restantes axiomas de espacio vectorial.

Para simplificar la notación, como hemos anticipado, nos referimos al espacio vectorial R^ con escalares en R.

Por lo tanto, un elemento perteneciente a R^ es un vector. Si el vector es V = (a;b), a es la primera componente y b la segunda y puede representarse en el plano por el punto de abscisa a y ordenada b. El vector nulo con-esponde al origen.

En geometría y en física es usual representar un vector mediante una flecha con extremo inicial en el origen de coordenadas y extremo final en el punto iridicado

en el plano. La recta determinada es la dirección del vector y los extremos dan el sentido. La suma de- dos vectores és un vector cüyas comporientes son ordenada­ mente las sumas de las componentes respectivas: El vector opuesto es un vector cuyas componentes son los números opuestos de las componentés iniciales.

Geométricamente, la suma de vectores se obtiene utilizando la conocida “regla del paralelogramo".

Otro'ejemplo, dé ■espaGiO'VeQtorialf queíUtilizarsmos.'es ei.de con; esGálares; en R. Todo elemento dé R^ puede representarse mediante un puiito del espacio : tridimensional o un vector con tres componentes.;

Utilizaremos la terna dextrógira o derecha. (Si colocamos el dedo pulgar de la mano derecha en la dirección positiva del eje x. y el índice en el sentido positivo del eje y. él dedo central indica naturalmente la dirección positiva del eje z.)

-

y

En general,-el conjunto R ^ también adquiere estructura de: espacio vectonal

para cualq‘uier-n>3V. con-esGa|ares';.envRr Para ellpíse .definen laJey interna,y la.ley externa· en:forma;análQga;aia,;realizada%en^R?.vy:.R?.

Igualdad de vectores en R"

Considerando la igualdad de h-uplas, dos vectores son iguales si y sólo si sus componentes son respectivamente iguales.

Esto permite considerar siempre vectores cuyo origen coincide con et origen de coordenadas.

En R2, por ejemplo, sea

á = (a, ;a^) a 6 = {by-x, ibj-X j)^ á = b « a ^ = b ,- x , A a2 = b2~X2- ■

Norma^^de un vecrtor ; eh : irt"

Sí consideramos la métrica eudrdea, la distancia de un .punto al origen se de­ nomina norma, longitud o módulo del vector correspondiente.

S ix = (x,;x2;...:x j es [x] = V x^+ x|+ ...+ x^ o sea, 1x1 =

En R: (xj = V x ^ , propiedad ya vista para módulo de un número real.

En R^: |x| = Vx^+y^. etcétera.

Un vector es unitario si y sólo si su norma es 1. Se lo denomina versor.

II. Dependencia lineal

D efinición 1

En R " el vector á es combinación lineal de íds vectores á|,á2;....á^ si y sólo si existen escalares tales que á = 2 “ |S¡·

í=1

Definición 2

Un conjunto {á^,á2,...ág} de s vectores'de R" es linealmente irKJependiente si y sólo si la única combinación lineal de los mismos que da el vector nulo tiene, todos los escalares nulos. .

En símbolos:

• S ,

{á^.ág.-.ág} linealmente Indep. en R" 2 = Ó = O·

1=1

Por ejemplo, en R^ los vectores 1 = (1;0) y ] = (0;1) forman un conjunto iineal- mente independiente.

Análogamente, en R^ los vectores coordenados unitarios;

Si un conjunto de vectores de un mismo espacio no es linealmente indepen­ diente, se denomina linealmente dependiente. Puede probarse de manera muy sim­ ple que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y sólo si uno de ellos es combinación lineal de los demás.

Por ejemplo, sean á., y á j dos vectores de que forman un conjunto lineal­ mente dependiente. Por definición, 3i tal que ^ = Ó a o;,íí=0. Suponiendo 5^0

i=1

es a^á^+agá^ = Ó A a^T^O.

Luego, ^ ---á, y los \?ectores y resultan paralelos en el plano. La dependencia lineal, entonces, significa geométricamente en R^ que los vec­ tores están incluidos en rectas paralelas. Considerados a partir del origen (vectores libres) se , ubican sobre la misma recta.

Dé manera-Similar puede verificarse^en R^ que si tres vectores forman un con­ junto l¡nealmenté;deperidiente,;entonces-existe.;un plano al cual los tres;vedores re- sultán paralelos.'.

Basie de- u ii espacio vectorial ■

Definición

El conjunto {x^i.xg....x„} es una base del espacio R" si y sólo si se veriíica: 1) el conjunto es linealmente independiente.

2) lodo vector deí espacio puede expresarse como combinación lineal de tos mismos.

Tienen especial importancia en R" los siguientes vectores unitarios: ü, = (1;0;0;...;0), = (0;1;0;...,0),..., = (0;0;...;1), llamados vectores coonienados unitarios o versores principales.

Es usual la siguiente notación para dichos versores: enR 2: ( 1,0) = I , ( 0;1) ^ ] en R®: (1 ;0;0) = 1, (0;1 ;0) = ), (0;0;1) = k Puede probarse fácilmente la siguiente propiedad en R":

á = (a,;a2;...a„) ^ á

-Puede demostrarse también que el conjunto {r,|} es una base en R^ y {í,],R} lo es en R^. Lo mismo sucede con en R". Cada una de estas bases recibe el nombre de base canónica deí espacio correspondiente.

r»

Si á = 2 a,ü,. entonces a,,a^.-.a^ son:las componentes de a respecto de la /=1

base canónica o simplemente las .componentes de á. Si ái¿ó„ entonces —^ es un vector unitario o versor.

|á|

Su norma: a2+a2+...+a2 a^^al+.-.+a^ 1 /2 = 1 k2+a2-.:.+a^ 2 (3 ·,)"

La división de un vector por su módulo suele llamarse "normalización" del vector. Por ejemplo, siendo á = 2i+5] es [áj = V ^ .

V 2 9 |á|

“Al®

i - + ^ = l

29 - 29

III. Álgebra vectorial

Además de las operaciones ya definidas: adición de vectores y multiplicación de escalar por vector, pueden darse otras leyes de composición con referencia a vectores.

La definición de sustracción es inmediata y se apoya en la existencia del vec­ tor opuesto para cada vector.

Es d = á -b co d = á + (-b ).

Interesan, en especial, dos tipos particulares de multiplicación. a) Producto escalar

Definimos en R" ei producto escalar o producto interno de dos vectores de la siguiente manera:

. siendo x = (x^;x2;...x„). y = (y.^g i-y^) es x - y = x,y,+ x2y2+·••■‘■V n

n

O s e a x - y = ]g x.y. .

i=1

De acuerdo con esta definición, el producto escalar de dos vectores de un mis^ mo espacio es el número real que se obtiene como suma dé'los productos de las respectivas. componentes.

Pueden probarse las siguientes propiedades del producto escalar: 1) propiedad conmutativa: á«6 = b-á.

2) propiedad distributiva respecto de la adición de vectores: á.(b+c) = (á.b)+(á-c)

3) propiedad "asociativa” : (aá)*b = a(á‘ b). 4) propiedad del módulo: á.á = |áp

5) desigualdad de Cauchy-Schwarz: |á*6|<|á||b|. ♦ Probaremos la última propiedad

a) si á = Ó V b = 5, entonces los dos miembros de la desigualdad indicada dan el número real O y se satisface la igualdad.

O sea, á = Ó v b = 5 lá»b| = O a lá||bl = 0=* |á*bl = |á|lbl => iá*bl<|á|lb|. b) suponemos a b ^ Ó .

Considerando que a es un número real cualquiera, définimos la función escalar f de la siguiente, manera: ^

f:R^;-^ F l/f(¿ );= |a á + 6l?:

Observemósíque el recorrido de f estáiformado por. números no negativos. Por la propiedad^;.esJ(a) = :(aá+bjr(aa+^^

Aplieáñda las propiedadesilv 2yi3^íresuita:^v f(a) = a21ál2+ 2aa .5+1612

Completamos un cuadrado en el segundo miembro, de la siguiente manera:

f(“ ) = |áP a¡'+2a - ^ + Iál2

í—

)

Elegirnos el valor de a que anula al primer término dé la suma. Para ello basta á <6

hacer a

-¡312

Como los valores de f no son negativos, es Va:f(a)aO, y por lo tanto:

V. lál^J

láP

Luegoí'lá)?|bl?>(á*b)2.:::: ‘

Por tratarse;^de números no negativos,; extraemos raíz cuadrada en cada: miem­ bro y resulta là*B|s|àl|bl,lque es la

tesis;Otra forma de: expresarla desigualdad,de: Cauchy^Schwarz es:..

-utilizando directárriiente la definición de producto escalar, puede probarse en R^: = ]*Í = k* k = 1

trica.

El producto escalar tiene en y en R^ una importante interpretación

geomé-Sean à y B dos vectores del espacio R^ y a el ángulo que forman (0< a < 7r). En el plano de ambos vectores queda detenninado un triángulo al cüal podemos apli- carie el teorema del coseno de trigonometría plana.

Los lados del triángulo detenninado por O, á y b tienen las siguientes longitudes: lá l.lb ly lb -á l.

Por ei teorema del coseno es:

Ib -á p = lál2+lbl2-2|áilb|cosa (1) Por propiedad del producto escalar, es también:

|b -á |2 = |bl2^|á|2- 2á.b (2)

De (1) y (2), resulta á · b = láUbl eos a, expresión que suele darse en R^ y R^ co­ mo definición geométrica del producto escalar, y que se verifica también si

a = O v a = TT.

De esta fórmula podemos sacar algunas conclusiones. En primer lugar, como |á| y |bl son números positivos si ninguno de los vectores es el vector nulo, el signo del producto escalar es el signo del coseno del ángulo que forman los vectores. Por lo tanto, el número á*b es negativo si y sólo si eos a es negativo, o sea, si

- ^ < a ^rr. Además, si á y b son vectores no nulos, el producto escalar es nulo si cosa . -O. Esto sucede si a = en cuyo caso los vectores son perpendiculares u ortogonales.

Luego, á -b = 0 <t=>á = 0 v b = 5v áXb.

Por otra parte, si el producto escalar no es nulo, la definición geométrica permite calcular el ángulo que forman entre sí dos vectores dados, si se conocen las com­ ponentes de dichos vectores.

- 3 · b

En efecto, si |á| ¡blT^O es eos á = r -|ál :|b| ·

Si à = (a^:a2;aÍ3) b = (b^;b2;b3) cos a =

V a f+ a |+ a | V b f+ b |+ b | La fórmula geométrica indica también que, para hallar el producto escalar de dos vectores, se puede multiplicar la longitud de uno de ellos por la longitud de la proyección del otro sobre él.

■já lM s a

(laj cdsá)lb] = á * b

b) Producto vectorial

Este producto, a diferencia deí escalar que· se define ana/ftfcamente en c u a lq u ie r

dímerisión,ís(^o;se define en ;

Dados en los vectores á; = (a^ ;a2;ag) y b = (b, ;b2:b3), el producto vectorial de á pór b es el vector

o bien,

â A b = {a^b^-a^b^;a^b^-a^b^',afi^~a^b^),

§ A 6 = (a2b3- a 3b2)i+(a3b ,-a ,b 3)]+(a,b2- a 2b,)k

Para recordar la definición anterior, es usual darle al segundo miembro la “for­ ma’' de un determinante:

T i k

a i 3 a 83

b, b2 b3

Pueden probarse las siguienteá propiedades del producto vectorial: 1) á A 6 = - ( 6 A á).

• 2) á A (b+c) = (á A b)+(á A c). 3) a(á A b) = (citá) A b = á A (ab)...

4) á · (á A b) = b · (á a b) = 0.

5 ) á A á = Ó.

6) T A ] = k,: ] A k = T, k A 1 = j.

7) la A b l2 = lál21b|2-(á-b)?.

De la propiedad 4 surge que el· producto vectorial es un vector perpendicular al vector á y al vector b.

Demostraremos ahora que |á a b| = láUblsena. Esta fónnula pennite definir geométricamente a/ producto vectorial

Por definición de producto vectorial y de módulo de un vector, es

la A Bp = (a,b3-a3bJ=+(a3b,-a,b,)=+(a,b,-a3b,)=.

. Luego, |á a 6p = a|b¡+a|b|+a|% afb§+a;b|+a|b;,-?ajbja3b3-2a,b,a3b3- -2a,b ,á3b , (1), _ '

Por otra parte, láp|b|2 ^ = |áp|bp(1 - cos^ a) = = JáPlBp-láHbP cos^a = lápisp - ( á · 6)2= = (a2+a|+a^)(b2+ b |+ b 2)-(a ,b ,+ a 2b2+a3b3)2 =

= a;b2+afb2+a2b2+a|b|+a|b2+a2b|-2a,b,a2b2-2a^b,a3b3-2a2b2a3b3 (2). De la igualdad entre (1) y (2) surge:

|á A b|2= |áp|b|2sen2 a

y por lo tanto, |á a b| = |á||b||sén a |.

Finalmente, como sen asO pues O ^a sir, obtenemos |á A b| = |á||b|sena

Esta fórmula indica que la longitud del vector á a b es el área del paralelogramo que determinan los vectores dados.

Ahora bién, hemos hallado la dirección del vector resultado, que es perpendi­ cular al plano determinado por á y b, y su longitud que es él área del paralelogramo que los tiene por lados. Falta dar su sentido.

El sentido depende de la posición relativa de los ejes coordenados. Si el sistema de coordenadas está dado en el espacio por una tema dextrógira, el sentido de á a 6 también viene dado por la tema derecha. Es decir, suponiendo que el vector á gira hacia b, si los dedos de la mano derecha siguen esa rotación, el sentido de á a b está señalado por el dedo pulgar.

Si bien, ai dar la definición geométrica, ei sentido debe exigirse por definición, ía expresión analítica lleva también a un véctor con él sentido indicado. Para veri­ ficarlo. basta recordar la propiedad 6 (pág. 34) donde se ha probádo í a j = k. Al va­ riar las componentes de los vectores a y 5, el sentido se mantiene pues, considerado como función, á a B es continuo respecto de á y B.

pe la expresión geométrica surge de inmediato que, si los vectores son para­ lelos, su producto vedorial es nulo pues sen a = 0. Recíprocamente, si el producto vectorial es nulo y los vectores no lo son, entonces resultan paralelos.

c) Producto mixto

El producto escalary el producto vectorial pueden combinarse, fprmando.el pro­ ducto mixto.

En sean á = (a:^;a¿;a3)^6 = (b;,;b2:b¿),^c;- (c^ icgicg); á · b a c es el núme^ ro que se obtiéne :del-producto¡.escalaK:^ntré-Josjvectores ;á y 6 A 5; '

Utilizando las definíeloriés:condcldasfjsé.:pmeba de ¡nmedlátp que^

-á · b A c =

ai ^2 83

b r b3

c, c, c.

También puede probarse, utilizando propiedades de los determinantes, que á * B A C = c * á A B = B » C A § , o sea que se pueden penriutar cíclicamente los vec­ tores sin que altere el producto mixto.

Finalmente se demuestra también que pueden intercambiarse las operaciones sin que altere el resultado final: á * B A C = á A B * c .

El valor absoluto del producto mixto coincide con el volumen del paralelepípedo que tiene a los vectores dados como aristas.

En efecto¿; à :a , B tiene pori módulo- el¡;áreai del paralelográmo.conrespondiente;; y es perpendicularTal planò del mismoirSi jS és el ángulo que forman entre sí á A B y c, su producto escalar esiá^/' B] |c| cos jS y [él|cos j8l-corresponde a la altura del para­ lelepípedo indicado.

Si el ángulo el producto á a B · c es positivo, y negativo si

P>^·

el producto mixto á a B · c es positivo si a a B y c están en el mismo semiespado respecto del plano detemiinado por à y b.

EJERCICIOS

1) Considerar en los siguientes vectores: á = (1 ;-3;4), b = (2;-1;5)^c = (-2;0;3). Hallar a) á+b+c, b) á -c + b , c) á+4c-3b, d) á- c , e) |áj, f) jbp, g) b a c, h) á · b A c.

2) Siendo á = 4T-2j+4k y b = -3 í+ 2 j-7 k verificar la desigualdad de Cauchy- Schwarz.

3) Hallar el módulo del vector con origen en A = (5;2;3) que une A con P = (x;y;z). 4) Hallar un vector unitario con la dirección y sentido de v = -5 í+ 3 ]-4 k.

5) Hallar un versor paralelo a á+S si á = T+2]+5k, 6 = 4 'í+ 3j-6Ít

6) Demostrar que á = T+]-f5k, 6 = 2 í+ 3 j-k y c = 1 6 í-1 lj-k forman un conjunto ortogonal de vectores {perpendiculares dos a dos).

IV. Ángulos y cosenos directores

1) En R 2

Consideremos en el plaño un vector v = (a;b). Como ya hemos Indicado, a y b son las componentes del vector y son las longitudes de las proyecciones de v¿ resr pectivamente, sobre cada uno de los ejes coordenados. Interesan los ángulos que forman cada uno de los semiejes positivos con el vector, llamados ángulos directo­ res del vector, y sus cosenos, llamados cosenos directores. Los ángulos varían entre O y 7T y sus cosenos, por lo tanto, pueden ser positivos o negativos.

2) En B 3

Las mismas definiciones anteriores se repiten en el espacio.

V = (a;b;c)

Los cosenos directores de lös ángulos .son proporcionales a las componentes respectivas.

En efecto, es

c o s a = —^ c o s ß = —^ - c o s y = —^ (1)

|vl |v| |vt

con vj= Va^-rb^+c^. Estas igualdades permiten calcular las componentes si se co­ nocen los cosenos directores y la longitud del vector.

Por otra parte, los cosenos directores están relacionados por la siguiente ex­ presión: cos2 a+cos2 ^+ cos2 y = 1, que se obtiene elevando ai cuadrado primero y sumando luego las tres igualdades (1).

De las igualdades. (1) se deduce también que las componentes de un vector unitario coinciden con sus cosenos directores. En efecto, si |v| = 1 resulta cos a. = = a A cos.fi =. b A eos y = c.

Al vector nulo no se le adjudican ángulos directores.

Vectores, paralelos; en, R?,,

Si dos.véctores no;nu}os á.=:(a,ía2;a¿);y:b = son paralelos y deT mis­ mo sentido, tienen los-mismos cosenos.directores: ;

a^ b^ ag bg bg

cos a = --- = — A cos p = --- —r - a cos y =

[á| (b| |ál Ib) là! ibi

a. a- a- |à(

y, por lo tanto, —— = - r — = ~r— = —r - si b,=?í=0 a b2=ifc0 a bgitO.

° i °2 °3 ibi

Si los vectores son paralelos pero tienen sentido contrario, los cosenos tienen valores opuestos. a, ^ b, a, bj O sea, —— = --- r — A --- = --- r - a lál |bl ¡ál |6l lá| |b| u ^ ^ |á| y resulta = r— = -*>, b j bj |b|

En ambas situaciones, las componentes de vectores paralelos son proporcio­ nales.

Recíprocamente, puede demostrarse:;si las componentes de dos vectores son. proporcionales, entonces los vectores resultan paralelos.

Es decir,

- a. a, a.

Si las razones son positivas, los vectores tienen igual dirección y sentido. Si las razones son negativas, los vectores tienen igual dirección y sentidos opuestos.