Coordenadas homogéneas

Para caracterizar o definir un objeto unívocamente, en Geometría analítica euclidiana se utilizan las coordenadas como conjunto de números, en este caso del plano

(ℝ2_{), distancias a un par de ejes perpendiculares entre sí. Por ejemplo, un punto se}

define con sus coordenadas rectangulares (x, y), o una recta, como lugar geométrico de

los puntos cuyas coordenadas satisfacen la siguiente ecuación lineal:

𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐 = 0 (2.9)

Ahora bien, desde el punto de vista de la Geometría proyectiva y con el fin de realizar un tratamiento analítico de los puntos impropios, surge un nuevo sistema de coordenadas. En esta filosofía, el enfoque es el inverso, es decir, se parte del conjunto de todos los pares (x, y) y se le llama punto a cada uno de esos pares. De la misma forma, se dice que una ecuación lineal en x e y define una recta (Courant & Robbins, 1996).

Dado un plano π en el espacio, paralelo al plano XY de un sistema de coordenadas rectangulares (X, Y, Z) y a una distancia unidad sobre él (Figura 2.9). En este escenario, todo punto P del plano π tendrá coordenadas (X, Y, 1). Si además se toma el origen de

coordenadas como centro de proyección O, cada punto P determinará una única recta

2. Marco teórico

Figura 2.9. Coordenadas homogéneas

A continuación se traduce todo esto a coordenadas homogéneas. Para conocerlas,

de la recta que une O con P, se toma un punto Q, diferente a O. Las coordenadas

tridimensionales x, y, z de Q, son precisamente las coordenadas homogéneas de P, es más, las coordenadas (X, Y, 1) ya lo eran, pues cualquier conjunto de coordenadas de la forma (λX, λY, λ), para λ ≠ 0, serán coordenadas homogéneas de P. En esta notación, los puntos del infinito de π, determinados como ya se ha dicho, por toda recta paralela a π que pase por O, tendrán la forma (x, y, 0).

Las coordenadas homogéneas proporcionales representan el mismo punto, la escala global no afecta. Así, el punto (X, Y, 1) es el mismo que el punto (λX, λY, λ), de lo

que se deduce que para pasar de coordenadas homogéneas (x, y, z) a sus

correspondientes euclidianas (X, Y), simplemente se divide por la tercera coordenada:

(𝑋,𝑌) = �𝑥_𝑧,𝑦_𝑧� (2.10)

Para representar una recta en el plano proyectivo mediante coordenadas homogéneas, partimos de la ecuación (2.9) haciendo la anterior sustitución, obteniendo la misma ecuación de la forma

𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧= 0 (2.11)

Otra consideración más es que el plano proyectivo contiene más puntos que el euclidiano, obviamente, los puntos cuya tercera coordenada homogénea es cero (x, y, 0),

como se avanzó anteriormente, los puntos del infinito o impropios. Con cada dirección en el plano habrá asociado un punto impropio distinto, por ejemplo los puntos (1, 0, 0) y (0, 1, 0) están asociados con las direcciones horizontal y vertical, respectivamente.

Por álgebra, la intersección de dos rectas, r = (a1, b1, c1) y s = (a2, b2, c2) es el punto

P = (b1 c2 − b2 c1, a2 c1 − a1 c2, a1 b2 − a2 b1), el producto vectorial P = u1 × u2. Entonces, si las

dos rectas son paralelas, −a1 / b1 = −a2 / b2, el punto de corte entre ambas es (b1 c2 − b2 c1,

a2 c1 – a 1c2, 0), que es el punto impropio asociado a la dirección cuya pendiente es −a1 /

b1.

∎ Si se introducen las coordenadas homogéneas en dos espacios tridimensionales, las ecuaciones de la transformación proyectiva (Ec. 2.8), que como se sabe, todas tienen el mismo denominador, pueden descomponerse en cuatro de la forma (Klein, 1931):

𝜌′_{𝜉′ =𝑎} 1𝜉+𝑏1𝜂+𝑐1𝜍+𝑑1𝜏 𝜌′_{𝜂′= 𝑎} 2𝜉+𝑏2𝜂+𝑐2𝜍+𝑑2𝜏 𝜌′_{𝜍′= 𝑎} 3𝜉+𝑏3𝜂+𝑐3𝜍+𝑑3𝜏 𝜌′_𝜏′=𝑎 4𝜉+𝑏4𝜂+𝑐4𝜍+𝑑4𝜏⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ (2.12)

Este sistema, prescindiendo del factor arbitrario ρ', que actúa de factor de

proporcionalidad, constituye la sustitución lineal homogénea de cuatro variables más

general, y representa, por lo tanto, una correspondencia afín entre los dos espacios

auxiliares de cuatro dimensiones. Se puede escribir en notación matricial de la siguiente forma:

𝜌′_{𝑋′= 𝐻𝑋 (2.13)}

Esta función asigna a cada elemento X un elemento X’, para algún ρ’ perteneciente a

ℝ, siendo H una matriz invertible, se denomina homografía y se define como una

proyectividad biyectiva f(x) = x’ entre dos espacios n-dimensionales, que preserva

colinealidad y razón doble. Asigna a cada elemento otro de su misma especie, a un punto corresponde otro punto, a una recta otra recta, a un plano otro plano, etc. Además, es

una matriz homogénea, en la que un posible escalado, λH, no llevaría a un punto

transformado por H a ningún cambio, por lo que λH y H, representan la misma

2. Marco teórico

Recordando que Klein introdujo la jerarquía entre geometrías: euclidiana ⊂

conforme ⊂ afín ⊂ proyectiva, se puede concretar la relación entre estas geometrías mediante el estudio de la matriz H llegando hasta ella.

Comenzando por la transformación euclidiana, en ella se define una rotación seguida de una traslación. Si θ es el ángulo de la rotación de los ejes y (tx, ty) es el

desplazamiento del origen, se puede escribir en coordenadas cartesianas:

�_𝑦′𝑥′�=� cos_sen𝜃 −_{𝜃 cos}sen_𝜃𝜃� �𝑥_𝑦�+�𝑡_𝑡𝑥_𝑦� (2.14)

que se transforma, en coordenadas homogéneas en: 𝐻𝐸𝑢𝑐𝑙𝑖𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 =�

𝑟11 𝑟12 𝑡𝑥 𝑟21 𝑟22 𝑡𝑦

0 0 1� (2.15)

Se han sustituido los elementos del giro por coeficientes r, que aunque sean cuatro, sólo llevan implícito un parámetro, el giro θ. Se trata pues, de una transformación que depende de tres parámetros o grados de libertad (g.d.l.).

El siguiente nivel en la jerarquía lo ocupa la transformación conforme, la cual preserva ángulos y proporciones, por lo que también se la conoce como transformación de semejanza. En este caso, a los tres g.d.l. anteriores hay que añadir el escalado

uniforme s (u homotecia), pasando a depender de cuatro parámetros:

𝐻𝐶𝑜𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 = �

𝑠𝑟11 𝑠𝑟12 𝑡𝑥 𝑠𝑟21 𝑠𝑟22 𝑡𝑦

0 0 1� (2.16)

Para la transformación afín el escalado no es ya uniforme y además, se añade un parámetro para el ángulo de inclinación entre ejes o deformación1_{, con lo que cuenta con}

seis g.d.l. Estos parámetros indican que ya no se preserva la forma (ángulo y proporciones), quedando la nueva matriz de esta forma:

𝐻𝐴𝑓í𝑛 =�

𝑎11 𝑎12 𝑡𝑥 𝑎21 𝑎22 𝑡𝑦

0 0 1� (2.17)

Por último, se llega a la transformación proyectiva añadiendo dos parámetros más, los pertenecientes a la proyección perspectiva, ya que el plano proyectivo incluye al afín, la recta ideal, con lo que se llega a ocho g.d.l. Se trata de una matriz cuadrada no singular,

es decir, su determinante es no nulo. Para resolver esta transformación se deberían conocer las coordenadas de cuatro puntos homólogos en ambos sistemas de referencia, ya que cada punto incluye dos valores, uno para la x y otro para la y.

𝐻𝑃𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 =�

ℎ11 ℎ12 ℎ13 ℎ21 ℎ22 ℎ23 ℎ31 ℎ32 ℎ33