Desarrollo histórico

La Geometría (del griego ‘geos’, tierra; ‘metron’, medir) posiblemente es la parte de las Matemáticas más concreta y ligada a la realidad: se ocupa de las propiedades del espacio y de las figuras en el mismo. Por esta razón desempeña un papel fundamental en la Física, la Astronomía o la Ingeniería. Cuando se habla de las propiedades del espacio se hace referencia al espacio geométrico, modelización del espacio físico, aunque no coincide exactamente con él; hay que tener en cuenta que las figuras geométricas no existen en la realidad (por ejemplo, un punto material siempre tiene dimensiones y una línea recta en la realidad resultaría curva si la mirásemos al microscopio).

Los orígenes de la Geometría se atribuyen a los antiguos egipcios, no en vano su significado etimológico, “medir tierras”, hace referencia a los trabajos que realizaban anualmente para recuperar los límites de sus cultivos tras las grandes crecidas del Nilo. Aunque hay conocimiento de nociones geométricas en Mesopotamia, es en la cultura griega cuando se comienza a crear un sistema teórico en torno a la operación con números enteros, extracción de raíces, cálculo de fracciones y otros problemas aplicados a la Arquitectura, la Geometría o la Topografía (conocida entonces como Agrimensura).

De todos los matemáticos griegos es Euclides (alrededor del 300 A.C.), quien más contribuyó a la Geometría, creando la Geometría euclidiana, que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional. Siguiendo un sistema axiomático, en el que a partir de cinco postulados construye y deduce toda la Geometría conocida en ese momento, escribió el libro “Los Elementos”, que perduró hasta el siglo XIX como la única Geometría.

Por la importancia que tienen, sobre todo el quinto, se reproduce a continuación los cinco postulados planteados en su sistema (Aroca & Fernández Bermejo, 2009):

1. Se puede trazar una única recta de cualquier punto a cualquier punto. 2. Se puede prolongar un segmento de recta continuamente en línea recta. 3. Se puede trazar una circunferencia con cualquier centro y radio.

4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

5. Si una recta corta a otras dos, contenidas en un mismo plano, de modo que la suma de los ángulos interiores situados a un mismo lado es menor que dos rectos, las dos rectas, prolongadas suficientemente, se cortan en el lado en que la suma es inferior a dos rectos.

2. Marco teórico

El último postulado, al que se hacía referencia anteriormente, conocido como el V

Postulado o postulado de las paralelas, fue reformulado como:

5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a ella.

La importancia de este postulado de las paralelas se basa en el hecho de que los postulados debían ser evidentes en sí mismos, sin necesidad de demostración y para éste en concreto, se discutía si necesitaba de ella. Hasta el siglo XIX aparecerán geómetras intentando demostrarlo sin utilizar los otros cuatro; sólo entonces será cuando se llegue a la conclusión de que realmente es independiente, con el nacimiento de las Geometrías no euclidianas. En ellas no se verificará dicho postulado.

Al problema del paso de las tres dimensiones del mundo real a las dos que supone el soporte de representación, para el que la Geometría euclidiana no es suficiente, se enfrentaron pintores y arquitectos renacentistas como Leonardo da Vinci, Rafael Sanzio o Alberto Durero, quienes sustituyendo el plano π por su lienzo e interponiéndolo entre su ojo y la escena lograban materializar la distancia y el espacio en sus pinturas. Recuperando las ideas de los matemáticos griegos estudiaron la perspectiva, las proyecciones y las secciones, para deducir leyes y teoremas, elementos de una teoría fundamental de la perspectiva geométrica.

Figura 2.2. Teorema de Desargues

Ya en el siglo XVII, Gérard Desargues impulsó la construcción teórica de la perspectiva publicando en 1639 un tratado en el que, basándose en los métodos

proyectivos, realizaba un estudio de las cónicas. Introdujo los puntos en el infinito y advirtió que las rectas paralelas pierden ese paralelismo en su representación. El Teorema de Desargues enuncia una importante propiedad entre dos secciones de la

misma proyección de un triángulo (Figura 2.2): “Si los lados correspondientes de dos

triángulos ABC y A’B’C’ se intersecan en puntos P, Q, R pertenecientes a una misma recta, las rectas que unen los vértices correspondientes se cortarán en un mismo punto.” (Efímov, 1978).

En su utilización de la proyección central, al no conservar distancias y ángulos, demostró que la geometría no tiene por qué tener una vinculación con la métrica, haciendo un primer acercamiento a las propiedades proyectivas, invariantes por

proyección. Hay que decir que aunque se le considere como el padre de la Geometría

proyectiva, su obra no es reconocida hasta el siglo XIX, cuando se encuentra un ejemplar accidentalmente y se comprueba que sus razonamientos habían sido redescubiertos independientemente por los geómetras de la época.

Hasta entonces transcurren casi dos siglos en los que los matemáticos se centraron

en el estudio de la Geometría analítica y el Cálculo; se dan las bases de una nueva

perspectiva matemática en la que no se depende tanto de la observación empírica, procurando un gradual interés a la deducción racional. En ese momento se descubren nuevas geometrías incompatibles con la Geometría euclidiana, basadas en los nuevos sistemas axiomáticos formales.

Gracias a estos axiomas se relacionan los cuerpos a espacios proyectivos y, dentro de éstos, se asignan coordenadas y definen ecuaciones para ellos, es decir, se está dando una solución algebraica, mediante ecuaciones, a los problemas geométricos y además, se construye la geometría a partir del álgebra, dando lugar a la distinción entre los dos

modos de razonamiento en geometría, el analítico o algebraico y el sintético o

constructivo. En un tratamiento sintético se habla de entidades geométricas (puntos, líneas, etc.) y las relaciones geométricas entre ellas (unión, intersección, proyección entre ellos, etc.), mientras que en un enfoque analítico, en base a una representación de entidades geométricas mediante coordenadas y ecuaciones, se utiliza la técnica de manipulación algebraica (Semple & Kneebone, 1998).

La Geometría sintética había sido eclipsada, como ya se ha indicado, por la geometría analítica de Descartes, hasta que Gaspard Monge desarrolló su Geometría descriptiva, que incluía una forma de representar y estudiar objetos tridimensionales a

2. Marco teórico

través de sus proyecciones sobre ciertos planos, pero estas representaciones planas no reflejaban todas las propiedades geométricas de esos objetos.

Siguiendo la tónica sintética pura, Jean Victor Poncelet publicó en 1822 el “Traité des propriétés projectives des figures”, el primer tratado sistemático sobre Geometría proyectiva basándose en la llamada proyección cónica. Define la propiedad proyectiva de una figura como aquella propiedad que es invariante con respecto a la proyección, en contraposición a las propiedades métricas.

En esa relación entre figuras homólogas mediante proyecciones y secciones, definió la transformación proyectiva como la aplicación que se compone de varias proyecciones o perspectividades y aplicó por primera vez los puntos imaginarios. Considerado por muchos autores como el padre de la Geometría proyectiva, enunció el Principio de dualidad, que dice que a partir de cualquier teorema o construcción proyectiva se puede obtener otro, llamado teorema dual, intercambiando únicamente las palabras punto y recta.

Si en Geometría euclidiana “dos puntos cualesquiera determinan una recta”, en

Geometría proyectiva “dos rectas cualesquiera determinan un punto”. La segunda

declaración se obtiene de la primera cambiando simplemente las palabras punto y recta. El elemento clave en el principio de dualidad es la introducción del infinito en la

concepción de la Geometría proyectiva. Así, en la proposición “tres puntos no

coincidentes y no alineados determinan un plano”, al intercambiar los términos punto y línea se obtendría esta otra: “tres planos no coincidentes y que no pasen por una misma línea determinan un punto.”. Tanto en el primer caso como en el segundo, se elimina la excepción del paralelismo mediante la inclusión, como ya se ha indicado, de los elementos impropios, en el infinito, punto y recta.

El primer ejemplo claro de dos teoremas duales lo componen el Teorema de Pascal

y el Teorema de Brianchon:

Teorema de Pascal. Para este propósito se retrae la reseña al año 1639, cuando un

joven Blaise Pascal demuestra su “Mysterium hexagrammicum”, afirmando que “los seis

vértices de un hexágono están sobre una cónica si y solo si los tres puntos comunes a los tres pares de lados opuestos están en una recta común”. En la Figura 2.3 se debe intuir la proyectividad percibiendo el hexágono y su correspondiente cónica como la sección de un cono mediante un plano.

Figura 2.3. Teorema de Pascal

Teorema de Brianchon. En 1806, antes de que Poncelet enuncie el principio de

dualidad, Charles Julien Brianchon publica su teorema en el que afirma que “los seis

lados de un hexágono son tangentes a una cónica si y solo si las tres rectas que unen los tres pares de vértices opuestos tienen un punto común”. Según la Figura 2.4 las rectas AD, BE y CF intersecan en el punto O, llamado punto de Brianchon.

2. Marco teórico

Como ya se ha dicho, gracias a la geometría proyectiva y al principio de dualidad, aunque gráficamente no se parezcan mucho, ambos teoremas son completamente

equivalentes, ya que sustituyendo en el enunciado del teorema de Pascal “punto” por

“recta” y viceversa, y “está sobre una cónica” por “tangente a la cónica”, se obtiene el teorema de Brianchon.

Contemporáneo de Poncelet, Karl von Staudt continuó estableciendo fundamentos de la Geometría proyectiva siguiendo el tratamiento sintético como él, es decir, desmarcándola de las nociones de longitud, distancia y ángulo. A él se deben las colineaciones, transformaciones proyectivas basadas en aplicaciones biyectivas de tres puntos alineados en sus tres homólogos, también alineados.

En el transcurso de ese siglo XIX se va produciendo la introducción del Álgebra en la Geometría proyectiva y aunque previamente August Möbius había empleado las coordenadas homogéneas con poco éxito, fue Julius Plücker quien las utiliza para formular algebraicamente las ideas proyectivas.

Otros logros de Plücker fueron los de definir coordenadas de rectas en el plano y demostrar algebraicamente el principio de dualidad de Poncelet, algo que no pudo hacer con las rectas en el espacio y que tendría que esperar a la consagración definitiva del Álgebra lineal como herramienta de desarrollo de la Geometría proyectiva.

Otra figura importante en la corriente analítica fue Felix Klein con su clasificación de las propiedades geométricas según clases de transformaciones. Con su concepto de grupo de transformaciones y de invariantes geométricos se le puede considerar como el protagonista de la culminación de la Geometría proyectiva, englobando las distintas

geometrías en su famoso “Programa de Erlangen”, publicado en 1872, aunque aquí

referenciamos su traducción al inglés por el profesor Haskell (Klein, A comparative review of recent researches in geometry, 1893). De esta forma, define una Geometría proyectiva generalizada que contiene todas las geometrías existentes como casos particulares, incluidas las no euclidianas de Gauss, Bolyai y Lobachevski.

∎ Tras realizar esta breve reseña histórica en la que, gracias a la presentación de parte de los avances realizados, se ha podido percibir la filosofía de esta parte del conocimiento matemático, a continuación se describen los conceptos de Geometría proyectiva estrictamente necesarios para situar la materia objeto de esta tesis.