Modelos de crecimiento: Extensiones
12.4. Crecimiento end´ ogeno: Externalidades y capital humano
Como ya discutimos, lo que necesitamos para que haya crecimiento end´ogeno es que la productividad marginal del factor reproducible no caiga a 0 a me- dida que este factor crece, o simplemente que la tecnolog´ıa sea de retornos constantes a este factor.
Una manera de generar esta linealidad es suponer que hay externalidades al capital8. Si bien en las empresas habr´a retornos constantes al capital y al trabajo, lo que garantiza la existencia de un equilibrio competitivo, a nivel agregado puede haber una externalidad. En este caso la funci´on de producci´on ser´ıa:
y = Ak1°Æk¯ÆLÆ
7Esta funci´on de producci´on fue propuesta por Jones y Manuelli (1992), y es discutido en el
contexto del modelo de Solow en problema12.3.
Donde k es el capital de la empresa, pero ¯k es alguna forma de capital agregado externo a la empresa, de manera que estas no enfrentan econom´ıas de escala, aunque a nivel agregado s´ı las hay. Esto puede ser una externalidad del conocimiento. A medida que haya m´as capital, habr´a m´as conocimiento, del cual no se puede apropiar el inversionista sino que se disemina a trav´es de toda la econom´ıa. En el agregado la funci´on de producci´on es lineal en capital. Otra alternativa para generar crecimiento end´ogeno es considerar la acu- mulaci´on de capital humano. La caracter´ıstica clave de pensar en el trabajo como capital humano es que se puede acumular. El trabajo se reproduce a la tasa de crecimiento de la poblaci´on y es, en una primera aproximaci´on, un dato. Sin embargo la fuerza de trabajo se puede hacer m´as eficiente invirtien- do en capital humano. Por ejemplo, sacrificando trabajo y usando ese tiempo en estudiar se puede mejorar la calidad de la mano de obra, o sea tener m´as capital humano. Si denotamos el capital humano per c´apita por h, la funci´on de producci´on en t´erminos per c´apita ser´ıa:
y = Ak1°ÆhÆ (12.14)
Lucas (1988) sugiere que la acumulaci´on de capital humano se produce destinando tiempo a la educaci´on tal como se discute en 12.1.2. La acumulaci´on de capital humano est´a dada por:
˙h = ¡uh ° ±hh (12.15)
Donde u es la fracci´on del tiempo que los individuos ocupan en acumular capital humano educ´andose, mientras 1° u es la fracci´on de tiempo destinada a trabajar. La tasa de depreciaci´on del capital humano es ±h y ¡ es la eficien- cia de la educaci´on. Al usar esta especificaci´on para el crecimiento del capital humano, muy distinta del caso en que asumimos que K y H eran perfectos sustitutos, tendremos que h crece dependiendo del tiempo dedicado a la edu- caci´on y su eficiencia, y esto genera crecimiento permanente del ingreso per c´apita sin necesidad de asumir que la productividad total de los factores, A, crece ex´ogenamente.
El motor de crecimiento ser´a el capital humano, pero para hacer un an´alisis m´as detallado del proceso de crecimiento y el efecto de las pol´ıticas debemos no solamente especificar la evoluci´on del ahorro, tal como se hace en el modelo de Solow al asumir una tasa de ahorro constante, sino adem´as analizar la determinaci´on de u.
Problemas
12.1. Modelo de Solow y trampas de pobreza. Suponga una econom´ıa sin crecimiento de la poblaci´on, con una tasa de depreciaci´on del capital
Problemas 319
±, una tasa de ahorro constante e igual a s y una funci´on de producci´on (per c´apita) igual a:
y = akÆ (12.16)
Donde a es un par´ametro de productividad dado por:
a = a1 para k < ˜k (12.17)
a = a2 para k ∏ ˜k (12.18)
Donde
a1 < ˜k1°Æ(±/s) < a2 (12.19) La idea es que cuando el nivel de producci´on es elevado tambi´en lo es la productividad dado que hay m´as conocimiento para difundir, se aprove- chan econom´ıas de escala, etc´etera.
a.) Muestre que hay dos estados estacionarios y encuentre el valor del producto de equilibrio en estos dos puntos, y1 e y2. Diga de qu´e sirve la condici´on (12.19), y qu´e pasa si:
˜
k1°Æ(±/s) < a1 < a2 (12.20) b.) Muestre que si la tasa de ahorro aumenta, una econom´ıa estancada en el equilibrio de bajo ingreso podr´ıa salir de ´el. Justifique adem´as que incluso un aumento “transitorio” de la tasa de ahorro podr´ıa sacar a la econom´ıa de la trampa de pobreza.
12.2. La controversia de Harrod-Domar (basado en el cap´ıtulo 2.6 Sala- i-Martin, 2006). Harrod (1939) y Domar (1946) son los trabajos m´as importantes en crecimiento econ´omico antes de los trabajos de Solow y Swan. Harrod y Domar trabajaron con la funci´on de producci´on de Leontief:
Y = m´ın(AK, BL) (12.21)
Donde A y B son constantes tecnol´ogicas. Con esta funci´on se utilizan plenamente los recursos productivos de la econom´ıa solo si AK = BL. En efecto si AK ∑ BL hay trabajadores desempleados.
Excepto por la funci´on de producci´on anterior, en el modelo de Harrod y Domar se cumplen los supuestos est´andares del modelo de Solow.
a.) Muestre que no habr´a factores de producci´on ociosos en estado es- tacionario si y solo si sA = n + ±.
b.) Harrod y Domar concluyeron que en econom´ıas capitalistas es inevi- table que existan factores de producci´on ociosos que crecen sin l´ımi- tes. Relacione esta conclusi´on con el resultado anterior.
12.3. Crecimiento end´ogeno o ex´ogeno. Considere una econom´ıa con fun- ci´on de producci´on:
Y = AK + BKÆL1°Æ (12.22)
Donde K denota el stock de capital, L el n´umero de trabajadores y A, B y Æ constantes positivas con 0∑ Æ ∑ 1. Esta econom´ıa cumple con todos los supuestos del modelo de Solow, salvo que la funci´on de producci´on no satisface una de las condiciones de Inada9. Denotamos la tasa de ahorro mediante s, la tasa de crecimiento de la fuerza de trabajo mediante n, la tasa de depreciaci´on mediante ± y el capital por trabajador mediante k = KL. No hay progreso tecnol´ogico y suponemos que sA ∏ n + ±. A continuaci´on se le pide que responda varias preguntas. Recuerde que ˙k est´a dado por la ecuaci´on (11.5).
a.) Determine la tasa de crecimiento de k: ∞k = k˙k. ¿A qu´e valores converge ∞k a medida que k crece?
b.) Diga en cu´anto aumenta ∞k si: i. s aumenta en¢ s.
ii. n disminuye en¢ n.
Determine en cada caso si se trata de un efecto transitorio o permanente.
c.) Compare sus respuestas en la parte final de b.), si el efecto es transi- torio o permanente, con los resultados correspondientes del modelo de Solow.
d.) Sin ning´un c´alculo adicional, determine si en el modelo anterior se tiene:
i. Crecimiento end´ogeno.
ii. Que los pa´ıses m´as pobres crecen m´as r´apido que los pa´ıses m´as ricos (convergencia).
12.4. Crecimiento con tasa de ahorro variable. Considere un modelo tradicional de crecimiento donde: y = f (k) y la tasa de depreciaci´on es igual a ±. La ´unica diferencia es que ahora la tasa de ahorro no es constante sino que depende de k, es decir, s = s(k).
a.) Escriba la restricci´on presupuestaria de la econom´ıa, y despeje ˙k.
9Las condiciones de Inada corresponden a que el producto marginal de cada factor tiende a cero
Problemas 321
En lo que sigue discutiremos la posibilidad de que existan m´ultiples equilibrios, y las implicancias de esta situaci´on en las pol´ıticas de ayuda a pa´ıses subdesarrollados.
Se ha determinado que en un pa´ıs pobre la tasa de ahorro depende del stock de capital de la siguiente forma:
s(k) = µ k k + 20 ∂10 (12.23)
Junto con esto, se sabe que la funci´on de producci´on puede ser expresada como:
f (k) = 5k0,5 (12.24)
Adem´as, la depreciaci´on es ± = 0,14.
b.) Grafique en el espacio ( ˙k, k) o (k˙k, k) el equilibrio y determine el n´umero de ellos. En particular, discuta si y = k = 0 es un equilibrio. Indicaci´on: grafique los puntos en que k = {0, 100, 200, 500, 1000}. c.) Analice la estabilidad de cada equilibrio.
El Banco Mundial ha visto que este pa´ıs se encuentra en una si- tuaci´on cr´ıtica puesto que k = 0, y propone hacerle un pr´estamo. Conteste lo siguiente:
d.) ¿Qu´e suceder´a con este pa´ıs en el largo plazo si el pr´estamo asciende a 100?