Ahora realizamos el tratamiento usual en la teoría cuán- tica de campos para la cuantización canónica [7]. Primero, se expande el campo en la base definida por las funciones de onda del oscilador de Dirac, teniendo en cuenta que los polinomios de Hermite representan la base para la expan- sión en series ortogonales y considerando que n ∈ Z. De esta forma, la expansión en la serie de Fourier del campo
Rev. Inv. Fis. 19, 161901751 (2016) 3 se escribe como ˆ ψ(z, t) = ∞ X n=−∞ ˆbnψˆn(z, t)e−iEnt = ∞ X n=0 ˆb+un(z)e−iEnt+ ∞ X n=1 ˆb−nvn(z)eiEnt = ˆψ+(z, t) + ˆψ−(z, t) , (19) donde se han separado las contribuciones de las energías positivas y negativas ˆψ±(z, t), y un(z), vn(z) son los espi- nores.
Haciendo uso de las relaciones de anticonmutación, Ec.(4), se puede verificar que los operadores de creación ˆb†
ny aniquilación ˆbnde partículas positivas y negativas, sa- tisfacen la relación de anticonmutación
nˆbn, ˆb†m o
= δn,m. (20)
Teniendo en cuenta esta expansión, junto con las pro- piedades de los polinomios de Hermite, encontramos que el operador hamiltoniano está dado como
ˆ H = ∞ X −∞ Enˆb†nˆbn= ∞ X n=0 Enˆb†nˆbn− ∞ X n=1 Enˆb†−nˆb−n . (21)
Usando la relación de conmutación, Ec.(20), se encuen- tra que ˆ H = ∞ X n=0 Enˆb†nˆbn+ ∞ X n=1 En(ˆb−nˆb†−n− 1) , (22) por tanto, el operador hamiltoniano sin tener en cuenta la energía divergente del vacíoP∞
n=1En, se escribe como ˆ H = ∞ X n=0 Enˆb†nˆbn+ ∞ X n=1 Enˆb−nˆb†−n. (23)
Finalmente, realizamos una transformación canónica so- bre los operadores de partículas con energías negativas
ˆb−n= ˆc†n, ˆb† −n= ˆcn, n ˆ cn, ˆc†m o = δn,m, (24)
dicha transformación significa que los operadores de aniqui- lación de las partículas en el mar de Dirac, se interpretan como los operadores de creación de las antipartículas. Con lo anterior, la expansión en serie de Fourier del operador de campo del oscilador de Dirac dada por la Ec.(19), se puede escribir como ˆ ψ(z, t) = ∞ X n=0 ˆb+un(z)e−iEnt+ ∞ X n=1 ˆ c†nvn(z)eiEnt. (25)
Aplicaciones
Se ha aplicado el oscilador de Dirac para un sistema de dos partículas formado por un quark y un antiquark cuyo espectro de autovalores se obtiene diagonalizando el Ha- miltoniano que está dado por
H′ = (β1+ β2) m + p 2 2m− p4 8m + V + 1 4m2(s1+ s2) · [(p × E) − (E × p)] + 1 4m2∇ 2V (26) Con el potencial V =1 2mω 2(r 1· r2)2. En el centro de ma- sa, con la elección de las componentes de energías positivas el Hamiltoniano se reduce a H′ = 2m + 3ω 2 8m + p 2 m + mω2r2 4 + ω2 4mL· S − p 4 4m3 (27)
con r, p como coordenada relativa y momentum relativo. El espectro del problema se encuentra diagonalizando la matriz con elementos tales como
n′l′, 1 2 1 2 S; j, m H′ nl, 1 2 1 2 S, j, m = 2m +3ω 2 8m + ω 2n + l +3 2 δnn′ + ω 2 8m[j(j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)] δnn′ (28) donde se usa los estados del oscilador armónico de dos par- tículas con espín, es decir,
nl, 1 2 1 2 S; j, m ≡ X µσ hlµ, Sσ|jmi |nlµi 1 2 1 2 Sσ . (29) Para el el charmonium, las constantes de acoplamiento y la masa en reposo se toman como parámetros ajusta- bles. Para ello, el hamiltoniano efectivo calculado para este sistema está dado por
H′= 2m +3ω 2 8m + ω 2n + l +3 2 + ω2 8m h j(j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)i δnn′− 1 4m3 n ′l′ p4|nli , (30)
produciendo los autovalores de energía que se muestran en la tabla 1 junto con los datos experimentales mostrados por Shepherd et al [9].
4 Rev. Inv. Fis. 19, 161901751 (2016) Exp.(GeV) Teor.(GeV) n J L S 1− J/Ψ 1S 3.09696 3.019815 1 1 0 1 1− Ψ 2S 4.040 4.03981 2 1 0 1 0+ χ c0 1P 3.41475 3.416728 1 0 ±1 1 1+ χc1 1P 3.51066 3.47327 1 1 1 1 2+ χ c2 1P 3.55620 3.642902 1 2 1 1
Tabla 1: Se muestran los resultados calculados mediate la Ec.(30) y los datos experimentales mostrados en [9]
Como se puede observar los valores calculados con el modelo estudiado son bastante próximos a los datos obteni- dos experimentalmente para los sistemas ligados de quarks y antiquarks.
Conclusiones
Se ha cuantizado el oscilador de Dirac siguiendo el tra- tamiento que se realiza habitualmente para la cuantización
canónica de la teoría de Dirac, el operador de campo se representó como una combinación lineal de operadores de creación y aniquiliación, este procedimiento es bastante si- milar al proceso que se da en el tratamiento habitual para el oscilador armónico cuántico en los textos de mecánica cuántica [10–12].
Se observa que el oscilador de Dirac es un modelo bas- tante aproximado a los resultados experimentales que mues- tran los sistemas de quarks-antiquarks.
Referencias
[1] J. A. Franco-Villafañe, E. Sadurní, S. Barkhofen, U. Kuhl, F. Mortessagne y T. H. Seligman; First experi- mental realization of the Dirac oscillator, Phys. Rev. Lett. 111, 170405 (2013).
[2] M. Moshinski y A. Szczepaniak The Dirac Oscillator, J. Phys. A: Math. Gen. 22, L817 (1989).
[3] F. Mandl y G. Shaw, Quantum Field Theory, pp.57-58, Wiley and Sons, New York (2010).
[4] W. Greiner, J. Reinhardt, Field Quantization, pp. 123- 124, Springer-Verlag, Berlín (1996).
[5] M. Moshinsky y Y. Smirnov, The Harmonic Oscillator in Modern Physics, p. 295, Contemporary Concepts in Physics Vol. 9, Harwood Academic, Amsterdam (1996). [6] R. P. Martínez y Romero, H. N. Nuñez-Yepez y A. L. Salas-Brito, Relativistic quantum mechanics of a Dirac oscillator, Euro. J. Phys. 16, 135 (1995).
[7] Y. Pérez y C. Quimbay, Cuantización canónica del cam- po del oscilador de Dirac, Rev. Col. Fis. 42(2), 240 (2010).
[8] M. Moshinsky y G. Loyola Barut equation for the particle-antiparticle system with a Dirac oscillator in- teraction , Foundation of Physics 23(2), 197 (1993). [9] Matthew R. Shepherd, Jozef J. Dudek y Ryan E. Mit-
chell; Nature 534, 487 (2016).
[10] Jhon S. Townsend; A moderm approach to Quantum Mechanics, University Science Books, Sausalito, Cali- fornia (2000).
[11] Bipin R. Desai; Quantum Mechanics with Basic Field Theory, Cambridge University Press, Cambridge (2010).
[12] Kurt Gottfried y Tung-Mow Yan; Quantum Mecha- nics: Fundamentals, Second edition, Springer-Verlag, New York (2004).
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Autores Colocar el nombre de cada autor tal como los identifica en su historial científico. En LATEX colocar
\author{1}{A. Legano} \author{2}{Carlos Delgado}
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Aquí va el resumen.
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Introducción Escriba la introducción del artículo aquí. Se expone el estado del arte de los antece- dentes de la investigación realizada y se cita la literatura más relevante en el área de su trabajo. Teoría o experimento Se describe la teoría utiliza- da o el procedimiento experimental realizado.
Resultados y discusión Se muestran los resulta-
dos teóricos, numéricos o experimentales. Las tablas deben poseer los captions que des- criban los datos o el contexto de las tablas. En LATEXescriba así
\begin{tab}
\begin{tabular}{lrrl} \toprule
Fecha & NEIC & P.T. & Lugar \\ \midrule
02 Feb 09 & 6.0 & 5.8 & Pisco \\ 15 Feb 09 & 6.0 & 6.1 & Sechura \\ \bottomrule
\end{tabular}
\captab{ ... . \label{tab1}} \end{tab}
Las figuras deben tener los captions respectivos que expliquen los pormenores o contexto de las figuras. Por ejemplo
% figura 1 \begin{fig}
\includegraphics[scale=0.45]{fig1.ps} \capfig{ ... . \label{fig1}}
\end{fig}
Las figuras deben enviarse separadamente. No incluir las figuras en el texto del artículo. Se requiere que las figuras tengan una buena reso- lución. Los formatos aceptados son Postscript, Encapsulated Postscript, PDF, svg. Con alta re- solución se aceptan los formatos png, gif, jpeg, tiff, bmp.
Conclusiones Las conclusiones van aquí.
Agradecimientos Los agradecimientos por apoyo
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Referencias Las citas de la literatura deben indicar- se en números arábigos encerrados entre corche- tes. Si usa el LATEX colocar de la forma siguiente: \begin{thebibliography}{5}
\bibitem{1} J.D. Mac Brayer, R.M. Swanson y T.W. Sigmon; J. Electrochem.
Soc. \textbf{133}, 1242 (1986).
\bibitem{2} S. Das Sarma, G. Gervais y Xiaoqing Zhou; arxiv:cond-mat 1007.1688. \bibitem{3} Feng Duan y Jin Guojun; Introduction to Condensed Matter
Physics; World Scientific, Singapore (2005). \end{thebibliography}
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Authors Put each author name like as which iden- tify in his scientific history. In LATEX format put \author{1}{A. Legano}
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Introduction Write the introduction here. Expose the state of art of the background of the reali- zed study, citing the more relevant literature of the work area research.
Theory or experiment Here is described the theo- retical or experimental procedures.
Results and discusions Here it’s show the theore- tical, numerical or experimental results. The tables have captions which describe the da- ta and the context of the tables. In LATEX format write as
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\begin{tabular}{lrrl} \toprule
Date & NEIC & P.T. & Place \\ \midrule
Feb 02, 09 & 6.0 & 5.8 & Pisco \\ Feb 15, 09 & 6.0 & 6.1 & Sechura \\
\bottomrule \end{tabular}
\captab{ ... . \label{tab1}} \end{tab}
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Conclusions The conclusions stay here.
Acknowledgments The acknowledgments for finan-
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\bibitem{1} J.D. Mac Brayer, R.M. Swanson and T.W. Sigmon; J. Electrochem.
Soc. \textbf{133}, 1242 (1986).
\bibitem{2} S. Das Sarma, G. Gervais and Xiaoqing Zhou; arxiv:cond-mat 1007.1688. \bibitem{3} Feng Duan y Jin Guojun; Introduction to Condensed Matter
Physics; World Scientific, Singapore (2005). \end{thebibliography}
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