Cuencas de atracción

Como analizamos anteriormente la aparición de novedades en los posibles comportamientos emergentes (débiles) pueden ser entendidos en una primera aproximación utilizando teoría de bifurcaciones (obviamente otras formas para entender este tipo de emergencias son posibles [Bedau y Humphreys, 2008]). No obstante para comprender la dinámica de estos procesos, la cual podría llevar al cambio de soluciones y aparición de nuevos comportamientos es bueno mencionar las llamadas “cuencas de atracción”, o también bajo la influencia de fluctuaciones (térmicas o no) “potenciales de no equilibrio”. Notemos que hemos realizado trabajos filosóficos que involucran estos conceptos [Fuentes y Miguel, 2013; Fuentes y Miguel, 2016; Fuentes, 2016].

Las cuencas de atracción son un concepto de extremada utilidad para entender como un sistema, a través de su modelamiento via un lenguaje formal matemático (como el señalado en la sección precedente, referido a parámetros de control y bifurcaciones y su asociación con procesos emergentes), puede comportarse dinámicamente y de esta manera, teniendo en cuenta lo discutido anteriormente, poder comprender la aparición (emergencia) de nuevas características en el sistema, generadas producto la interacción basal de elementos constituyentes y su estabilidad y los caminos posibles que puede explorar hacia nuevas soluciones, asignando pesos probabilísticos a cada uno de ellos.

Para explicar su utilidad podemos pensar en las cuencas de atracción como superficies (o bordes) donde el sistema puede "moverse" (ver figura 3.3). En breve hablaremos de sistemas clásicos continuos, discretos y cuánticos.

Figura 3.3. Cuenca de atracción. En la figura se esquematiza la superficie de un atractor “clásico”. La dinámica del sistema seguirá, como una pelota que cae en un agujero, hasta su posición estable, en el fondo de la cuenca.

En el campo matemático de los sistemas dinámicos, un atractor es el conjunto de valores numéricos hacia el cual un sistema tiende a evolucionar, para una amplia variedad de condiciones iniciales. Los valores del sistema que se acercan lo suficiente a los valores del atractor permanecen cercanos incluso si están ligeramente perturbados, esto es, el atractor está asociado también la idea de la robustez del sistema.

Usualmente, para atractores en sistemas de dimensión finita, la variable en evolución puede representarse algebraicamente como un vector n-dimensional de datos, lo cual es relevante mencionar dado que las medidas de complejidad discutidas en este trabajo se basan en el análisis de datos numéricos. Entonces, el atractor será una región en el espacio n-dimensional (vale aclarar que en este trabajo y por cuestiones de simplicidad solo graficaremos atractores de hasta 3 dimensiones).

Si la variable evolutiva es bidimensional o tridimensional, el atractor del proceso dinámico puede representarse geométricamente en dos o tres dimensiones (como por

ejemplo en el caso tridimensional representado en la figura).

Un atractor puede ser un punto, un conjunto finito de puntos, una curva, o incluso un conjunto complicado de puntos, como por ejemplo los que resultan en una estructura fractal conocida como un atractor extraño.

Figura 3.4. Atractor extraño. Atractor que muestra características fractales, es decir los espacios de ocupación de las trayectorias (se indica más ocupación en los tonos más oscuros de gris) ocurren en dimensiones no enteras.

Si la variable es un escalar, el atractor será un subconjunto de la recta real

R

. Desde un punto de vista epistemológico puede entenderse la importancia de este concepto notando que el describir atractores de sistemas dinámicos caóticos ha sido uno de los logros más importantes de la teoría del caos. En efecto, dada la imposibilidad de predictibilidad asociada a tiempos de evolución relativamente largos, podemos sin embargo asegurar (en caso de prueba de convergencia) que el sistema estará confinado en cierto espacio n-dimensional delimitado por el atractor extraño.

Una trayectoria del sistema dinámico dentro del atractor no tiene que satisfacer ninguna restricción especial durante su evolución excepto la de permanecer en el atractor. Las trayectorias entonces pueden ser monótonas, periódicas o caóticas. Asociado al concepto de atractor esta el concepto de conjuntos invariantes y conjuntos límites.

Un conjunto invariante es un conjunto que evoluciona en si mismo bajo la dinámica subyacente. Es decir si el elemento w del conjunto C evoluciona, el estado final de este estado será, digamos, q, siendo q otro elemento del conjunto C. Notemos que los atractores pueden contener conjuntos invariantes. Un conjunto límite es un conjunto de puntos tal que existe algún estado inicial que termina arbitrariamente cerca del límite establecido, ya sea por un borde o colección de puntos, cuando el tiempo va (o tiende) a infinito.

Los atractores son entonces conjuntos límites, pero no todos los conjuntos límites son atractores: es posible que algunos puntos de un sistema converjan a un conjunto límite, pero diferentes puntos cuando son perturbados ligeramente fuera del límite establecido pueden no volver a la vecindad de el límite establecido.

Como ejemplo de esto, pensemos que el péndulo rígido amortiguado tiene dos puntos invariantes: el punto m de la altura mínima y el punto q de la altura máxima. El punto

m es también un conjunto límite, ya que las trayectorias convergen hacia él; el

punto q no es un conjunto limite (ni un atractor, aunque si es estacionario e inestable). Producto de la disipación debida a la resistencia del aire, el punto m es también un atractor. Notar que si no existiera disipación, m no sería un atractor (algunos autores

requieren que un atractor tenga una medida positiva evitando que un punto sea un atractor), pero esta discusión no es importante en este trabajo. Lo que si es muy relevante es notar como pueden aparecer propiedades emergentes mas robustas que otras (ante fluctuaciones o cambios estructurales del sistema, condiciones de borde, iniciales, etc.).

In document Complejidad, emergencia y cambio teórico (página 96-100)