Curva de flujo pl´ astico

Quiz´as una de las caracter´ısticas m´as tangibles y representativas de la transici´on pl´astica para los s´olidos amorfos es su curva de flujo (esfuerzo vs. tasa de deformaci´on). Al mismo tiempo, es una de las propiedades de mayor relevancia en la ciencia de materiales, dado que nos permite conocer los rangos de trabajo del material.

A nivel num´erico por su parte, dicha curva es una de las mediciones m´as sencillas de realizar. El protocolo consiste en calcular la curva punto a punto realizando simula- ciones a tasas de deformaci´on finitas y constantes. Luego, sobre la base de la ecuaci´on

2.13, uno puede obtener el valor de esfuerzo correspondiente a dicha velocidad de de- formaci´on como un valor medio temporal.

En nuestro caso las mediciones se realizaron en el entorno del punto cr´ıtico. Se tomaron valores de ˙γ tendientes a cero, espaciados logar´ıtmicamente. Para garantizar una convergencia en los promedios temporales, se buscaba que todos los sitios del sistema superen no menos de treinta pozos de potencial.

Para evitar efectos asociados a transitorios se tomaron dos medidas particulares. En primer lugar, dado que la convergencia es m´as r´apida lejos del punto cr´ıtico, se trabaj´o disminuyendo la tasa de deformaci´on y tomando como condici´on inicial el estado estacionario correspondiente a la velocidad precedente. En segundo lugar, antes de empezar a registrar datos, para cada valor de ˙γ se dej´o evolucionar el sistema de forma que cada sitio supere al menos seis pozos de potencial.

Teniendo los cuidados detallados, las curvas obtenidas son las mostradas en la Figura 2.5. En color rojo se observa la curva correspondiente a considerar un potencial Parab´olico, mientras en azul la correspondiente al Suave. En un primer an´alisis se puede ver que presentan los aspectos caracter´ısticos del problema esperados: la tensi´on tiende a un valor finito cuando la tasa de deformaci´on tiende a cero, y su crecimiento es mon´otono por encima de ese punto.

Si se comparan las dos curvas, resalta en primer lugar el corrimiento del valor cr´ıtico. Esta caracter´ıstica es interesante ya que nos muestra que, dependiendo de c´omo se entienda y considere la naturaleza de las interacciones internas del material y del desorden estructural del mismo, se pueden observar corrimientos en los rangos de comportamiento del material. Efectos similares son obtenidos de cambiar la relaci´on de intensidad entre las interacciones y el potencial de reacomodamiento.

2.4 Resultados 21

Figura 2.5: Curva de flujo obtenida para los potenciales estudiados, en escala lineal y para L = 128. Se observa en ambos casos un valor de tensi´on cr´ıtico por debajo del cual no se registran velocidades de deformaci´on. Por encima de dicho valor se encuentra un crecimiento mon´otono de la velocidad.

Pese a ser una caracter´ıstica de gran inter´es en el campo de la ciencia de materiales, la ubicaci´on del punto singular no es una caracter´ıstica relevante para el estudio de la transici´on. Esto se debe a que es una cantidad fuertemente no universal que depende de una variedad de factores (por ejemplo para nuestro modelo: del m´odulo de bulk y de shear [32]).

No pasa lo mismo con la forma en la que crece la tasa de deformaci´on del material por encima del punto cr´ıtico. La forma funcional en que lo hace es de principal inter´es para describir la transici´on. Es sabido que la velocidad [31] en el entorno del punto cr´ıtico es de la forma:

˙γ ∼ (σ − σc)β, (2.16)

donde β es el denominado Exponente de Flujo.

Una forma de evaluar la correspondencia de los datos obtenidos con la forma fun- cional 2.16resulta de observar las gr´aficas en escala logar´ıtmica y referidas al valor de esfuerzo cr´ıtico. El problema es que dicho valor cr´ıtico es desconocido (m´as all´a de que en funci´on de la Figura 2.5 sea f´acil estimarlo). Para salvar esta dificultad empezare- mos por suponer que la ley de potencia se cumple. Bajo esa premisa, debe existir un valor de σcque al restarlo a los valores de esfuerzo hallados nos permita visualizar una

relaci´on lineal en escala doble logar´ıtmica. Finalmente, de hallar dicha relaci´on para un valor de σc razonable, habremos accedido al valor de β y σc al mismo tiempo. En

el Ap´endice A.1 se realiza una breve discusi´on sobre la elecci´on de este m´etodo y su precisi´on.

22 Estudio de la transici´on pl´astica mediante un modelo escalar bidimensional

El resultado de aplicar el procedimiento descrito es el observado en la Figura 2.6. En rojo nuevamente tenemos la curva correspondiente a el potencial Parab´olico y en azul la del Suave.

En primer lugar es destacable que para ambos potenciales se logr´o observar el comportamiento de ley de potencia esperado. Sin embargo, existe una notable diferencia entre los exponentes β que exhiben cada uno: se encuentra βP = 1,51 ± 0,07 para el

potencial Parab´olico, mientras para el Suave βS = 2,00 ± 0,06. M´as aun, es posible

afirmar que los exponentes son claramente distintos dentro de la precisi´on otorgada por el m´etodo utilizado.

Figura 2.6:Curva de flujo obtenida para los potenciales estudiados, en escala doble logar´ıtmica y para L = 128. En ambos casos la tensi´on est´a referida a su valor cr´ıtico. Es de inter´es destacar la clara diferencia entre los valores de exponente de flujo β obtenidos para cada potencial.

Este resultado es de gran relevancia. Determina que el comportamiento cr´ıtico de los s´olidos amorfos est´a condicionado por los detalles microsc´opicos que se propongan para modelaros. En particular, el tipo de potencial que describa los reacomodamientos. Esto es algo que no se observa en transiciones similares como la de desanclaje, para la cual el exponente an´alogo de flujo solo depende de la dimensionalidad del problema.

En las secciones posteriores estudiaremos si esta dependencia se extiende a los distintos exponentes que describen la din´amica microsc´opica.