3.5 Mecánica de la fractura elastoplástica
3.5.7 Curva de resistencia al crecimiento de la grieta
La Figura 3.22 ilustra esquemáticamente una curva típica de resistencia J para un material dúctil. Para el inicio de la deformación, la curva es aproximadamente vertical, hay un pequeño crecimiento aparente de la grieta debido al achatamiento. Como J incrementa, el material en la punta de la grieta falla localmente y la grieta tiene un crecimiento adicional, el cual inicialmente es estable, pero la inestabilidad se puede alcanzar posteriormente.
Una medida de resistencia a la fractura es JIc, que está definida cerca de la iniciación estable del crecimiento de la grieta. El punto en que el crecimiento de la grieta comienza no puede ser definido con precisión. Consecuentemente, la definición de JIc es algo arbitrario, algunas veces se utiliza el 0,2 % del esfuerzo de cedencia.
Mientras la tenacidad inicial provee alguna información alrededor del comportamiento de la fractura de un material dúctil, la curva de resistencia da una descripción más completa. La pendiente de la curva para una determinada cantidad de extensión de la grieta es un indicador de la relativa estabilidad del crecimiento de la grieta; un material con una curva de resistencia muy inclinada es menos probable que presente una propagación inestable de la grieta. Para las curvas de resistencia J, la pendiente usualmente se cuantifica por un módulo de desgarramiento adicional,
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Figura 3.22.-Curva de resistencia J para un material dúctil. da dJ E T R 2 0 R = σ (2.68)
donde el subíndice R indica un valor de J sobre la curva de resistencia.
Análisis detallados para encontrar las relaciones que cuantifican las cargas últimas se presentan en la mayoría de los textos de mecánica de sólidos, Martínez [2.5] en su trabajo de tesis incluye un capítulo en el que trata el tema con mayor profundidad.
Los análisis al límite se utilizan también como herramienta complementaria para otros métodos de evaluación de falla, como son los Diagramas de Evaluación de Palla y el esquema EPRI-J entre otros, en los que se hace uso del concepto de esfuerzo de colapso plástico o carga límite, los cuales se determinan por medio de estos análisis.
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Referencias
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JIc-" ASTM STP 514, American Society for Testing and Materials,
67 CAPITULO CUATRO
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Una breve historia del método del elemento finito.
El método elemento finito es un procedimiento numérico que puede ser aplicado para obtener soluciones de una gran variedad de problemas en ingeniaría como son, problemas estáticos, lineales, o problemas no lineales, en análisis de esfuerzos, transferencia de calor, fluidos, y también los problemas electromagnéticos pueden ser analizados con el método del elemento finito.
El concepto básico, del método del elemento finito, ha sido empleado durante siglos en diferentes formas. Todas ellas tienen la característica común de reemplazar un problema real por uno más simple, haciendo uso de los llamados elementos finitos. Si el problema simplificado puede resolverse y la solución obtenida representa una solución verdadera para el caso real y con una precisión satisfactoria, entonces este método pasa a ser una herramienta poderosa y muy útil. A pesar de que la evolución actual del método del elemento finito lo hace ser bastante más desarrollado que los conocidos con anterioridad, el esquema básico de sustituir un problema real mediante uno discreto y simplificado sigue siendo el mismo.
Los primeros argumentos a los que podemos hacer referencia sobre el método del elemento finito se sitúan en la antigua Grecia, cuando este método fue aplicado a la geometría. Los matemáticos de aquella época, como todos sabemos, aproximaron el número π, substituyendo un círculo por un polígono regular de tantos lados como les fue posible, obteniendo así resultados muy precisos.
Se tienen registros de aún mucho más tiempo atrás de la aplicación del método del elemento finito a la solución de problemas geométricos. Así, por ejemplo, el papiro de Ahmes lo refiere al año 1,500 a.c. los egipcios empleaban el valor de 101/2 (3.16) para π. Otro papiro de mayor antigüedad indica que en Egipto ya se conocían las fórmulas para calcular el volumen de una pirámide. Por otra parte, un libro chino escrito en los inicios de la era cristiana, reveló que en ese país se conocían algunos de los teoremas geométricos empleados por los griegos.
Arquímedes, uno de los más grandes matemáticos de la antigüedad, usó elementos finitos para determinar volúmenes de sólidos, él nombró a su procedimiento "Método
exhaustivo", también llamado método por agotamiento. Este método lo llevó al
umbral del cálculo, dos mil años antes de que Newton y Leibnitz lo desarrollaran plenamente.
69 Los orígenes del moderno método de elemento finito se remontada a los años 1900s, cuando algunos investigadores aproximaron y modelaron elásticas continuas usando discretizaciones de barras elásticas equivalentes. Sin embargo, Courant (1943) ha sido acreditado como la primera persona en desarrollar el método del elemento finito. En un articulo publicado a principios de 1940s.
El siguiente paso significativo en la utilización del método del elemento finito fue tomado por Boeing en 1950s cuando Boeing, seguido por otros, usando elementos de esfuerzos triangulares para modelos de alas de aeroplanos. Aun, esto, no fue hasta 1960 que Clough utilizo el termino popular de “elemento finito”. Durante los años 60s, investigadores empezaron a aplicar el método del elemento finito a otras áreas de la ingeniería, tal como transferencia de calor y fluidos.
4.1El método del elemento finito
Las limitaciones de la mente humana, son tales, que no se puede captar el comportamiento del mundo complejo que lo rodea, en una operación global. Por ello, una forma natural de proceder de ingenieros y científicos, consiste en separar los sistemas en sus componentes individuales, o "elementos", cuyo comportamiento pueda conocerse sin dificultad, para a continuación reconstruir el sistema original y estudiarlo a partir de dichos componentes.
En muchos de los casos, se obtiene un modelo adecuado utilizando un número finito de componentes bien definidos, en otros, la subdivisión prosigue indefinidamente y el problema solo puede definirse haciendo uso del continuo matemático. Ello conduce a ecuaciones diferenciales o expresiones equivalentes, las cuales, cuando son reales se pueden resolver de forma exacta mediante métodos matemáticos; por lo cual, ingenieros y matemáticos han propuesto a través de diversos métodos de discretización, efectuar alguna aproximación de tal manera que converja, tan estrechamente como se quiera, a la solución continua verdadera a medida que crece el número de variables discretas.
La discretización de problemas continuos ha sido abordada por los matemáticos, desarrollando técnicas generales aplicables directamente a las ecuaciones diferenciales que rigen el problema, tales como diferencias finitas, métodos de residuos ponderados, o técnicas aproximadas, para determinar puntos estacionarios de funciones definidas en forma apropiada. Los ingenieros, por otra parte, suelen enfrentarse al problema, mas intuitivamente, creando una analogía entre elementos discretos reales y porciones finitas de un medio continuo o elementos. Fue de la
70 posición de "analogía directa", adoptada por los ingenieros, de donde nació la expresión "elemento finito". Esto, tanto desde el punto de vista conceptual, como del numérico, es de la mayor importancia. Mucho se ha avanzado desde el principio de la década de los 60 y hoy en día, las dos vertientes, tanto la parte matemática, como la "analógica, están en completo acuerdo.
Aunque existen antecedentes de que en los años 20 se planteó el método del elemento finito, no fue sino hasta los 50, con la aparición de las computadoras lo que facilitó la aplicación de este método. La aparición de las computadoras alteró radicalmente la capacidad disponible para resolver ecuaciones diferenciales parciales, lográndose que las soluciones numéricas estén al alcance de la mayoría de los analistas, ya que el número de términos que puede emplearse para representar el fenómeno que se modela es muy grande.
En términos generales, se puede establecer que el método del elemento finito (MEF) es una técnica que resuelve numéricamente problemas que son modelados por ecuaciones diferenciales parciales que gobiernan los fenómenos físicos y que son, a la vez, de interés en el área de la ingeniería. Esto se debe a que existen situaciones en donde la obtención de una solución analítica es casi imposible por el grado de complejidad que implica la representación matemática del dominio o de la frontera, o en ocasiones, el describir problemas que incluyen materiales anisotropicos y/o no homogéneos en los cuales las ecuaciones incluyen términos no lineales que dificultan la obtención de la solución. Por lo tanto, se prefiere el empleo de algún método numérico con el cual se pueda obtener una solución siguiendo un planteamiento, que si bien, no es exacto, si es lo suficientemente aproximado como para resolver los problemas clásicos de la ingeniería.
Con el fin de reafirmar el principio básico del método del elemento finito, se reproduce la definición propuesta por lo J. Segerlind [3.1]: ”El concepto fundamental del método del elemento finito consiste en; que cualquier función característica del medio continuo, como la temperatura, presión, o desplazamiento, puede aproximarse por un modelo discreto compuesto de una serie de funciones continuas, parte por parte, y se definen empleando los valores de la cantidad continua, en un número finito de puntos en su dominio”.
El método del elemento finito requiere formular y resolver sistemas de ecuaciones lineales. Por lo tanto, la principal ventaja de este método reside en la capacidad de ser automatizado para representar estructuras irregulares y complejas, así como condiciones de frontera diversas.
71 El método del elemento finito es un procedimiento ordenado, el cual puede resumirse a grandes rasgos como:
Discretización del dominio. El primer paso consiste en dividir el dominio de estudio en elementos. Puede emplearse una amplia variedad de formas de elementos y si se tiene el suficiente cuidado, se pueden emplear diferentes tipos de elementos en la misma discretización. En realidad, cuando se analiza una estructura que tiene diferentes tipos de componentes, como son placas y vigas, no solo es deseable sino necesario, emplear diferentes tipos de elementos en el mismo dominio. A pesar de que la decisión del tipo y número de elementos a usar son cuestiones de ingeniería, el analista puede apoyarse en la experiencia de otros analistas para guiarse.
Seleccionar las funciones de interpolación. El siguiente paso es asignar los nodos de cada elemento y elegir el tipo de función de interpolación para representar el cambio de la variable sobre el elemento. La variable puede ser un escalar, un vector, o un tensor de orden superior. En muchas ocasiones, pero no siempre, se seleccionan polinomios como funciones de interpolación para la variable porque éstos se integran y se diferencian fácilmente. El grado del polinomio elegido depende del número de nodos asignado a cada elemento, de la naturaleza y el número de las incógnitas de cada nodo y los requerimientos de continuidad impuestos a los nodos, a lo largo de los límites de los elementos. La magnitud de la variable, así como la magnitud de sus derivadas, pueden ser las incógnitas existentes en cada nodo.
Definir las propiedades de los elementos. Una vez que ha sido establecido el
modelo de elementos finitos (esto es, ya que se eligieron los elementos y sus funciones de interpolación), se está en posibilidad de determinar las ecuaciones matriciales que expresan las propiedades de cada uno de los elementos. Para realizar esto se puede emplear alguna de las cuatro formulaciones posibles del método del elemento finito: la formulación directa, la formulación variacional, la formulación de los pasos residuales, o la formulación del balance de energía (las cuales se examinarán posteriormente). La formulación variacional es generalmente la más conveniente, pero para cualquier aplicación, la selección de la formulación depende de la naturaleza del problema.
Ensamblar las propiedades de los elementos para obtener las ecuaciones del sistema, considerando las condiciones de frontera del espécimen. Para determinar las propiedades de todo el sistema modelado por la red de elementos, se deben “ensamblar” las propiedades de todos los elementos. Esto es, se requiere combinar las ecuaciones matriciales expresando el comportamiento del dominio entero, o
72 sistema. Las ecuaciones matriciales para el sistema tienen la misma forma que las ecuaciones para un solo elemento, excepto que éstas contienen muchos más términos porque incluyen a todos los nodos.
La base para realizar el procedimiento de ensamble se fundamenta en el hecho de que en un nodo, donde se interconectan elementos, el valor de la variable es el mismo para cada elemento que comparte dicho nodo. El ensamble de las ecuaciones de los elementos es una labor rutinaria y usualmente se hace empleando computadoras digitales.
Antes de que las ecuaciones del sistema estén listas para ser solucionadas, deberán modificarse para introducir las condiciones de frontera del problema. Esta parte es fundamental para llevar a buen término un análisis mediante el método del elemento finito. Si no se representan de una forma adecuada las condiciones de frontera que tiene el espécimen modelado, los resultados obtenidos serán poco confiables.
Resolver el sistema de ecuaciones. El proceso de ensamble del paso anterior,
establece una serie de ecuaciones simultáneas, las cuales pueden resolverse para obtener los valores nodales de la variable. Si el sistema de ecuaciones es lineal, se pueden emplear varias técnicas de solución comunes, como son; el método de Eliminación de Gauss – Seidal, o la descomposición de Cholesky si las ecuaciones son no – lineales, su solución es más difícil de obtener. Puede emplearse el método de Newton – Raphson, el método de Sustituciones Sucesivas, o algún otro método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones no – lineales.
Efectuar cálculos adicionales. En muchas ocasiones deseamos usar la solución de
los sistemas para calcular otros parámetros importantes.
Para el problema de elasticidad plana, la solución del sistema de ecuaciones da como resultado los desplazamientos nodales. Partiendo de dichos valores, es posible calcular tanto las deformaciones, como los esfuerzos principales en los nodos, así como en los centroides de los elementos. De la misma manera es posible calcular los ángulos principales, así como otras magnitudes que sean de interés para los usuarios del método del elemento finito.
73
4.2 PASOS REQUERIDOS PARA EL ANÁLISIS CON ELEMENTO
FINITO. [26]
Las rutinas del elemento finito, para la solución de los problemas pueden variar con el tipo de análisis, a pesar de esto hay un procedimiento general que se divide en tres etapas que son: Preproceso, Solución y Postproceso.
4.2.1
PREPROCESO.
Determina el tipo de análisis que se va a efectuar, se agregan las características que definen el tipo de material de estudio como es el modulo de elasticidad E y la relación de Poisson ν, se define el tipo de elementos que se emplearán, que pueden ser triangulares cuadráticos, cuadriláteros lineales, etc. En esta etapa también se hace el modelado del objeto que incluye la definición de la geometría del problema, del mallado donde se usan elementos singulares así como el resto del dominio existente, en el cual están los elementos convencionales.
4.2.2
SOLUCIÓN.
Se introducen las condiciones de frontera, se aplican los tipos de apoyo en los nodos especificados y se especifica la dirección que se quiere restringir. En este mismo paso se colocan las cargas correspondientes, ya sea de presión, puntual, temperatura etc., según sea el caso. Finalmente se procede a hacer el análisis donde se obtendrán los esfuerzos, que son el objetivo de este trabajo de investigación.
4.2.3
POSTPROCESO.
Una vez solucionado el problema se dan a conocer los resultados en forma tabulada o gráfica, donde se puede apreciar como se deforma el elemento de acuerdo a los desplazamientos de cada nodo o elemento.
Las rutinas anteriormente descritas del método del elemento finito formulan la matriz de rigideces, hacen el ensamble para llegar a una matriz de rigidez global del sistema, reducen el ancho de banda para minimizar el problema y encuentran finalmente desplazamientos y esfuerzos en los elementos.
74
4.2.4
VENTAJAS Y LIMITACIONES DEL MEF
Algunas de las principales ventajas que presenta el método del elemento finito son: Sus aplicaciones se extienden a todo el dominio de la mecánica del medio continuo y problemas físicos en general, que son gobernados por ecuaciones diferenciales.
Es posible analizar cuerpos formados por distintos materiales, cuyas propiedades puedan diferir, tales como: Módulo de elasticidad, conductividad térmica, resistencia eléctrica, capacidad calorífica, calor específico y anisotropía, entre otros.
La red o malla puede estar constituida de elementos de diferente tipo, tamaño o forma, pudiéndose modelar exactamente la frontera del dominio de estudio.
Se puede variar el tamaño y la forma de los elementos, de esta manera la malla de elementos finitos se puede afinar y/o expander según se requiera, para evaluar cuidadosamente aquellas regiones consideradas como críticas.
Este método posee la capacidad de analizar cuerpos con condiciones de frontera discontinua o mixta, sin problema.
Una de las ventajas, quizás la mas importante, es la posibilidad de generar programas de cómputo de tipo general o para resolver una determinada clase de problemas. Por ejemplo: NASTRAN (NASA Structural Analysis of National