donde v O representa la velocidad que ten dría el punto O (origen de coordenadas
B, de la varilla b) Su pongamos que el punto
A d e s c i e n d e a velocidad constante vA. D e t e r m i n a r l a velocidad angular de la varilla y la velocidad del extremo B en función del valor del ángulo θ. c) Ídem la aceleración del punto B.
5 . 2 0 . - U n a
Prob. 5.20 varilla, que está
apoyada sobre un cilindro de radio r= 1 cm, puede deslizar a lo largo de una guía tan- gente a dicho cilindro, como se indica en la
figura. La
longitud de la varilla es cuatro veces el radio del cilindro. En el instante en que el centro de la varilla se apoya en el cilindro, la velocidad del punto A es 10 cm/s. Calcular, en dicho instante, las velocidades de los puntos B y C y la velocidad angular de la varilla.
5.21.-En el me- Prob. 5.21 canismo articulado que se muestra en la figura, la varilla DB gira con velocidad angular constante ω alre- dedor del eje que pasa por D. De- terminar la veloci- dad y la acelera- ción del extremo C de la varilla
AC: a)en el
instante en que
θ=60°; b) para un valor genérico del ángulo θ.
5.22.-Un disco de radio R rueda en línea recta
sobre una superficie plana y horizontal. En un instante dado, su velocidad angular es ω y su aceleración angular es α. Determinar la velocidad y aceleración en ese instante de un punto del disco situado sobre el diámetro vertical y a una altura h sobre el centro del disco.
5.23.-Un cilindro de radio R rueda sin deslizar
sobre una superficie plana y horizontal. Si la velocidad angular al rodar es ω, determinar:
a)el eje instantáneo de rotación; b) la veloci-
dad y la aceleración de los puntos del eje del cilindro; c) ídem de un punto cualquiera del cilindro; d) ídem de los puntos del cilindro que instantáneamente están en contacto con el plano.
5.24.-Sobre un plano horizontal rueda sin
deslizar un cono recto de sección circular, de 20 cm de generatriz y 30° de semiángulo en el vértice. La rodadura es tal que el cono pisa 5 veces/s un punto determinado del plano. Determinar: a) la velocidad angular del cono alrededor de su eje de simetría; b) el punto del cono cuya velocidad (con respecto al plano fijo) es máxima, así como la velocidad y aceleración de dicho punto.
5.25.-El disco que se muestra en la figura está
Prob. 5.25
girando con velocidad angular ω1 y acele-
ración angular α1 alrededor de su eje de
revolución, al tiempo que dicho eje es arras- trado por el movimiento de rotación de la horquilla, con velocidad angular ω2y acelera-
ción angular α2. Determinar la velocidad y
aceleración de un punto genérico P de la periferia del disco.
5.26.-Un disco de radio r está girando alrede-
dor de su eje de simetría con velocidad angular ω y aceleración angular α. Simultáneamente, el disco está girando, con velocidad angular constante Ω, alrededor de un eje fijo en el espacio que está contenido en el plano del disco y es tangente al perímetro de éste en un punto Q. a) Determinar la velocidad y acelera- ción del punto P del perímetro del disco diametralmente opuesto al punto Q de tangen- cia. b) Ídem para un punto genérico de la periferia del disco.
5.27.-Las aspas principales de un helicóptero
Problemas 139
Determinar la posición del eje instantáneo de rotación y deslizamiento de las aspas y calcu- lar la velocidad de un punto de una de las aspas, situado a 1 m del eje de giro de las mismas, cuando ésta es perpendicular a la dirección del movimiento, en cada uno de los siguientes casos: a) El helicóptero se traslada horizontalmente, en línea recta, con una velocidad de 72 km/h; b) El helicóptero describe una trayectoria circular, en un plano horizontal, de 200 m de radio, con la misma celeridad que antes.
5.28.-La hélice de un avión gira a razón de
6 000 rpm, en tanto que el avión tiene una velocidad horizontal, en línea recta, de 360 km/h. Determinar: a) El tipo de movi- miento que realiza un punto de la hélice distante 1 m del eje de la misma; b) la veloci- dad y aceleración de dicho punto.
5.29.-En el mecanismo de biela y manivela
que se muestra en figura la manivela gira con velocidad angular constante de 10 rad/s y son
l=90 cm y R=30 cm. Calcular la velocidad del
pistón A y la velocidad angular de la biela (AB) para los siguientes valores del ángulo θ:
a)0°; b) 90°; c) 180°; d) para un valor
genérico del ángulo θ.
5.30.-En la figura, AB es una biela de pistón
Prob. 5.30
de longitud l. Si A se mueve a lo largo de la línea horizontal CD mientras que B se mueve con velocidad angular constante sobre una circunferencia de radio R y centro O, calcular la velocidad y la aceleración del punto A para un valor genérico del ángulo θ.
5.31.-Un sólido rígido gira en torno a un eje
fijo, de modo que en el instante en que su velocidad angular es 2 rad/s, su aceleración angular es 3 rad/s2. Determinar la velocidad y
la aceleración de un punto del sólido situado a 10 cm del eje de rotación.
5.32.-La aceleración angular de un volante
viene dada por α = -ω2/2. Si inicialmente su
velocidad angular es de 120 rpm, determinar el tiempo que debe transcurrir para que su velocidad angular se reduzca a la mitad, y el número de vueltas que habrá dado el volante
en ese tiempo.
5.33.-Un cilindro de radio r rueda sin deslizar
Prob. 5.33
sobre la superficie de otro cilindro de radio 2r, de modo que se eje de simetría tiene permanentemente una velocidad de módulo
constante v0. Determinar las velocidades y
aceleraciones de los puntos A y B de la perife- ria del cilindro en el instante que se indica en la figura.
5.34.-Un disco de radio R rueda con velocidad
constante sobre un plano horizontal.
a)Demostrar que las ecuaciones paramétricas
de la trayectoria de cualquier punto de su borde son
x= R (ωt - sen ωt); y = R (1 - cos ωt)
donde ω es la velocidad angular del disco y el tiempo t se mide a partir del instante en que el punto estuvo en contacto con el plano.
b)Representar gráficamente dicha trayectoria.
c)Encontrar las componentes de la velocidad
y de la aceleración del punto. Interpretar los resultados.
5.35.-En el Problema 5.34, determinar: a) las
componentes intrínsecas de la aceleración de un punto del borde del disco y b) la curvatura de la trayectoria del punto en la posición más alta de la misma.
5.36.-Un disco de radio R rueda en línea recta
sobre una superficie plana y horizontal. En un instante dado, su velocidad angular es ω y su aceleración angular es α. Determinar la velo- cidad y la aceleración de un punto genérico del disco.
Prob. 5.37
5.37.-Una rueda
de radio r rueda sin deslizar, con
una velocidad
angular constante ω, por el interior de otra (fija) de radio 2r (vide
140 Lec. 5.- Cinemática del sólido rígido.
figura). a) Determinar la trayectoria de un punto genérico de la rueda pequeña.
b)Calcular la velocidad y aceleración de dicho
punto.
5.38.-La escuadra que se muestra en la figura
Prob. 5.38 realiza un movimiento plano desli- zando sobre los puntos fijos A y B. Determinar la base y la ruleta del movimiento.
5.39.-El extremo A de una varilla desliza a lo
Prob. 5.39
largo de un aro circular fijo de radio R, en tanto que la varilla está guiada por un pasador orientable fijado en un punto B del aro, como se muestra en la figura. Determinar la base y la ruleta del movimiento de la varilla.
5.40.-La varilla AC que se muestra en la
Prob. 5.40
figura tiene un movimiento plano tal que su extremo A desliza a lo largo de un eje hori- zontal, en tanto que la varilla pasa por una abrazadera fija y orientable (B), situada a una distancia h del eje. a) Determinar la base y la
ruleta del movimiento de la varilla. b) Supon- gamos que el extremo A de la deslizadera desliza con velocidad constante v y que se encuentra en O (θ=0) en el instante t=0. Expresar la rotación instantánea de la varilla en función del tiempo [i.e., ω=ω(t)]. c) Hallar
la velocidad y aceleración de punto de la varilla que se encuentra en B en función del tiempo, expresando sus componentes en una base fija y en una base móvil.
5.41.-En el dispositivo que se muestra en la
Prob. 5.41
figura, el extremo A de la barra se mueve a lo largo del eje vertical sin que la barra pierda contacto con el disco de radio R. a) Encontrar la velocidad de rotación de la barra en función del ángulo θ. b) Determinar la base y la ruleta del movimiento de la barra.
5.42.-El piñón satélite de radio R que se
Prob. 5.42
muestra en la figura engrana con las dos ruedas dentadas coaxiales de radios 2R y 4R que giran con velocidades angulares constantes 3ω y 2ω, respectivamente, en sentidos opues- tos, como se indica en la figura. El movimien- to del piñón produce la rotación del brazo OO′ alrededor del eje O. a) Determinar la rotación ˙
θ instantánea del piñón (indicando su sentido), así como la velocidad de su eje. b) Encontrar la velocidad angular ˙φ del brazo OO′. c) Ob- tener la base y la ruleta del movimiento del piñón. d) Calcular la velocidad de sucesión del CIR del piñón.