Lecciones de Física
Mecánica 1
Manuel R. Ortega Girón
Departamento de Física Aplicada. Universidad de Córdoba.
Lecciones
Lecciones de
de Física
Física (Mecánica
(Mecánica 1)
1)
Novena edición: octubre 2006©
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A Estela y Olga
Desde la infancia he sido criado en el estudio de las letras y, como quiera que me aseguraban que por medio de éstas se podía adquirir un conocimiento claro y seguro de todo aquello que es útil para la vida, yo tenía un vivísimo deseo de aprenderlas. Pero cuando acabé el curso de los estudios, al finalizar los cuáles es costumbre ser admitido en la jerarquía de los doctos, cambié enteramente de opinión. Por que me encontraba turbado y confuso entre tantas dudas y errores que me parecía no haber obtenido otro provecho, al procurar instruirme, que el descubrir cada vez mejor mi ignorancia.
RENÉDESCARTES(1596-1650)
El Discurso del Método.
Prólogo del autor
Este libro está destinado a los alumnos de Primer Ciclo de las Facultades de Ciencias y Escuelas Técnicas. Durante su elaboración he pretendido la consecución de dos objetivos principales que entiendo que deben orientar la docencia de las asignaturas de Física de Primer Ciclo de los estudios universitarios: familiarizar al alumno con el conjunto de los conceptos y leyes básicas que constituyen la esencia de la Física y desarrollar en el estudiante la habilidad para manejar esas ideas y para aplicarlas a situaciones concretas. Además, creo que estas asignaturas, y muy especialmente la asignatura correspondiente al Primer Curso Universitario, deben proponerse unos objetivos de cimentación y estructuración de los conocimientos adquiridos en los cursos de enseñanza media.
A lo largo de los sucesivos cursos en los que he participado en la docencia de la Física de Primer Ciclo, en las Universidades de Sevilla, Autónoma de Barcelona y Córdoba, he tenido ocasión de ir perfilando los programas de las asignaturas que se imparten a este nivel, tratando de encontrar el punto de equilibrio entre la extensión de los programas y el nivel y profundidad en el tratamiento de cada uno de los temas. Durante este proceso de estructuración y perfeccionamiento, siempre he tenido muy presente que los programas de estas asignaturas, aunque pueden plantearse de muy diversas formas, con enfoques diferentes, con una gran variedad en cuanto a sus contenidos, ... de ningún modo pueden ser una simple suma de temas inconexos o poco relacionados entre sí, por muy interesantes y bien estructurados que estén cada uno de ellos. Entiendo que el propósito primario de estas asignaturas debe ser dar al estudiante una visión unificada de la Física a través de la compresión de los conceptos, leyes y principios que constituyen el aspecto más fundamental de esta ciencia.
Por supuesto que conozco muchos y excelentes libros adecuados a este nivel, que satisfacen en gran medida los requisitos anteriormente expuestos; pero la mayor parte de ellos son de procedencia foránea, lo que los distancia, hasta cierto punto, de la problemática de la enseñanza en nuestras Universidades. Para soslayar este inconveniente, los profesores suelen recurrir a recomendar a sus alumnos varios libros de texto, como complemento de los apuntes que éstos tomen en clase. Sin embargo, pienso que se facilita enormemente el aprovechamiento de las clases cuando el alumno puede disponer de un texto de base, aunque ello no implique la renuncia a la consulta de otros libros de texto y de obras más especializadas. Fruto de esta convicción es el presente libro, que será completado con otros tomos, preparados en colaboración con colegas de otras Universidades españolas, hasta cubrir los
vi Prólogo
contenidos que normalmente se desarrollan en las disciplinas de Física de Primer Ciclo de nuestras Facultades y Escuelas Técnicas.
No debería considerarse esta obra como un libro más de Física General, en la acepción que tradicionalmente tiene esta denominación, ya que tanto su nivel como su extensión son notablemente superiores a los que encontramos normalmente en los libros de texto de tal denominación. Mi intención ha sido desarrollar un programa en el que tengan cabida aquellos temas de la Física Clásica que configuran los contenidos de la Física que se enseña en los primeros cursos universitarios, en sus vertientes científica y técnica, prestando una atención especial a la asignatura de Primer Curso, de modo que los profesores puedan seleccionar los temas que sean apropiados a los Planes Docentes de sus Centros.
Incluso algunas Lecciones de esta obra, que normalmente se incluyen en el programa de la asignatura de Primer Curso, tienen un nivel algo superior al que normalmente encontramos en los textos de Física General. De este modo, el profesor podrá graduar el nivel de sus enseñanzas al de la preparación previa de sus alumnos, evitando así que la Física que se enseña en los primeros cursos universitarios sea, en algunos casos, una mera repetición de la correspondiente al Curso de Orientación Universitaria.
No puedo dejar de expresar mi agradecimiento a todos aquellos compañeros que de un modo u otro han colaborado en la preparación de este libro, muy especialmente a mis amigos y colegas los Dres. José A. Ibáñez Mengual (U. Murcia) y Alejo Vidal-Quadras Roca (UAB), cuyas acertadas sugerencias y útiles intercambios de puntos de vista me han resultado muy provechosos, y a mis compañeros en las tareas docentes, los Dres. C. Baixeras (UAB), D. Baró (UAB), S. Bordas (UAB), A. Coronas (U. Tarragona), C. Domingo (UAB), F. González (U. Granada), F. Fernández (UAB), A. Hernández (U. Valladolid), J.I. Jiménez (U. Granada), E. Martín (U. Murcia), R. Perea (E.U. Jaén), L.F. Sanz (U. Valladolid), S. Suriñach (UAB) y M.A. Villamañán (U. Valladolid), por la buena acogida que han dispensado a estas Lecciones de Física y por sus útiles comentarios y sugerencias.
Lecciones de Física
Mecánica 1
viii Índice de materias. I. 1. Álgebra vectorial.
2. Vectores deslizantes.
3. Análisis vectorial.
4. Cinemática de la partícula.
5. Cinemática del sólido rígido.
6. Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la inercia.
7. Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación de la cantidad de movimiento.
8. Las fuerzas de la Naturaleza.
9. Sistemas de referencia en rotación.
10. Trabajo y energía.
11. Conservación de la energía.
12. Momento angular. Fuerzas centrales.
II. 13. Movimiento armónico simple.
14. Oscilaciones amortiguadas y forzadas.
15. Superposición de movimientos armónicos simples.
16. Geometría de masas.
17. Sistemas de partículas.
18. Sistemas de masa variable. El problema de 2-cuerpos.
19. Colisiones.
20. Estática del sólido rígido.
21. Dinámica del sólido rígido.
22. Trabajo y energía en el movimiento general del sól. ríg.
23. Ecuaciones de Euler.
24. Dinámica impulsiva del sólido rígido.
III. 25. La ley de la Gravitación Universal.
26. El campo gravitatorio.
27. Elementos de elasticidad.
28. Elastostática.
29. Estática de los fluidos.
30. Tensión superficial.
31. Cinemática de los fluidos.
32. Dinámica de los fluidos ideales.
33. Dinámica de los fluidos reales.
34. Flujo viscoso.
IV. 35. Ondas progresivas.
36. Fenómenos ondulatorios en medios ilimitados.
37. Fenómenos ondulatorios en medios limitados.
38. Ondas estacionarias.
39. Acústica física.
40. Acústica musical y arquitectónica. Apéndices.
Índice de materias
Prolegómenos. . . . 1
§1. La Ciencia (1); §2. La Naturaleza (1); §3. La Física (2); §4. Nuestra visión del Mundo Natural (3); §5. El método científico (5); §6. La ciencia como descripción (6); §7. La ciencia como creación (7); §8. La ciencia como comprensión (8); §9. Los modelos (9); §10. Los conceptos físicos (10); §11. Las ramas de la física (12); §12. La Física y las otras Ciencias (13); §13. La Ciencia y la Tecnología (14); §14. La Física y las Matemáticas (14)
VECTORES.
1.- Álgebra vectorial. . . . 19
§1.1. Escalares y vectores (19); §1.2. Formulación vectorial (20); §1.3. Suma y diferencia de vectores (21); §1.4. Producto de un vector por un escalar (22); §1.5. Versores (22); §1.6. Componentes de un vector. Base vectorial (22); §1.7. Producto escalar de dos vectores (24); §1.8. Producto vectorial de dos vectores (27); §1.9. Representación vectorial de superficies (29); §1.10. Producto mixto de tres vectores (30); §1.11. Doble producto vectorial (32); §1.12. Definición axiomática del vector (32); §1.13. Cambio de base vectorial (34); §1.14. Vector de posición. Sistemas de referencia (37); Problemas (38)
2.- Vectores deslizantes. . . . 41
§2.1. Momento de un vector respecto a un punto (41); §2.2. Momento de un vector respecto a un eje (42); §2.3. Sistemas de vectores deslizantes (43); §2.4. Invariantes del sistema (44); §2.5. Par de vectores (45); §2.6. Eje central (46); §2.7. Centro de un sistema de vectores paralelos (47); §2.8. Sistemas de vectores equivalentes (48); §2.9. Reducción de sistemas (49); §2.10. Virial de un vector (53); §2.11. Virial de un sistema de vectores (54); §2.12. Plano central (55); §2.13. Punto central (56); Problemas (57)
3.- Análisis vectorial. . . . 61
§3.1. Campos escalares y vectoriales (61); §3.2. Derivada de un vector respecto a un escalar (63); §3.3. Integral de un vector con respecto de una variable escalar (65); §3.4. Circulación de un vector (66); §3.5. Flujo de un campo vectorial (69); §3.6. Gradiente de un campo escalar (71); §3.7. Función potencial (73); §3.8. Di-vergencia de un campo vectorial (74); §3.9. Teorema de Gauss (76); §3.10. Rota-cional de un campo vectorial (77); §3.11. Teorema de Stokes (78); §3.12. El operador nabbla (80); Problemas (82)
CINEMÁTICA.
4.- Cinemática de la partícula. . . . 87
§4.1. Cinemática (88); §4.2. Relatividad del movimiento. Referenciales (88); §4.3. Movimiento de la partícula (90); §4.4. Velocidad (91); §4.5. Aceleración (93); §4.6. Componentes intrínsecas de la aceleración (95); §4.7. Triedro móvil (97);
x Índice de materias
§4.8. Discusión de algunos tipos de movimiento (98); §4.9. Velocidad y aceleración relativas (102); Problemas (104)
5.- Cinemática del sólido rígido. . . . 109
§5.1. Concepto de sólido rígido (109); §5.2. Condición cinemática de rigidez (110); §5.3. Movimiento de traslación (111); §5.4. Movimiento de rotación. Vector velocidad angular (113); §5.5. Principio de superposición de movimientos (114); §5.6. Composición de rotaciones (115); §5.7. Movimiento rototraslatorio (117); §5.8. Movimiento helicoidal (118); §5.9. Eje instantáneo de rotación y deslizamiento (119); §5.10. Teorema de Chasles (120); §5.11. Axoides. Representación de Poncelet (121); §5.12. Aceleración. Vector aceleración angular (122); §5.13. Contacto entre sólidos: deslizamiento, rodadura y pivotamiento (126); §5.14. Movimiento plano del sólido rígido (127); §5.15. Base y ruleta (129); §5.16. Velocidad de sucesión del CIR (133); §5.17. Movimiento de rotación alrededor de un eje fijo (134); Problemas (136)
DINÁMICA DE LA PARTÍCULA.
6.- Principios de la Mecánica Clásica. La ley de la Inercia. . . . 143
§6.1. Mecánica Clásica (144); §6.2. Las Leyes de la Mecánica (145); §6.3. Las leyes del movimiento (146); §6.4. La ley de la inercia (147); §6.5. Referenciales inercial
y no-inercial (149); §6.6. Buscando un referencial inercial (151);
§6.7. Transformación de Galileo (154); §6.8. Principio de Relatividad de Galileo (156); Problemas (159)
7.- Segunda y tercera leyes de Newton. Conservación de la cantidad de movimien-to. . . . 161
§7.1. Fuerza (161); §7.2. Masa (163); §7.3. Segunda ley de Newton (164); §7.4. Peso. Peso aparente e ingravidez (165); §7.5. Sistemas de unidades mecánicas (166); §7.6. Cantidad de movimiento (168); §7.7. Impulsión (169); §7.8. Invariancia de las leyes de la Mecánica (171); §7.9. Tercera ley de Newton (175); §7.10. Conservación de la cantidad de movimiento (177); §7.11. Acción a distancia (179); §7.12. Limitaciones de la ley de la acción-reacción (180); Problemas (182)
8.- Las fuerzas de la Naturaleza. . . . 187
§8.1. Las leyes de las fuerzas (187); §8.2. Las fuerzas fundamentales (188); §8.3. Fuerzas gravitatorias (189); §8.4. Fuerzas electromagnéticas (191); §8.5. Fuerzas nucleares (194); §8.6. Interacción débil (196); §8.7. Fuerzas moleculares (196); §8.8. Fuerzas de rozamiento (198); §8.9. Rozamiento. Estudio experimental (199); §8.10. Ángulos de rozamiento (202); §8.11. Rozamiento. Estudio microscópico (203); §8.12. Fuerzas de rozamiento en los fluidos (205); §8.13. Fuerzas de ligadura (206); §8.14. Fuerzas de inercia (209); §8.15. Estática de la partícula. Principio de D’Alembert (214); Problemas (216)
9.- Sistemas de referencia en rotación. . . . 221
§9.1. Movimiento relativo (222); §9.2. Velocidad (222); §9.3. Aceleración (224); §9.4. Fuerzas ficticias en un referencial en rotación (227); §9.5. Fuerza centrífuga (228); §9.6. Fuerza de Coriolis (231); §9.7. Movimiento relativo a la Tierra (232); §9.8. Desviación de una partícula en caída libre (235); §9.9. Péndulo de Foucault (237); Problemas (240)
10.- Trabajo y energía. . . . . 245
§10.1. Trabajo y energía (245); §10.2. Trabajo de una fuerza (247); §10.3. Potencia (250); §10.4. Unidades de trabajo y potencia (250); §10.5. Energía (251); §10.6. Energía cinética (252); §10.7. Campos de fuerzas. Fuerzas conservativas (255); §10.8. Energía potencial (259); §10.9. La energía potencial como energía de configuración (264); §10.10. Teorema del virial (265); Problemas (267)
Índice de materias xi
11.- Conservación de la energía. . . . 273
§11.1. Fuerzas conservativas. Conservación de la energía mecánica (274); §11.2. Sistemas conservativos en una dimensión (276); §11.3. Discusión de curvas de energía potencial. Estabilidad del equilibrio (277); §11.4. Sistemas conservativos en dos y tres dimensiones (280); §11.5. Equilibrio en dos y en tres dimensiones (282); §11.6. Fuerzas que dependen explícitamente del tiempo (284); §11.7. Fuerzas no conservativas (284); §11.8. Conservación de la energía (286); §11.9. Crítica del concepto de energía (288); §11.10. Principio de conservación de la masa (289); §11.11. Masa y energía (289); Problemas (293)
12.- Momento angular. Fuerzas centrales. . . . 297
§12.1. Momento de una fuerza (297); §12.2. Momento angular (298); §12.3. Im-pulsión angular (300); §12.4. Conservación del momento angular de una partícula (301); §12.5. Fuerzas centrales. Órbitas planas y ley de las áreas (302); §12.6. Des-cripción del movimiento de la partícula en coordenadas polares planas (303); §12.7. Movimiento producido por una fuerza central (306); §12.8. Energías potenciales centrífuga y efectiva (311); §12.9. Análisis de diagramas de energía (312); §12.10. Fuerza central inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (315); §12.11. Órbitas elípticas: Leyes de Kepler (320); §12.12. Órbitas hiperbólicas: El problema de Rutherford (322); §12.13. Sección eficaz de dispersión (324); Problemas (327)
APÉNDICES.
A.- Resultados de los problemas. . . . 335 B.- Índice alfabético . . . . 351
Prolegómenos.
§1. La Ciencia (1); §2. La Naturaleza (1); §3. La Física (2); §4. Nuestra visión del Mundo Natural (3); §5. El método científico (6); §6. La ciencia como descripción (6); §7. La ciencia como creación (7); §8. La ciencia como comprensión (8); §9. Los modelos (9); §10. Los conceptos físicos (10); §11. Las ramas de la física (12); §12. La Física y las otras Ciencias (13); §13. La Ciencia y la Tecnología (14); §14. La Física y las Matemáticas (14)
§1. La Ciencia.- Desde la más remota antigüedad, el hombre ha sentido curiosidad por conocer y comprender el mundo que le rodeaba. Los primeros testimonios gráficos de que disponemos nos demuestran que el hombre ha estado preocupado, desde siempre, por imponer un orden en la gran diversidad de cosas y fenómenos que observaba. En la búsqueda de ese orden, el hombre ha adoptado tres vías o actitudes: una de ellas es la Religión, otra el Arte y otra la Ciencia.
La palabra Ciencia proviene de la voz latina scientia y ésta deriva del verbo latino scio que significa conocer o saber. En la actualidad, el significado que le damos al vocablo Ciencia es más restringido, pues ha dejado de significar meramente un conocimiento para referirse más específicamente al conocimiento del mundo
naturaly, lo que resulta más importante, a un conocimiento metódicamente formado y ordenado.
§2. La Naturaleza.- Los antiguos se valían de dos palabras para designar el conjunto de todas las cosas: los griegos decían Cosmos (χοσµος) y los latinos
Mundus, que nosotros traducimos por Mundo. Estas voces han perdido en parte su
significación primitiva, pues siendo en la antigüedad inseparables de las ideas de belleza, ornamento y armonía, en contraposición con el Caos (χαος) que representa-ba el estado de desorden y confusión en que se encontrarepresenta-ban las cosas en el momento de su Creación, hoy sólo designan el conjunto de las cosas que existen, enlazadas entre sí en función de su mutua dependencia.
"Las lenguas tienen a veces expresiones felicísimas. ¿Puede encontrarse otro apelativo que exprese, mejor que las palabras cosmos y mundo, las cuales significan orden, adorno, ornamento, la impresión experimentada por los helenos y latinos a la vista de este vasto conjunto que se mueve con extraordinaria regularidad y que despliega por la noche su manto de estrellas? En nuestras lenguas derivadas se ha perdido el significado primitivo de esos
2 Prolegómenos.
vocablos, y el mundo, cualquiera que fuera la idea fundamental que los latinos le atribuyeran, no es hoy más que el conjunto de las cosas del Universo."
LITTRÉ: La Ciencia bajo el punto de vista filosófico.
Por otra parte, la significación de la palabra Mundo depende de las circunstancias en las que se aplica. Podemos designar con ella sólo la Tierra, aislada del resto del Universo, o también utilizarla como sinónima de Universo, esto es, como el conjunto de todas las cosas que existen.
Pero también utilizamos frecuentemente la palabra Naturaleza para designar el conjunto de las cosas. A veces tomamos la palabra Naturaleza como sinónima de Universo o Mundo; otras veces damos a este vocablo una acepción filosófica, significando con él el orden o el sistema de leyes que regulan la existencia de las cosas y sus cambios; pero también la consideramos como una especie de personifica-ción de la materia universal, como la potencia o fuerza activa en virtud de la cual se desarrollan en sucesión ordenada los fenómenos observables. Bajo este último punto de vista la consideró SCHELLINGcuando escribió ...
"La Naturaleza no es una masa inerte; para el que sabe comprender su sublime grandeza, es la fuerza creadora del Universo, fuerza siempre eficiente, primitiva, eterna, que engendra en su propio seno todo cuanto existe, perece y renace eternamente."
Así pues, Mundo o Cosmos, Universo y Naturaleza, son las denominaciones de que nos servimos comúnmente para designar el conjunto de las cosas, de los fenómenos, de sus leyes y hasta de sus causas.
§3. La Física.- Hemos hecho esa disquisición sobre el significado de las palabras Cosmos o Mundo, Universo y Naturaleza, para comprender cual es el contenido de la Física. La palabra física (ϕυσιχη) proviene del término griego ϕυσις, que significa naturaleza, y por ello la Física debería ser una ciencia dedicada al estudio de todos los fenómenos naturales. En verdad, hasta principios del siglo XIX se entendía la Física en ese sentido amplio, y se la denominaba Filosofía
Natural. Recordemos que la célebre obra de Isaac NEWTON (1642-1727), publicada en 1686, en la que se presentaban, entre otras grandes ideas, las leyes del movimiento y la ley de la Gravitación Universal, se titulaba Principia Mathematica Philosophiæ
Naturalis.
Hace cinco siglos, el conjunto de todos los conocimientos científicos era lo suficientemente reducido como para que una persona pudiera estar familiarizada con todas las facetas de la ciencia. En aquellos días, era denominado como un filósofo de
la Naturaleza y se dedicaba al estudio general de los fenómenos naturales. La
acumulación de conocimientos científicos, desde el Renacimiento hasta nuestros días, ha sido tal que este tipo de hombre ha desaparecido, y un Leonardo DAVINCI (1452-1519) o un GALILEO GALILEI (1564-1642) no se pueden dar en nuestros días. Actualmente tenemos físicos, químicos, biólogos, matemáticos, geólogos,... y otras muchas designaciones para los diferentes campos de la actividad científica.
La restricción del campo de la Física comenzó, como ya decíamos, a principios del siglo XIX, y durante ese siglo, y hasta muy recientemente, la Física se limitó al estudio de los llamados fenómenos físicos, definidos sin precisión alguna como aquellos procesos que tienen lugar sin que cambie la naturaleza de las sustancias que
§3.- La Física. 3 participan en ellos. Esta definición ha sido abandonada gradualmente para regresar al concepto más amplio y fundamental de antes.
La Física tiene como objetivo el estudio de los fenómenos naturales para esclarecer la estructura de la realidad que nos rodea. Pero este interés por los fenómenos naturales es común a todas las ciencias. También la Química, la Biología o la Psicología, por citar algunas ciencias, se interesan por los procesos reales e intentan explicarlos de un modo racional. ¿Qué distingue, entonces, a la física de las otras ciencias? Si tuviéramos que responder con una sola frase diríamos que
La Física estudia los procesos más fundamentales de la Naturaleza.
Esto no significa que la Física sea una ciencia más noble que las demás, o que el objeto de su estudio sean los fenómenos auténticamente interesantes. No hay que entender así la expresión procesos más fundamentales que hemos empleado. Trataremos de clarificar el significado de esa expresión.
Cuando un psicoanalista estudia la neurosis de angustia, un biólogo las formas vivientes o un geólogo la formación de un terreno, describen el comportamiento de sistemas muy complejos. Manejan conceptos tales como subconsciente, protoplasma
o erosióncuyo grado de precisión es limitado. Las leyes que rigen estos fenómenos
no pueden ser enunciadas de forma exacta y rigurosa y difícilmente podrán expresarse de una manera cuantitativa precisa. El físico, en cambio, cuando estudia la interacción entre los nucleones del núcleo atómico, o cuando intenta clasificar las partículas elementales de acuerdo con ciertas simetrías, se halla ante el límite de
elementalidad de los procesos y debe tratarlos con todo rigor, enunciando las leyes
que los rigen de modo que se excluya toda ambigüedad, y definiendo magnitudes que pueden ser medidas con precisión. No deja de ser interesante considerar que cuando un biólogo estudia la vida de manera fundamental, acercándose a la base molecular de la misma, dice que hace Biofísica. En la Filosofía, la parte de ella que trata del ser como tal, de sus propiedades, principios y causas primeras, recibe el nombre de
Metafísica.
Ese es el significado de la fundamentalidad de un proceso. Cuando los conceptos que intervienen en él son simples y admiten una definición rigurosa, cuando las leyes que lo rigen pueden ser enunciadas de forma exacta y las magnitudes que aparecen son susceptibles de ser medidas con precisión, diremos que el proceso es
fundamen-tal, y el grado de simplicidad, exactitud y rigor de su tratamiento nos proporciona su
grado de fundamentalidad.
El físico trata, pues, de comprender la manera en que operan los sistemas elementales de la Naturaleza. Pero no hay que pensar que "elemental" sea sinónimo de "pequeño" y que el físico esté absorbido por lo microscópico dejando de lado lo macroscópico. La interacción entre los planetas y el Sol, objetos enormes a la escala humana, es uno de los procesos fundamentales que la Física ha estudiado hace siglos, y en cuyo esclarecimiento se empeñaron físicos de la talla de GALILEO, NEWTON Y EINSTEIN(1879-1955).
§4. Nuestra visión del Mundo Natural.-En el momento actual consideramos que la materia está constituida por unas pocas clases de partículas elementales y que todos los cuerpos, vivientes e inertes, están formados por diferentes agrupamientos y ordenamientos de dichas partículas. De entre ese puñado de partículas elementales
4 Prolegómenos.
hay tres que son especialmente importantes, por estar presentes en muchos fenómenos comunes: el electrón, el protón y el neutrón.
Las demás partículas elementales sólo tienen una vida muy fugaz, creándose y destruyéndose continuamente (son inestables) de modo que, aparentemente, no participan en la mayor parte de los fenómenos que observamos. Para detectarlas es necesario recurrir a dispositivos experimentales altamente sofisticados. Sin embargo, no debemos pasar por alto su importancia; así, una de esas partículas, el mesón π, es la partícula de intercambio en la interacción nuclear fuerte que hace posible que los protones y los neutrones se agrupen para formar el núcleo atómico.
Para hacernos una idea de los órdenes de magnitud que utilizamos en la Física, diremos que la masa del electrón es 9.1×10-31kg y que la del protón y la del neutrón (que son casi iguales) es 1.67×10-27kg, esto es, unas 1840 veces superior a la del electrón.
Los electrones, protones y neutrones se agrupan para formar estructuras bien definidas que llamamos átomos. Los neutrones y protones constituyen el núcleo atómico, de unas dimensiones del orden de 10-15m; los electrones se mueven alrededor de ese núcleo. El radio atómico es del orden de 10-10m. Se conocen en la actualidad 104 especies diferentes de átomos (elementos químicos) y casi 1400 variedades atómicas que reciben el nombre de isótopos.
Los átomos, a su vez, se agrupan para formar moléculas. Actualmente se han identificado varios millones de moléculas distintas (compuestos químicos) y ese número crece de día en día con las nuevas moléculas que se van sintetizando en los laboratorios. Las distancias que separan a los átomos que forman las moléculas vienen a ser del mismo orden que el radio atómico. Existen moléculas constituidas por muy pocos átomos, como las del ácido clorhídrico (ClH), del agua (H2O)..., pero también existen moléculas gigantes, formadas por centenares, millares e incluso millones de átomos, como es el caso de las proteínas, de las enzimas, de los ácidos nucléicos (ADN y ARN) y las de algunos polímeros orgánicos (polietileno, cloruro de polivinilo, ...).
Finalmente, las moléculas se agrupan para formar los cuerpos materiales, que se pueden presentar en tres estados de agregación: sólidos, líquidos y gases, aun cuando esta clasificación no es del todo rigurosa. Existe un cuarto "estado de agregación" de la materia, el estado de plasma, que corresponde al de un gas fuertemente ionizado (gas de iones); la mayor parte de la materia del Universo se encuentra en este estado. Una parte de la materia, la menos abundante, se encuentra organizada en la forma que llamamos materia viviente o protoplasma, compuesta por moléculas altamente organizadas que exhiben unas propiedades que, aparentemente, no presenta la materia inerte. Encontramos la materia viviente bajo formas muy diversas, desde las más elementales (como los protozoos) hasta las más complicadas y perfectas (como el ser humano). Se han descrito y dado nombre a más de un millón de especies diferentes que existen en nuestro planeta. El ser humano es una de las manifestaciones vitales más complicadas y perfectas. Está compuesto, aproximada-mente, por unas 1016células. Cada célula es una unidad fisiológica que contiene entre 1012y 1014 átomos. Puede estimarse que el cuerpo humano está compuesto por unos 1029átomos, principalmente de carbono (C), hidrógeno (H), oxígeno (O) y nitrógeno (N).
§4.- Nuestra visión del Mundo Natural. 5 La materia inerte también se nos presenta bajo formas muy diversas. La acumulación de materia forma planetas, como la Tierra, cuya masa es 6×1024 kg y cuyo radio es 6.3×106m. Puede estimarse que la Tierra está constituida por 1051 átomos.
La Tierra, junto con ocho planetas más (algunos de ellos gigantescos en comparación con la Tierra), unas decenas de satélites, algunos cometas y un gran número de cuerpos asteroideos, se mueve alrededor de una estrella de regular tamaño, el Sol, de 2×1030kg de masa (1057 átomos) y 7×108m de radio, constituyéndose así nuestro Sistema Solar. Podemos estimar en unos 1013 m el radio de tal sistema.
Pero nuestro Sistema Solar forma parte de un sistema mayor, constituido quizás por unas 1010 estrellas (muchas de las cuales pudieran tener sus propios sistemas planetarios). Esta agrupación de estrellas recibe el nombre de Galaxia y tiene forma de disco, de unas dimensiones de unos 1021 m de radio y un espesor máximo de 1020 m. Estimamos que nuestra Galaxia está formada por 1070 átomos.
Existe un gran número de galaxias, de diferentes formas y tamaños. Las galaxias tienen la tendencia a agruparse en racimos o cúmulos. Nuestra Galaxia forma parte de un grupo, llamado Grupo Local, compuesto por una veintena de galaxias distribuidas en una esfera de un radio aproximado de 1022m (un millón de años-luz). En extremos opuestos de este agrupamiento se encuentran nuestra Galaxia y la Gran Nebulosa de Andrómeda, una galaxia muy semejante a la nuestra en cuanto a forma y tamaño; entre las dos representan casi el 70% de la masa total del Grupo Local, de modo que las demás galaxias de nuestro grupo son muy pequeñas.
Se estima que en el Universo pueden existir unas 1020 estrellas, agrupadas en unas 1010 galaxias que se agrupan, a su vez, en un número no definido de cúmulos (algunos de ellos, como el de Virgo, compuesto por miles de galaxias), con un total de 1080 átomos. Toda esta materia existiría en una región cuyo radio pudiera ser de unos 1026 m (1010 años-luz), magnitud que se ha dado en llamar "radio del Universo", aun cuando su significado real no se conozca y sea una simple lucubración a caballo entre la Física y la Metafísica.
A la vista de toda esta grandiosa estructura, algunas preguntas acuden a nuestra mente. ¿Por qué y cómo se unen los electrones, protones y neutrones para formar los átomos? ¿Por qué y cómo se agregan los átomos para formar las moléculas? ¿Por qué y cómo se agrupan las moléculas para formar desde las partículas de polvo hasta un planeta, desde una célula hasta esa máquina excelsa que es el hombre? Podemos responder a esas preguntas fundamentales introduciendo el concepto de interacción. Decimos que las partículas que constituyen los átomos interaccionan entre sí para producir una configuración estable de orden superior, que los átomos interaccionan con otros átomos y configuran moléculas, ... ...
¿Cuál debe ser el trabajo del Físico? A la vista de lo anteriormente expuesto es casi obvio que el primer objetivo del físico será descubrir las diferentes interacciones de la materia. A continuación deberá expresarlas cuantitativamente y, por último, formular las reglas, esto es, establecer las leyes que rigen el comportamiento de la materia, comportamiento que nos es sino el resultado de aquellas interacciones fundamentales.
6 Prolegómenos.
§5. El método científico.- Hemos intentado establecer la peculiaridad de la Física frente a las demás ciencias a través de la noción de "proceso fundamental". A continuación, vamos a destacar algo que es común a la Física y a cualquier actividad: su método de trabajo. Las formas en que un biólogo o un astrónomo atacan un problema que les sea propio son muy distintas en ciertos aspectos, pero hay un denominador común, que constituye lo que se ha venido a denominar el método
científico. Al igual que el grado de fundamentalidad de un proceso distingue entre
sí a las distintas ciencias, el método científico marca una neta separación entre la Ciencia y otras formas de estudio de la realidad, como la Filosofía, la Historia, la Economía o la Sociología. Estas últimas serán "ciencias", y se hablará así de "Ciencias Económicas" o "Ciencias Sociales" en la medida en que utilicen el método científico para tratar cuestiones de sus campos respectivos.
Aunque las raíces de la Ciencia son tan profundas como las de la Religión y las del Arte, sus tradiciones son mucho más recientes. Sólo a partir de los tres últimos siglos se han desarrollado métodos para estudiar sistemáticamente la Naturaleza. Como dice John G. TAYLOR en su libro La Nueva Física (1971):
"Para todos los que vivimos en una sociedad científica el método científico constituye el único medio válido de adquirir un conocimiento cada vez más completo de la Naturaleza; un medio que, además, ha demostrado su valía al proporcionar a la humanidad poderes sobrecogedores. Hemos de hacer notar, sin embargo, que sólo durante los tres últimos siglos ha sido utilizado de forma consciente y eficaz. Antes de la revolución científica, acaecida en el siglo XVII, era algo así como un juego de azar".
El estudio de un problema lleva consigo un esfuerzo descriptivo, un esfuerzo
creativoy un esfuerzo cognoscitivo. Veamos, pues, sucesivamente a la ciencia como
descripción, creación y comprensión.
§6. La ciencia como descripción.- Desde la Antigüedad, numerosos fenómenos han llamado la atención de los hombres por su espectacularidad o por sus características peculiares. Un ejemplo es el movimiento de los cuerpos celestes, es decir, la Luna, el Sol, los planetas y las estrellas. Los movimientos de los astros en el firmamento se intentaron relacionar con el conocimiento del futuro y ciertos planetas y estrellas fueron identificados con divinidades diversas por las distintas civilizaciones del pasado. Un primer paso para el conocimiento de los movimientos de los cuerpos celestes fue la cuidadosa observación de sus posiciones en las distintas horas de la noche a lo largo del año. Se llegó así a establecer que los movimientos de las estrellas eran regulares y los de los planetas extrañamente caprichosos. Durante siglos, numerosos astrólogos y astrónomos confeccionaron cartas celestes que fueron creciendo en complejidad y exactitud. Paralelamente se intentaron explicaciones más o menos ingeniosas de los movimientos de los astros. Las primeras teorías serias no fueron enunciadas hasta el siglo XVI e Isaac Newton resolvió la cuestión casi completamente en el siglo XVII con su teoría de Gravitación Universal. COPÉRNICO, KEPLER, GALILEO y NEWTON pudieron resolver el tremendo problema del movimiento de los planetas gracias a las cuidadosas observaciones y medidas de los que les habían precedido y a las que ellos mismos realizaron. Dispusieron de un material pacientemente acumulado, con el que pudieron trabajar. Sus contribuciones a una mejor comprensión del Universo fueron posibles gracias a la descripción de un
§6.- La ciencia como descripción. 7 fenómeno natural realizada tras cuidadosas observaciones del mismo. Los que les precedieron no acertaron a explicar el fenómeno o dieron explicaciones de carácter fantástico, como la afirmación de PLATÓN (siglo IV a.C.) de que el movimiento perfecto e inmutable de las estrellas se debía a su "sustancia divina". Sin embargo, los resultados de sus observaciones, convenientemente transmitidos, permitieron llegar a la solución del misterio.
Así pues, en el estudio de un proceso natural es indispensable la observación y
la expresión de las observaciones en un lenguaje transmisible y coherente. Por eso,
la Física y la Ciencia en general es, en primer lugar, descripción.
§7. La ciencia como creación.- Además del movimiento de los cuerpos celestes, también el movimiento de los objetos sobre la superficie de la Tierra, sus causas y su naturaleza, había preocupado a los pensadores desde tiempos antiguos. A diferencia del movimiento de los astros, que por su periodicidad regular y lentitud a los ojos del observador terrestre, admitía una descripción relativamente fácil, en la que los únicos requerimientos eran una vista aguda y paciencia, los movimientos de los cuerpos sobre la superficie de la Tierra eran de tal variedad y complejidad que su observación sistemática parecía una tarea abrumadora. Una piedra arrojada desde una ventana, las olas del océano, el viento, un caballo al galope, ... ¿Por dónde empezar? Los filósofos especularon durante la Antigüedad Clásica y la Edad Media sobre el movimiento y sus causas. Pero el progreso en el conocimiento real del fenómeno fue nulo hasta el Renacimiento. En la segunda mitad del siglo XVI, Galileo realizó la siguiente experiencia: Tomó objetos pesados y los abandonó en caída libre desde cierta altura. Comprobó, realizando medidas de espacio y de tiempo, que los espacios recorridos eran proporcionales a los cuadrados de los tiempos transcurridos. Atacó el problema creativamente; hizo experimentos.
Cuando la Naturaleza ofrece una situación enormemente compleja, los físicos, y los científicos en general, tratan de reducirla al caso más sencillo posible y
observan y miden. Realizan lo que conocemos como un experimento. Si arrojamos
en una dirección cualquiera una cadena, ésta describirá antes de caer al suelo una cierta trayectoria al tiempo que se doblará y girará de manera aparentemente imprevisible. Reduzcamos la situación a su máxima simplicidad. Tomemos un único eslabón, subamos a una azotea, y dejémoslo caer libremente. Obtendremos el resultado que obtuvo Galileo. Intentemos comprender este movimiento sencillo y si lo conseguimos habremos dado un paso importante en el conocimiento del movimiento de la cadena, el viento o las olas del océano. Este es el lado creativo de la ciencia: la realización de experimentos.
Los científicos no se conforman con la observación y descripción del mundo; sino que imitan las situaciones reales en los laboratorios, simplificándolas y
adaptándolasa las preguntas que les preocupan. Pero no solo imitan a la Naturaleza,
sino que llevan a cabo experiencias nuevas con el fin de hallar respuestas rápidas y precisas a las incógnitas que intentan esclarecer. Para que un experimento sea válido, reproducido en las mismas condiciones, debe conducir a idénticos resultados cada
vez que se realice.
La experimentación ocupa gran parte de los esfuerzos de los físicos en su búsqueda de una comprensión más clara del mundo. Gracias a ella se han establecido
8 Prolegómenos.
o confirmado las leyes físicas que constituyen la expresión condensada de nuestros conocimientos sobre los procesos fundamentales de la Naturaleza.
§8. La ciencia como comprensión.- La observación y la experimentación llevan a los científicos y a los físicos en particular a establecer con claridad y concisión ciertos hechos, ciertas leyes que rigen el comportamiento de la Naturaleza: Dos cargas eléctricas de igual signo se repelen con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa; si sobre un cuerpo en movimiento no actúa ninguna fuerza su trayectoria es rectilínea; cuando se mantiene constante la temperatura de un gas, su presión es inversamente proporcional a su volumen, ... El paso siguiente es buscar una explicación a estos hechos y a estas leyes. Para una comprensión más completa del mundo, los físicos construyen teorías que respondan a los resultados de sus observaciones y experiencias. Este es un terreno resbaladizo. Si bien los resultados de las mediciones y observaciones admiten poca discusión (cualquiera que repita lo mismo en las mismas condiciones debe obtener idéntico resultado), no sucede lo mismo con las teorías.
En ocasiones, más de una teoría ha intentado la explicación de un mismo fenómeno, originándose apasionadas polémicas. Es interesante preguntarse: ¿cuáles son las características de una buena y una mala teoría?, ¿cuáles son los métodos para decidir si una teoría es correcta o falsa? La dilatación de los sólidos, así como otros muchos fenómenos relacionados con el calor, fue explicada en un principio mediante la teoría del calórico. Según esta teoría, el calor es un fluido que penetra y sale de los cuerpos. Si un cuerpo contiene mucho calor, su temperatura es alta, y si contiene poco, baja. Al poner en contacto un cuerpo caliente con otro frío, el calórico pasa del uno al otro y al penetrar en el más frío provoca el desplazamiento de unas partes de éste respecto de las otras, dando lugar a su dilatación. Sin embargo, además de aumentar de tamaño, el cuerpo que se ha dilatado debería aumentar de peso, ya que en su interior existiría un fluido en mayor proporción que antes de ser calentado. Las determinaciones rigurosas de la masa de los cuerpos a distintas temperaturas dieron como resultado indiscutible que la masa era independiente de la temperatura. Este y otros experimentos hicieron que la teoría del calórico fuese rechazada por estar en
contradicción con la experiencia. Ninguna teoría correcta puede llevar a
consecuencias que contradigan a la experiencia. La teoría actual sobre la dilatación de los sólidos se sitúa en un marco general en el que se explican otras muchas propiedades eléctricas y magnéticas de los sólidos, la fusión y los sistemas cristalinos. Utilizando un punto de vista similar para los líquidos y gases aparecen claras numerosas leyes a las que se ajustan la presión y la temperatura, la viscosidad y la tensión superficial.
La validez de una teoría se comprueba cuando un pequeño número de
hipótesis permite explicar gran número de fenómenos sin relación aparente.
Por último, una de las comprobaciones más espectaculares de la bondad de una teoría es su capacidad para predecir fenómenos aún no observados. Cuando estos se detectan y sus características responden a lo que la teoría había enunciado, aportan un sólido fundamento a su validez.
El examen de los hechos experimentales y el ensayo de diversas hipótesis hasta encontrar las adecuadas no es la única forma de construir una buena teoría. Existe
§8.- La ciencia como comprensión. 9 un método más directo, relacionado con lo que podríamos llamar intuición genial o genio creador. Cuando en los años 1920 los mejores físicos teóricos se concentraban en los problemas suscitados por los nuevos experimentos a nivel atómico, Werner HEISENBERG(1901-1976) se desvió del procedimiento normal de reunión de datos y búsqueda de relaciones entre ellos para construir una teoría que fuera estética en el sentido matemático. Esta persecución de la belleza y de la simplicidad, como en el antiguo Canon griego, llevó a Heisenberg a establecer la que se denominó Mecánica Matricial, base de la moderna Teoría Cuántica. El tratamiento paralelo de los fenómenos cuánticos que hizo Erwin SCHRÖDINGER(1881-1961), en todo equivalente al de Heisenberg en cuanto a resultados de los cálculos, no tuvo la misma simplicidad y belleza, y no ha conducido a consecuencias tan profundas sobre el conocimiento de la estructura íntima de la materia como la formulación de Heisenberg.
§9. Los modelos.-Es interesante destacar que, en su estado embrionario, una teoría se apoya frecuentemente en un modelo. En un modelo se intenta la descripción de un sistema físico en el espíritu de que las cosas pasan "como si ...". Así, por ejemplo, ciertos fenómenos nucleares se explican asimilando el núcleo a una gota
líquidade materia nuclear que vibra y gira. Otros aspectos de la estructura nuclear
son explicados, en cambio, mediante un modelo de filosofía radicalmente opuesta, en la que cada nucleón se mueve independientemente de los demás. Este ejemplo ilustra el límite de validez de los modelos, que no suelen explicar todos los fenómenos observados, sino que suelen estar especializados en una cierta parcela de aquéllos.
Los modelos que utilizan los físicos suelen ser matemáticos o básicamente mecánicos. Muchos físicos piensan con mayor claridad en términos concretos que en términos abstractos. Una característica de la mente humana es su ansia por lo concreto, lo que la incita a una constante preocupación por los modelos mecánicos en el campo de la ciencia, ya que este tipo de modelo, que cabe considerarlo como el tipo más primitivo de explicación, le permite aprehender intuitivamente la realidad de las cosas. Recordemos la famosa expresión de Lord KELVIN(1824-1907):
"Nunca estoy satisfecho hasta que consigo el modelo mecánico de una cosa. Si puedo construir un modelo mecánico, entiendo el fenómeno."
En efecto, un modelo mecánico afortunado puede ser muy clarificador en la formulación incipiente de una teoría y resulta ser una ayuda considerable en los tanteos preliminares del físico para establecerla. Recordemos la primera teoría del átomo que tuvo éxito, la de Niels BOHRen 1913: los átomos se describen como si fuesen pequeños sistemas solares en miniatura, en los que las fuerzas gravitatorias son sustituidas por las fuerzas eléctricas. Los electrones girarían alrededor del núcleo en órbitas circulares o elípticas, como se deducía directamente de las leyes de Newton de la Mecánica.
Pero aunque los modelos mecánicos pueden ser de una gran ayuda en la formulación de las teorías hay que recurrir a ellos con ciertas reservas. Hay ejemplos famosos en los que se pone de manifiesto que una fe demasiado firme en un modelo puede llevar a conclusiones erróneas y ser un obstáculo serio en el progreso científico. Por ejemplo, es mucho más fácil imaginar un haz luminoso como una
10 Prolegómenos.
vibración mecánica que se propaga en un medio material (el éter postulado por los antiguos) que como una energía inmaterial propagándose en el vacío, ya que esta segunda forma de representar el fenómeno es menos intuitiva que la primera. Por ello, hubo que esperar mucho tiempo, hasta finales del siglo XIX, para desechar el modelo del éter, por no encontrarse de acuerdo con las observaciones experimentales. El desarrollo de la Física, desde Newton (siglo XVII) y hasta finales del siglo XIX, ha estado guiado por modelos mecanicistas. Pero conforme la Física Moderna se ha enfrentado con problemas que han ido escapando más y más del marco de nuestra experiencia común, los físicos han debido recurrir a modelos abstractos y
matemáticos. Pero tampoco este tipo de modelos está libre de los peligros inherentes
a los modelos mecanicistas. Sin embargo, y a pesar de ello, no podemos prescindir de los modelos y debemos reconocer la importancia capital que han jugado y juegan en el desarrollo del conocimiento científico.
§10. Los conceptos físicos.- Una característica de la actividad científica es el rigor en la definición de los conceptos. En la Física se manejan conceptos tales como temperatura, energía, velocidad, longitud de onda ... y otros muchos. Estos conceptos deben ser definidos con rigor y existe un aspecto en la definición de los conceptos físicos que es muy característico y determina una neta diferencia entre la forma en que un físico define el concepto de "temperatura" y un filósofo el de "trascendencia" o el de "libertad".
La definición del concepto físico de "temperatura" debe reflejar el hecho de observación diaria de que unos cuerpos están más calientes que otros y debe hacerlo en forma cuantitativa, simple y precisa, sin dejar margen alguno a la ambigüedad
o a la interpretación subjetiva.
Decir, por ejemplo, que "la temperatura es la propiedad de los cuerpos que refleja su mayor o menor capacidad para transmitir calor", no respondería a las exigencias mencionadas. Un termómetro está formado por una ampolla (o bulbo) de paredes muy delgadas que contiene un líquido (mercurio, alcohol coloreado ...) y que comunica con un tubo capilar, en el que previamente se ha hecho el vacío. Cuando colocamos el bulbo del termómetro en contacto con un cuerpo, la altura de la columna líquida en el tubo capilar es una medida de la temperatura del cuerpo. Para ello es preciso que calibremos el termómetro, marcando un cero y un cien (como se hace en la escala de Celsius) en los puntos que corresponden a la fusión del hielo y a la ebullición del agua a presión normal, y dividiendo dicha distancia en cien partes iguales. De este modo, podemos expresar la temperatura de un cuerpo mediante un número. Nos aparece así claramente el aspecto operacional del concepto de temperatura y, por extensión el de cualquier otro concepto físico. La temperatura es
algo definido a través de una serie de operaciones que tienen como resultado asignar un número a un estado del cuerpo. La temperatura es esa serie de
operaciones. El "cómo" y el "qué" se confunden. Podríamos pensar que esta definición no nos dice realmente qué es la temperatura, sino que nos dice simple-mente cómo medirla de acuerdo a unos convenios preestablecidos. Eso es cierto, y debemos aceptar las limitaciones de la Física y de la Ciencia en general, cuya tarea no es hallar lo que las cosas son realmente. Recordemos como el gran matemático y filósofo de la ciencia, Henri POINCARÈ(1854-1912) explicaba la actitud operacional frente a los conceptos físicos:
§10.- Los conceptos físicos. 11 "Cuando decimos que la fuerza es la causa del movimiento, hablamos en términos metafísicos, y esta definición, si nos satisficiera, sería completamente estéril. Pues una definición útil debe enseñarnos cómo medir la fuerza; esto nos basta; no es absolutamente necesario que nos diga lo que la fuerza es en sí, ni si es la causa o el efecto del movimiento".
Podría objetarse que la definición operacional de los conceptos físicos está, en muchos casos, lejos del significado que comúnmente damos a las palabras que lo expresan. Puede servirnos como ejemplo la definición operacional que hemos dado del concepto de temperatura que nos puede parecer desligada de la significación ordinaria que le damos, relacionada con la sensación de "caliente" o de "frío". Parece como si los conceptos de la vida corriente fueran más claros que los conceptos científicos, que se nos podrían antojar como misteriosos o enigmáticos, cuando en realidad ocurre todo lo contrario. El carácter operacional de los conceptos científicos los hace unívocos e inequívocos en su significado, en tanto que las palabras que usamos en la vida corriente son, frecuentemente, flexibles y poco definidas y susceptibles de matices emocionales y subjetivos. En este sentido, vale la pena destacar que una de las características más notables de la Ciencia, y de la Física en particular, es la facilidad con que desaparecen posibles desacuerdos, a diferencia de lo que ocurre con otras disciplinas donde el núcleo de acuerdo general es extraordinariamente más reducido que en la Física. Como ejemplo de lo que acabamos de decir nos permitimos entresacar el siguiente párrafo del libro de VON WEIZSÄCKER titulado La importancia de la Ciencia (1959):
"Que la Física es ciencia y el materialismo dialéctico no lo es, por ejemplo, se hizo claro en 1955, en la primera Conferencia de Ginebra sobre el uso pacífico de la energía atómica. En aquella reunión muchos físicos occidentales y soviéticos se encontraron por primera vez, y entonces se hizo pública una gran masa de información clasificada. Fue una valiosa experiencia comprobar que los valores de las mismas constantes atómicas, medidos en el más riguroso secreto en diferentes países, bajo sistemas y credos políticos opuestos, al ser comparados, resultaron idénticos hasta la última cifra decimal. Nada parecido ocurrió respecto de las teorías sobre la sociedad. El físico soviético y su colega del Oeste se encuentran unidos por un vínculo que ninguna disensión puede alterar; están unidos por una verdad común."
De cuanto hemos dicho se desprende que un concepto que no pueda ser definido operacionalmente carecerá de significado, al menos desde el punto de vista científico. Esto es realmente así. Uno de los resultados del trabajo de Einstein fue despertar en los científicos el sentimiento de que los conceptos físicos de los que se sirven en sus argumentaciones deben tener una base operacional, ya que de no ser así se puede llegar a serias contradicciones. Como ejemplo de esto podemos referirnos a las definiciones de tiempo y espacio absolutos que aparecen en los Principia de Newton:
"El tiempo matemático, verdadero, absoluto, transcurre en sí y por su propia naturaleza de modo uniforme sin relación a nada externo, y se llama, por otro nombre, duración."
"El espacio absoluto, por su propia naturaleza, permanece siempre igual e inmutable, y sin relación a nada externo."
Para que estos conceptos adquieran un sentido físico es necesario que dispongamos de una experiencia de medida con la que puedan ser comprobados; pero observemos que, en ambas definiciones aparece la expresión "sin relación a nada externo", esto es, que debemos descartar "las manecillas de un reloj" o una "regla graduada". Hoy en día, a estas definiciones sin ningún significado operacional
12 Prolegómenos.
inherente se les llama "sin sentido", un término que nos puede parecer excesivamente riguroso, pero necesario desde el punto de vista científico.
En cambio, Einstein se preocupa de dar definiciones precisas y operacionales de los conceptos de tiempo y espacio, definiendo con todo rigor el proceso de medida del tiempo y de las longitudes. Y el resultado es inesperado y sorprendente: la longitud de un cuerpo depende de la velocidad con que se mueve con respecto al observador, hecho que explica algunas cosas que no podían explicarse hasta entonces. ¿Debemos pensar que la ciencia de Newton estaba invalidada por el hecho de partir de unos postulados básicos "sin significado" científico? No, porque realmente Newton no hizo uso explícito de dichos postulados; su formulación obedecía más bien a una inquietud filosófica que a una necesidad científica.
§11. Las ramas de la física.- En los últimos años la Física ha vuelto a convertirse en una disciplina unificada. Parece ser que los mismos principios básicos permiten explicar tanto los procesos que tienen lugar en las ínfimas dimensiones del núcleo atómico como aquéllos que tienen lugar a escala galáctica. Sin embargo, no siempre ha sido así, y la Física se ha presentado, hasta fechas muy recientes, dividida en unas pocas ciencias o ramas con muy poca o ninguna conexión entre ellas.
Esta división de la Física en diversas ramas ha sido consecuencia de los diversos conductos cognoscitivos de que se ha servido el hombre para indagar sobre el significado de los fenómenos naturales. Se comprende que, inicialmente, el hombre sólo dispuso de sus sentidos para recabar información del mundo natural y clasificase los fenómenos naturales de acuerdo con el sentido con que los percibía. Así, la luz fue relacionada con la visión y la Óptica se desarrolló como una ciencia más o menos independiente ligada con ella. El sonido fue relacionado con el sentido del oído y la Acústica fue otra ciencia que se desarrolló con una cierta autonomía. Lo mismo podemos decir del calor, relacionado con otra sensación física, que dio lugar al desarrollo de otra ciencia, la Termología, con muy pocas conexiones con las demás. Naturalmente, el fenómeno más familiar, el más corrientemente observado fue, desde un principio, el del movimiento, de cuyo estudio se ocupó otra ciencia, la
Mecánica, que fue de las primeras en desarrollarse y en adquirir una cierta madurez.
El movimiento de los planetas y el de caída de los cuerpos pudo ser explicado satisfactoriamente por las leyes de la Mecánica y, por ello, la Gravitación ha sido considerada tradicionalmente como un capítulo de la Mecánica. El
Electromagnetismo, al no estar relacionado directamente con ninguna experiencia
sensorial, y a pesar de que los fenómenos eléctricos y magnéticos ya habían sido observados en la Antigüedad Clásica, no apareció como una ciencia organizada hasta entrado el siglo XIX.
De esta manera en el siglo XIX, la Física aparece dividida en las llamadas ramas
clásicas o tradicionales: Mecánica, Acústica, Termología, Electromagnetismo y Óptica. Las descripciones teóricas de estas áreas parecían esencialmente completas
al terminar el siglo y se creía que todos los descubrimientos básicos estaban ya hechos. Incluso se habían establecido unos nexos o puentes entre estas áreas o ramas clásicas de modo que, aunque la Física se seguía enseñando dividida en esas ramas, se reconocía que esa división atendía tan sólo a aspectos diferentes del mismo campo general de la Física. El cuerpo de doctrina firmemente reconocido hasta esa fecha suele conocerse como FÍSICACLÁSICA.
§11.- Las ramas de la física. 13 En los últimos años del siglo XIX y en las tres primeras décadas del siglo XX surgen una serie de ideas nuevas y sorprendentes en el campo de la Física. Se descubre la Radiactividad y se comienza a explorar el núcleo atómico. El desarrollo de la teoría de la Relatividad exigió que los conceptos de espacio y tiempo fueran reexaminados y modificados. Se formuló la teoría cuántica, que pudo explicar la estructura atómica y molecular con enorme precisión. Durante estos años decisivos todo el edificio de la Física fue remodelado y ampliado, conociéndose este periodo como el de la FÍSICAMODERNA.
La década de 1930 vio las primeras observaciones de la radioemisión estelar y el descubrimiento del neutrón, de la fisión nuclear y de las primeras partículas elementales no existentes en los átomos. Todos estos resultados dieron lugar a un tremendo estallido de resultados y de nuevos campos de investigación que se encuentran en plena actividad, constituyendo lo que se conoce como FÍSICA CONTEMPORÁNEA.
§12. La Física y las otras Ciencias.-Ya hemos establecido anteriormente que una disciplina será científica si ha adoptado el método científico para tratar los problemas que le son propios. Pero aquí precisamente, en saber cuáles son los problemas inherentes a cada una de las ciencias, nos encontramos ante una cierta indeterminación. En principio, la Ciencia estudia la Naturaleza, los fenómenos naturales, y su división en distintas disciplinas o ciencias obedece, principalmente, a una motivación de índole práctica. Anteriormente hemos caracterizado la Física por su grado de fundamentalidad: su objetivo es el estudio de los componentes básicos o elementales de la materia y sus interacciones mutuas, explicando los fenómenos naturales y las propiedades de la materia en su conjunto. La Química se ocupa tan sólo de un aspecto parcial de ese vasto intento; el estudio de los elementos y los compuestos que resultan de combinarlos y de las leyes que rigen esas combinaciones. Para ello utiliza las leyes de la Física para comprender la formación de las moléculas y los variados métodos prácticos que llevan a la transformación de unas moléculas en otras. La Biología estudia la vida y los seres vivientes; se basa fundamentalmente en las leyes de la Física y de la Química para explicar los procesos vitales. La
Geología estudia la composición, estructura y evolución de la Tierra; para ello se
sirve de las leyes y métodos de la Física y de la Química. Vemos pues que la Física, como ciencia fundamental, aparece en la base de las otras Ciencias Naturales, proporcionándoles una soporte conceptual y una estructura teórica, además de una serie de técnicas. Así, el geólogo utiliza en sus investigaciones métodos gravimétricos, acústicos, nucleares y mecánicos; un moderno laboratorio de biología utiliza un instrumental sofisticado apoyado en las más refinadas técnicas de la Física. Podemos asegurar que hoy día sería difícil avanzar en cualquier actividad científica, teórica o experimental, sin recurrir al uso de las refinadas técnicas de la Física.
Decíamos en el artículo anterior que la Física está encontrando en los últimos años su unidad. Esta idea la podemos hacer extensiva a las Ciencias de la Naturaleza en general, ya que cada día resulta más difícil delimitar con precisión los campos de las diferentes Ciencias Naturales. Y ello se debe a la aplicación de un método común en todas ellas (el método científico) y a la utilización de unas técnicas comunes (pensemos en las técnicas microscópicas o electrónicas que se utilizan en Biología, Geología, Química, Física ...). Que las fronteras entre las diferentes ciencias naturales
14 Prolegómenos.
van borrándose más y más, lo demuestra el hecho de que cada día vayan aumentando el número de científicos y de revistas especializadas en temas interdisciplinares, como son la Química-Física, la Biofísica, la Bioquímica, la Geofísica, la Astrofísica, ... Hoy día sabemos que ninguna de las ciencias naturales es completamente independiente de las demás y que es necesario que un científico, sea cual sea su campo de especialización, esté familiarizado, cuanto menos, con las otras disciplinas. Esta interdependencia entre las diferentes disciplinas de la Ciencia Natural ha sido maravillosamente expresada por el poeta inglés Francis THOMPSONen los siguientes versos:
"Todas las cosas por fuerza inmortal, cerca o lejos,
ocultamente,
están ligadas entre sí de tal manera que no se puede agitar una flor
sin perturbar una estrella."
§13. La Ciencia y la Tecnología.-La aplicación de los principios de la Física y de la Química a los problemas prácticos han dado lugar a las diferentes ramas de la Ingeniería. Muchos de los trabajos de investigación en Ingeniería pueden ser considerados como científicos, por cuanto se utiliza el método científico; sin embargo, la práctica de la ingeniería debe ser considerada como una ciencia
aplicada, esto es, como la aplicación de unos conocimientos científicos a unas
situaciones prácticas, acompañada de un arte, o sea, un saber hacer (construir, manejar, ...). Por la misma razón, podemos decir que la práctica de la Medicina es una ciencia biológica aplicada, acompañada de un arte (a veces en un grado mayor que la Ingeniería).
La Ciencia y la Tecnología se necesitan y se apoyan mutuamente. La una no podría existir sin la otra. Es verdad que el desarrollo científico ha posibilitado el desarrollo tecnológico, pero no es menos cierto que la Ciencia moderna necesita de la tecnología tanto como ésta de aquélla. Ciencia y Tecnología pueden compararse a dos árboles gemelos, brotados de distintas semillas y que mantienen aún algunas raíces y algunas ramificaciones separadas, pero cuyos troncos se han juntado y cuyas hojas forman una única e inmensa copa.
§14. La Física y las Matemáticas.-El lenguaje es un ingrediente esencial del pensamiento abstracto. Las Matemáticas, que permiten expresar los conceptos y leyes físicas en una forma compacta, concisa y fácilmente comunicable, constituyen el lenguaje natural de la Física.
Las Matemáticas constituyen una forma de razonamiento altamente organizado que emplea ciertos símbolos estipulados y ciertas convenciones con el fin de potenciar la facultad intelectual de que hemos sido dotados por la Naturaleza. Para Galileo, para algunos de sus contemporáneos y para los físicos modernos, las Matemáticas son la herramienta por excelencia para ordenar y comprender la Naturaleza. Esta convicción la expresaba Galileo del modo siguiente:
§14.- La Física y las Matemáticas. 15 "La filosofía (ahora decimos la Ciencia) está escrita en este gran libro que tenemos ante los ojos - quiero decir, el Universo -, pero no podemos comprenderlo si no aprendemos su lenguaje y el significado de los símbolos en que está escrito. Su lenguaje es el de las matemáticas, y sus símbolos, triángulos, círculos y otras figuras geométricas (ahora añadimos otros símbolos matemáticos) sin cuya ayuda es imposible comprender ni una sola palabra, y en vano intentaríamos atravesar este oscuro laberinto."
En la medida en que en el Universo existe un orden susceptible de ser comprendido, este orden aparecerá bajo la forma de estructuras matemáticas. Ningún físico puede desenvolverse cómodamente sin un considerable bagaje matemático.
Las relaciones existentes entre las magnitudes físicas u observables pueden expresarse en forma funcional. En algunas ocasiones, las leyes físicas establecen que alguna combinación funcional de las magnitudes físicas relacionadas con un fenómeno presenta un valor constante (por ejemplo, el cociente s/t2, entre el espacio recorrido por un cuerpo en caída libre, partiendo el reposo, y el cuadrado del tiempo empleado, tiene un valor constante). En otras ocasiones, algunas combinaciones funcionales de los observables tienden a alcanzar un valor máximo o mínimo (principio de Fermat del camino óptico, por ejemplo). El alto aprecio que sienten los físicos hacia estos tipos de leyes o postulados se debe a que combinan dos de las características más sobresalientes de la ciencia: la formulación matemática de los conceptos y el descubrimiento de características permanentes en el caos de la
experiencia.
La formulación matemática del trabajo científico impone a éste ciertas condiciones. Una relación entre magnitudes observables no debe considerarse como una relación causa-efecto. Así, una relación matemática entre los observables X, Y y Z de la forma Z = XY es totalmente equivalente a expresar que Y = Z/X o que
X= Z/Y; esto es, no cabe asignar a ninguno de los observables un papel especial. Así,
la primera de las relaciones, Z = XY, debemos interpretarla en el sentido de que el observable Z está relacionado con los X e Y, y no en el de pensar que los observables
Xe Y sean la causa del Z.
Expresar las ideas, conceptos y leyes científicas en términos matemáticos es de gran ayuda para la comprensión rápida de esos mismos conceptos y leyes, sin ambigüedad alguna, y es una invitación a buscar nuevas relaciones entre las distintas magnitudes.
En definitiva, la Física es una ciencia experimental en la que el progreso hacia una comprensión más profunda de la Naturaleza se realiza mediante la aplicación del
método científico a los procesos más fundamentales.
Los modelos y las teorías físicas se constituyen para relacionar entre sí, de forma coherente, los distintos hechos que han sido descubiertos sobre el mundo real.
Ninguna teoría es verdadera, sino que tan sólo representa en un cierto momento nuestro grado de comprensión de determinados fenómenos naturales. Toda teoría
física debe estar abierta a modificaciones o a su total desaparición cuando la aparición de nuevos hechos experimentales así lo exijan.
La Física es un intento de aprehensión de la Naturaleza de manera precisa y ordenada, mediante la reducción de las observaciones y las teorías a números que
Capítulo I.
Vectores.
1.- Álgebra vectorial.
19
2.- Vectores deslizantes.
41
3.- Análisis vectorial.
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1.- Álgebra vectorial.
§1.1. Escalares y vectores (19); §1.2. Formulación vectorial (20); §1.3. Suma y diferencia de vectores (21); §1.4. Producto de un vector por un escalar (22); §1.5. Versores (22); §1.6. Componentes de un vector. Base vectorial (22); §1.7. Producto escalar de dos vectores (24); §1.8. Producto vectorial de dos vectores (27); §1.9. Representación vectorial de superficies (29); §1.10. Producto mixto de tres vectores (30); §1.11. Doble producto vectorial (32); §1.12. Definición axiomática del vector (32); §1.13. Cambio de base vectorial (34); §1.14. Vector de posición. Sistemas de referencia (37); Problemas (38)
§1.1. Escalares y vectores.-Frente a aquellas magnitudes físicas, tales como la masa, la presión, el volumen, la energía, la temperatura, ... que quedan completa-mente definidas por un número y las unidades utilizadas en su medida, aparecen otras, tales como el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, ... que no quedan completamente definidas dando un dato numérico, sino que llevan asociadas una dirección y un sentido. Estas últimas magnitudes son llamadas vectoriales en contraposición a las primeras que son llamadas escalares.
Las magnitudes escalares quedan representadas por el ente matemático más simple; por un número. Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente matemático que recibe el nombre de vector.
En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se representa por un segmento orientado1. Así, un vector queda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud o módulo, siempre positivo por definición; su dirección, determinada por una recta (directriz) a la cual el vector es paralelo; y su sentido, que podrá ser coincidente u opuesto con un sentido predeterminado sobre la dirección antes mencionada. Así pues, podemos enunciar:
Un vector es una magnitud que tienen módulo, dirección y sentido.
Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en
negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares. En la pizarra representaremos
las magnitudes vectoriales colocando una flechita sobre la letra que designa su 1Este significado de la palabra vector es una ampliación natural de su utilización inicial en
la astronomía, hoy en desuso: "recta imaginaria que une a un planeta, moviéndose alrededor del centro o foco de una circunferencia o elipse, con dicho centro o foco".
