La explicación y uso del mundo natural y social han planteado, sin embargo, la necesidad de considerar funciones de más de una variable. Por ejemplo, considere el volumen de un cilindro circular recto:
V = r 2 h
El volumen depende de r y de h. Por eso se puede escribir V ( r, h) = r2h
Es decir, como una función de dos variables r y h.
V : (r,h) r2 h
Por ejemplo: V (1,2)= 1 2. 2 = 2
Los ejemplos son muchísimos: V (x, y, z ) = x
Jorge Luis González Rodríguez calculo vectorial
50 Es una función de tres variables: x, y, z.En general, se puede hablar de funciones de varias variables.
Funciones de dos variables
En el caso de las funciones de 2 variables es posible obtener unarepresentación gráfica, al igual que se hace con las funciones de una variable.Sin embargo, la representación se hace en el espacio (en 3 dimensiones) y noen el plano. En lugar de dos ejes de coordenadas x, y:se tienen 3 ejes de coordenadas x, y y z:Por ejemplo, si
z = f (x) =
Se obtiene la mitad de la superficie de la esfera de radio r = 3, y con centroen el punto origen (0, 0,0) (figura 9.14).
o
Nota: La ecuación z2= 9 - x 2-y2, o bien:
z2+x2+y2= 3 2
Brinda la superficie de la esfera completa.Otro ejemplo: sea f(x,y) =
Esto representa un plano paralelo al plano xy (constituido por todos los puntos (x,y,1)).Es interesante señalar que a las funciones de varias variables se les puede aplicar también los métodos del Cálculo Diferencial e Integral, con algunas modificaciones.
Dentición y clasificación de funciones reales de una variable real
Dentición 1 Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A como máximo un único elemento, llamado f (x), de un conjunto B. Por ejemplo, el área de una círculo es una función de su radio:
A = πr2
Si C representa la temperatura en grados centígrados, sabemos que existe una relación con la temperatura medida en grados Fahrenheit, F :
Jorge Luis González Rodríguez calculo vectorial
51 C =5/ 9(F −32)
En cada uno de estos ejemplos se describe una regla por la cual, dado un número (r,F,t,x...) se asigna otro número (A,C,w,y,...). En cada caso diremos que el segundo número es función del primero.
Por lo general, consideraremos funciones para las cuales los conjuntos A y B son conjuntos de números reales, R, pero estos conjuntos pueden estar formados por elementos muy diferentes, como por ejemplo números enteros, Z, o naturales, N, matrices, polinomios...
Al subconjunto de A formado por aquellos elementos para los cuales existe una imagen se le denomina dominio de la función, Dominio(f).
En esta situación a x se le denomina variable independiente, o argumento def, yay se le denomina variable dependiente, ya que su valor depende del valor de x. Si se define una función por medio de una fórmula algebraica, adoptamos el convenio de que el dominio consta de todos los valores de la variable independientes x para los cuales la fórmula tiene sentido (a menos que se mencione explícitamente otro).
Toda función dada por una ecuación de la forma y = f (x) tiene una representación gráfica. La gráfica de f consta de todos los puntos (x,y) en el plano de coordenadas, tales que y = f (x) y x está en el dominio de f. Gráfica de f = {(x,f (x)) | x ∈ Dominio(f)}
Funciones polinómicas
Una función P (x) recibe el nombre de polinomio si: P (x)=anxn + an−1xn−1 + ... + a2x2 + a1x + a0
Donde n es un entero no negativo que representa el grado del polinomio y los números a0,a1,a2,...,an−1,an son constantes reales denominadas coeficientes del polinomio. Dado cualquier polinomio su dominio siempre es todo R.
Funciones lineales
Un polinomio de primer grado es de la forma P (x)=ax + b
Jorge Luis González Rodríguez calculo vectorial
52 y establece una relación lineal entre las variables x e y = P (x). El número a se denomina pendiente de la recta y nos indica cuanto varía la variable y cuando la variable x aumenta una unidad.
P (x + 1)−P (x)=a(x + 1) +b−(ax + b)=ax + a + b−ax−b = a mientras que b representa el corte de la recta de ecuación y = ax + b con el eje Y. Cuando consideramos una función lineal, la razón de cambio o tasa de variación de la función cuando x aumenta h unidades es un múltiplo de la pendiente de la recta a: P (x + h)−P (x)=a(x + h)+b−(ax + b)=ax + ah + b−ax−b = ah
Distintos modos de calcular la ecuación de una recta
Primero Sabemos que por dos puntos distintos pasa una única línea recta. Supongamos que conocemos dos puntos P =( xp,yp) y Q =( xq,y q) y queremos saber la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos. La ecuación de la recta sabemos que será de la forma:
y = ax + b
De manera que si esos dos puntos pasan por la recta deberán satisfacer la ecuación anterior:
yp = axp + b (1) yq = axq + b
Si restamos las dos ecuaciones obtenemos: yp −yq = a(xp −xq)
Despejando a tenemos: a = yp −yq xp −xq
Ahora que conocemos el valor de a podemos despejar b de cualquiera de las ecuaciones de (1) b = yp −axp = yp −µyp −yq xp −xq¶xp
Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos P = (3 ,5) y Q = (2 ,3). Aplicando las fórmulas anteriores tenemos que la pendiente de la recta es:
a =5−3 3−2=2 b =5 −2•3=−1
Jorge Luis González Rodríguez calculo vectorial
53 Segundo Supongamos a continuación que sabemos cual es la pendiente de la recta, a, y un punto que pasa por ella P =( xp,yp) de modo que sólo nos falta por conocerb, pero sabemos que P pertenece a la recta, por tanto satisface:
yp = axp + b
de aquí podemos despejar b : b = yp −axp
de manera que la ecuación de la recta es: y = ax +(yp −axp)
Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto P = (3 ,5) y tiene de pendiente a =3 . Tenemos entonces que
b =5−3•3=−4
Por tanto, la ecuación de la recta es: y =3x−4
Recordad que toda recta cuya pendiente sea cero es paralela al eje OX, por ejemplo y =3
El dominio de definición de cualquier función logarítmica es el conjunto de los números reales estrictamente positivos, x>0, y es continua en todos los puntos de su dominio. ¿Cuál es el conjunto imagen de la función logarítmica?
Composición de funciones Consideremos la función f : A → B y la funcióng : B → C. Si el conjunto imagen de f esta contenido en el dominio de g :
img (f) ⊂ Dom(g)
Podemos entonces formar la función composición (g◦f):A → C, de manera que (g◦f)(x)=g (f (x))
Supongamos que
f (x)=x2 y g (x)=x +1 , tenemos entonces que: (g◦f)(x)=g (f (x)) = g¡x2¢= x2 +1 (f ◦g)(x)=f (g (x)) = f (x + 1) = (x + 1) 2 (f ◦f)(x)=f (f (x)) = f¡x2¢= x4 (g◦g)(x)=g (g (x)) = g (x + 1) =x +2
Jorge Luis González Rodríguez calculo vectorial
54 A continuación damos un ejemplo de aplicaciones de las funciones definidas por secciones en el campo de los derivados financieros, muy utilizados en los mercados bursátiles. Se define una opción de copra (call option), como aquel contrato que da a su poseedor el derecho pero no la oblicación de comprar determinado subyacente en una fecha futura (fecha de vencimiento de la obligación) a un precio pactado con anterioridad (precio de ejercicio o Stricke). Vamos a calcular la función de pagos de una opción de compra que vence en el momento T y con precio de ejercicio X. Denotaremos por ST al precio de mercado del subyacente en el momento T. Supongamos que en el momento T el precio de mercado ST es menor que el precio de ejercicio. En tal caso al poseedor de la opción no le interesará ejercerla y por tanto su ganancia a través de la opción será cero. Sin embargo cuando el precio de mercado está por encima del precio de ejercicio de la opción el poseedor de la opción la ejercerá y comprará el subyacente a través de la opción de compra en lugar de ir al mercado, en ese caso su ganacia será la diferencia entre el precio de mercado y el precio de ejercicio del subyacente (ST −X).
Del mismo modo se define una opción de venta (put option), como aquel contrato que da a su poseedor el derecho pero no la obligación de vender determinado subyacente en una fecha futura, a un precio pactado con anterioridad. ¿Cuál sería la función de pagos de una opción de venta que vence en el momento T y con precio de ejercicio X?
Ejercicios:
Calcular el dominio de las siguientes funciones: a. f (x)= 1 x2+1 b. f (x)=√1−x c. f (x) = ln(x2 −4) d. f (x)=√x2 −6x e. f (x)= 3x−4 x2−6x−7 f. f (x)=qx−1 x+3 g. f (x) = ln(x2 −9) h. f (x)=e 1 x2+4 i. f (x)= x−1 x2−1 j. y =2x−1 k. y = √16−x2 l. y = 1 x2−2 m. y = lnx n. y = e 1 x−3 ñ. y = √x2 −1 2.
Jorge Luis González Rodríguez calculo vectorial
55 Un negocio cuyo capital original es de 25.000 C=, tienes ingresos y gastos semanales de 6.500 =C y 4.800 C=, respectivamente. Si se conservan todas las ganancias, expresar el valor V del negocio al final de t semanas, como una función de t.
3. Si una máquina de 30.000 C= se deprecia un 2% de su valor original cada año, determinar una función f que exprese el valor V de la máquina después que han transcurrido t años.
4. Supongamos que la función de demanda anual para que cierto actor protagonice una película es p = 1.200.000 q , donde q es el número de películas que protagoniza durante el año. Si el artista actualmente cobra 600.000 =C por película, ¿cuántas protagoniza cada año? Si quiere protagonizar cuatro películas por año, ¿cuánto cobrará por esto?
10. El coste total y de producir x unidades de un cierto bien es una función lineal. En una ocasión, se hicieron 100 unidades con un coste de 200 u.m, y en otra se hicieron 150 unidades por 275 u.m. Hallar la ecuación lineal para el coste total en términos del número x de unidades producidas.
11. El gasto C de un hogar en bienes de consumo está relacionado con el ingreso familiar y de la manera siguiente: Cuando los ingresos son de 1000 Euros se gastan 900, y cada vez que los ingresos aumentan en 100 Euros los gastos lo hacen en 80 Euros. Suponiendo que la relación entre ingresos y gastos es lineal, hallar la función que las describe.
12. Hallar las raíces enteras de las siguientes ecuaciones: a. x3 −4x2 + x +6=0 b. x4 +2x3 −3x2 −4x +4=0 c. x5 −5x4 −6x3 + 38x2 −43x + 15 = 0 d. x4 −13x2 + 36 = 0 13. La población de una ciudad de 5000 habitantes crece a razón de un 3% anual. Determinar una ecuación que proporcione la población después de t años a partir de ahora y encontrar la población dentro de 3 años.
Gráfica de una función de varias variables
Solución
Para hallar el dominio de recuerde que el argumento de una raíz cuadradadebe ser positivo o cero :Lo cual corresponde al interior de un círculo de radio 3, como se muestra en lafigura 1.Figura 1: dominio de
Jorge Luis González Rodríguez calculo vectorial
56 Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma forma que lo hacemos con las funciones de una variable Suma y resta: Producto: Cociente: La función compuesta dada por se define solamente si es una función de dos variables y una función de una única variable. En este caso Para todo par en el dominio de . Por ejemplo, la función Puede verse como la composición de la función de dos variables y la función de una variable
Una función que puede expresarse como suma de funciones de la forma (donde es un número real, son enteros positivos) se conoce como función poli nómica de dos variables. Por ejemplo, la funciones una función poli nómica. Y una función racional es el cociente de dos funciones poli nómicas.
Dominio y gráfica de funciones
En esta sección estudiaremos funciones reales de varias variables reales. Cantidades de la vida cotidiana o económica o ciertas cantidades físicas dependen de dos o más variables. El volumen de una caja, V, depende del largo, x, del ancho, y, y de z la altura de la caja. Los costos de una empresa que fabrica dos tipos de artículos dependen de 1 q la cantidad de artículos de tipo I y 2 q la cantidad de artículos de tipo II que produce. La temperatura que tiene un gas depende del volumen que ocupa y de su presión.
Normalmente no se específica cual es el dominio de la función. Cuando éste es el caso tenemos que considerar el dominio implícito. El dominio implícito de una función de dos variables es el conjunto más amplio de ),( xy donde tiene sentido evaluar la fórmula, y el resultado es un número real. Muchas veces este dominio se representa gráficamente. En el caso de dos variables la representación es una región en el plano.
APLICACIONES
Suponga que estamos en la situación de una empresa que elabora dos productos A y B. Podemos considerar la función de costos conjuntos),( 12 qqC que representa los costos totales de producir 1 q unidades del producto A y 2 q unidades del producto B. De manera similar podemos definir la función de ingresos conjuntos),( 12 qqI y de utilidad conjunta ),( 12 qqU . El siguiente ejemplo ilustra una situación en que es fácil determinar estas funciones.
Ejemplo
Una pastelería produce chocolate blanco y chocolate oscuro. El costo de material y mano de obra por producir un kilo del chocolate blanco es 6 UM y el del oscuro
Jorge Luis González Rodríguez calculo vectorial
57 es 5UM. Suponga que la empresa tiene costos fijos semanales de 1200UM. a) Encuentre el costo semanal como función de la cantidad de kilos de chocolates de cada tipo producido a la semana. b) Suponga que la pastelería vende el kilo de chocolate blanco a 10UM y el oscuro a 8UM. Obtenga la función utilidad mensual como función del número de kilos de cada tipo producidas y vendidas a la semana.
Función de utilidad de consumo. (Satisfacción al consumo)
La función de utilidad de consumo, denotada por ),( xyu cuantifica el nivel de satisfacción o utilidad que un consumidor tiene al adquirir x unidades de un producto y de otro producto. Muchas veces se está interesado en todas las posibles combinaciones de compras que producen el mismo nivel de satisfacción 0 c . En nuestra terminología si tenemos la función),( xyuz ) cuya representación gráfica es una superficie en 3 R , nosotros sólo estamos interesados en la traza con el plano 0 cz . Esta curv
curva de indiferencia. Ejemplo
Suponga que la función de utilidad de consumo de dos bienes para un cliente está dada por xy xyu 2). El cliente ha comprado 5 unidades del bien X y 4 del bien Y. Represente geométricamente otras posibilidades que tenía el cliente para tener el mismo nivel de satisfacción o de utilidad en su compra.
satisfacción o de utilidad en su compra. Derivadas parciales
Suponga que tenemos una función f en dos variable x y y. Si dejamos una variable fija, por ejemplo la x, asumiendo un valor a y variamos la y, podemos ver en cierta manera que tenemos una función de una sola variable dada por ),()( , el resultado es la derivada parcial de f con respecto a la variable y en ),( ya . En este caso la notación empleada está dada bien por ),( yaf y o por la notación de Leibniz:
Jorge Luis González Rodríguez calculo vectorial
58
Espacio tridimensional. Coordenadas cartesianas.
Una vez que se ha especificado una unidad de medida, un número x ∈ R puede
ser usado para representar un punto en una línea, un par (x,y) ∈ R2 se puede usar para representar un punto en un plano.
De manera análoga, un triple (x,y,z) ∈ R3 se puede usar para representar un punto en el espacio tridimensional. Tomamos un punto fijo cualquiera O, llamado origen, y tres planos distintos, mutuamente perpendiculares, que pasan por O. Los planos se intersecan en pares en tres rectas (ejes) mutuamente perpendiculares que pasan por O llamadas X, Y y Z. Para hacer la repre- sentación en un plano podemos trazar el eje Y y el eje Z de frente y la parte positiva del eje X se representa en una dirección aproximadamente sur-oeste, para simular profundidad (perpectiva). Dibujamos (x,y) en el plano XY y, desde este punto, dibujamos un segmento paralelo al eje Z y orientado de acuerdo al signo de z y de longitud |z|, como se muestra en la figura (2.1, b). Si tiene conexión a Internet, puede hacer clic en la figura, esto lo llevará a una página Web con un ‟applet‟ con el que se podrá hacer una idea más clara.
Curvas y superficies en R3
Nos interesan las superficies de ecuación z = f(x,y), es decir, las superficies formadas por los puntos (x,y,z) que satisfacen la ecuación z = f(x,y) o también en la forma F(x,y,z) = 0.
A veces decimos “superficie de ecuación (explícita) z = f(x,y)” o “superficie de ecuación (im- plícita) F(x,y,z) = 0”. Como sugiere el ejemplo 5, un bosquejo de una superficie se puede hacer con un conjunto de curvas; a estas curvas se les llama „trazas‟ o „cortes verticales y horizontales‟. En esta sección vamos a ocuparnos con superficies simples: Planos, superficies cilíndricas y su- perficies cuádricas.
Curvas en el espacio
Una manera de describir una curva en el plano XY es por medio de su ecuación cartesiana F(x,y) = c. Por ejemplo, una circunferencia de radio a tiene ecuación: x2 + y2 = a2. Desde este punto de vista, una curva C definida por esta ecuación es un conjunto de puntos, a saber,
C = {(x,y) ∈ R2 | F(x,y) = c}
Las curvas en R3 podrían ser definidas por un par de ecuaciones (como
Jorge Luis González Rodríguez calculo vectorial
59 Por ejemplo, una circunferencia centrada en el origen y de radio a en el plano XY: x2 + y2 = a2; z = 0.
Otra manera de definir una curva es como el lugar geométrico de un punto en movimiento, r(t)es la posición del punto en el instante t. La curva es descrita por una función r(t) de parámetro t que devuelve valores en R2, si es una curva plana, o en R3 si es una curva en el espacio. Por ejemplo r(t) = (acost, asent,0); t ∈ [0,2π] es una parametrización de una circunferencia, cen- trada en el origen, de radio a en el plano XY.
Planos
Posiblemente los planos son las superficies más sencillas de dibujar. La ecuación carte- siana de un plano es ax + by + cz = d con con a2 + b2 + c2 6= 0 (se prohíbe el caso a = b = c = 0). Para realizar la representación gráfica de un plano Π nos basamos en el hecho de que si P,Q son dos puntos en este plano, entonces la recta (o cualquier segmento de ella) que contiene a estos puntos, está en el plano. En la práctica necesi- tamos al menos dos segmentos de recta para dibujar una parte del plano, mediante un triángulo o un paralelogramo.
Planos de ecuación cartesiana con dos variables ausentes. Las variables ausentes indican que están multiplicadas por cero en la ecuación cartesiana y, por tanto, pueden tomar valores arbitrarios. Por ejemplo el plano 0• x+0•y+z =2 es el plano z =2.
Derivadas parciales.
El concepto de función derivable no se puede extender de una forma sencilla para funciones de varias variables. Aquí se emplea el concepto de diferencial de una función en un punto para describir el comportamiento de una función en dicho punto, jugando un papel análogo al de la derivada en el caso de una variable. Para funciones de una variable ser derivable equivale a ser diferenciable. En el caso de varias variables la dentición de derivada se restringe al caso de derivadas parciales.
Derivadas parciales (de campos escalares de dos variables) Sea A = [a1,b1] × [a2,b2] un rectángulo de R2, es decir, [a1,b1] × [a2,b2] =
Jorge Luis González Rodríguez calculo vectorial
60 (x,y) ∈ R2 : x ∈ [a1,b1], y ∈ [a2,b2]o
y sea f una función
f : A ⊆ R2 −→ R Sea (x0,y0) un punto perteneciente a (a1,b1) × (a2,b2) (es decir, al interior de A). Fijando cada una de las variables se obtienen dos funciones de 1 variable:
Sea A = [a1,b1] × [a2,b2] un rect´angulo de R2, es decir, [a1,b1] × [a2,b2] =
n
(x,y) ∈ R2 : x ∈ [a1,b1], y ∈ [a2,b2]o y sea f una función
f : A ⊆ R2 −→ R Sea (x0,y0) un punto perteneciente a (a1,b1) × (a2,b2) (es decir, al interior de A). Fijando cada una de las variables se obtienen dos funciones de 1 variable: Fijado y0 ∈ [a2,b2], podemos definir la función fy0 : [a1,b1] −→ R, fy0(x) = f(x,y0).
Dada una función f : A ⊆ R2 −→ R y un punto (x0,y0) interior de su dominio A puede ocurrir, (a) que no existan las rectas tangentes en TODAS las direcciones (ejemplo: cono) o (b) que s´ı existan las rectas tangentes en TODAS las direcciones. En este segundo caso, puede ocurrir, (b.1) que no estén todas las rectas tangentes en un mismo plano (superficies regladas), o (b.2) que si estén todas las rectas tangentes en un mismo plano.
En el último caso (existen las rectas tangentes en TODAS las direcciones y están todas en un mismo plano), a ´este plano se le llama plano tangente a f en el punto (x0,y0), y puede verse que su ecuación es
z = f(x0,y0) + D1f(x0,y0)(x − x0) + D2f(x0,y0)(y − y0)
La existencia de las derivadas parciales en un punto o, más a un, de todas las derivadas direccionales, no implica la continuidad de la función en ese punto. Ejemplo: f(x,y) = xy2 x2+y4 si (x,y) 6= (0,0) y f(0,0) = 0. Existen todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua.
Jorge Luis González Rodríguez calculo vectorial
61
DERIVADAS DIRECCIONALES; VECTOR GRADIENTE
Derivada de una función en una dirección dada.
Sea f(x,y) una función definida en un dominio D incluido en R2.
Dado un vector unitario v, la derivada de f en un punto p, en la dirección de v, se