Antologia de Calculo Vectorial (Pag 69-95)Imprimr

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Jorge Luis González Rodríguez calculo vectorial

1 Tecnológico de Estudios Superiores de Valle de Bravo

Carrera: Ingeniería eléctrica

Asignatura: Calculo vectorial

Nombre del docente: Ing. Roque Matías López

Antología de la primera unidad

Por:

González Rodríguez Jorge Luis

Grupo 301

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2

Visión

Mantener a la carrera de ingeniería eléctrica del tecnológico de

estudios superiores de valle de bravo en la preferencia de la

sociedad como formara profesionistas integrales comprometidas con

el desarrollo tecnológico y sustentable.

Misión

Satisfacer las necesidades de la sociedad comprometidas con la

formación de ingenieros eléctricos emprendedores, capaces de

responder a las expectativas del entorno social y laboral mas

exigentes, a través de un compromiso con el desarrollo tecnológico y

sustentable.

Objetivo

Formar profesionistas competentes en ingeniería eléctrica con

capacidad creativa emprendedora de análisis y liderazgo y capacidad

de trabajo en equipo, que realiza actividades de diseño, adaptación y

transferencias para resolver problemas del área de su competencia y

atender las necesidades de su entorno con una conciencia social y in

comportamiento con el desarrollo tecnológico sustentable en el

entorno nacional e internacional.

Competencia especifica a desarrollar en el curso

Conocer los principios y técnicas básicas del cálculo en varias

variables para interpretar y resolver modelos que presentan

fenómenos de la naturaleza en las cuales interviene más de una

variable continua.

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3

Temario

Unidad I. algebra de vectores

1.1 Definición de un vector en R2, R3 y su interpretación geométrica

1.2 Introducción a los campos escalares

1.3 La geometría de las operaciones vectoriales 1.4 Operaciones con vectores y sus propiedades 1.5 Descomposición vectorial en tres dimensiones 1.6 Ecuaciones de rectas y planos

1.7 Aplicaciones físicas y geométricas

Unidad II. Curvas en R

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y ecuaciones paramétricas

2.1 Ecuación paramétrica de la línea recta

2.2 Curvas planas

2.3 Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y su representación grafica 2.4 Derivada de una función dada paramétricamente

2.5 Coordenadas polares

2.6 Graficacion de curvas planas en coordenadas polares

Unidad III. Funciones vectorial de una variable real

3.1 Definición de función vectorial de una variable real

3.2 Graficacion de una curva de una función del parámetro t 3.3 Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades 3.4 Integración de funciones vectoriales

3.5 Longitud de arco

3.6 Vector tangente, normal y binomial 3.7 Curvatura

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Unidad IV. Funciones reales de varias variables

4.1 Definición de una función de varias variables 4.2 Grafica de una función de varias variables 4.3 Curvas y superficies de nivel

4.4 Derivadas parciales de funciones de varias variables y su integración

geométrica

4.5 Derivada direccional

4.6 Derivadas parciales de orden superior

4.7 Incrementos, diferenciales y regla de la cadena 4.8 Derivación parcial implícita

4.9 Gradiannte

4.10 Campos vectoriales

4.11 Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física 4.12 Valores externos de funciones de varias variables

Unidad V. Integración

5.1 Introducción

5.2 Integral de línea

5.3 Integrales iteraría dobles y triples

5.4 Aplicaciones a áreas y solución de problemas 5.5 Integración doble en coordenadas polares 5.6 Coordenadas alindricas y esféricas

5.7 Aplicación de la integración triple en coordenadas cartesianas,

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Jorge Luis González Rodríguez calculo vectorial 5

Datos escalares

 Peso: 73 kg  Longitud: 1.67 metros  Talla: 32 cm  Calzado: 27 cm

 Nivel de estudios: superiores

 Edad: 21 años

 Tipo de sangre: "o" positivo

 Sexo: masculino

 Temperatura corporal: 36. 5 °C

Lista de cotejo

Producto a evaluar Lista de datos

Actividad I. datos escalares

No Características del producto a evaluar Valor % Cumplió

1 La entrega fue realizada en el plazo

acordado 2

2 El tema considera el significado, finalidad

de cada tipo de conocimiento. 2

3 Incluye campos de acción de cada

conocimiento 3

4

La información está encargada de forma lógica y permite una lectura rápida y comprensiva.

3

Magnitudes vectoriales

Son las que necesitan elementos vectoriales para poder bien estructurados y bien definidos con esto nos referimos a un vector.

Un vector es un segmento orientado que posee cuatro elementos fundamentales, estos son:

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6

 Dirección

 Sentido

 Modulo

La fuerza es la típica magnitud vectorial, los que nos dice que cuando una fuerza se aplica a un objeto, es necesario saber su punto de aplicación, su dirección y sentido con congruentes a un cuerpo.

Otras magnitudes son:

 Velocidad

 Aceleración

 Cantidad de movimiento

 Aceleración angular

 Los factores en la energía eléctrica

Nota:

Por tanto, los vectores se representan gráficamente por segmentos acabados en una punta de flecha. Queda determinado su módulo por la longitud del segmento; su dirección por la recta a que pertenece; y su sentido por la punta de la flecha. Al origen del vector se le llama punto de aplicación.

Los vectores en general pueden ser:

 Libres.- Sin localización especifica en el espacio. Un vector libre puede trasladar su origen a cualquier punto del espacio, siempre que conserve su módulo y sentido y mantenga paralela su dirección. Ej. Momento de un par.

 Deslizantes.- Sin localización especifica a lo largo de una recta dada. Un vector deslizante solo puede trasladar su origen a lo largo de su recta de aplicación. Ej. la fuerza aplicada a un sólido.

 Fijos.- Un vector fijo es el de origen fijo. Ej. la intensidad del campo gravitatorio en un punto dado.

Comparativamente pueden ser:

 Vectores equipolentes.- Son los que tienen igual módulo, la misma

dirección o direcciones paralelas y el mismo sentido. La equipolencia es una relación de equivalencia, que establece una partición del conjunto de los vectores en clases de equivalencia.

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7

 Vectores iguales.- Son los que tienen la misma magnitud, dirección y

sentido.

 Vectores equivalentes.- Son los que producen el mismo efecto.

Atendiendo a lo que representan pueden ser:

 Vectores polares.- Son los que representan magnitudes físicas

relacionadas con una traslación, como la velocidad lineal por ejemplo.

 Vectores axiales.- Son los que representa magnitudes físicas ligadas a

una rotación, como el vector velocidad angular.

Algebra de vectores

1.1 definición de un vector en R2, R3 y su interpretación geométrica.

Un vector es un objeto matemático con dirección y magnitud. Las palabras vectores se refiere a los elementos de cualquier R. en R1= R es el vector de un punto que llamamos escalar. En R2 es el vector es la rama de la forma ( x,y) en R3el vector en la forma (x1.x2,x3).

En R2

La suma de los vectores se define por: sean a y b vectores en R2, entonces:

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Para la resta

Si v y w son dos vectores cualesquiera, entonces la diferencia de w con respecto a v se define como:

V-W= Vt(-W)

V-W = vt (-W)

Por ejemplo: 7- 5= 7+(-5)= 2

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Jorge Luis González Rodríguez calculo vectorial 9 Ejemplo: vx= cos 43 (40) vx= 29.54 N vy= sen 43 ( 40 N) vy= 27.27 N √ R= 39.999 N

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Regla del sentido

Nota: elementos del cálculo vectorial

Cuando un campo vectorial representa la fuerza, la integral de línea de un campo vectorial representa el trabajo realizado por una fuerza en movimiento a lo largo de un camino, y bajo esta interpretación, la conservación de la energía se exhibe como un caso especial del teorema fundamental del cálculo.

Los campos vectoriales útil se puede considerar como la representación de la velocidad de un flujo de movimiento en el espacio, y esta intuición física conduce a nociones tales como la divergencia (que representa la tasa de variación del volumen de un flujo) y curvatura (que representa la rotación de un flujo).

En coordenadas, un campo vectorial en un dominio en el n -espacio de dimensión euclidiana se puede representar como un vector de función con valores que asocia una n -tupla de números reales a cada punto del dominio. Esta representación de un campo vectorial depende del sistema de coordenadas, y hay una bien definida la ley de transformación al pasar de un sistema de coordenadas a otro.

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Trazar un sistema de coordenadas derecho y localizando los puntos.

a) (3,4,5) b) (-3,4,5) c) (3,-4,5) d) (3,4,-5) e) (-3,-4,5) f) (-3,4-5) g) (3,,-4,-5) h) (-3,-4,-5) i) (-3,0,0) j) (3,0,3) k) (0,0,-3) l) (0,3,0)

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12 Trazar los siguientes vectores

a) (3,6) b) (-4,-8) c) (-4,-3) d) (-5,-4) e) (3,0) f) (3,4,5) g) (3,3,0)

Nota: Suma de vectores

La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma:

Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo.

Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la "saliente", del paralelogramo que puede formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal representa la resta de dichos vectores.

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Nota: Procedimiento Gráfico

Para sumar dos vectores de manera gráfica utilizaremos la denominada Regla del paralelogramo, consistente en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos por el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de dibujar la diagonal de ese paralelogramo, como podemos ver en el siguiente dibujo:

Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es trasladar el segundo vector a sumar de tal manera que el origen de éste, coincida con el extremo del primer vector, y la suma la obtendremos dibujando un vector que vaya desde el origen del primer vector hasta el extremo del segundo, de la siguiente manera:

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14 Hay que tener muy presente lo siguiente: vectores en la misma dirección se suman (tal y como ya hemos visto en la sección de la suma de vectores), pero vectores con sentidos opuestos se restan (tal y como se puede ver en el apartado correspondiente a la resta de vectores). A continuación tenemos un ejemplo de suma y resta de vectores.

V+W= (V+W)+(V2+W2)

√

√ R=2√

1.-Así por ejemplo si V=(1,-2) y W=(7,6) entonces quiero el resultado

V+W = (v+w , V2+W1)

V+W = (1+7,-2+6) V+W =(8,4)

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Jorge Luis González Rodríguez calculo vectorial 15 2.- V=(1,-3,2) y W = (4,2,1) entonces V+W V+W =(1+4)(-3+2)(2+1) V+W=(5)(-1)(3) V+W=(5,-1,3) 3.- 2v 2(1) 2(-3)2(2) 2v= (2,-6,2) -w= (4, 2,1) (-4,-2,-1) 4.- Si V-W= (1-4)(-3-2)(2-1) V-W= (-3,-5,1)

Algunas veces un vector se coloca del modo que su punto inicial no este en el origen, si el vector p1,p2 tiene como punto inicial a p1(x, y ,z) y como punto terminal p2(x ,y ,z) entonces podemos decir que p1,p2 se obtienen del punto inicial

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Jorge Luis González Rodríguez calculo vectorial 16 Expresión P1, p2= OP2-OP1= (X2, Y2, Z2)-(X, Y, Z) =(X2-Y2, Y2-Y, Z-Z) Ejercicios

Las componentes del vector V= P1 P2 con punto inicial P1 = ( 2, -1 , 4) y punto

terminal P2 = (7, 5, -8) son:

P1 P2= oP - oP = (7, 5, -8) - (2, -1, 4) = (7 - 2, 5 + 1, - 8 -4 ) = (5, 4, -12)

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Norma de un vector: si U y W son vectores en el espacio bidimensional y en el

espacio tridimensional y K y L son escalares, entonces se cumplen los siguientes relaciones. a) =U + V = U + V b) =U + 0 = O + U = U c) =( u + V ) + W = Vt ( V + W ) d) =V + ( -U) = 0 e) =K ( l u) = (Kl) U f) = K ( U + V ) = K U + K u g) = ( K + l ) u = K u + kl h) = 1u = U

Nota: Un vector es un elemento de un espacio vectorial del que, en ocasiones, especialmente en física y geometría, interesa conocer su longitud. Para ello se hace necesario definir un operador norma que determine la longitud o magnitud del vector bajo consideración ya que este acto, pese a lo que pudiéramos creer, no es un problema trivial; especialmente desde la aparición de las geometrías no euclídeas para las que aparece, asociada al concepto de longitud, la noción de geodésica.

Teorema 3.2.1

La longitud de un vector "u" a menudo se denomina norma de u y se denomina

||u||=√

||u||= √

Un vector de norma 1 se denomina vector unitario

Si P (X,Y,Z) y P (X,Y,Z) so dos puntos en el espacio tridimensional, entonces la distancia de entre dos puntos es la norma del vector p1p2 ya que p1p2=(x2+x1,y2-y1,z2-z1) se concluye que todos los términos se elevan al cuadrado y se le saca raíz cuadrada.

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18

Ejemplo:

La norma del vector U= (-3,2,2)

||u||=√

||u||=√ ||u||= √

La distancia entre dos puntos P (2,-1.-5) y P (4,-3,1)

√( ) ( ) ( ) √ √ √ Encuentra la norma de V a) v= (4,3)= √ =√ =√ =25 b) v=(2,3)= √ √ √ c) v=(-5,0)= √ √ d) v=(2,2,2)= √ √ √ e) v= ( -7, 2, -1)= √ = 3√

Encuentra la distancia entre p1p2

a) p1= (3,4) y p2= (5,7)= √( ) ( ) =√

b) p1= (-3, 6) p2= (-1, -4)= √( ) ( ) = 2√

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Jorge Luis González Rodríguez calculo vectorial 19 a. || U + V || = || (2+1) (-2,-3) (3+4)= 3, -5, 7 =√ = √ b. || U || + || V || = √ = √ = √ √ _{√ ( )} _√ √ || | | || √ ( ) √ √√ √ _√√

Producto punto de vectores

Sea un vector u y v dos vectores diferentes de cero en el espacio bidimensional o tridimensional y suponer que estos vectores se colocan del modo en que sus puntos iniciales coinciden. Por el angulo entre UyV se entiende el angulo teta determinado po UyV que satisface 0es myor que teta y teta es igual a 3.14159.

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Ejercicio

El Angulo entre los vectores U= ( 0, 0, 1) y V = (0, 2, 2) y el ángulo es de 45° √ √

√ √ Calculo del ángulo igual de cero entonces la formula es: U x V = || u || || V || Cos del ángulo

Producto cruz de vectores

Si U = (v1, v2, v3,) y V (v1, v2, v3) son vectores en el espacio tridimensional entonces el producto cruz es U x V es el vector definido por:

U x V = (U2 v3 - U3 v3 - U3 v1 - u1 v3, v1 v2 - u2v1)

Teorema

Si U, V y W son vectores en el espacio tridimensional entonces tenemos las siguientes ecuaciones. a) U ( U x V) = 0 b) V (U x V) = 0 c) || U x V ||2 = || U ||2 °|| U || - ( U V)2 d) U x (U x V) = ( U W)v - ( U V) W e) (U x V) x W = ( U W) V - (V W) V P ( X, Y, Z)

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21 Nota: El producto cruz o producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:

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UNIDAD II

CURVAS

PLANAS,

ECUACIONES

PARAMÉTRICAS

Y

COORDENADAS POLARES

Curva: es el caso límite de poligonal en que los saltos discretos de los segmentos

son infinitesimales.

La recta secante de una curva es la que une dos puntos opuestos de la curva separándolos en una distancia finita. El orden de una curva es el número máximo de puntos de curva con una secante. En la figura se muestra una curva de cuarto orden.

La recta tangente a una curva en un punto en el límite o que tiende la secante cuando los puntos de corte tienden a confundirse.

De esta forma nos dice que la tangente puede ser la primera especie cuando el punto de tangencia está quieto y el otro se aproxima al primero, de segunda especie cuando los dos puntos se aproximan simultáneamente hacia el de tangencia.

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23

NOTA:

ECUACIÓN PARAMÉTRICA DE LA LÍNEA RECTA

La recta constituye una parte fundamental de las matemáticas. Existen numerosas formas de representar una recta, lo que incluye tanto la forma paramétrica como la vectorial. Un espacio tridimensional puede ser utilizado para determinar una ecuación vectorial que denote una línea recta. El parámetro es sencillamente una variable cuyo objetivo principal es describir una relación particular con la ayuda de los parámetros.

Por tanto, una ecuación paramétrica es una ecuación que está basada en una variable en particular. Una ecuación paramétrica, en términos generales, se conoce también como representación paramétrica. Ejemplo: Considere la ecuación x = 2 + 3t. En esta ecuación, t denota el parámetro y la ecuación se

Ecuaciones paramétricas de algunas curvas planas y su representación grafica.

Consideremos un ejemplo con el fin de encontrar una ecuación paramétrica para una recta entre los puntos (−1, 3) y (1, 1).

Paso 1: De los puntos dados en el enunciado, elija uno como punto inicial. Consideremos a (−1, 3) como punto inicial.

Paso 2: Ahora, tomemos las coordenadas x para los rangos indicados. Es posible observar que −1 está a 2 unidades de distancia del 1. Por tanto, x = −1 + 2t

Paso 3: Del mismo modo, teniendo en cuenta las coordenadas y para los rangos indicados, es posible ver que el 3 está a −2 unidades de distancia del1. Por tanto, y = 3 - 2t.

Por consiguiente, las ecuaciones paramétricas para la recta entre los puntos (−1, 3) y (1, 1) son x = −1 + 2t e y = 3 - 2t. Otra forma de ecuación paramétrica en el campo del cálculo vectorial se denomina ecuación vectorial. El cálculo de la ecuación vectorial se basa en el concepto del cálculo de la ecuación paramétrica Por ejemplo: Suponga que queremos encontrar una ecuación vectorial para una línea entre los puntos (−1, 3) y (1, 1).

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24 Se procede de la siguiente manera:

Paso 1: De los puntos dados en el enunciado, elija uno como punto inicial. Consideremos a (−1, 3) como punto inicial.

Paso 2: Un vector de dirección es calculado. Es el vector que muestra movimiento desde el punto inicial hasta el punto final. Ahora, con el fin de alcanzar al punto (1, 1), debemos mover a x e y a 2 y −2 unidades, respectivamente. Por tanto, el vector de dirección viene a ser (2, −2).

Paso 3: Por consiguiente, la ecuación vectorial toma la forma de: (−1, 3) + (2, −2) t.

La principal diferencia entre la ecuación paramétrica y la vectorial de la recta es el hecho de que con la ayuda de la ecuación vectorial de la recta, la forma del vector es conocida, mientras que la forma paramétrica ayuda a conocer las coordenadas reales del punto.

Circunferencia

Sea la circunferencia de centro en O y radio a. sean además M(x , y ) un punto de la curva

y

se tiene como ecuaciones paramétricas de la circunferencia:

m x=a cos (teta) y=a sen (teta)

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25

Cicloide

Es la curva descrita por un punto fijo de una circunferencia que rueda sin resbalar,

a lo largo de una recta fija.

De igual manera sean el radio de la circunferencia fija de centro O, b el radio de la circunferencia menor, de centro O, que rueda permaneciendo siempre tangente a la circunferencia mayor, M el punto fijo de la circunferencia menor que describe la hipocicloide, y T el punto de tangencia.

Astroide

En los astroides nos dice que si los radios de la circunferencia que intervienen en la generación de la hipocicloide son inconmensurables, la curva no vuelve a pasar por el punto inicial A. pero si, los radios a y b son conmensurables, resulta una curva cerrada.

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26 En el caso particular de b=(1/4)a. se obtiene una curva a la cual llamamos astroide.

Las ecuaciones paramétricas de esta curva se deducen de las de hipocicloides, sustituyendo b por (1/4) a y después reduciendo nos queda:

X= a cos 3 (teta); y= sen 3 (teta)

Las cuáles son las ecuaciones paramétricas de la astroide.

Curva plana

Nos enuncia que si f y g son funciones continúas de t un intervalo I, las ecuaciones X= f (t) e Y=g (t)

De igual forma se denomina ecuaciones paramétricas y t se llama el parámetro. El conjunto de puntos (x, y) obteniendo cuando t varia en el intervalo I a lo cual llamamos a la grafica a la ecuaciones paramétricas.

El par formado por las ecuaciones paramétricas y su grafica recibe el nombre de curva plana y esta denominada por la letra C.

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27

Ecuación vectorial de una recta  (x , y)=(p1.p2)+ t (v1,v2)

 (x, y) cualquiera de los puntos infinitos de una recta.

 (p1, p2) coordenadas de los puntos conocidos

 T parámetro

 (v1, v2) coordenadas- componentes del vector director

Ejemplo:  (x, y) = (2, 3) + t(4, 5)  T= 0  (x, y) = (2, 3)+ 0(4, 5)  X=2 y=3 Ejemplo:  (x, y) = (2, 3) + t(4, 5)  t=1  (x, y) = (2, 3)+ 1(4, 5)  (x, y) = (2, 3)+ (4, 5)  (x, y)= ( 6, 8 ) Ejemplo:  (x, y)= (2, 3) + t(4, 5)  T=2  (x, y) = (2, 3)+ 2(4, 5)  (x, y) = (2, 3)+ (8, 10)  (X, y)= (10, 13)

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28

Nota:

La ecuación que representa una curva plana se basa enteramente en el sistema de coordenadas. Algunas de las ecuaciones de las curvas planas con el sistema de coordenadas incluyen:

 Polar, f(r, θ) = 0

 Rectangular, f(x, y) = 0

 Paramétrica, x = f(t), y = g(t)

 La creación de curvas planas puede efectuarse a través de curvas de

contorno o nivel para una función de 2 variables.

 Una función de dos variables generará un gráfico triple ordenado en 3D (x,

y, z). Aquí z = f (x, y).

 Una ecuación algebraica también puede ayudar a generar una curva plana.

 Una ecuación algebraica es aquella ecuación en la cual sólo algunas de las

operaciones están involucradas, lo que incluye la suma, resta, división, multiplicación, hasta las potencias fraccionarias o integrales y la extracción de la raíz.

 Una curva Plana Algebraica forma también una categoría importante en el

concepto de curvas planas.

 En el caso que la ecuación Cartesiana que esté definiendo la curva sea

algebraica, entonces se dice que la curva es una curva algebraica.

 Cuando el grado de la curva algebraica es mayor que dos, en ese caso, la

curva algebraica se conoce como curva de niveles superiores.

 El grado está asociado con todas y cada una de las curvas algebraicas y,

puede calcularse mediante la determinación del número total de intersecciones de una recta genérica y en una curva.

 Junto con las curvas planas algebraicas, otro tipo de curva plana

comúnmente estudiada son las curvas suaves.

 Una curva suave puede definirse como una curva situada en el plano

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29

CURVAS EN R2 Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS Ecuación paramétrica en la línea recta

Expresión matemática

[

Se va a partir de la ecuación vectorial (x, y)= (p1, p2)+ t (v1, v2)

Formula

(x, y)= (p1, p2) + t (v1, v2) por lo tanto (x, y)= ( p1+ t v1, p2 + t v2)

Entonces para que esta igualdad se cumpla [

Aquí se obtienen las expresiones

Ejemplo:

[

Damos los valores a >> t = 0 >>

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30

Ecuación continúa de la recta

Por lo tanto

Decimos entonces que: por deducción

v1= 2 v2= 3

El vector director = v= (2, 3) P= (-3, 1)

Obtenga la ecuación cartesiana de la curva definida por las ecuaciones paramétricas x= 2t -3 y= 4t -1

( )

Y= 2x ´+5

Obtenga una ecuación cartesiana de la gráfica de las ecuaciones paramétricas. X= 2 cos t y Y= 2 cos t

X= 2 cos t X2= 4 cos 2 t Y= 2 sen t

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Jorge Luis González Rodríguez calculo vectorial 31 Y2= 4 sen 2 t Donde: 0 >t< π X2 + y2 =4 cos 2 t sen2 t X2 + y2= 4 (cos 2 t sen2 t) X2 + y2= 4

Considere las ecuaciones paramétricas X= cosh + senh t

X2= cosh2 t X2 + y2 =cosh - senh t Y= sen t X2 - y2 =1

Y= senh2

La derivada de una función paramétricamente

(32)

32

Derivada paramétrica

Sea la función paramétrica Y= g (t)

Donde el parámetro es "t" Derivada

Dy/dx = ( dy / dx) / (dx / dt)

Donde:

Dy / dy es la derivada de "y" con respecto a "t" Dx/ dt es la derivada de "x" con respecto a "t"

Ejercicio: Y= t2 + 3 X= sen ( t + 2 ) =

Ejercicio:



X= t

2 + 1 Y= t2 + 2t  X= 4- t2 Y= t2 + 4 t  X= - 2 t Y= 2 t + 4

(33)

33

Coordenadas polares y graficas polares

(x, y) ( r, teta) Rx= R cos (teta)

Ry= Rsen (teta)

(2, 4) ( √ ) √ √ √ √ √ √ √ √ ₍ √ ) Nota: Coordenadas polares

Un sistema de coordenadas bidimensional también es conocido como sistema de coordenadas polares. En tales sistemas de coordenadas, cada uno de los puntos situados sobre un plano particular se determina con respecto a un ángulo de dirección fija y a una distancia fija del punto. El punto fijo se conoce como Polo y un rayo en una dirección particular que se origine del polo se conoce como eje polar. La distancia fija se conoce como radio o coordenada radial y el ángulo de dirección fija se conoce como ángulo polar o coordenada angular.

En general, el radio está representado por „r‟, lo cual convierte a la coordenada radial y al ángulo polar mediante t, o a veces mediante, lo cual convierte las coordenadas polares o las coordenadas angulares. Estos ángulos polares se calculan en radianes o grados. Un valor positivo del ángulo polar sugiere que fue calculado en sentido contrario a la dirección del eje correspondiente.

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34 Se mide en el sentido contrario a las manecillas del reloj desde el primer cuadrante o eje x

Una coordenada polar también puede convertirse en una coordenada Cartesiana correspondiente, por ejemplo

x = r cos

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35

Ejercicio

Localice cada uno de los siguientes puntos que tienen los conjuntos dados coordenadas polares. a) (2, 1/4π) b) (5, 1/2 π) c) (1, 2/3 π) d) (3, 7/6 π) e) (4, -1/3 π) f) (5/2, - π) a) (2, 0.7852) b) (5, 1.5705) c) (1, 2.094) d) (3, 3.6645) e) (4, -1.0488) f) (5/2, -3.14159) d c b a c g

Para encontrar el modulo se necesita la siguiente formula

√

Al dividir miembro a miembro las ecuaciones de (1) se tiene

(36)

36 La figura a muestra el punto cuya representación en coordenadas cartesianas es ( √ ) para obtener las coordenadas polares ( ) donde r >0 y 0< 2π, se aplican (2) y (3): √(√ √ √ ₍ √ ) R= (2. 30°)

NOTA: GRAFICACION DEL PLANO POLAR DE UNA CURVA

Las curvas polares, a diferencia de las curvas algebraicas, son definidas principalmente en términos de su ángulo, este es .

Un polo está situado en un lugar de manera tal que el valor de es siempre cero para todos los valores de r.

Por lo tanto, graficar una función polar es diferente que graficar una función algebraica. El pre-requisito fundamental para graficar una función polar es un sistema de coordenadas polares.

Esta gráfica contiene los puntos de la forma (r, ), los cuales en conjunto forman la gráfica de la función dada.

Como sabemos que un gráfico polar contiene puntos de la forma (r, ), deberíamos asegurarnos de que esté expresado en términos de grados o en radianes, y también de que todos los puntos estén en una de estas formas. Con el fin de convertir los grados en radianes, multiplique la cantidad dada por / 180.

Mientras se grafica una función polar hay ciertas cosas que son necesarias a tener en cuenta. Algunos de ellos son:

a. Muchas de estas curvas son de forma simétricas tales como los cardiodes. Por lo tanto, en lugar de trazar los valores de iguales a cero a 360, sólo los valores hasta 180 puede ser encontrados y el gráfico restante puede ser trazado con simetría.

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37 b. Seleccione los valores de que hagan el valor de r máximo, mínimo o

cero. Esto se hace para encontrar los puntos de intercepción.

c. Como ejemplo, para una función, r = 4 sin ( ), sustituyendo el valor de con cero, haría el valor de r igual a cero. Por lo tanto, el punto en el gráfico se convierte en (0, 0) el cual es un punto de intercepción. Los pasos para graficar una función polar son los siguientes:

a. Determine el valor de la función para los distintos valores de. Por lo general, la función de entrada se calcula para / 6, / 4, / 3, / 2, 2 / 3, 3 / 4, 5 / 6 y.

b. Puede utilizar una calculadora gráfica para calcular del valor de la función.

c. Note si la función está mostrando la simetría para los valores más altos de. Si no es así, calcule la salida de la función para los valores más altos de también.

d. Dibuje una tabla para todos los valores de y para el valor correspondiente de la salida de la función.

(38)

38

Unidad III. Funciones vectorial de una variable real

Objetivo

Reconocer una función vectorial en distintos contextos y manejarla como un vector.

Función vectorial

Esta idea se puede extender al respecto al espacio tridimensional, donde las coordenadas (x, y, z) de la posición de la partícula en cualquier tiempo t están dadas por 3 ecuaciones paramétricas.

X= f (t) y=g (t) z=h (t)

Para cualquier posición de la partícula existe un vector y los puntos terminales de las representantes de posición de estos vectores determinan una curva recorrida por la partícula. Esta idea nos conduce a considerar una función cuyo dominio es un conjunto de números reales tal que su contra dominio es un conjunto de vectores. A esta función se le llama función vectorial.

Sean f, g y h funciones reales de la variable real t. entonces se define la función vectorial R por medio de.

R (t) = f (t)t + g (t) j + h (t) k

Donde t es cualquier número real del dominio común de f, g y h. en el plano se define una función vectorial R mediante

R (t) = f (t) i + g (t)j

Donde t pertenece al dominio común de f y g. Ejemplo:

Sea R la función definida por ( ) √ + (t - 3)-1

j + ln + k

Si ( ) √ g (t)= ( t - 3)-1 y h (t)= ln t, entonces el dominio de R es el conjunto de valores de t para los cuales f (t), g (t) y h (t) están definidos.

Como f (t) esta definida para t >=2, g (t) esta definida para todo numero real diferente de 3, y h (t) esta definida para todos los números positivos, el dominio de R es { t <=2, t dif3}

(39)

39 Ejemplo:

Dada la ecuación

R (t)= f (t) i + g (t) j + h (t) k

Se denomina ecuación vectorial la cual describe la curva C definida por las correspondientes ecuaciones paramétricas; esto es, si una curva puede definirse por medio de una ecuación vectorial o por un conjunto de ecuaciones paramétricas. Si en (3), h (t)=0 para todo t del dominio de R, entonces la curva yace en el plano xy y está definida por los correspondientes ecuaciones paramétricas.

Ejemplo: la curva plana definida por la ecuación vectorial R (t)= (4-t2) i + (t2+4t) j

También puede definirse por las ecuaciones paramétricas X= 4-t2 y y=t2+4t

En el ejemplo 5 de la sección 9.1 se dibujo esta curva obteniéndose la grafica mostrada en la figura siguiente.

Una ecuación vectorial de una curva

proporciona una dirección a la curva del punto. Eso si se piensa que la curva es descrita por una partícula, se puede considerar la dirección positiva a lo largo de la curva como la dirección en la que partícula se mueve a medida que el parámetro aumenta.

En tal caso, t puede ser una medida del se llama vector posición. Al eliminar t de las ecuaciones paramétricas se obtienen 2 ecuaciones en x, y, y z denominadas ecuaciones de la curva c.

La grafica de cada ecuación cartesiana es una superficie, y c es la intersección de las dos superficies. La ecuación de cualquier superficie que contienen a C puede considerarse como la que define a C.

(40)

40 Ejercicio

Dibujen la curva que tienen las ecuaciones vectoriales R (t)= 2 cos (t)i + 2 sen (t)j + k para cuando 0<=4(3.14159). ( ) X= 2 cos t Y= 2 sen t Z= t t X Y Z 0 2 0 0 1/2π 0 2 1/2 π Π -2 0 Π 3/2 π 0 -2 3/2 π 2 π 2 0 2 π 4/2 π 0 2 4/2 π 3 π -2 0 3 π 7/2 π 0 -2 7/2 π 4 π 2 0 4 π X= 2 cos t Y= 2 sen t Z= t X2 y2 = 4 cos2 + 4 sen 2 t X2 y2 = 4

(41)

41

Anexo;

Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector

Donde x(t), y(t) y z(t) son funciones llamadas funciones componentes de variable real del parámetro t.

Así, se dice que F es continua, derivable o integrable, si lo son x(t), y(t) y z(t). La función vectorial también se puede encontrar representada como ( ). Por tanto, se llama función vectorial a cualquier función de la forma

= , ……….𝑃𝑙 𝑜 = , ,h ….𝐸 𝑐 𝑜

DOMINIO

El dominio de una función vectorial está dado por la intersección de los dominios de cada una de las funciones componentes, es decir:

𝑆 = 1 ,2 ,3 …… 𝐷 =𝐷 1∩𝐷 2∩𝐷 3∩……..𝐷

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

La representación grafica de una función vectorial es aquella curva C que describen los puntos finales de los vectores que forman parte de la función para toda t que pertenece al dominio de la función

.

(42)

42 = 1 = 2( ) = 3( )

Las cuales se llaman ecuaciones parametricas de C. Al asignar números reales a t se elimina el parámetro y se obtienen ecuaciones cartesianas de c.

Utilizando coordenadas cartesianas, una función vectorial A( t ) es un vector dependiente de la variable escalar t y definido en el espacio x, y, z, o sea:

A( t ) = Ax( t )i + Ay( t )j + Az( t )k

Por lo tanto todos los conceptos y definiciones de las funciones ordinarias son aplicables a las funciones vectoriales haciéndolo a cada una de las componentes del vector.

Anexo

Dada una función vectorial 𝐹 =( , , ( )

Esto significa que cuando t tiende al valor de a, el vector 𝐹 ( ) se acerca más y más al vector ℓ . Para que exista el límite de la función, debe existir el límite de

cada una de las funciones componentes.

FUNCIONES VECTORIALES

(43)

43 ello que todas las propiedades de F, como veremos, reposan en las propiedades de las funciones componentes.

Ejemplos:

representa una recta en Rn.

es una función vectorial que representa una circunferencia de

Centro cero y radio uno enR2.

La imagen F ( I ) es un subconjunto de Rn y determina una curva en él. Es claro que una curva en Rn puede estar determinada por diferentes funciones vectoriales, por ejemplo:

obstante,

Aunque es un abuso, para simplificar la escritura, identificaremos la curva con la función que la define.

Operaciones algebraicas:

Definimos las siguientes operaciones entre funciones vectoriales:

(44)

44

Continuidad de funciones vectoriales

De la Definición (2.2.1) se deduce, inmediatamente, que F es continua en a si y sólo si las funciones componentes de F son continuas en a. Además:

lim

f 1( t k ), ..., lim

t k a

f n( tk ) ). (2.2.1)

Derivabilidad de funciones vectoriales

La derivada de funciones vectoriales se define de la misma manera como la conocemos para funciones de variable y valor real. Así:

tangente a la curva definida por F y que pasa por el punto F( a ). Si pensamos que F( t ) determina el desplazamiento de una partícula en el espacio Rn a medida que

Producto punto

Hasta el momento se han definido las siguientes operaciones con vectores adición, sustracción y multiplicación de un vector por un escalar. El resultado de cada uno de estas operaciones es un vector. A continuación se definirá la operación en la multiplicación de dos vectores. Denominado producto punto la cual tiene como resultado un escalar y no un vector.

(45)

45 El producto punto de dos vectores A y B, destacados por A y B se define como sigue.

i) Si A= (a1, a2) y B= (b1,b2 ) son vectores de v2 entonces A-B = a1 b1 + a2 b2

ii) si tuviese dos o tres Ejemplo:

Si A= (2, -3)

A*B = (2)(1/2) + (-3)(4) =13

Producto cruz

El producto cruz, operación vectorial para vectores de v3, tienen las aplicaciones en la geometría, el movimiento planetario, la electricidad y el magnetismo.

Integración de funciones vectoriales.

La siguiente definición es una consecuencia lógica de la definición de derivada de una función vectorial

La integral indefinida de una función vectorial r (t) es una familia de funciones vectoriales (las primitivas de r) que difieren unas de otras en un vector constante C. Por ejemplo, si r (t) es una función vectorial tridimensional, entonces al hallar su integral indefinida obtenemos tres constantes de integración.

CÁLCULO DE LA PRIMITIVA PARTICULAR DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

Tal como ocurría para funciones con valores reales, podemos aislar una sola primitiva de entre la familia de funciones vectoriales que constituye la integral indefinida de una función vectorial r´.

(46)

46

Longitud de arco.

Supongamos que la curva C en el espacio tiene la ecuación vectorial r(t) = (f(t), g(t), h(t)), , donde f‟, g‟, h‟ existen y son continuas en el intervalo [a, b]. La longitud de arco de C en [a, b] es:

Por ejemplo, la longitud de arco de la hélice dada por,

Una curva C puede representarse mediante funciones vectoriales de diversas maneras según sea la elección del parámetro. Por ejemplo

Representan la misma curva; los parámetros se relacionan por t = ew.

Para el movimiento a lo largo de una curva, el parámetro más conveniente es el tiempo t. Sin embargo, para el estudio de las propiedades geométricas de las curvas, el parámetro adecuado es el “parámetro longitud de arco s”.

Definición: Sea C una curva suave dada por la función vectorial r(t) en un intervalo [a, b] La función longitud de arco s

Nota:

Vector tangente normal y binormal

Sea C una curva en el espacio definida por la función r (t); según hemos visto, dr/dt es un vector en la dirección de la tangente a C. Considerando al escalar t como la longitud de arco s medida a partir de un punto fijo de C de la curva dr/dt es un vector tangente a C y que llamaremos T como se observa en la figura de la derecha.

La variación de T respecto de s es una medida de la curvatura de C y vene dada por: la dirección de en un punto cualquiera de C es la correspondiente a la normal a la curva en dicho punto. El vector unitario N en dirección de la normal se llama normal principal a la curva.

El vector unitario B definido por el producto vectorial: , perpendicular al plano formado por T y N, se llama binormal a la curva C. Este sistema de coordenadas recibe el nombre de triedro intrínseco en el punto. Como a medida que varía s el sistema se desplaza, se le conoce con la denominación de triedro móvil.

(47)

47

DEFINICIÓN DE VECTOR TANGENTE UNITARIO

Sea C una curva suave representada por r en un intervalo abierto l. el vector tangente unitario T(t) en t se define como

Recordemos que una curva se dice que es suave en un intervalo si r´ es continua y no nula en dicho intervalo. Así pues, la suavidad es suficiente para garantizar que una curva posee vector tangente unitario en todos sus puntos.

Para una función con un vector de la forma, (x), un vector de la forma es llamado vector tangente en el caso de que esta función sea real y su magnitud no sea igual a cero. En esta situación, la tangente de la función dada (x) en un punto arbitrario es paralela al vector tangente, en ese punto. Aquí, con el fin de tener un vector tangente, 0 es un pre-requisito esencial. Esto es debido a que un vector de magnitud cero no puede tener dirección.

Un vector normal es algo similar a un vector unitario, suponga que para una función (x), (t) es el vector posición, entonces el vector normal para la función dada es definida como.

Un vector binormal es un producto cruz o producto vectorial del vector normal y del vector unitario normal. Suponga que para una función (x), (t) es el vector posición, entonces el vector binormal.

Como sabemos que tanto un vector unitario como un vector normal son vectores unitarios y que se encuentran perpendicular a la superficie dada, un vector Binormal es también un vector unitario que se encuentra normal a un plano o superficie dada. Este vector es normal a ambos, el vector unitario y el vector normal.

Curvatura

La medida en la cual se desvía un determinado objeto geométrico se conoce como curvatura. Existen básicamente dos tipos principales de curvatura: curvatura intrínseca y extrínseca. Para los objetos que se encuentran en un espacio diferente, en este tipo de enfoque que se relaciona con la curvatura del radio del círculo que traza el objeto correspondiente, se define una curvatura extrínseca. El círculo puede ser el ejemplo más sencillo de una curvatura extrínseca dado que encada punto de la circunferencia; la curvatura es igual al recíproco del radio. La

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48 curvatura intrínseca en la naturaleza es descrita por la variedad de Riemann en cada punto.

Una curvatura en un plano pertenece a una cantidad escalar, mientras que en 2D o 3D, la identidad de la curvatura es definida como un vector en el cual tanto la nitidez como la dirección de inclinación es considerada.

Una aplicación del parámetro longitud de arco consiste en el cálculo de la curvatura, la medida de cuán rápidamente se comba una curva. Por ejemplo, en la figura 11.31 la curva se comba más de prisa en P que en Q, y decimos que la curvatura es mayor en P que en Q. Se puede hallar la curvatura calculando la magnitud de la tasa de cambio del vector tangente unitario T(t) con respecto a s.

DEFINICIÓN DE CURVATURA

Sea C una curva suave (en el punto o en el espacio) dada por r(s), donde s denota el parámetro longitud de arco. Se define la curvatura de C en s como:

Un círculo tiene la misma curvatura en todos sus puntos y es igual al inverso del radio. Esto es, un círculo de radio grande tiene curvatura pequeña, mientras que un círculo de radio pequeño posee una gran curvatura.

Curvatura

Sea C una curva con curvatura k en un punto P. El círculo que pasa por P con radio r = 1/k se llama el círculo de curvatura, si el centro del círculo está en la concavidad de la curva y tiene una recta tangente común con la curva y el punto P. El radio de dicho círculo se denomina radio de curvatura en P y su centro se llama centro de curvatura. El círculo de curvatura permite estimar gráficamente la curvatura k en un punto P. Usando un compás, se traza un círculo que se adapte a la curvatura en P por el lado cóncavo, como indica la figura 11.35. si ese círculo tiene radio r, cabe estimar la curvatura como k = 1/r.

Anexo. Aplicaciones

Las funciones vectoriales son aquellas cuyo dominio es un conjunto de números reales tales que su contradominio es un conjunto de vectores.

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49 A continuación mencionaremos las aplicaciones de las funciones vectoriales, estas se aplican en:

* Geometría * Física * Ingeniería

Las aplicaciones geométricas incluyen la longitud de arco, vectores tangentes, normales a una curva y curvatura.

En las aplicaciones de física e ingeniería se emplean los vectores para estudiar el movimiento de la partícula a lo largo de una curva, al cual se le denomina movimiento curvilíneo.

Unidad IV .Definición de una función de varia variables

La explicación y uso del mundo natural y social han planteado, sin embargo, la necesidad de considerar funciones de más de una variable. Por ejemplo, considere el volumen de un cilindro circular recto:

V = r 2 h

El volumen depende de r y de h. Por eso se puede escribir V ( r, h) = r2h

Es decir, como una función de dos variables r y h.

V : (r,h) r2 h

Por ejemplo: V (1,2)= 1 2. 2 = 2

Los ejemplos son muchísimos: V (x, y, z ) = x

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50 Es una función de tres variables: x, y, z.En general, se puede hablar de funciones de varias variables.

Funciones de dos variables

En el caso de las funciones de 2 variables es posible obtener unarepresentación gráfica, al igual que se hace con las funciones de una variable.Sin embargo, la representación se hace en el espacio (en 3 dimensiones) y noen el plano. En lugar de dos ejes de coordenadas x, y:se tienen 3 ejes de coordenadas x, y y z:Por ejemplo, si

z = f (x) =

Se obtiene la mitad de la superficie de la esfera de radio r = 3, y con centroen el punto origen (0, 0,0) (figura 9.14).

o

Nota: La ecuación z2= 9 - x 2-y2, o bien:

z2+x2+y2= 3 2

Brinda la superficie de la esfera completa.Otro ejemplo: sea f(x,y) =

Esto representa un plano paralelo al plano xy (constituido por todos los puntos (x,y,1)).Es interesante señalar que a las funciones de varias variables se les puede aplicar también los métodos del Cálculo Diferencial e Integral, con algunas modificaciones.

Dentición y clasiﬁcación de funciones reales de una variable real

Dentición 1 Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A como máximo un único elemento, llamado f (x), de un conjunto B. Por ejemplo, el área de una círculo es una función de su radio:

A = πr2

Si C representa la temperatura en grados centígrados, sabemos que existe una relación con la temperatura medida en grados Fahrenheit, F :

(51)

51 C =5/ 9(F −32)

En cada uno de estos ejemplos se describe una regla por la cual, dado un número (r,F,t,x...) se asigna otro número (A,C,w,y,...). En cada caso diremos que el segundo número es función del primero.

Por lo general, consideraremos funciones para las cuales los conjuntos A y B son conjuntos de números reales, R, pero estos conjuntos pueden estar formados por elementos muy diferentes, como por ejemplo números enteros, Z, o naturales, N, matrices, polinomios...

Al subconjunto de A formado por aquellos elementos para los cuales existe una imagen se le denomina dominio de la función, Dominio(f).

En esta situación a x se le denomina variable independiente, o argumento def, yay se le denomina variable dependiente, ya que su valor depende del valor de x. Si se deﬁne una función por medio de una fórmula algebraica, adoptamos el convenio de que el dominio consta de todos los valores de la variable independientes x para los cuales la fórmula tiene sentido (a menos que se mencione explícitamente otro).

Toda función dada por una ecuación de la forma y = f (x) tiene una representación gráfica. La gráfica de f consta de todos los puntos (x,y) en el plano de coordenadas, tales que y = f (x) y x está en el dominio de f. Gráfica de f = {(x,f (x)) | x ∈ Dominio(f)}

Funciones polinómicas

Una función P (x) recibe el nombre de polinomio si: P (x)=anxn + an−1xn−1 + ... + a2x2 + a1x + a0

Donde n es un entero no negativo que representa el grado del polinomio y los números a0,a1,a2,...,an−1,an son constantes reales denominadas coeﬁcientes del polinomio. Dado cualquier polinomio su dominio siempre es todo R.

Funciones lineales

Un polinomio de primer grado es de la forma P (x)=ax + b

(52)

52 y establece una relación lineal entre las variables x e y = P (x). El número a se denomina pendiente de la recta y nos indica cuanto varía la variable y cuando la variable x aumenta una unidad.

P (x + 1)−P (x)=a(x + 1) +b−(ax + b)=ax + a + b−ax−b = a mientras que b representa el corte de la recta de ecuación y = ax + b con el eje Y. Cuando consideramos una función lineal, la razón de cambio o tasa de variación de la función cuando x aumenta h unidades es un múltiplo de la pendiente de la recta a: P (x + h)−P (x)=a(x + h)+b−(ax + b)=ax + ah + b−ax−b = ah

Distintos modos de calcular la ecuación de una recta

Primero Sabemos que por dos puntos distintos pasa una única línea recta. Supongamos que conocemos dos puntos P =( xp,yp) y Q =( xq,y q) y queremos saber la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos. La ecuación de la recta sabemos que será de la forma:

y = ax + b

De manera que si esos dos puntos pasan por la recta deberán satisfacer la ecuación anterior:

yp = axp + b (1) yq = axq + b

Si restamos las dos ecuaciones obtenemos: yp −yq = a(xp −xq)

Despejando a tenemos: a = yp −yq xp −xq

Ahora que conocemos el valor de a podemos despejar b de cualquiera de las ecuaciones de (1) b = yp −axp = yp −µyp −yq xp −xq¶xp

Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos P = (3 ,5) y Q = (2 ,3). Aplicando las fórmulas anteriores tenemos que la pendiente de la recta es:

a =5−3 3−2=2 b =5 −2•3=−1

(53)

53 Segundo Supongamos a continuación que sabemos cual es la pendiente de la recta, a, y un punto que pasa por ella P =( xp,yp) de modo que sólo nos falta por conocerb, pero sabemos que P pertenece a la recta, por tanto satisface:

yp = axp + b

de aquí podemos despejar b : b = yp −axp

de manera que la ecuación de la recta es: y = ax +(yp −axp)

Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto P = (3 ,5) y tiene de pendiente a =3 . Tenemos entonces que

b =5−3•3=−4

Por tanto, la ecuación de la recta es: y =3x−4

Recordad que toda recta cuya pendiente sea cero es paralela al eje OX, por ejemplo y =3

El dominio de deﬁnición de cualquier función logarítmica es el conjunto de los números reales estrictamente positivos, x>0, y es continua en todos los puntos de su dominio. ¿Cuál es el conjunto imagen de la función logarítmica?

Composición de funciones Consideremos la función f : A → B y la funcióng : B → C. Si el conjunto imagen de f esta contenido en el dominio de g :

img (f) ⊂ Dom(g)

Podemos entonces formar la función composición (g◦f):A → C, de manera que (g◦f)(x)=g (f (x))

Supongamos que

f (x)=x2 y g (x)=x +1 , tenemos entonces que: (g◦f)(x)=g (f (x)) = g¡x2¢= x2 +1 (f ◦g)(x)=f (g (x)) = f (x + 1) = (x + 1) 2 (f ◦f)(x)=f (f (x)) = f¡x2¢= x4 (g◦g)(x)=g (g (x)) = g (x + 1) =x +2

(54)

54 A continuación damos un ejemplo de aplicaciones de las funciones definidas por secciones en el campo de los derivados financieros, muy utilizados en los mercados bursátiles. Se define una opción de copra (call option), como aquel contrato que da a su poseedor el derecho pero no la oblicación de comprar determinado subyacente en una fecha futura (fecha de vencimiento de la obligación) a un precio pactado con anterioridad (precio de ejercicio o Stricke). Vamos a calcular la función de pagos de una opción de compra que vence en el momento T y con precio de ejercicio X. Denotaremos por ST al precio de mercado del subyacente en el momento T. Supongamos que en el momento T el precio de mercado ST es menor que el precio de ejercicio. En tal caso al poseedor de la opción no le interesará ejercerla y por tanto su ganancia a través de la opción será cero. Sin embargo cuando el precio de mercado está por encima del precio de ejercicio de la opción el poseedor de la opción la ejercerá y comprará el subyacente a través de la opción de compra en lugar de ir al mercado, en ese caso su ganacia será la diferencia entre el precio de mercado y el precio de ejercicio del subyacente (ST −X).

Del mismo modo se deﬁne una opción de venta (put option), como aquel contrato que da a su poseedor el derecho pero no la obligación de vender determinado subyacente en una fecha futura, a un precio pactado con anterioridad. ¿Cuál sería la función de pagos de una opción de venta que vence en el momento T y con precio de ejercicio X?

Ejercicios:

Calcular el dominio de las siguientes funciones: a. f (x)= 1 x2+1 b. f (x)=√1−x c. f (x) = ln(x2 −4) d. f (x)=√x2 −6x e. f (x)= 3x−4 x2−6x−7 f. f (x)=qx−1 x+3 g. f (x) = ln(x2 −9) h. f (x)=e 1 x2+4 i. f (x)= x−1 x2−1 j. y =2x−1 k. y = √16−x2 l. y = 1 x2−2 m. y = lnx n. y = e 1 x−3 ñ. y = √x2 −1 2.

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55 Un negocio cuyo capital original es de 25.000 C=, tienes ingresos y gastos semanales de 6.500 =C y 4.800 C=, respectivamente. Si se conservan todas las ganancias, expresar el valor V del negocio al ﬁnal de t semanas, como una función de t.

3. Si una máquina de 30.000 C= se deprecia un 2% de su valor original cada año, determinar una función f que exprese el valor V de la máquina después que han transcurrido t años.

4. Supongamos que la función de demanda anual para que cierto actor protagonice una película es p = 1.200.000 q , donde q es el número de películas que protagoniza durante el año. Si el artista actualmente cobra 600.000 =C por película, ¿cuántas protagoniza cada año? Si quiere protagonizar cuatro películas por año, ¿cuánto cobrará por esto?

10. El coste total y de producir x unidades de un cierto bien es una función lineal. En una ocasión, se hicieron 100 unidades con un coste de 200 u.m, y en otra se hicieron 150 unidades por 275 u.m. Hallar la ecuación lineal para el coste total en términos del número x de unidades producidas.

11. El gasto C de un hogar en bienes de consumo está relacionado con el ingreso familiar y de la manera siguiente: Cuando los ingresos son de 1000 Euros se gastan 900, y cada vez que los ingresos aumentan en 100 Euros los gastos lo hacen en 80 Euros. Suponiendo que la relación entre ingresos y gastos es lineal, hallar la función que las describe.

12. Hallar las raíces enteras de las siguientes ecuaciones: a. x3 −4x2 + x +6=0 b. x4 +2x3 −3x2 −4x +4=0 c. x5 −5x4 −6x3 + 38x2 −43x + 15 = 0 d. x4 −13x2 + 36 = 0 13. La población de una ciudad de 5000 habitantes crece a razón de un 3% anual. Determinar una ecuación que proporcione la población después de t años a partir de ahora y encontrar la población dentro de 3 años.

Gráfica de una función de varias variables

Solución

Para hallar el dominio de recuerde que el argumento de una raíz cuadradadebe ser positivo o cero :Lo cual corresponde al interior de un círculo de radio 3, como se muestra en lafigura 1.Figura 1: dominio de

(56)

56 Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma forma que lo hacemos con las funciones de una variable Suma y resta: Producto: Cociente: La función compuesta dada por se define solamente si es una función de dos variables y una función de una única variable. En este caso Para todo par en el dominio de . Por ejemplo, la función Puede verse como la composición de la función de dos variables y la función de una variable

Una función que puede expresarse como suma de funciones de la forma (donde es un número real, son enteros positivos) se conoce como función poli nómica de dos variables. Por ejemplo, la funciones una función poli nómica. Y una función racional es el cociente de dos funciones poli nómicas.

Dominio y gráfica de funciones

En esta sección estudiaremos funciones reales de varias variables reales. Cantidades de la vida cotidiana o económica o ciertas cantidades físicas dependen de dos o más variables. El volumen de una caja, V, depende del largo, x, del ancho, y, y de z la altura de la caja. Los costos de una empresa que fabrica dos tipos de artículos dependen de 1 q la cantidad de artículos de tipo I y 2 q la cantidad de artículos de tipo II que produce. La temperatura que tiene un gas depende del volumen que ocupa y de su presión.

Normalmente no se específica cual es el dominio de la función. Cuando éste es el caso tenemos que considerar el dominio implícito. El dominio implícito de una función de dos variables es el conjunto más amplio de ),( xy donde tiene sentido evaluar la fórmula, y el resultado es un número real. Muchas veces este dominio se representa gráficamente. En el caso de dos variables la representación es una región en el plano.

APLICACIONES

Suponga que estamos en la situación de una empresa que elabora dos productos A y B. Podemos considerar la función de costos conjuntos),( 12 qqC que representa los costos totales de producir 1 q unidades del producto A y 2 q unidades del producto B. De manera similar podemos definir la función de ingresos conjuntos),( 12 qqI y de utilidad conjunta ),( 12 qqU . El siguiente ejemplo ilustra una situación en que es fácil determinar estas funciones.

Ejemplo

Una pastelería produce chocolate blanco y chocolate oscuro. El costo de material y mano de obra por producir un kilo del chocolate blanco es 6 UM y el del oscuro

(57)

57 es 5UM. Suponga que la empresa tiene costos fijos semanales de 1200UM. a) Encuentre el costo semanal como función de la cantidad de kilos de chocolates de cada tipo producido a la semana. b) Suponga que la pastelería vende el kilo de chocolate blanco a 10UM y el oscuro a 8UM. Obtenga la función utilidad mensual como función del número de kilos de cada tipo producidas y vendidas a la semana.

Función de utilidad de consumo. (Satisfacción al consumo)

La función de utilidad de consumo, denotada por ),( xyu cuantifica el nivel de satisfacción o utilidad que un consumidor tiene al adquirir x unidades de un producto y de otro producto. Muchas veces se está interesado en todas las posibles combinaciones de compras que producen el mismo nivel de satisfacción 0 c . En nuestra terminología si tenemos la función),( xyuz ) cuya representación gráfica es una superficie en 3 R , nosotros sólo estamos interesados en la traza con el plano 0 cz . Esta curv

curva de indiferencia. Ejemplo

Suponga que la función de utilidad de consumo de dos bienes para un cliente está dada por xy xyu 2). El cliente ha comprado 5 unidades del bien X y 4 del bien Y. Represente geométricamente otras posibilidades que tenía el cliente para tener el mismo nivel de satisfacción o de utilidad en su compra.

satisfacción o de utilidad en su compra. Derivadas parciales

Suponga que tenemos una función f en dos variable x y y. Si dejamos una variable fija, por ejemplo la x, asumiendo un valor a y variamos la y, podemos ver en cierta manera que tenemos una función de una sola variable dada por ),()( , el resultado es la derivada parcial de f con respecto a la variable y en ),( ya . En este caso la notación empleada está dada bien por ),( yaf y o por la notación de Leibniz:

(58)

58

Espacio tridimensional. Coordenadas cartesianas.

Una vez que se ha especiﬁcado una unidad de medida, un número x ∈ R puede

ser usado para representar un punto en una línea, un par (x,y) ∈ R2 se puede usar para representar un punto en un plano.

De manera análoga, un triple (x,y,z) ∈ R3 se puede usar para representar un punto en el espacio tridimensional. Tomamos un punto fijo cualquiera O, llamado origen, y tres planos distintos, mutuamente perpendiculares, que pasan por O. Los planos se intersecan en pares en tres rectas (ejes) mutuamente perpendiculares que pasan por O llamadas X, Y y Z. Para hacer la repre- sentación en un plano podemos trazar el eje Y y el eje Z de frente y la parte positiva del eje X se representa en una dirección aproximadamente sur-oeste, para simular profundidad (perpectiva). Dibujamos (x,y) en el plano XY y, desde este punto, dibujamos un segmento paralelo al eje Z y orientado de acuerdo al signo de z y de longitud |z|, como se muestra en la figura (2.1, b). Si tiene conexión a Internet, puede hacer clic en la figura, esto lo llevará a una página Web con un ‟applet‟ con el que se podrá hacer una idea más clara.

Curvas y superﬁcies en R3

Nos interesan las superﬁcies de ecuación z = f(x,y), es decir, las superﬁcies formadas por los puntos (x,y,z) que satisfacen la ecuación z = f(x,y) o también en la forma F(x,y,z) = 0.

A veces decimos “superficie de ecuación (explícita) z = f(x,y)” o “superficie de ecuación (im- plícita) F(x,y,z) = 0”. Como sugiere el ejemplo 5, un bosquejo de una superficie se puede hacer con un conjunto de curvas; a estas curvas se les llama „trazas‟ o „cortes verticales y horizontales‟. En esta sección vamos a ocuparnos con superficies simples: Planos, superficies cilíndricas y superficies cuádricas.

Curvas en el espacio

Una manera de describir una curva en el plano XY es por medio de su ecuación cartesiana F(x,y) = c. Por ejemplo, una circunferencia de radio a tiene ecuación: x2 + y2 = a2. Desde este punto de vista, una curva C deﬁnida por esta ecuación es un conjunto de puntos, a saber,

C = {(x,y) ∈ R2 | F(x,y) = c}

Las curvas en R3 podrían ser deﬁnidas por un par de ecuaciones (como