Definiciones básicas

En este apartado se presentan varias nociones básicas sobre la teoría difusa. No se incluyen definiciones más específicas, ya que éstas van a ser expuestas conforme vayan apareciendo, evitando cualquier anacronismo en el texto.

Conjunto difuso

Un conjunto es una colección de objetos con similares propiedades o aspectos generales, respondiendo a la tendencia del ser humano a agrupar los objetos para generalizar el conocimiento de los mismos mediante su clasificación. En la teoría clásica un objeto pertenece o no pertenece a un conjunto, ya que sus límites se hallan bien definidos. Por ejemplo, si se considera el conjunto de números [1,3], queda claro que el valor 2 pertenece al conjunto, mientras que el valor 5 no pertenece. La aceptación de la pertenencia se denota mediante el valor 1, y el rechazo mediante el valor 0, siendo ambos denominados como valores lógicos. En la siguiente figura se representa el conjunto clásico mencionado.

Figura 5.- Representación de un conjunto clásico

La noción básica de un conjunto difuso es la relajación de la definición de pertenencia, admitiendo la existencia de grados de pertenencia parciales, es decir, entre 0 y 1, aumentando el grado de pertenencia conforme se incrementa el valor. Un conjunto difuso queda caracterizado no sólo por los objetos que forman parte de él, sino por dichos objetos

0 1

mientras que uno clásico sería denominado como A. Por ejemplo, en el caso de un conjunto clásico que comprendiera los números naturales del 1 al 3, su notación algebraica sería la siguiente:

En el caso de que dicho conjunto se deseara denotar como difuso, su notación algebraica debería incluir el grado de pertenencia de cada uno de sus valores, de la siguiente forma:

Donde cada par de valores (x,y) simboliza el objeto del conjunto (x) y el grado de pertenencia del mismo (y). Como se aprecia en la notación previa, aunque el conjunto se haya denotado como difuso, es idéntico al clásico, ya que todos los valores de pertenencia son iguales a 1. Un conjunto difuso definido a partir del anterior podría ser el siguiente:

Gráficamente podrían representarse ambos conjuntos y de acuerdo a la siguiente figura:

Figura 6.- Representación de un conjunto cásico y otro difuso

Función de pertenencia

El concepto de función de pertenencia es clave en la teoría de los conjuntos difusos, ya que todas las operaciones que pueden realizarse sobre ellos se definen a través de sus

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0 1 2 3 4

funciones de pertenencia. La función de pertenencia de un conjunto difuso es una expresión matemática que relaciona los objetos pertenecientes al mismo, definidos en un espacio matemático X, con el espacio definido por el intervalo [0, 1] en el que se ubican los grados de pertenencia. Es, por tanto, la función que relaciona un elemento cualquiera de un conjunto difuso con el grado de pertenencia que le corresponde. La función de pertenencia se suele denotar con la letra griega µ, seguida de la letra del conjunto en forma de subíndice. Así pues, para un conjunto difuso à su función de pertenencia se denotaría como sigue:

Por ejemplo se presenta, como conjunto difuso, las alturas de agua estables para cierto dique de protección de materiales sueltos. De acuerdo a los análisis estructurales realizados para el mismo, se ha constatado que la estabilidad queda garantizada para alturas de agua por debajo de 4 metros, siendo aquellas superiores a 8 metros definitivamente inestables. Entre ambos valores no se puede determinar su estabilidad con seguridad, ya que depende de las características del material que forme el dique, de la correcta ejecución del mantenimiento y de características propias del flujo de agua. En base a dicha información se puede caracterizar la altura en función de la estabilidad del dique mediante el conjunto difuso “alturas estables”, mostrado en la siguiente figura.

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P e rt e n e n ci a Altura (m)

Alturas estables

La función de pertenencia del conjunto de alturas estables es la representación matemática de la línea mostrada en la imagen. Ésta se corresponde con una función definida a trozos, que es la tipología habitual que adoptan las funciones de pertenencia. Denominando al conjunto “alturas estables” como , siendo x la altura de agua, su

función de pertenencia se definiría de la siguiente forma:

Conjunto difuso normal

Un conjunto difuso cualquiera es considerado como conjunto difuso normal (normal fuzzy

set) si como mínimo uno de sus elementos presenta un valor de pertenencia igual a la

unidad. Es decir, se considera conjunto difuso normal a todo aquel cuyo máximo valor de su función de pertenencia µ sea igual a 1.

Nivel de credibilidad

El nivel de credibilidad es también conocido como grado de pertenencia o nivel de pertenencia, entre otros términos. Denotado con la letra griega α, es el valor que adopta la

función de pertenencia para cierto número xi. Así pues, dado un xi determinado, el nivel de

credibilidad α del mismo se define de la siguiente forma:

Subconjunto de nivel α

El subconjunto de nivel α de un conjunto difuso cualquiera Ã, también conocido como corte de nivel α (α-level cut), es el conjunto no difuso formado por todos los elementos que

pertenecen a à con un grado de pertenencia igual o superior a α, denotado como Aα y

definido como sigue:

Si el cumplimiento de la desigualdad debe ser estricto se habla de subconjunto de nivel α estricto. Por ejemplo, para un conjunto difuso definido según una función de pertenencia triangular con los vértices en los puntos (5, 0), (10, 1) y (15, 0), el subconjunto de nivel α=0.5 estaría formado por aquellos puntos de con un nivel de pertenencia igual o superior a 0.5,

lo que resultaría en el subconjunto B0.5 = [7.5, 12.5], como se muestra en la siguiente

imagen:

Figura 8.- Subconjunto de nivel α definido a partir de un conjunto difuso

Conjunto difuso convexo

Un conjunto difuso à es convexo si se verifica, para cualquier par de valores de x1, x2 X,

y para cualquier valor de λ [0, 1]; la siguiente ecuación:

Denominándose como estrictamente convexa si la desigualdad se verifica de forma estricta. La función de pertenencia de un conjunto difuso convexo no puede presentar saltos ni mínimos o máximos locales. Usualmente consisten en funciones con una parte creciente y otra decreciente con la posibilidad de zonas planas intermedias. Se habla entonces de función de pertenencia unimodal.

7.5 12.5 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Subconjunto de nivel α

Número difuso

Un número difuso es un caso especial de conjunto difuso, que se alcanza si se cumplen las siguientes propiedades:

 Está definido en el conjunto de los números reales.

 Es un conjunto difuso normal, siendo denominado el punto o intervalo en el cual

se alcanza el valor de pertenencia unitario como valor o intervalo modal.

 Es un conjunto difuso convexo.

Matemáticamente un número difuso à puede denotarse de la siguiente forma:

Un número difuso cumple que cualquier subconjunto de nivel α obtenido a partir del mismo queda definido por un único intervalo continuo. Para un número difuso se define el concepto de soporte como el subconjunto de nivel 0. Éste comprende el intervalo en el cual el número difuso presenta pertenencias no nulas. Un número clásico no es más que un número difuso pero con un soporte despreciable, ya que la teoría difusa engloba a la clásica. Por ello todos los números no difusos se pueden expresar de forma difusa. Posteriormente se van a presentar ejemplos en los que números no difusos van a ser definidos de forma difusa.