Introducción

La teoría de los conjuntos difusos es un intento de cuantificar información vaga o inexacta asignando valores numéricos a dicha inexactitud. En este caso el objetivo no es, como en la teoría clásica o cartesiana, conseguir reproducir la realidad con el mayor grado de exactitud posible, sino lograr una aproximación mucho más intuitiva y flexible a dicha realidad. Los conceptos básicos de la teoría difusa o fuzzy set theory fueron introducidos en 1965 por el matemático de origen iraní y profesor de la universidad de Berkeley (California) Lofti Zadeh (Bakú, 1921), mediante un documento titulado "Fuzzy sets” en la publicación “Information

and control”. La teoría de los conjuntos difusos es una extensión o generalización de la teoría

clásica de conjuntos. En un conjunto definido según la teoría clásica, un individuo, valor o concepto en general "pertenece" o “no pertenece" a un determinado conjunto. Por ejemplo, una persona cualquiera puede pertenecer o no al conjunto "individuos altos". Expresando en valores numéricos lógicos dicha pertenencia, a dicha persona le correspondería un valor "1" si pertenece al conjunto y un valor "0" si no pertenece.

En un conjunto definido según la teoría difusa la pertenencia o exclusión se relaja respecto a la clásica, permitiendo la pertenencia parcial a un conjunto. Un conjunto difuso no se limita a informar sobre si determinado individuo "pertenece" o "no pertenece" al mismo, sino que establece un grado de pertenencia o grado de membresía de dicho individuo a dicho conjunto. Por ejemplo, una determinada persona puede no pertenecer, pertenecer parcialmente (con un grado de pertenencia determinado), o pertenecer totalmente al conjunto "individuos altos". Expresando en valores numéricos lógicos dicha pertenencia, a dicha persona le correspondería un valor "1" si pertenece totalmente al conjunto, un valor "0" si no pertenece, y un valor entre 0 y 1 si pertenece parcialmente, siendo ese valor mayor conforme el grado de pertenencia aumente. Cabe reseñar que ello implica la posibilidad de definir, mediante la teoría difusa, un conjunto sin pertenencias parciales, idéntico a los definidos en la teoría clásica. Por esta razón se asume que la teoría de los conjuntos difusos es una generalización de la teoría clásica de conjuntos. Las

Figura 3.- Representación de un conjunto clásico (izquierda) y difuso (derecha)

Las representaciones mostradas se denominan funciones de pertenencia, por determinar el grado de pertenencia de un valor a un conjunto determinado. En un apartado posterior se van a definir éstas con mayor detalle. La teoría difusa tiene la capacidad de poder "capturar" la incertidumbre, ya que la definición de un conjunto difuso recoge una zona de incertidumbre representada por aquella en la que los valores de pertenencia varían entre 0 y 1. Ello es lo que permite que la teoría difusa sea capaz de representar conjuntos como "personas altas" o "números mucho mayores que 20" de forma más adecuada que la clásica, ya que permite trasladar la incertidumbre asociada al conjunto a su representación matemática. A continuación se representa el conjunto difuso “personas altas” anteriormente citado, indicando las áreas de certidumbre y las de incertidumbre. Se entiende que se refiere a seres adultos.

Figura 4.- Conjunto difuso “personas altas” con áreas de certidumbre e incertidumbre

En la figura se observa cómo existe un área de incertidumbre entre una altura de 150 y 200 cm, ya que en dicho intervalo no es posible establecer con exactitud si una persona es alta o si no lo es, sino que dependería, en este caso, del contexto en el que se ubique dicha

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

persona. Por ejemplo, en poblaciones pigmeas un individuo de 160 cm es considerado definitivamente como alto, mientras que en un equipo de baloncesto un jugador de 190 cm no puede ser considerado como tal. Dicha incertidumbre queda reflejada en el conjunto difuso en el intervalo entre 150 y 200 cm. Por debajo de 150 cm se considera que en ningún caso una persona puede ser alta, y por encima de 200 cm se considera que una persona es definitivamente alta.

Un aspecto importante es el hecho de que no se limita a capturar la incertidumbre, sino que la acota en la zona en la cual la función de pertenencia varía entre 0 y 1. Por ello la teoría difusa es capaz de representar la realidad con una aproximación más fiel que la teoría clásica, ya que muchas definiciones o afirmaciones que en la teoría clásica deben simplificarse para decir si "pertenece" o "no pertenece" a un conjunto, en la teoría difusa pueden representarse sin realizar esta simplificación, es decir, con una mayor fidelidad a lo que en realidad es el conjunto. En la imagen anterior esta ventaja resulta evidente sobre un conjunto clásico. Representar un conjunto como “personas altas” en la teoría clásica requiere necesariamente tomar la decisión de a partir de qué estatura considerar a alguien como “alto”, es decir, introducir una subjetividad, ya que se requiere una decisión por parte de un agente determinado. Ello lleva inmediatamente a las siguientes preguntas: ¿Por debajo de dicho valor todas las personas son igual de no altas? ¿Y por encima del mismo son todas igual de altas? Un conjunto clásico no es capaz de responder a estas cuestiones, pero uno difuso sí, como se aprecia en la figura anterior. A partir de ella se puede establecer que una persona que mida 180 puede ser considerada alta en mayor grado que una que mida 170, aunque en ambos casos el grado de pertenencia no es superior a la mitad, por lo que más bien se les podría considerar como no altos antes que altos. Por todo lo descrito la teoría difusa es una herramienta especialmente adecuada para tratar con la incertidumbre, no en el sentido de disminuir la misma sino en el de comprenderla, acotarla y poder trabajar con ella, con el fin de delimitar sus efectos y, por tanto, tenerla bajo control.

lingüísticas en conjuntos difusos que las representen fielmente. La barrera entre el lenguaje y la matemática es menor, por lo que se trata de una teoría que no requiere grandes conocimientos técnicos ni el dominio de complicadas operaciones para ser entendida o empleada, pudiendo ser capaz cualquier persona de expresar una regla difusa o un conjunto difuso recurriendo al lenguaje habitual.

La teoría difusa presenta, sin embargo, varios inconvenientes de no poca importancia. El primero de ellos se debe a que, si se compara con un planteamiento clásico equivalente, no proporciona unos resultados mejores. Es decir, si se parte de un dato sobre el que se tiene plena seguridad, y se quiere llegar a un resultado mediante un planteamiento clásico y su equivalente difuso, el resultado obtenido no va a ser mejor en el proceso difuso que en el clásico. Esta circunstancia ha provocado una especie de "estigmatización" de la teoría difusa en ciertos ámbitos, siendo vista ésta simplemente como una forma diferente de hacer las cosas, pero sin ganancia de calidad aparente. Un segundo defecto es provocado por el hecho de que se trata de un enfoque radicalmente distinto y opuesto a los anteriores. En muchos ámbitos la ciencia ha avanzado para aumentar la precisión, por lo que un enfoque que acepte la incertidumbre y la incorpore en los cálculos puede resultar chocante y, como tal, provocar reticencia a su uso.

La teoría difusa, así como su derivada lógica difusa, se ha venido empleando en los últimos años, siendo Japón el país donde su uso se halla más extendido, sobretodo en electrodomésticos y pequeña electrónica. Su uso en los sistemas de recursos hídricos es algo más tardío, aunque en la actualidad el interés por la lógica difusa en este campo es creciente, siendo aplicada cada vez en mayor medida en muchos aspectos (fiabilidad, caudales ecológicos, optimización bajo incertidumbre, etc.).