Como se puede observar en la ilustración 19, se da una idea de cómo la grilla sufrió la deformación al ser proyectada.
Ilustración 19: Comportamiento de la proyección de los paralelos. Fuente: propia. 4.741 4.151 3.562 2.975 2.390 1.806 1.224 0.643 0.064 -0.514 -1.090 -2.000 -1.000 0.000 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
53
N° MED_OFICIAL (m) ORIG_IGAC (m) Δ MED_OFICIAL - ORIG_IGAC (m)
1 18435.660 18435.617 0.043 2 18435.650 18435.617 0.033 3 18435.643 18435.617 0.026 4 18435.636 18435.617 0.019 5 18435.631 18435.617 0.014 6 18435.628 18435.617 0.011 7 18435.626 18435.617 0.009 8 18435.626 18435.617 0.009 9 18435.628 18435.617 0.011 10 18435.630 18435.617 0.013 11 18435.635 18435.617 0.018
Tabla 9: Deformaciones en los paralelos al proyectar la grilla a origen IGAC. Fuente: propia.
Se realizó una prueba de varianzas en excel a los resultados obtenidos de las diferencias en longitud de las dos proyecciones en estudio para comprobar que los datos no son iguales, se realizó la prueba para los datos resultantes de los paralelos y de los meridianos, las evidencias de las pruebas se observan en las tablas 10 y 11.
5.99 5.947
Media 5.9633 5.947
Varianza 6.24556E-05 0
Observaciones 10 10
Diferencia hipotética de las
medias 0
Grados de libertad 9
Estadístico t 6.52231946
P(T<=t) una cola 5.42992E-05
Valor crítico de t (una cola) 1.833112933
P(T<=t) dos colas 0.000108598
Valor crítico de t (dos colas) 2.262157163 Tabla 10: Prueba de varianzas a los meridianos.
54 . 4.732 4.741 Media 1.5129 1.5211 Varianza 3.107656322 3.108174544 Observaciones 10 10
Diferencia hipotética de las medias 0
Grados de libertad 18
Estadístico t -0.01040074
P(T<=t) una cola 0.495907984
Valor crítico de t (una cola) 1.734063607
P(T<=t) dos colas 0.991815969
Valor crítico de t (dos colas) 2.10092204 Tabla 11:Prueba de varianzas a los paralelos.
Fuente: propia.
7.8Comparación entre las Coordenadas Proyectadas de los Puntos muestrales del SPL Medellín Oficial y el SPL Origen IGAC.
los resultados obtenidos de las diferencias entre las coordenadas del SPL Medellín oficial y origen IGAC se encuentran en el anexo 3, de los resultados de la comparación se generaron unas isolineas que representan las diferencias entre las coordenadas.
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Ilustración 20: Puntos según la diferencia entre Medellín oficial y origen IGAC. Fuente: propia.
7.9 Deformaciones presentadas teniendo en cuenta los factores de escala.
Se tuvieron en cuenta tres criterios para determinar las deformaciones presentadas, en primer lugar, el factor de escala del punto de origen, en segundo lugar, el factor de escala puntual, y en tercer lugar la precisión relativa, se calcularon los factores de deformación (K) según la topografía y se determinaron las deformaciones de los puntos muestrales del área de estudio, las cuales se observan a detalle en el anexo 5, en la ilustración 21 se observa una clasificación según las deformaciones generadas.
56
Ilustración 21: Clasificación según deformaciones por altura. Fuente: propia.
7.10 Determinación de las tolerancias
Según como se expuso en la metodología, para hacer la determinación de las tolerancias se tuvo en cuenta el límite de percepción visual y la escala, como resultado, se obtuvo cada uno de los valores de tolerancia según la escala, como se muestra en la tabla 12. ESCALA TOLERANCIA 1:500 0.1 1:1000 0.2 1:2000 0.4 1:5000 1 Tabla 12: Tolerancias. Fuente: propia.
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7.11 Determinación del rango de altura en el que los SPL son funcionales según la escala
Aplicando los pasos expuestos en el punto 6.8 de la metodología se obtiene una tabla, que muestra para cada cota máxima y mínima de Medellín, cuantos SPL o planos de proyección local, se necesitaran según cada escala de representación para que cumpla las tolerancias, dicha tabla se observa a continuación.
ESCALA 1:500 1:1000 1:2000 1:5000 ΔH (Kh) 60 130 250 600 SPL1 1450 1510 1510 1510 SPL2 1510 1640 1760 2110 SPL3 1570 1770 2010 2710 SPL4 1630 1900 2260 SPL5 1690 2030 2510 SPL6 1750 2160 SPL7 1810 2290 SPL8 1870 2420 SPL9 1930 2550 SPL10 1990 SPL11 2050 SPL12 2110 SPL13 2170 SPL14 2230 SPL15 2290 SPL16 2350 SPL17 2410 SPL18 2470
Tabla 13: Rango de alturas de los SPL según tolerancias. Fuente: propia.
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7.12 Determinación de los factores de deformación de escala para cada SPL determinado según la altura.
Usando la formula, K = (R+H)/R, se obtienen cada uno de los factores de deformación (K) según la altura de los sistemas de proyección locales, que se obtuvieron en la tabla 11 y que se presentan en la tabla 13.
1:500 1:1000 1:2000 1:5000 SPL1 1.0002280859 1.0002375239 1.0002375239 1.0002375239 SPL2 1.0002375239 1.0002579730 1.0002768490 1.0003319042 SPL3 1.0002469619 1.0002784220 1.0003161742 1.0004262846 SPL4 1.0002564000 1.0002988711 1.0003554993 SPL5 1.0002658380 1.0003193202 1.0003948245 SPL6 1.0002752760 1.0003397693 SPL7 1.0002847141 1.0003602183 SPL8 1.0002941521 1.0003806674 SPL9 1.0003035901 1.0004011165 SPL10 1.0003130282 SPL11 1.0003224662 SPL12 1.0003319042 SPL13 1.0003413423 SPL14 1.0003507803 SPL15 1.0003602183 SPL16 1.0003696564 SPL17 1.0003790944 SPL18 1.0003885325
Tabla 14: Factores de escala según rangos de alturas. Fuente: propia.
7.13 Determinación de los SPL teniendo en cuenta las diferencias de longitud
Para el caso del plano de proyección oficial de Medellín, que es un caso particular de una proyección TM, que se conoce en algunos países como una local transversa de Mercator (LTM), se debe determinar la longitud adecuada para que se cumpla con la precisión y procurar que estas diferencias sean menores a la tolerancia requerida para la escala de representación.
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Para tal fin como se definió en la metodología haciendo la diferencia entre el K0 obtenidos de los PTL según altimetría y el K del punto más alejado de los puntos muestrales de la zona en estudio.
7.8 Definición de un SPL usando el Software Transgeolocal
Ilustración 22: Origen transgeolocal. Fuente propia.
Una vez realizada la transformación de coordenadas se obtienen las coordenadas Cartesianas Locales (t, u, v). Punto t u v dn 0 -12192.25 -7839.758 2507.23 954.174 1 -10346.04 -7839.507 2017.14 467.344 2 -8500.424 -7839.483 1757.04 209.969 3 -6655.112 -7839.586 1646.93 102.051 4 -4809.909 -7839.705 1596.88 53.659 5 -2964.773 -7839.865 1626.88 84.782 6 -1119.632 -7840.065 1736.94 195.433 7 725.594 -7840.455 2047.05 505.6 8 2571.077 -7841.022 2547.14 1005.213 9 4416.503 -7840.912 2547.21 1004.272 10 6261.977 -7840.805 2597.21 1052.728
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Además, el software muestra algunos parámetros para tener en cuenta cuando se esté eligiendo el punto que mejor represente el origen del Sistema de Proyección Local, como lo son:
Los valores máximos y mínimos de las coordenadas t y u para permitir el control de los límites del plano topográfico;
Se calculan además valores de control de calidad:
1 - El error absoluto al tomar la tangente por el arco, usando: ΔD = Dh ^ 3 / (3 * R ^ 2)
donde:
ΔD = error absoluto;
Dh = mayor coordenada, en valor absoluto, de las que aparecen en la pantalla; R = (M * N) ^ 0,5.
2 - El módulo del error relativo, usando:
ΔD (relativo) = Dh / ΔD 3 - El M = módulo de la escala, usando la siguiente fórmula:
M = Dh ^ 3 / (3 * R ^ 2 * 10 ^ -4)
Este módulo de escala indica la escala más grande (menor módulo) que se puede utilizar para que la representación del error corresponda a 0,1 mm. Así no habrá error en la representación gráfica al tomar la tangente por el arco.
4 - El módulo de la precisión planimétrica, Establece el módulo del error relativo debido a la reducción de la distancia al ser proyectada en el plano topográfico medio:
Módulo = R / CM
Donde R = Rayo medio = (M * N) ^ 0,5 y CM = al mayor desnivel entre el punto de origen y cualquier punto.
Ilustración 23: Ejemplo de los Parámetros para la elección del Punto de origen del SPL. Fuente: propia.
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8 ANALISIS DE LOS RESULTADOS
8.1 Análisis preliminar de áreas
Al realizar el análisis del porcentaje de área total donde el SPL cubre tanto en distancia como en altura, se presentaron las tablas del SPL Medellín oficial, y el de Bogotá PCS_BOG_Ant_Medellin, es importante resaltar, que no se presentó la tabla del SPL origen IGAC, ya que, los parámetros de cobertura en distancia (20 Km) y el altura (250m) aplicaban de la misma forma, teniendo en cuenta que el punto origen es el mismo y la altura medio es la misma de 1510 m.s.n.m., en este caso son consistentes.
Al observar tanto los mapas como las tablas, se puede entender la pertinencia del cambio de altura del SPL, Medellín hasta el 2008 había tenido como altura en sus planos de proyección 1600 m.s.n.m., pero, para el ultimo y actual SPL cambio la altura a 1510 m.s.n.m.
Teniendo un plano de proyección a los 1600m solo cubre el 69% del área declarada urbana y tan solo un 41% del área de intervención estratégica del POT y deja por fuera una parte importante y central de la ciudad, que tiene cotas por debajo de los 1475m, por toda la autopista norte desde la calle 58 hacia el norte, mientras que el plano de proyección a la altura de los 1510m tiene una cobertura del 71% en el área urbana y un 44% sobre las áreas de intervención estratégica.
8.2 Evaluación de los orígenes cercanos
La evaluación de los orígenes cercanos se hizo con la intención de determinar los posibles orígenes, que puedan proyectar las zonas en las cuales el SPL oficial no cumple en altura y de esta forma generar información cartográfica lo menos deformada posible.
San Antonio tiene alturas entre los 1630m hasta los 2020m, lo cual da como resultado que el 90% de esta área queda sin cobertura por altimetría del SPL oficial. Para el caso de Angelópolis se tuvo en cuenta porque su rango de altura va desde los 1767m a los 2017 y su alcance llega hasta la parte más suroriental de la ciudad incluido San Antonio, que puede ser suplida por este origen para cartografía, ya que cumple, tanto en altura como en distancia.
Para el caso de Guarne que también se tuvo en cuenta, cubre en distancia gran parte de la zona urbana y de las AIE, y este origen cubre un rango de altura desde los 1965m hasta los 2215m, toda la zona del área urbana nororiental que tiene cotas
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entre los 1660m y los 1870m, queda por fuera de la cobertura del SPL oficial, y guarne puede ser usado para la elaboración de trabajos topográficos con deformaciones aceptables, ya que el origen de Guarne cubre en distancia y altura esta zona, también se puede decir lo mismo para toda la franja occidental del área urbana y de las AIE que no quedan cubiertas por el origen Medellín 2010.
En cuanto al origen de Rionegro se tuvo en cuenta, porque cubre una parte importante de las AIE del POT que es susceptible a megaproyectos y por lo cual es importante poder contar en esa zona con un origen que tenga cobertura para representaciones cartográficas, que sirvan para proyectos a nivel de ingeniería.
8.3 Proyección de los meridianos en el SPL Medellín oficial
Es importante recordar que el SPL Medellín oficial usa una proyección Transverse_Mercator. Como se pudo apreciar en la tabla 4 de comparación entre la distancia de arco meridiano de la grilla y la distancia de cada segmento de meridiano en el anexo 4, al ser proyectada en el sistema oficial de Medellín, las distancias de cada meridiano crecen aproximadamente 5.966 m, pero no es constante en todos, ya que, en los meridianos 7 y 8, que es precisamente donde se encuentra ubicado el punto de origen, se mantienen constantes en un aumento de 5.956m con respecto al arco meridiano y a medida que se aleja de estos dos últimos van aumentando.
8.4 Proyección de los meridianos en el SPL en el origen IGAC
Este SPL a diferencia del oficial de Medellín usa una proyección cartesiana, es decir, un plano, los meridianos en esta proyección aumentan constantemente en comparación de los arco meridianos de la grilla, en 5.95 m.
8.5 Proyección de los paralelos en el SPL Medellín oficial
Como se pudo observar tanto en la tabla 7 como en la gráfica 6 y observarse a mayor detalle en el anexo 4, los paralelos se comportan en aumento a medida que se acercan al ecuador, es decir hacia el sur, y van aumentando en promedio en 0.58m uno del otro. En comparación con las distancias de los arco paralelos de la grilla inicial y observando la gráfica 7 hay una deformación máxima de 4.732 m
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menor que el de la grilla inicial en el primer paralelo, es decir, en el paralelo que se encuentra más hacia el norte y van aumentando hacia llegar a una diferencia de 0.056m en el paralelo 9 y entre el paralelo 10 y 11 la diferencia es negativa, es decir, que la distancia de los paralelos 10 y 11 es mayor que la distancia de los arco paralelos 10 y 11 de la grilla inicial.
8.6 Proyección de los paralelos en el SPL origen IGAC
Los paralelos en este SPL se comportan de la misma manera que en la proyección oficial de Medellín, es decir, aumentan su distancia a medida que se acercan al ecuador en 0.58m en promedio y alcanzan su máxima deformación en el paralelo que está más hacia el norte en 4.741m menor que el arco paralelo 1 de la grilla inicial y en el paralelo 11 que es, el que se encuentra ubicado en el sur, su deformación es de 1.09m mayor que este mismo arco paralelo de la grilla inicial.
8.7 Comparación entre los meridianos y paralelos de los SPL Medellín oficial y origen IGAC
Teniendo en cuenta que los meridianos en las dos proyecciones se comportan de manera diferente, las diferencias entre estos también varían, en los meridianos 7 y 8, que es donde está ubicado el origen, es donde se encuentra la diferencia mínima de 0.009m entre las dos proyecciones y va en aumento hasta alcanzar 0.043 m en el meridiano más alejado de estos dos.
La diferencia que se presenta a nivel de paralelos, entre estos dos SPL es de 0.009m ya que se comportan de la misma manera, siendo mayor el sistema Medellín oficial.
8.8 Comparación entre las Coordenadas Proyectadas de los Puntos muestrales del SPL Medellín Oficial y el SPL Origen IGAC.
Teniendo en cuenta los resultados obtenidos de la comparación entre las coordenadas de los SPL origen IGAC y el SPL Medellín oficial, se encontraron diferencias en las Estes, entre el orden de los 0.001m y los 0.008m, y en las Nortes se encontraron diferencias de 0.001m y 0.023m, el listado de las diferencias se puede observar a detalle en el anexo 3.
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De los resultados se puede determinar que existe una correlación perfecta positiva entre las coordenadas, no se generó una diferencia significativa, es decir, las diferencias no superan la mínima tolerancia permitida de 0.1 m en la escala de representación 1:500.
Es importante resaltar que el SPL Medellín oficial es consistente con el SPL origen IGAC, por lo tanto, de aquí en adelante se habla del SPL de Medellín sin hacer énfasis, de cuál de los dos SPL oficiales de Medellín se está hablando.
8.9 Evaluación del SPL de la ciudad de Medellín según área de influencia y rango de altura
Basados primordialmente en las especificaciones del IGAC en cuanto al alcance de los parámetros de distancia (20Km) y de altura (250m) que hay que tener presentes para que un sistema de proyección sea válido, y teniendo en cuenta que la ciudad está en un constante crecimiento, el sistema de proyección de Medellín Datum MAGNA no alcanza a cubrir en su totalidad las áreas de macroproyectos que se tienen a futuro, donde es funcional en solo el 44% del área de la ciudad incluidas las áreas de intervención estratégica del POT, no sería válido trabajar con el actual sistema a escalas de gran detalle, por consiguiente los proyectos que se tengan a futuro como vías, ampliaciones del metro o proyectos de urbanizaciones quedaran expuestos a sufrir inconvenientes al momento de la construcción.
8.10 Determinación de los rangos de altura según la tolerancia de la escala
Es importante tener en cuenta, que, según las tolerancias de las escalas, las cuales se presentaron en la tabla 12, que están en función de la mínima distancia que se puede representar en una cartografía para cada escala, también se determinaron los rangos de altura que sean consistentes con esta misma tolerancia, ya que a medida que los objetos se alejan de la altura del plano de proyección, pueden sufrir deformaciones significativas para el diseño y ejecución de proyectos de ingeniería. Como resultado se obtuvieron los PTL, para poder cumplir con la tolerancia y poder representar toda el área urbana desde su cota mínima de 1420 m y máxima de 2470 m, fue necesario determinar varios PTL por cada escala, para la escala 1:500 se obtuvieron 18 PTL, para la escala 1:1000 se obtuvieron 9 PTL, para la escala 1:2000 se obtuvieron 5 PTL y para la escala 1:5000 se cubría toda el área con 2 PTL.
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Para cada plano se determinó el factor de escala (K) teniendo en cuenta que cada uno es independiente del otro.
8.11 Determinación de los PTL teniendo en cuenta las diferencias de longitud
Se obtuvo una deformación inherente a la proyección de 0.037m, tal valor está por debajo de la tolerancia para la escala 1:500, es decir 0.1m, lo cual indica que cumplirá para el resto de los PTL determinados.
8.12 SPL definido usando el software transgeolocal
De los resultados obtenidos se pudo establecer un mejor punto de origen para el Sistema de Proyección Local para Medellín. Este punto de origen del listado de coordenadas el seleccionado fue el N° 60 por ser el que menor Error Absoluto presentaba 0.00648, además porque el Módulo de Precisión Planimétrico es de 4410.22245. Además, por su posición central frente a los demás puntos y frente al área de cubrimiento de la ciudad de Medellín.
Ilustración 24: Puntos transgeolocal. Fuente: propia.
Parámetros para el punto de Origen
Al aplicar el método de rotaciones y traslaciones no hay necesidad de establecer límites para el intervalo de diferencia de nivel entre el PTL y los puntos de mayor o menor altitud. Respetadas las dimensiones máximas del plano, un solo PTL
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implantado a cualquier altura elipsoidal, o altitud, siempre mantendrá la exactitud obtenida en el levantamiento.
Como las alturas elipsoidales están vinculadas en las coordenadas Geodésicas, la posición de cada punto en el SPL establece la verdadera distancia horizontal entre los puntos de la grilla y no con la distancia elipsoidal elevada al plano medio por la aplicación del factor de elevación. En este caso, todas las coordenadas de los puntos (X, Y, H) sólo presentarán los errores inherentes a las operaciones geodésicas y topográficas empleadas, es decir, están exentas de la influencia del factor de reducción o ampliación y del factor de elevación.
Como se puede observar en el anexo 6 las diferencias obtenidas entre las magnitudes de los vectores de cada uno de los puntos muestrales al punto de origen y al punto 60 que es aproximadamente el punto centroide del área de estudio, se pudo determinar por los resultados que, presenta menores diferencias el punto 60 con respecto al punto origen.
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9 CONCLUSIONES
• Al revisar la información secundaria recopilada, se identificó primordialmente que hay dos sistemas de proyección locales oficiales para Medellín, uno definido por el IGAC y otro definido por la subsecretaria de tecnología y gestión de la información de Medellín, los dos cuentan con los soportes normativos y técnicos que los sustentan y respaldan, estos dos SPL tienen en común, los parámetros del punto de origen, tanto en la ubicación geográfica como en la altura, pero difieren en la proyección usada.
• Entre el SPL origen IGAC y el SPL Medellín oficial, existe una correlación positiva entre las coordenadas y las diferencias encontradas están entre los 0.0005m y los 0.023m, por lo cual se pudo determinar que los dos SPL son consistentes.
• El actual SPL de Medellín se encuentra proyectado sobre los 1510 m.s.n.m y el punto máximo de altura sobre el área de estudio se encuentra sobre los 2470m.s.n.m, lo cual indica una diferencia de 960m, teniendo en cuenta las especificaciones del IGAC, que recomienda un rango de cobertura en altura de 250m, el plano de proyección solo alcanza a cubrir hasta los 125m, en este orden de ideas, serian 835m los que se quedarían por fuera de lo permitido, esto explica porque un 56% del área no tiene cobertura por el actual SPL.
• Considerando las especificaciones del IGAC y las tolerancias permitidas observadas en la tabla 12 para la representación en cartografías, se encontró que el SPL para Medellín no es idóneo para cartografías a escalas grandes de representación, ya que las tolerancias permitidas teniendo en cuenta las alturas son superadas y los proyectos de ingeniería que a futuro se pretendan desarrollar como vías, ampliaciones del metro o proyectos de urbanizaciones quedaran expuestos a sufrir inconvenientes al momento de la ejecución. • El software Transgeolocal nos muestra parámetros que son de fácil
identificación y comprensión, lo cual permite tener un control de calidad y conocimiento de los parámetros que se deben tener en cuenta en la elección del Punto de Origen para el nuevo Sistema de Proyección Local. El método de rotación y traslación que este software utiliza presenta un resultado más exacto, pues es independiente al establecimiento de los limites en cuanto a las altitudes involucradas.
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10 RECOMENDACIONES
• Es conveniente hacer un buen uso de los factores de escala y de elevación para corregir distancias tomadas directamente de campo y proyectadas, ya que al momento de llevar a cabo un replanteo de un proyecto de ingeniería