Para obtener la ecuaci´on de propagaci´on en presencia de efectos no lineales en la fibra es preciso establecer ciertas suposiciones que faciliten la resoluci´on del problema. La primera de las suposiciones que suelen establecerse en la literatura de efectos no lineales en fibras es que la polarizaci´on del campo es constante a lo largo de toda la fibra, por lo que es v´alida una aproximaci´on escalar de la ecuaci´on 2.7. Por el momento usaremos esa aproximaci´on aunque veremos m´as adelante los riesgos derivados de establecer dicha suposici´on en fibras conven- cionales de telecomunicaci´on. Por tanto emplearemos s´olamente la componente χ(3)
xxxx del tensor de susceptibilidad de orden tres. Otra suposici´on habitual es que
la respuesta de la fibra es instant´anea, y que la gu´ıa no presenta p´erdidas. Es conveniente, sin embargo, acotar la validez de estas suposiciones.
La respuesta nolineal de la fibra tiene dos componentes: por un lado, una componente debida a distorsiones (inducidas por el campo el´ectrico presente en la fibra) en las ´orbitas electr´onicas de los ´atomos. Estas deformaciones ocurren en escalas de tiempo de unos pocos ciclos electr´onicos, por lo que normalmente se consideran instant´aneos. Por otro lado, la respuesta asociada a los cambios de los estados de vibraci´on de las mol´eculas de s´ılice (respuesta Raman). Esta respuesta sucede con tiempos de retardo de τR=60-70 fs, por lo que s´olo podemos
considerarlos instant´aneos cuando consideramos un ancho de banda mucho menor a 1/τR '14 THz. T´ıpicamente se suele suponer que esta suposici´on vale hasta
pulsos del orden de 1 ps. Por parecidas razones, la suposici´on de ausencia de p´erdidas suele considerarse v´alida cuando la longitud de fibra considerada es mucho menor que 1/α (siendo alpha la atenuaci´on de la fibra).
Para no perder generalidad en este punto, consideraremos la contribuci´on Raman a la respuesta no lineal y la atenuaci´on en la fibra. El punto de partida ser´a de nuevo la ecuaci´on 2.7. Bajo las suposiciones anteriores, podemos reescribir 2.7 en el dominio de la frecuencia como:
∇2Ee + ²(ω)ω 2 c2Ee = χ (3) xxxx ω2 c2 · · Z Z +∞ −∞ e R(ω1− ω2)Ee(ω − ω1+ ω2)Ee(ω1)Ee∗(ω2)dω1dω2 (2.26)
como producto de sus componentes radial y longitudinal: E(r, t) = 1
2x[A(t)F (ρ) exp(i(ωˆ 0t − β0z) + c.c.] (2.27) donde hemos supuesto, por conveniencia, que el campo est´a alineado en la direc- ci´on ˆx. Como ya hemos explicado, para obtener la soluci´on al caso no lineal se tratan los t´erminos no lineales como perturbaciones (variaciones peque˜nas) al ca- so lineal. En este caso, la distribuci´on radial del campo se obtiene al igual que en el caso lineal, es decir, anulando toda la contribuci´on no lineal a la ecuaci´on 2.26. En primer orden de perturbaci´on, la presencia de efectos no lineales no afecta a la distribuci´on radial del modo fundamental. La inclusi´on del t´ermino perturba- tivo s´ı afecta, sin embargo, a la constante de propagaci´on β como veremos en la secci´on 2.4.
La obtenci´on propiamente dicha de la ecuaci´on de propagaci´on no lineal com- pleta es ciertamente compleja y escapa en cierta medida nuestros objetivos. Para el lector interesado recomendamos la referencia [52]. Nosotros nos limitaremos a emplear la ecuaci´on final para la amplitud compleja A(z, t):
∂A ∂z + β1 ∂A ∂t + i β2 2 ∂2A ∂t2 + α 2A = = iγ Ã 1 + i ω0 ∂ ∂t ! µ A(z, t) Z +∞ −∞ 1 σxxxx Rxxxx(t0)|A(z, t − t0)|2dt0 ¶ (2.28) donde γ es una constante que mide la no linealidad de la fibra y que recibe el nombre de coeficiente no lineal. La amplitud compleja A(z, t) ha sido normalizada de manera que la potencia ´optica de la onda se calcula seg´un la ley P (z, t) = |A(z, t)|2. γ se relaciona con la susceptibilidad seg´un la ecuaci´on:
γ = n2eω0 cAef f
= 3σxxxxω0 8ncAef f
(2.29) donde n2e se denomina ´ındice no lineal de la fibra. El valor de este ´ındice se
ha medido experimentalmente y resulta estar en el entorno de 2.2·10−20 m2·W−1
[77, 1]. En la expresi´on anterior Aef f tiene unidades de ´area y es el resultado de
la operaci´on: Aef f = 2π³R0+∞F2(ρ) ρ dρ´2 R+∞ 0 F4(ρ) ρ dρ (2.30) Por simplicidad hemos omitido la variaci´on con la frecuencia de la distribuci´on radial del campo y hemos supuesto que para todo el rango de frecuencias cubierto por el pulso, F (ρ) permanece constante. Este ´area efectiva mide el ´area real que
ocupa el campo en el interior de la fibra o la secci´on eficaz de ´area de fibra ocupada por el campo. Valores t´ıpicos en tercera ventana de este par´ametro pueden ser, por ejemplo, 84 µm2 para fibras est´andar de segunda ventana y 50 µm2 para
fibras de dispersi´on desplazada.
Es importante tambi´en introducir en este punto el concepto de longitud efec- tiva de interacci´on no lineal sobre una fibra. La longitud efectiva es una longitud equivalente de generaci´on del efecto no lineal teniendo en cuenta las p´erdidas que se producen en la fibra. Su valor viene dado por la siguiente expresi´on:
Le =
Z L
0 exp(−αz)dz =
1 − exp(−αL)
α (2.31)
Para valores peque˜nos de longitud de fibra, Le ' L. Para valores grandes de
longitud, Le ' 1/α. Para este ´ultimo caso, habitual en los sistemas de teleco-
municaci´on sobre fibra ´optica, y considerando propagaci´on en tercera ventana, obtenemos Le ' 22 km. Para una fibra de longitud intermedia, por ejemplo 10
km, el par´ametro Le vale 7 km para fibras en segunda ventana y 8 km en tercera.
Volvamos de nuevo a la ecuaci´on 2.28 y supongamos que trabajamos en r´egimen continuo o con pulsos m´as largos de 1 ps. En estas circunstancias pode- mos suponer que la respuesta del medio es pr´acticamente instant´anea, por lo que la ecuaci´on se simplificar´a enormemente:
∂A ∂z + β1 ∂A ∂t + iβ2 2 ∂2A ∂t2 + α 2A = iγ|A| 2A (2.32)
A la ecuaci´on 2.32 se le suele denominar la ecuaci´on no lineal de Schr¨odinger (NLSE) por su similitud con la ecuaci´on no lineal de Schr¨odinger con un potencial no lineal. A efectos de propagaci´on de pulsos en fibras, esta ecuaci´on es la base de todos los estudios de propagaci´on de solitones en fibras. A la ecuaci´on 2.28, que incluye el efecto Raman en la fibra, se le suele denominar ecuaci´on no lineal de Schr¨odinger extendida. De ella se derivan interesantes efectos de orden superior en propagaci´on de solitones como el corrimiento de la frecuencia central hacia longitudes de onda m´as largas (soliton self-frequency shift, SSFS).
Las ecuaciones crecen en complicaci´on cuando consideramos la propagaci´on de dos o m´as frecuencias en el mismo sentido o sentidos diferentes.