Desarrollo de experimentos, an´ alisis de resultados

AN ´ALISIS DE RESULTADOS Y APLICACIONES

El objetivo primario de esta investigación, es abundar sobre el comportamiento de las opciones con barrera y opciones parisinas bajo un ambiente de volatilidad estocástica, para poder establecer procedimientos de valuación eficientes que den viabilidad al eventual listamiento de este tipo de productos en el Mercado Mexicano de Derivados (MexDer). Entonces, desde una perspectiva emp´ırica, el verdadero problema a resolver en este caso es una simulación Monte Carlo que sea eficiente en el sentido de que pueda evitar los sesgos descritos por Andersen y Brotherton-Ratcliffe (1996). Adicionalmente, en un intento por hacer el código original rápido pero accesible, se desarrolló el código en una plataforma de programación mixta, en la que la interfaz es Excel-VisualBasic, pero el motor de cálculo es Visual Fortran. Se propone la utilización del método Monte Carlo en virtud de que la solución anal´ıtica del problema de valuación es prácticamente intratable al considerar a la volatilidad como variable aleatoria, además de que permite la inclusión posterior de otros factores de riesgo. También, un factor de peso es que el método Monte Carlo es intuitivo y compatible con los criterios que se escogieron para esta investigación.

5.1 Metodolog´ıa empleada

Se diseñaron rutinas espec´ıficas para cada tipo de problema, con la finalidad de medir con mayor precisión los tiempos de ejecución, sin que se contaminara esta decisión por ramales de decisión superfluos. En cada rutina, se especifican entradas relativas al diseño

del experimento Monte Carlo; entradas genéricas de opciones como el precio de ejercicio, y el tiempo al vencimiento; parámetros de las dinámicas del subyacente y de la volatilidad como la tasa libre de riesgo, la tendencia de la volatilidad, la volatilidad de la volatilidad y la volatilidad inicial; parámetros espec´ıficos de las opciones con barrera y parisinas, como el precio umbral o barrera y la ventana de tiempo. En la lituratura se refiere como una de las desventajas de las opciones con barrera, el comportamiento abrupto que tienen sus griegas en la vecindad de la barrera. Entonces, como la sensibilidad se medir´ıa exclusivamente en términos del precio del subyacente, el valor inicial de la dinámica de precio, fue el valor que se dejó correr para los comparativos. Las rutinas fueron validadas, verificando su apego a los casos l´ımite, como cuando la volatilidad se mantiene constante, cuando no existe una barrera, cuando la ventana de tiempo es mayor al vencimiento, y otros casos similares.

Los primeros experimentos que se discuten, son aquellos que tienen que ver con la validación del modelo, para después indagar sobre el comportamiento y sensibilidad del precio de las opciones ante cambios en los parámetros tanto del precio del subyacente como de la dinámica de la volatilidad. Aunque en la implementación definitiva ser´ıa deseable incorporar las mejoras t´ıpicas al método Monte Carlo tradicional, en este trabajo no se hicieron para evitar cualquier problema de especificación que pudiera incrementar el riesgo modelo. En última instancia, las virtudes de dichas técnicas de mejora ya han sido consignadas previamente en trabajos como los de Boyle, et al (1997), Brotherton-Ratcliffe (1994) y Joy, et al (1996). Finalmente se llevaron a cabo experimentos espec´ıficos para la comparación de las opciones con barrera y sus correspondientes parisianas.

5.2 Versi´on discreta del modelo sin correcci´on de sesgo

al riesgo es:

dSt =rdt+σdWt,

por lo que la versi´on discreta del precio ser´ıa:

St+h =Stexp r− 1 2σ 2 h+σ √ h1 i .

Asimismo, se supondr´a que la volatilidad es determinada por la din´amica de la varianza:

dσ2 =αdt+βdUt,

de tal suerte que su versi´on discreta ser´ıa:

σ2_t₊_h =σ_t2exp a− 1 2b 2 h+b √ h2 i

No es indispensable suponer que los t´erminos de ruido blanco1 y2 son independien-

tes entre s´ı, pero para garantizar un mayor apego a la metodolog´ıa de Hull y White, se diseñó el código para tener el menor grado de dependencia posible. También es importante mencionar que deben seleccionarse como parámetros los valores iniciales del precio y la volatilidad.

5.3 Validaci´on del modelo

Para iniciar con la validación del modelo se realizó una comparación entre los precio de una opción de compra del tipo down-and-out con la metodolog´ıa Monte Carlo bajo el supuesto de volatilidad constante, con respecto a los precios calculados anal´ıticamente. En la Gráfica 5.1, en l´ınea punteada se muestra el valor de 20 realizaciones por Monte Carlo y la l´ınea en gris claro muestra el valor anal´ıtico. En el cuadro 5.1 se muestra el valor

promedio de las realizaciones de la simulación Monte Carlo y se compara en proporción y en forma absoluta con el valor anal´ıtico. Los parámetros de la opción son S = 100,

X = 120, T−t= 1 a˜no, r= 0.1, σ= 0.2, B= 90. Cada una de las realizaciones de Monte Carlo se calcul´o como promedio de 100,000 trayectorias cada una.

Gráfica 5.1 Comparación de la Metodolog´ıa MC vs fórmula.

MC, Vol. Cte. Anal´ıtico $4.4686 $4.3194 Diferencia (abs) $0.1492 Diferencia (%) 3.45%

Cuadro 5.1 Comparaci´on de la Metodolog´ıa MC vs f´ormula.

Como se puede observar, el valor calculado por Monte Carlo es ligeramente mayor al anal´ıtico. Este resultado es congruente con los resultados reportados por Andersen y Brotherton-Ratcliffe(1996) quienes explican dicho sesgo como un efecto de la discretizaci´on de las trayectorias, en virtud de que existe una cierta probabilidad de que se cruce la

barrera entre dos puntos del muestreo. Además, lleva a la conjetura de si en el esquema de volatilidad estocástica se hace necesario un procedimiento de corrección equivalente. La siguiente gráfica muestra los resultados de realizar la corrección Andersen y Brotherton- Ratcliffe sobre 20 realizaciones de experimentos Monte Carlo, y se comparan contra 20 realizaciones de Monte Carlo tradicional. Como se puede observar, el promedio de las realizaciones del Monte Carlo tradicional es superior al valor anal´ıtico, mientras que el promedio de las 20 realizaciones con la corrección, prácticamente coincide con el valor anal´ıtico.

Realizaciones

Par´ametrosB = 90, X = 120, r= 0.1, σ0 = 0.2, T −t = 1,α= 0.15 y β = 0.15

Gr´afica 5.2 MC tradicional vs. MC con correcci´on de Andersen & Brotherton-Ratcliffe

5.4 An´alisis de las griegas

en virtud de que requiere un uso de memoria significativamente mayor que cuando sólo se calcula el precio. Esto se debe a que si el cómputo se realiza sobre dos realizaciones disntintas del precio con sus respectivos procesos de muestreo, al no estar acotado el error, la medición de la sensibilidad puede contaminarse con el error de integración como se muestra en la siguiente gráfica. Como en el apartado anterior los parámetros de la opción son S = 100, X = 120, T −t= 1 año, r= 0.1, σ = 0.2, B= 90, excepto por la abcisa.

Gr´afica 5.3 Inestabilidad de las griegas calculadas sobre puntos de muestreo distintos

Para resolver este problema, se estila almacenar la totalidad de los puntos de muestreo, para reevaluar la opción bajo condiciones de cambio infinitesimal en alguno de sus parámetros. A continuación se muestran 3 gráficas que representan el comportamiento del precio de la opción de compra down-and-out ante cambios en algunos parámetros. A cuadros se presenta la opción valuada con volatilidad estocástica, en l´ınea punteada la valuación por Monte Carlo con volatilidad constante, y en l´ınea sólida el valor anal´ıtico.

Gr´afica 5.4 Comportamiento del precio de la opci´on frente a cambios en el subyacente, ∆.

Gr´afica 5.6 Comportamiento del precio de la opci´on frente a cambios en el tiempo al vencimiento, Θ.

Como se puede observar en estas gráficas, salvo lo que es el factor tiempo, los cambios en los factores no influyen de manera significativa en la magnitud del sobreprecio; en el caso del factor tiempo, es natural que al alargarse la fecha al vencimiento, aumente el valor intr´ınseco de la opción as´ı como el premio por el riesgo adicional que exhibe el suscriptor. Este comportamiento cuando el subyacente se encuentra lejos de la barrera, hace posible encontrar relaciones que puedan ser de utilidad, dentro de la practica financiera profesional, para emplear aproximaciones rápidas de las sensiblidades de la opción con barrera a partir del valor anal´ıtico. Como se puede ver en la siguiente gráfica que mide la segunda derivada del precio de la opción con respecto al precio, en la vecindad de la barrera, el diferencial

puede aumentar.

Gr´afica 5.7 Comportamiento del precio de la opci´on frente a cambios en la ∆, Γ

5.5 Efectos de los par´ametros de la volatilidad

Como se ha comentado, uno de los aspectos que enriquecen este trabajo, es que relaja el supuesto de volatilidad constante, mediante la incorporación de un modelo de volatilidad estocástica, determinada por la dinámica de la varianza:

dσ2 =αdt+βdUt,

El planteamiento original de Hull y White, hace expl´ıcito un supuesto de que el pa- rámetro α es igual a cero, lo que permite calcular de manera relativamente sencilla los momentos no centrales de la varianza promedio, y de esta forma hacer una aproximación por series de Taylor al precio de la opción. Sin embargo, la metodolog´ıa Monte Carlo nos permite apartarnos de dicho supuesto, para incrementar el entendimiento del comportamiento del precio de las opciones ante cambios en los parámetros de esta dinámica.

Bajo este premisa, se realizaron diversos experimentos cuyos resultados se resumen a con- tinuación. Como en el apartado anterior los parámetros de la opción son T −t = 1 año,

r = 0.1,σ= 0.2,B = 90, excepto que se indique lo contrario o que se ajusten en la abscisa.

Gr´afica 5.8 Cambios en la tendencia de la volatilidad, Opci´on vs. α. (X=100)

Gr´afica 5.10 Cambios en la volatilidad de la volatilidad, Opci´on vs. β.(X=120)

Gráfica 5.11 Cambios simultáneos en los parámetros de la volatilidad, Opción vs. α yβ; S = 100, X = 120

Gráfica 5.12 Cambios simultáneos en los parámetros de la volatilidad, Opción vs. αy β; S = 120, X = 120

De los experimentos realizados y las gráficas resultantes, se puede observar que en las regiones graficadas la opción aumenta de precio cuando existe una tendencia positiva en la volatilidad lo cual se explica desde la perspectiva de que con una tendencia positiva y significativamente grande como las que se proponen en el experimento, la varianza como proceso se torna explosiva, incrementando las posibilidades de que la opción sea ejercida. También, puede observarse que el precio de la opción disminuye con incrementos de la volatilidad de la volatilidad, lo cuál se explica en términos de la “sonrisa de la volatilidad”, concepto que indica que en la región del dinero la volatilidad tiende a ser distinta de la que se observa en las regiones dentro y fuera del dinero.

5.6 Aplicaciones al mercado mexicano de derivados

Uno de los principales factores que afectan la eficiencia de los procesos productivos en el pa´ıs es el costo de los energéticos, en virtud de que sus precios tradicionalmente han presentado una gran volatilidad. Aunque durante algunos años Petróleos Mexicanos (PE- MEX) a través de su subsidiaria comercializadora de gas natural configuró esquemas de cobertura para grandes usuarios, los precios que se fijaron a dichos esquemas, incorporaban sólo algunas de las expectativas del mercado. En un esfuerzo por contribuir al desarrollo sostenible de la econom´ıa nacional, en octubre de 2005, las autoridades del Mercado Me- xicano de Derivados (MexDer) firmaron un acuerdo de licenciamiento para la utilización del precio de liquidación del futuro de gas natural, denominación Henry Hub, listado y activamente comercializado en la Bolsa Mercantil de Nueva York (NYMEX, por sus siglas en inglés). A través de dicho convenio se abre la posibilidad de listar en México un contrato de gas natural en el que diferentes tipos de participantes puedan incorporar otras expectativas adicionales a las del coberturista natural, haciendo a la fijación de precios en el intercambio de riesgos una tarea más eficiente. En el diseño del contrato futuro sobre gas natural se contempla MexDer a través de sus socios operadores atienda al menos a los 500 mayores usuarios de gas natural en el pa´ıs, y ofrezca alternativas de correlación negativa al mercado bursátil a los inversionistas. Bajo este esquema, las paraestatales energéticas del pa´ıs jugar´ıan un importante papel como formadores de mercado.

En los mercados internacionales, las opciones sobre futuros son populares en virtud de que presentan algunas ventajas con respecto a las opciones sobre los subyacentes. Por un lado, a la liquidaci´on no es necesario entregar el subyacente sino que se puede realizar en t´erminos de contratos futuros o de efectivo. Los precios de referencia pueden ser conocidos

en forma inmediata por los participantes en virtud de que los mercados estandarizados tienen servicios de cotizaci´on que permiten disminuir las asimetr´ıas de informaci´on que se pueden presentar cuando la referencia es el precio de un bien f´ısico, ya que los precios de contado no se conocen en forma inmediata.

La presente investigación, resume las bases teóricas requeridas para la valuación de un contrato opcional sobre dichos futuros, con miras a que el Mexder pudiera ofrecer a los usuarios de dicho energético, una gama amplia de soluciones para la administración de sus riesgos de mercado, y permite, al mismo tiempo, ofrecer oportunidades de negocio a inversionistas profesionales. Como se planteó en el resumen introductorio y como se muestra en la Gráfica 5.13, el gas natural, al igual que otros productos energéticos, presenta una alta volatilidad que además dista mucho de ser constante.

Gr´afica 5.13 Volatilidad del Futuro de gas natural en Nymex y Volatilidad de la Volatilidad

La Gráfica 5.13 muestra la evolución de los parámetros de la volatilidad histórica del contrato futuro de gas natural que se comercializa en el NYMEX. En general, los procesos que modelan en forma estocástica a la volatilidad, suelen tener incorporado un término de reversión a la media. Pero, como se puede ver en los dos trazos de la gráfica anterior, en el caso del futuro de gas natural, el proceso tiene deriva muy pequeña o cercana a cero, y un parámetro de difusión significativamente distinto de cero parece ser más adecuado. Para la calibración del modelo, se utilizó como parámetro de tasa de interés el dato de la tasa libre de riesgo publicada por el Departamento del Tesoro de Estados Unidos, en virtud de que es la que satisface la relación teórica entre el precio del futuro y el precio de la acción en el marco del modelo de Black (1976) para la valuación de opciones, y con base en que dicho precio de referencia está expresado libre a bordo (LAB) en Nueva York.

Asi en este caso, tanto en los modelos de valuación anal´ıtica utilizados como referencia, como en los supuestos de la valuación Monte Carlo, se considera que los beneficios de oportunidad igualan dicho valor de r = q = 4.7%. Como parámetro de volatilidad se utilizó el de volatilidad impl´ıcita de las opciones americanas sobre el futuro de gas natural, listadas en el NYMEX, en virtud de que preservan las relaciones teóricas entre la opción americana (datos de mercado) y su correspondiente europea, lo que nos lleva a un valor deσinicial= 0.44. Con base en los registros históricos del precio del futuro del gas natural

en el NYMEX, se determinaron los parámetros de la volatilidad estocástica; en Carr, et al. (1997) se encuentra una referencia a que en general, la volatilidad estocástica tiende a ser más alta que la histórica. Como se explicó antes, en el caso de los futuros de los derivados de gas natural ocurre lo contrario con datos a marzo de 2006, por lo que es viable considerar los parámetros obtenidos la la volatilidad histórica para la dinámica de

la varianza, a excepción del dato inicial. Con la información disponible se tiene que el parámtero a= 2×10−5 y el b= 0.221, que son parámetros compatibles con el desarrollo de Hull et al. (1987).

5.7 Comparaci´on de precios

La aplicación desarrollada para este documento, es capaz de producir un precio ya sea de una opción con barrera o de una parisina en aproximadamente 30 segundos. Cabe mencionar que este tiempo se puede mejorar con otras técnicas de Monte Carlo, que escapan a los alcances de la presente investigación. A continuación, se muestran diversas gráficas en las que se puede ver el comportamiento de las opciones parisinas vs. el de la opción con barrera correspondiente. Las ventanas utilizadas son 0 d´ıas, 1 d´ıa, 5 d´ıas, 10 d´ıas, 3 meses, 6 meses y 1 año, que además es el tiempo al vencimiento.

Par´ametros: K = 10, B = 8

Como se puede observar en la gr´afica, el cDO presenta un quiebre en la barrera, por lo

que la ∆, definida como V_S, también presentará un cambio abrupto lo que a su vez se traduce en picos dentro de la Γ, definida como V_SS, lo que hace compleja e ineficiente la cobertura dinámica. No obstante, a diferentes ventanas de tiempo, la opción parisina de compra del tipo down-and-out presenta un comportamiento más suave. Además a mayores ventanas, la opción parisina tiende al valor de la opción plain vanilla (evaluada con volatilidad estocástica).

Par´ametros: K = 7, B = 10

Gr´afica 5.15 Comparaci´on de precios del cDI y parisinas.

En este caso se puede observar en la gráfica, el c_DI también presenta un cambio abrupto en la barrera, pero con una ventana entre 5 y 10 d´ıas, el comportamiento de la ∆ y Γ de las parisinas es más aceptable.

correspondientes. En dicho caso, el quiebre de la opción con barrera es menos evidente en virtud de que al moverse el precio del subyacente en dirección de la barrera, el aumento en el valor intr´ınseco de la opción se compensa con el incremento de la probabilidad de desactivación de la opción. Con ventanas cada vez más grandes, el valor de la parisina se aproxima al valor de la opción plain vanilla (evaluada con volatilidad estocástica).

Par´ametros: K = 7, B = 13

Gr´afica 5.16 Comparaci´on de precios del cU O y parisinas.

La Gr´afica 5.17 muestra la comparaci´on entre los precios del c_{U I} y sus parisinas. En

In document Valuación de opciones con barrera y opciones parisinas con volatilidad estocástica : Una aplicación Monte Carlo al mercado de derivados energéticos (página 61-83)