Marco te´ orico de la valuaci´ on de opciones por

DE OPCIONES POR SIMULACI ´ON MONTE CARLO

En los últimos años, la industria financiera ha vivido una evolución constante, propiciada por la competencia global y fomentada por la ingenier´ıa financiera. Como parte de tal evolución, hemos visto el florecimiento de nuevos y complejos productos que tienden a sa- tisfacer (y a veces hasta a crear) las necesidades tanto de depositantes como de prestatarios. Ante la complejidad de diseño de dichos productos, las expresiones anal´ıticas que permiten la valuación de los mismos se han vuelto dif´ıciles de encontrar, y en algunos casos, esta tarea resulta inviable. De hecho, el último gran éxito en este campo, que data de 1973, fue la fórmula de valuación de opciones europeas de Black-Scholes-Merton, basada en una serie de supuestos que en general, no se presentan en la realidad.

Por esta razón, los encargados de la valuación de tales instrumentos al interior de las instituciones financieras, han echado mano de técnicas computacionales que permiten evaluar en forma exhaustiva las funciones de pago establecidas para cada uno de esos complejos productos financieros. Es precisamente con esa intención que desde finales de los años setenta los estudiosos de las matemáticas financieras han hecho un mayor uso de herramientas de análisis numérico, tales como los árboles binomiales y la Simulación Monte Carlo, para resolver problemas de valuación de instrumentos financieros y de exposición a factores de riesgo que afectan estructuralmente su balance.

4.1. Definici´on de la metodolog´ıa Monte Carlo

Una definición sencilla de esta metodolog´ıa, reza que los métodos Monte Carlo son todos aquellos métodos computacionales que utilizan números aleatorios, aunque no necesaria-

mente produzcan resultados correctos (Knuth1 1981). Este último señalamiento no quiere decir en s´ı que un método Monte Carlo produzca resultados disparatados, sino que a diferencia de otros métodos numéricos, el error de estimación que arroja no está acotado en forma determinista.

Harald Niederreiter (1992) ha confeccionado una definición un poco más precisa en términos matemáticos que indica que un método Monte Carlo es un método computacional en el que la cantidad a calcular se interpreta en un modelo estocástico y se estima por medio de un muestreo aleatorio. Con base en esta definición, podr´ıamos desde luego plantear un sencillo ejemplo como el propuesto por Hull (2002) para la simulación de un proceso Markoviano que describe el precio de una acción en el tiempo, de forma que a partir de la dinámica del precio y de su valor inicial podemos generar una serie de trayectorias posibles del precio. Sea la dinámica del precio dada por el proceso de Wiener:

dS =µSdt+σSdW.

En forma discreta este proceso estar´ıa dado por:

∆S =µS∆t+σS

√ ∆t.

Con un valor inicial de S0 , valores dados para los par´ametros µ y σ, as´ı como para

el intervalo ∆t, y una muestra aleatoria de n realizaciones independientes de , podemos obtener el valor de ST en donde T =n∆t.

Con un cierto número de estas trayectorias posibles, podr´ıamos determinar también el valor de una opción sobre dicha acción, si calculamos la función de pago al vencimiento

1 _{Donlad E. Knuth es un destacado matem´}_{atico, programador, y autor de los sistemas de edici´}_{on de}

para todas estas trayectorias, calculamos su promedio y los descontamos a la tasa libre de riesgo:

C0 =e−rTE[max(ST −K,0)].

No obstante, en el caso de la opción europea con estos mismos parámetros, la expresión de Black-Scholes nos lleva a una solución anal´ıtica exacta, por lo que no ser´ıa este ejemplo con el que se mostrar´ıa el alcance de la simulación Monte Carlo.

Una forma clara de entender las razones para el uso de la simulación Monte Carlo, lo encontramos directamente en las técnicas de integración numérica sobre un espacio de alta dimensionalidad. Las técnicas de integración del tipo Newton-Cotes, en un intervalo y para una dimensión, mejoran su precisión a medida que se hace más fina la partición (es decir se aumenta el número m de intervalos), de forma que el error de aproximación decrece al menos comoO(m−p), dondeprepresenta el número de puntos de la forma básica de la regla. A continuación se presenta una tabla de la forma en la que decrece el error de estimación para cada una de estas reglas de integración numérica:

Regla Puntos Orden del error

Trapecio 2 m−3

Simpson 3 m−5

Simpson 3/8 4 m−5

Boole 5 m−7

Cuando la dimensión del integrando aumenta, los métodos de integración utilizan productos Cartesianos de las reglas de integración unidimensional. En tal caso, el error de estimación decrece como O(N−p/k), donde k es la dimensión del integrando y N es el número de nodos sobre los que se evalúa el integrando. De la expresión anterior se puede ver que el incremento en k es en detrimento de la precisión de la integral. Visto de otra

forma, para mantener un cierto nivel de precisi´on, el n´umero de nodos debe incrementarse en forma exponencial con respecto a k.

Veamos ahora la aproximaci´on al valor de la integral por medio de una simulaci´on Monte Carlo. Supongamos que se quiere aproximar el valor de la siguiente integral:

f(x)dx,

y se sabe que el dominio de integración está en el espacio de la dimensión del integrando, de forma que es Lebesgue-medible en dicha dimensión k. Entonces el dominio se puede convertir en espacio de probabilidad con medida dµ = dx/λk(A) , donde λk(A) es la

medida de Lebesgue de dimensi´on k. De esta forma, hemos transformado la integral en una expresi´on de esperanza, en donde:

Z A f(x)dx=λk(A) Z A f dµ=λk(A)E[f].

Entonces, podemos aproximar el valor de la esperanza a través de una muestra, sumando todos los valores muestreados y dividiéndolos entre el número n de muestras aleatorias. Además la ley fuerte de los grandes números indica que cuando el número de muestra tiende a infinito, entonces la esperanza calculada tiende asintóticamente al valor verdadero de la esperanza. El teorema central del l´ımite nos indica que en promedio, el error de aproximación de la esperanza as´ı calculada, es σf/

√

n y por lo tanto, el de la integral ser´ıa, en promedio,

λk(A)

σf

√

Como se puede ver en esta expresión, el error de aproximación de la integral ya no depende de la dimensión del problema lo que representa una de las grandes ventajas del método

Monte Carlo sobre otros esquemas de simulación en los que se involucran reglas de in- tegración numérica polinomiales. Otra de sus ventajas, es que tienen como requisito de regularidad que el integrando sea dos veces integrable, condición que es fácil de obtener en una amplia gama de integrandos.

Cabe hacer notar que los métodos Monte Carlo también tienen algunas caracter´ıs- ticas negativas, entre las que destacan tres: la primera, es que la cota del error no es determinista; como se ha comentado, el error de aproximación en promedio depende de

N−1/2. Si el problema requiere que la cota del error sea conocida, Monte Carlo no puede garantizarlo. En segundo término, tenemos que la cota del error de aproximación de la integral es invariante ante mejoras en las condiciones de regularidad del integrando. Otra de las desventajas de los métodos Monte Carlo, es que requieren de un muestreo aleatorio, sin embargo, la generación de muestras verdaderamente aleatorias es una tarea dif´ıcil de sistematizar.

Para hacer frente a estas desventajas, en los últimos años se han propuesto mejoras a la metodolog´ıa descrita previamente. Por una lado, se ha demostrado que en el caso particular de algunas aplicaciones (como las de las finanzas) no es tan cr´ıtico que el muestreo sea totalmente aleatorio, de hecho, puede ocurrir que ni siquiera sea deseable, en virtud de que en dichas aplicaciones los integrandos suelen ser suficientemente regulares como para adquirir cierta robustez frente a la no aleatoriedad del patrón de muestreo (Boyle, et al.

1997). De esta forma, se pueden utilizar secuencias numéricas pseudo-aleatorias de baja discrepancia, que en arreglos multidimensionales producen patrones de muestreo determi- nados, de forma que se puede obviar la necesidad de números verdaderamente aleatorios para el muestreo, y en algunos caso hasta se podr´ıan obtener tanto cotas de error más

angostas como cotas de error deterministas. A las variantes de los métodos Monte Carlo que utilizan este tipo de secuencias se les denomina métodos QuasiMonte Carlo (Nieder- reiter, 1992). El otro tipo de desarrollo que se ha dado para contrarrestar las carencias de los métodos Monte Carlo, consideran que dado que la cota del error es probabil´ıstica, un estimador con una cota más angosta es mejor, y por ello dichas técnicas son conocidas como de reducción de la varianza. A continuación revisaremos las bases generales de las más comunes:

4.2. M´etodos QuasiMonte Carlo y secuencias de baja discrepancia

Uno de los insumos básicos de la simulación Monte Carlo, es la generación de números aleatorios para el muestreo, tarea que en sentido estricto, no se puede realizar con un ordenador, en virtud de que es un dispositivo que se encarga de ejecutar comandos secuenciales deterministas y no de realizar experimentos puramente estocpasticos como el lanzamiento de una moneda justa. Aunque en la práctica se han desarrollado diferentes algor´ıtmos para la generación de números aleatorios, como el de Box-Muller, el algortimo polar y otros, puede ocurrir que en una cierta combinación de condiciones, la secuencia generada no permita realizar un muestreo uniforme. De aqu´ı que se denomina métodos QuasiMonte Carlo a procedimientos de muestreo similares al Monte Carlo tradicional, pero que utilizan secuencias deterministas expl´ıcitas que garanticen un muestreo más uniforme, o al menos permitan reducir la cota de error por debajo del N−1₂ _{del montecarlo tradicional. Dentro}

de este tipo de metodolog´ıas, las m´as populares son las que utilizan secuencias de baja discrepancia.

Un ejemplo simplista, ser´ıa el del plano cartesiano ya que dada un superficie de`×`

y vertical por la distancia ` y en sentido diagonal por la distancia `

√

2. Sin embargo en las aplicaciones de finanzas, se requiere que las secuencias adem´as de una medida de discrepancia baja tengan la cualidad de admitir nuevos elementos en la serie, que no es el caso del plano cartesiano en virtud de que una vez dada la superficie `2 _{y la partici´}_on

A(i, j) sólo se puede aumentar la resolución rehaciendo el muestreo con una partición más fina. Las secuencias quasialeatorias o de baja discrepancia, que en la práctica se utilizan, son algoritmos que aprovechan la aritmética de punto flotante del ordenador para convertir grandes números, en fracciones decimales distribuidas generalmente en el rango entre 0 y 1, como una variable aleatoria uniformemente distribu´ıda. Algunas de las más comunes son las de Halton (1960), Haselgrove (1961), Faure (1982), Niederreiter (1988) y Sobol’(1967), siendo esta última la que se considera más eficiente. A continuación se muestran los patrones de muestreo en dos dimensiones para secuencias de 1000 pares de números distribuidos entre 0 y 1, constru´ıdos con el algoritmo de Sobol’, de Halton y con un generador de números aleatorios de uso común, a saber, el de Microsoft Excel.

Gr´afica 4.2 Patr´on de muestreo con secuencias de Halton

N´otese que con las secuencias de Sobol’ y Halton, se pueden crear patrones casi reticu- lares, mientras que en el muestreo aleatorio se tienen regiones de alta y baja densidad de muestreo.

Desde una perspectiva teórica, una de las principales ventajas de las secuencias de baja discrepancia es que bajo ciertas condiciones de regularidad del integrando, permiten generar un error acotado en forma determinista (lo cual no es posible en el Monte Carlo tradicional), resultado que se conoce en la literatura como el Teorema de Koksma-Hlawka (Boyle,et al,1997). Sin embargo, la cota definida por dicho teorema no es de gran utilidad práctica en virtud de que sobreestima el valor verdadero de la cota. En un sentido práctico, existen diversos estudios que comprueban que la cota del error es significativamente menor en el caso de un método QuasiMonte Carlo que muestrea a partir de una secuencia de baja discrepancia, con respecto al Monte Carlo tradicional en problemas de dimensionalidad intermedia 2 ≤ d < 12 como se demuestra en Bratley, et al. (1992). Para una revisión más detallada de las aplicaciones de las secuencias de baja discrepancia en finanzas, se remite al lector a Joy, et al. (1996). Para una revisión extraordinariamente detallada de los métodos QuasiMonte Carlo y de las secuencias de baja discrepancia, se remite al lector a Niederreiter (1992).

4.3. T´ecnicas de reducci´on de varianza

4.3.1. Muestreo sim´etrico

Suponga que para el muestreo en una simulaci´on Monte Carlo generamos la serie con realizaciones de n variables aleatorias {X1...Xn} que se distribuyen en forma id´entica e

Ahora consideremos que generamos sólo la mitad de estas variables, y completamos la otra mitad de la serie para muestreo con los valores simétricos de cada realización con respecto a la media de la distribución teórica deXi. Por ejemplo, siX ∼ N(0, σ) entonces los pares

se construir´ıan con Xi y X

i =−Xi; si X ∼ U(0,1) entonces los pares se construir´ıan con

Xi yX

i = 1−Xi. De entrada, suena l´ogico que la serie que se utilizar´a para el muestreo,

estar´a distribuida en forma m´as regular, en virtud de que el promedio de−Xi y Xi, es

igual a E(X).

Además, si por pares, la mitad de las variables tienen una correlación negativa con la otra mitad, entonces, en promedio, la varianza de la aproximación de la esperanza del integrando será menor a la suma de varianzas, en un valor igual a la suma de los dobles productos de las covarianzas de cada par correlacionado. As´ı, si el error de aproximación de una integral depend´ıa de σf /N−1/2, cuando las variables {X1...Xn} eran todas inde-

pendientes, entonces la cota probabil´ıstica del error será menor cuando existe correlación entre una mitad de variables con respecto a la otra mitad, siempre que el integrando sea monótono, condición necesaria para quef(Xi) tenga correlación negativa conf(X

i). Como

puede observarse esta técnica además de producir un error de estimación menor, permite reducir el esfuerzo de cómputo en virtud de que se genera sólo la mitad de números aleatorios. Aplicaciones de esta técnica se pueden encontrar en Boyle (1977) y Hull y White (1987).

4.3.2. Variables de control

Supongamos ahora que una simulación Monte Carlo permite generar a partir del mismo muestreo, dos trayectorias distintas X y Y, correspondientes a procesos parecidos, con alguna pequeña diferencia, y uno de los cuales, Y, tiene una solución anal´ıtica conocida,

µY. Entonces la expresiónX+b(Y −µY) representa una familia de estimadores insesgados de E[X]. A su vez, la varianza de esta expresión, bajo la consideración de que µY es determinista, ser´ıa:

Var[X+b(Y −µY)] = Var[X] +b2Var[Y] + 2bCov[X, Y],

expresi´on que tiene su m´ınimo en el valor de

b∗=−Cov[X, Y] Var[Y] , en cuyo caso,

Var[X+b(Y −µY)] = Var[X]− Cov

[X, Y] Var[Y] .

A pesar de que Var[X], Var[Y] y Cov[X, Y] no son cantidades conocidas, se pueden estimar de una pequeña submuestra de la muestra original, e independiente de una gran submuestra que se usar´ıa en el cómputo del estimador de E[X]. Esta técnica ha sido utilizada exitosamente en la valuación de opciones asiáticas sobre promedio aritmético, utilizando como control el valor de la opción sobre el promedio geométrico, que s´ı tiene una solución cerrada, ver Boyle, et al (1997) as´ı como Kemna, et al (1990).

4.3.3. Calibraci´on de momentos

Para explicar esta técnica, introducida originalmente por Barraquand (1995), supongamos que por medio de una simulación Monte Carlo producimos una serie de trayectorias del precio de un activo, tal y como lo hicimos antes al definir los métodos Monte Carlo y obtenemos el promedio de los precios terminales. En un ambiente libre de riesgo, el valor descontado de este promedio ser´ıa una aproximación al valor actual del activo, pero no una igualdad:

Siendo conocida la desviaci´on que generan estas trayectorias, es posible modificarlas para que el valor descontado de su promedio se ajuste al valor actual del activo. Los dos ajustes t´ıpicos son el aditivo:

S_i0(t) =Si(t) +S0erT −S¯T, y el multiplicativo S_i0(t) =Si(t) + S0erT ¯ ST .

Ambos garantizan que e−rTS¯T =S0, lo que en t´erminos de la valuaci´on neutral al riesgo

nulificar´ıa totalmente la varianza en la aproximaci´on.

4.3.4. Muestreo estratificado

Esta técnica consiste en forzar el muestreo de modo que cada una de las trayectorias realizadas caiga dentro de subconjuntos de cardinalidad definida. De esta forma, se pueden evitar defectos en los parámetros de la muestra aún si ésta es pequeña. Para ello, se realizan cambios en la variable de muestreo, de forma que exista una correspondencia casi exacta con respecto al cuantil al que pertenece el valor de muestreo. Por ejemplo, para realizar un muestreo uniforme, se utiliza como variable:

Xi =

i+Ui−1

n .

donde Ui ∼ U(0,1). O al hacer un muestreo normal se utiliza la variable

Xi = Φ−1

h_i₊_U_i−1

donde Φ−1[·] es la función inversa de la distribución normal. Curran (1994) reporta resultados en el uso del muestreo estratificado en la valuación de opciones path-dependant (en particular de opciones asiáticas).

A continuaci´on, se muestran los histogramas para variables uniforme y normal, generadas con secuencias de Sobol’, de Halton, con el generador de n´umeros aleatorios y los de la ´

ultima variable ya estratificada:

Gr´afica 4.4 Histogramas de uniformes quasialeatorias, aleatoria y aleatoria estratificada

4.3.5. Muestreo ponderado

También conocido como muestreo por importancia, indica que a partir del conocimiento del comportamiento de la función de interés a lo largo del dominio de la variable de muestreo, se puede proponer un cambio en la distribución tal que el cociente de verosimilitud de la distribución original y la propuesta, presente mayor varianza en las regiones donde la función de interés tenga valores pequeños, y viceversa. Suponga que se desea evaluar:

Ef[h(x)] =

h(x)f(x)dx

A partir del conocimiento de que en ciertos valores del dominio f(xi) = 0, se propone un

cambio de densidad, g(x), tal que para esos mismos valores, g(xi) = 0, y por lo tanto

Eg " f(x) g(x) # = 1

De esta forma se asegura que R h(x)f_g(₍_xx₎)dx representa un estimador insesgado de la esperanza a calcular. Esta técnica es útil para evaluar opciones que se encuentran muy fuera del dinero, ya que en ese caso, muchas de las trayectorias tienen un valor terminal de cero. En cuyo caso, es mejor concentrar el muestreo en la región en la que las trayectorias tienen un valor terminal distinto de cero, de forma que se aprovechan mejor los recursos computacionales. Un resumen bibliográfico sobre esta técnica está disponible en Boyle, et al, (1997).

4.3.6. Muestreo condicional

En esta t´ecnica, se parte de una consecuencia conocida de la desigualdad de Jensen para

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