universo.
La cosmolog´ıa puede definirse como el estudio del origen y la evoluci´on del universo. Debido a las escalas espaciales y temporales involucradas, es necesario realizar dicho estudio en el marco de la teor´ıa de la relatividad general. En dicha teor´ıa la estructura del espacio-tiempo est´a representada por una variedad diferencial cuya geometr´ıa viene dada por un tensor m´etrico que cumple con las ecuaciones de campo de Einstein:
Rµν−
1
2gµνR−gµνΛ = 8πGTµν (1.1)
donde Rµν es el tensor de Ricci,gµν es el tensor m´etrico, Λ es la constante cosmol´ogi- ca, G es la constante de Newton yTµν es el tensor energ´ıa-momento que depende de la distribuci´on de materia y energ´ıa del universo.
El modelo cosmol´ogico est´andar m´as aceptado en la actualidad tiene como suposici´on fundamental que el Universo es homog´eneo e isotr´opico en escalas grandes (Principio Cosmol´ogico) . Dicha suposici´on esta soportada por diversas evidencias observacionales (distribuci´on de galaxias en gran escala, el fondo c´osmico de microondas [1, 2], etc.) y permite simplificar significativamente la descripci´on del universo, obteniendo que el Uni- verso puede ser representado mediante la siguiente m´etrica conocida como de Friedmann- Robertson-Walker (FRW)
ds2 =gµνdxµdxν =dt2−a2(t)[ dr2 1−Kr2 +r 2(dθ2+sen2(θ)dφ2)] (1.2) donde{xµ}
µ=0,1,2,3son las coordenadas en el espacio-tiempo ((t,r,θ,φ) en la segunda igual-
dad),a(t)es el factor de escala yK es una constante que determina la curvatura espacial (K = 0curvatura plana,K <0curvatura abierta,K >0curvatura cerrada).
Suponiendo que el contenido de materia del universo se puede representar, a primera aproximaci´on, por un fluido perfecto con ecuaci´on de estadop=ωρ, y teniendo en cuenta las simetr´ıas introducidas por el principio cosmol´ogico, el tensor energ´ıa-momento de la ecuaci´on1.1queda
Tµν =diag(ρ,−p,−p,−p) (1.3) dondeρes la densidad total de materia y p es la presi´on. Introduciendo1.3y1.2, en1.1, obtenemos las llamadas ecuaciones de Friedmann que determinan la evoluci´on del factor de escala del universo
¨ a a =− 4πG 3 (ρ+ 3p) + Λ 3 (1.4) ¨ a a + 2 ˙ a a 2 + 2K a2 = 4πG(ρ−p) + Λ (1.5)
donde el punto indica derivaci´on con respecto al tiempo c´osmico t. Sustituyendo 1.4 en
1.5, obtenemos H2(t)≡ ˙ a a 2 = 8πG 3 ρ+ K a2 + Λ 3 (1.6)
siendoH(t)el par´ametro de Hubble . Derivando1.6y combin´andola con1.4se obtiene la ecuaci´on de conservaci´on de la energ´ıa
˙
ρ+ 3H(ρ+p) = 0 (1.7)
la cu´al, teniendo en cuenta la ecuaci´on de estado del fluido ideal (p=ωρ), se reduce a
1.1. Descripci´on general de la geometr´ıa y evoluci´on del universo. 3
Los ´ultimos resultados observacionales [3,4] sugieren que el universo est´a compuesto por m´as de una forma de materia, por lo que la densidad total de energ´ıa puede ser expresada como ρ= N X i=1 ρi,0 a3(1+ωi) (1.9)
dondeρi,0 es la densidad de cada fluido en el tiempo actual,ωi es la ecuaci´on de estado de cada fluido y se adopta una normalizaci´on del factor de escala tal quea0 = a(t0) = 1,
dondet0es el tiempo actual. Utilizando esto, la ecuaci´on1.6puede escribirse como
H2(t) = 8πG 3 N X i=1 ρi,0 a3(1+ωi) + K a2 (1.10)
notar que la constante cosmol´ogica puede ser descripta como un fluido monocomponente con ecuaci´on de estadopΛ = −ρΛ. Luego despejando K de1.10, podemos obtener una
expresi´on para la curvatura espacial del universo en funci´on del contenido de materia y energ´ıa K =H2(t) 8πG 3H2 N X i=1 ρi,0 a3(1+ωi) −1 ! (1.11) Definimos la densidad cr´ıticaρc , como el valor que tiene que tener la densidad total de materia para queK = 0, es decir para que la curvatura espacial sea plana.
ρc=
3H2
8πG (1.12)
Teniendo en cuenta ´este valor, podemos definir el par´ametro de densidadΩi [5] para cada fluidoide acuerdo a
Ωi ≡
ρi
ρc
(1.13) Definiendo, adem´as, el par´ametro de densidad para la curvatura como
ΩK =
K
la ecuaci´on1.11se reduce a
N
X
i=1
Ωi+ ΩΛ+ ΩK = 1 (1.15)
Finalmente con estas definiciones, la evoluci´on del factor de escala (Ecuaci´on1.6) queda determinada por H2(t) = H02 N X i=1 Ωi,0 a3(1+ωi) + ΩK,0 a2 + ΩΛ,0 ! (1.16) donde el sub´ındice 0, denota cantidades evaluadas en el tiempo actualt0. De esta ecuaci´on
se infiere claramente que la evoluci´on del universo esta determinada por las proporciones y propiedades de los diferentes fluidos que componen el universo.
El universo est´a constituido principalmente por3tipos diferentes de materia. Teniendo en cuenta la ecuaci´on de estado de cada fluido por separado se puede estudiar la evoluci´on de su densidad y as´ı, determinar que fluido domina la din´amica del universo en cada etapa. Materia no relativista: La ecuaci´on de estado para la materia no relativista tiene
ω = 0, luego, teniendo en cuenta la ecuaci´on1.8, la densidad de la misma esρ ∝ a−3. Este resultado se puede entender ya que la densidad de materia no relativista
disminuye comoa−3debido al aumento del volumen del universo.
Materia relativista: Para la materia relativista la ecuaci´on de estado es ω = 1/3, luego la densidad es ρ ∝ a−4. Este resultado se interpreta teniendo en cuenta que la densidad de materia relativista disminuye como a−3 debido al aumento del vo-
lumen del universo, pero adem´as sufre una disminuci´on que va comoa−1 debido a
que dicha materia va perdiendo energ´ıa por el efecto conocido como corrimiento al rojo (redshift cosmol´ogico) . Dicho corrimiento al rojo se puede estimar teniendo en cuenta la propagaci´on de los fotones por geod´esicas nulas de la m´etrica FRW. Comparando las longitudes de onda de los fotones en el momento de emisi´on (λe) y recepci´on (λr) se puede ver que sufrieron una perdida de energ´ıa (λe < λr) propor- cional al aumento del factor de escala:
1 +z = λr
λe
= ar
ae
1.1. Descripci´on general de la geometr´ıa y evoluci´on del universo. 5
Constante cosmol´ogica : La constante cosmol´ogica tiene una ecuaci´on de estado
ω =−1por lo que su densidad permanece constante a lo largo del tiempoρ=cte. Teniendo en cuenta la variaci´on de las densidades de estos 3 fluidos con respecto al factor de escala, se puede ver que al comienzo (a→0) el universo estaba dominado por la materia relativista luego, debido a que la densidad de materia relativista decae como a−4
y la densidad de materia no relativista decae comoa−3, se cumple que en un determinado
tiempo (teq) las densidades de ambos fluidos se igualan, lo que nos permite definir una escala caracter´ısticaaeq = a(teq). A partir de teq la evoluci´on del factor de escala queda dominada por el contenido de materia no relativista. Finalmente, teniendo en cuenta que la densidad de la constante cosmol´ogica se mantiene constante, la evoluci´on queda dominada por dicha constante en el universo tard´ıo. Este comportamiento queda claro en las figuras
1.1y1.2.
Figura 1.1: Densidad de energ´ıa vs factor de escala para los diferentes tipos de fluidos en un universo con curvatura espacial plana.aeqcorresponde al tiempo en el que la densidad de materia relativista y no relativista son iguales. Figura extra´ıda deModern Cosmology, Scott Dodelson[6].
En la ´ultima d´ecada, gracias a numerosas observaciones en distintas bandas del espec- tro electromagn´etico (Fondo c´osmico de microondas [2], supernovas de tipo Ia [4,8], etc.), se logr´o medir con una gran precisi´on los diferentes par´ametros cosmol´ogicos, llegando
Figura 1.2: Evoluci´on del factor de escala en las distintas etapas del universo. Figura ex- tra´ıda deModern Astronomy, Bradley W. Carrol & Dale A. Ostlie.[7]
as´ı al modelo actual m´as aceptado, el cu´al postula que vivimos en universo plano (K = 0), conΩm,0 = 0.321±0.013,ΩΛ,0 = 0.679±0.013yH0 = 66.88±0.92[2].
Cabe destacar que, si bien este modelo permite explicar muchos de los fen´omenos observados, a´un quedan contradicciones, inconsistencias y observaciones dif´ıciles de ex- plicar dentro del modelo est´andar. De estos problemas, uno de los m´as controversiales y m´as estudiado es la inconsistencia entre el valor de la constante de Hubble medida a trav´es del fondo c´osmico de microondas exigiendo la condici´on de curvatura espacial pla- na (H0 = 66.88 [2]) y medida de manera local utilizando supernovas tipo Ia calibradas
con estrellas cefeidas (H0 = 73.24[4]).
Es interesante notar que dichas mediciones fueron realizadas con conjuntos de datos independientes, que provienen de una f´ısica completamente diferente y que, por lo tanto, pueden tener errores sistem´aticos de diferente naturaleza. La estimaci´on hecha a trav´es del fondo c´osmico de microondas es interpretada mediante la teor´ıa cin´etica en un universo en expansi´on (Ecuaci´on de Boltzmann-Einstein) aplicada al universo temprano (Ver Cap´ıtulo
7). Si bien esta teor´ıa es entendida con profundidad y aplicada con ´exito en muchos esce- narios diferentes, para interpretar los resultados de su aplicaci´on al universo temprano es necesario entender las diversas fuentes de contaminaci´on que van a afectar a los fotones desde que salen del CMB hasta que los observamos. Por otro lado, la medici´on hecha a trav´es de las supernovas Ia utiliza modelos para las explosiones de supernovas Ia calibra-